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几何概型练习题


《3.3 几何概型》测试题

一、选择题 1.(2011·福建文)如图,矩形 ABCD 中,点 E 为边 CD 的中点,若在矩形 ABCD 内部随机 取一个点 Q,则点 Q 取自△ABE 内部的概率等于( ).

A. B. C. 考查目的:考查几何概型的意义及其概率计算. 答案:C.

D.

解析

:所求概率为

,故答案选 C.

2.(2012·辽宁理)在长为 12cm 的线段 AB 上任取一点 C.现作一矩形,其边长分别等于 线段 AC,CB 的长,则该矩形面积小于 32 的概率为( ).

A. B. C. D. 考查目的:考查函数模型的应用、不等式的解法、几何概型的计算,以及分析问题的能 力. 答案:C. 解析:设线段 AC 的长为 cm,则线段 CB 的长为 由 选 C. 解得 或 .又∵ cm, 矩形的面积为 ,

,∴该矩形面积小于 32

的概率为 ,故

3.(2012· 北京理)设不等式组 表示的平面区域为 D.在区域 D 内随机取一个点, 则此点到坐标原点的距离大于 2 的概率是 ( ). A. B. C. 考查目的:不等式组表示平面区域以及几何概型的计算. 答案:D. D.

解析:题目中

表示的区域表示正方形区域,而动点 D 可以存在的位置为正方

形面积减去四分之一的圆的面积部分,因此

,故选 D.

二、填空题 为 4.(2010 · 湖 南 文 ) 在 区 间 [-1 , 2] 上 随 机 取 一 个 数 . 考查目的:考查与长度有关的几何概型问题的概率计算. 答案: . 解析:区间[0,1]的两端点之间长度是 1,区间[-1,2]的长度是 3,故 是 . 5.已知下图所示的矩形,其长为 12,宽为 5.在矩形内随机地撒 1 000 颗黄豆,数得落 在阴影部分的黄豆数为 550 颗,则可以估计出阴影部分的面积约为 . 的概率 ,则 的概率

考查目的:了解随机数的概念,与面积有关的几何概型概率问题. 答案:33. 解析:设阴影部分的面积为 S,由条件知矩形面积为 60,则 ,解得 .

6.将一条 5 米长的绳子随机地切断成两条, 事件 T 表示所切两段绳子都不短于 1 米的事 件,事件 T 发生的概率 . 考查目的:考查随机事件是否为几何概型的判断. 答案: . 解析:类似于古典概型,先找到基本事件组,既找到其中每一个基本事件.注意到每一 个基本事件都与唯一一个断点一一对应, 故基本事件组中的基本事件就与线段上的点一一对 应,若把离绳首尾两端距离为 1 的点记作 M、N,则显然事件 T 所对应的基本事件所对应的 点在线段 MN 上.由于在古典概型中事件 T 的概率为 T 包含的基本事件个数/总的基本事件个 数,但这两个数字(T 包含的基本事件个数、总的基本事件个数)是无法找到的,所以用线段 MN 的长除以线段 AB 的长表示事件 T 的概率,即 .

三、解答题 7.如图,在单位圆 O 的某一直径上随机的取一点 Q,求过点 Q 且与该直径垂直的弦长长 度不超过 1 的概率.

考查目的:考查几何概型问题的概率计算,以及对立事件概率计算等. 答案: .

解析:弦长不超过 1,即

, 而 Q 点在直径 AB 上是随机的, 事件

.

由几何概型的概率公式得 ∴弦长不超过 1 的概率为

. .

8.甲、乙两人约定在 6 时到 7 时之间在某处会面,并约定先到者应等候另一人一刻钟, 过时即可离去,求两人能会面的概率. 考查目的:考查将实际问题转化为几何概型概率问题解决的能力. 答案: .

解析:以 轴和 轴分别表示甲、乙两人到达约定地点的时间,则两人能够会面满足的条件 是 .在如图所示平面直角坐标系下,( , )的所有可能结果是边长为 60 的正方形

区域,而事件 A“两人能够会面”的可能结果由图中的阴影部分表示.由几何概型的概率公

式得

.


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