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海淀高三数学(理科)2012-2013年第一学期期中练习答案


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海淀区高三年级第一学期期中练习 数 学 (理) 2012.11

参考答案及评分标准
说明: 合理答案均可酌情给分,但不得超过原题分数. 一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分)

题号 答案<

br />
1 B

2 C

3 B

4 D

5 C

6 A

7 D

8 B

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分, 有两空的小题,第一空 3 分,第二空 2 分,共 30 分) 9. e ? 1 10. a ? b ? c 11. [2, ]

5 2

12.1

π 13. 3

14.10;

{t | t ?

1 1 或t ? , n ? N*且n ? 2} n ?1 ln 2 ln( ) n

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分) 15. (本小题满分 13 分) 解: (I)设 {an } 的公差为 d , 依题意,有 a2 ? a1 ? d ? ?5, S5 ? 5a1 ? 10d ? ?20 联立得 ? ………………2 分

? a1 ? d ? ?5 ?5a1 ? 10d ? ?20
………………5 分

解得 ?

? a1 ? ?6 ?d ? 1

所以 an ? ?6 ? (n ? 1) ? 1 ? n ? 7

………………7 分

(II)因为 an ? n ? 7 ,所以 Sn ?

a1 ? an n(n ? 13) n? 2 2

………………9 分

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n( n ? 13) ? n ? 7 ,即 n2 ? 15 n ?14 ?0 2

………………11 分

解得 n ? 1 或 n ? 14 又 n ? N* ,所以 n ? 14 所以 n 的最小值为 15 ………………13 分

16.(本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)因为 f ( x ) ? 2 cos x ? cos(2 x ?
2

π ) 2
………………2 分 ………………4 分 ………………6 分 ………………7 分

? 2cos2 x ? sin 2 x
? 1 ? cos 2 x ? sin 2 x

π ? 2 sin(2 x ? ) ? 1 4 π π π 所以 f ( ) ? 2 sin( ? ) ? 1 ? 2 ? 1 8 4 4 π (Ⅱ)因为 f ( x ) ? 2 sin(2 x ? ) ? 1 4 2π ?π 所以 T ? 2 π 3π ( ), (k ? Z) 又 y ? sin x 的单调递减区间为 2kπ ? , 2kπ ? 2 2 π π 3π 所以令 2kπ ? ? 2 x ? ? 2kπ ? 2 4 2 π 5π 解得 kπ ? ? x ? kπ ? 8 8 π 5π ) , (k ? Z) 所以函数 f ( x ) 的单调减区间为 ( kπ+ , kπ ? 8 8

………………9 分 ………………10 分 ………………11 分 ………………12 分 ………………13 分

17. (本小题满分 13 分) 解: (I)在 ?ABC 中,因为 A ? B ? C ? π 所以 tan C ? tan[π ? ( A ? B)] ? ? tan( A ? B) 因为 tan( A ? B) ? 7 , 所以 tan C ? ?7 ………………1 分 ………………3 分 ………………4 分

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sin C ? ? ?7 ? tan C ? cos C 又? ?sin 2 C ? cos2 C ? 1 ?
解得 | sin C |?

7 2 10

………………5 分

因为 C ? (0, π),

所以 sin C ?

7 2 10

………………6 分

(II)因为 A ?

1 ? tan B π ?7 ,所以 tan( A ? B ) ? 1 ? tan B 4 3 4 3 5
………………8 分

解得 tan B ?

因为 C ? (0, π), 所以 sin B ?

………………9 分

由正弦定理

b c ? ,代入得到 c ? 7 sin B sin C

………………11 分

所以 S ?ABC ?

1 bc sin A 2 1 π 21 ? ? 3 2 ? 7 ? sin ? 2 4 2

………………13 分

18.(本小题满分 13 分) 解: (I)作 PQ ? AF 于 Q ,所以 PQ ? 8 ? y, EQ ? x ? 4 在 ?EDF 中, ………………2 分

EQ EF ? PQ FD
………………4 分

所以

x?4 4 ? 8? y 2

所以 y ? ? x ? 10 ,定义域为 {x | 4 ? x ? 8} (II) 设矩形 BNPM 的面积为 S ,则

1 2

………………6 分

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x 1 S ( x) ? xy ? x(10 ? ) ? ? ( x ? 10)2 ? 50 2 2
所以 S ( x ) 是关于 x 的二次函数,且其开口向下,对称轴为 x ? 10 所以当 x ? (4,8) , S ( x ) 单调递增 所以当 x ? 8 米时,矩形 BNPM 面积取得最大值 48 平方米

………………9 分

………………11 分 ………………13 分

19.(本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)因为 f ?( x) ? x 2 ? (2a ? 1) x ? (a 2 ? a)
? ( x ? a )[ x ? (a ? 1)]

………………2 分

令 f ?( x ) ? 0 ,得 x1 ? (a ? 1) , x2 ? a 所以 f ?( x) , f ( x) 随 x 的变化情况如下表:

x
f '( x) f ( x)

(??, a)

a
0 极大值

(a, a ? 1)

a ?1
0 极小值

(a ? 1, ??)

?
?

?
?

?
?
………………4 分

所以 a ? 1

………………5 分

(II)因为 f ?( x) ? ( x ?

2a ? 1 2 1 ) ? 2 4

………………6 分

因为 ?m ? R ,直线 y ? kx ? m 都不是曲线 y ? f (x) 的切线

2a ? 1 2 1 ) ? ? k 对 x ? R 成立 2 4 只要 f ?( x ) 的最小值大于 k
所以 f ?( x) ? ( x ? 所以 k ? ?

………………7 分

1 4

………………8 分

(III) 因为 a ? ?1, 所以 a ? 1 ? 0, 当 a ? 1 时, f ?( x ) ? 0 对 x ?[0,1] 成立

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2 所以当 x ? 1 时, f ( x ) 取得最大值 f (1) ? a ?

1 6

………………9 分

当 0 ? a ? 1 时, 在 x ? (0, a ) 时, f ?( x ) ? 0 , f ( x ) 单调递增 在 x ? (a,1) 时, f ?( x ) ? 0 , f ( x ) 单调递减

1 3 1 2 所以当 x ? a 时, f ( x ) 取得最大值 f (a ) ? a ? a 3 2
当 a ? 0 时, 在 x ? (0,1) 时, f ?( x ) ? 0 , f ( x ) 单调递减 所以当 x ? 0 时, f ( x ) 取得最大值 f (0) ? 0 当 ?1 ? a ? 0 时,在 x ? (0, a ? 1) 时, f ?( x ) ? 0 , f ( x ) 单调递减 在 x ? ( a ? 1,1) 时, f ?( x ) ? 0 , f ( x ) 单调递增
2 又 f (0) ? 0, f (1) ? a ?

………………10 分

………………11 分

1 , 6

当 ?1 ? a ? ? 当?

1 6 2 时, f ( x ) 在 x ? 1 取得最大值 f (1) ? a ? 6 6

6 ? a ? 0 时, f ( x ) 在 x ? 0 取得最大值 f (0) ? 0 6 6 时, f ( x ) 在 x ? 0 , x ? 1 处都取得最大值 0 . 6

当a ? ?

………………14 分

综上所述, 当 a ? 1 或 ?1 ? a ? ?

1 6 2 时, f ( x ) 取得最大值 f (1) ? a ? 6 6

1 3 1 2 当 0 ? a ? 1 时, f ( x ) 取得最大值 f (a ) ? a ? a 3 2
当a ? ? 当?
6 时, f ( x ) 在 x ? 0 , x ? 1 处都取得最大值 0 6

6 ? a ? 0 时, f ( x ) 在 x ? 0 取得最大值 f (0) ? 0 . 6

20.(本小题满分 14 分) 解:(Ⅰ)因为 3 ? 1 ? 1 , 所以 {1,3, 4} 不具有性质 P. 因为 2=1 ? 2, 3=1+2, 6=3 ? 3 ,所以 {1, 2,3, 6} 具有性质 P (Ⅱ) 因为集合 A={a1,a2 , ???,an } 具有性质 P: 即对任意的 k (2 ? k ? n), ?i, j(1 ? i ? j ? n) ,使得 ak =ai +a j 成立, 又因为 1 ? a1 <a2 < ???<an , n ? 2 ,所以 ai ? ak ,a j ? ak 所以 ai ? ak ?1,a j ? ak ?1 ,所以 ak =ai +a j ? 2ak ?1 ………………4 分

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即 an ? 2an?1 , an?1 ? 2an?2 , an?2 ? 2an?3 ,..., a3 ? 2a2 , a2 ? 2a1 将上述不等式相加得

………………6 分

a2 + ??? +an?1 +an ? 2(a1 +a2 + ??? +an?1 )
所以 an ? 2a1 +a2 + ??? +an?1 (Ⅲ)最小值为 147. 首先注意到 a1 =1 ,根据性质 P,得到 a2 =2a1 =2 所以易知数集 A 的元素都是整数. 构造 A={1, 2, 3, 6, 9,18, 36, 72} A={1, 2, 4, 5, 9,18, 36, 72} 或者 ,这两个集合具有性质 P, 此时元素和为 147. 下面,我们证明 147 是最小的和 假设数集 A={a1 ,a2 , ???,an }(a1 <a2 < ??? <an ,n ? 2) ,满足 S ?
n n

………………9 分

?a
i =1

i

? 147 最小(存在性

显然,因为满足

?a
i =1

i

? 147 的数集 A 只有有限个).

第一步:首先说明集合 A={a1,a2 , ???,an }(a1 <a2 < ???<an ,n ? 2) 中至少有8个元素: 由(Ⅱ)可知 a2 ? 2a1, a3 ? 2a2....... 又 a1 =1 ,所以 a2 ? 2, a3 ? 4, a4 ? 8, a5 ? 16, a6 ? 32, a7 ? 64 ? 72 , 所以 n ? 8

, 9 第二步:证明 an?1 ? 3 6 ,an?2 ? 1 8an?3 ? :
若 36 ? A ,设 at =36 ,因为 an ? 72 ? 36 ? 36 ,为了使得 S ? 中一定不含有元素 ak ,使得 36<ak ? 72 ,从而 an ?1 ? 36 ; 假设 36 ? A ,根据性质 P,对 an ? 72 ,有 ai , a j ,使得 an ? 72 ? ai ? a j 显然 ai ? a j , 所以 an ? ai ? a j ? 144 而此时集合 A 中至少还有 5 个不同于 an , ai , a j 的元素, 从而 S ? (an ? ai ? a j ) ? 5a1 ? 149 ,矛盾, 所以 36 ? A ,进而 at =36 ,且 an ?1 ? 36 ;
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?a
i =1

n

i

最小,在集合 A

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同理可证: an?2 ? 18, an?3 ? 9 (同理可以证明:若 18 ? A ,则 an ?2 ? 18 假设 18 ? A . 因为 an?1 ? 36, 根据性质 P,有 ai , a j ,使得 an?1 ? 36 ? ai ? a j 显然 ai ? a j , 所以 an ? an?1 ? ai ? a j ? 144 , 而此时集合 A 中至少还有4个不同于 an , an?1, ai , a j 的元素 从而 S ? an ? an?1 ? ai ? a j ? 4a1 ? 148 ,矛盾, 所以 18 ? A ,且 an ?2 ? 18 同理可以证明:若 9 ? A ,则 an?3 ? 9 假设 9 ? A 因为 an?2 ? 18, 根据性质 P,有 ai , a j ,使得 an?2 ? 18 ? ai ? a j 显然 ai ? a j , 所以 an ? an?1 ? an?2 ? ai ? a j ? 144 而此时集合 A 中至少还有3个不同于 an , an?1, an?2 , ai , a j 的元素 从而 S ? an ? an?1 ? an?2 ? ai ? a j ? 3a1 ? 147 ,矛盾, 所以 9 ? A ,且 an?3 ? 9 ) 至此,我们得到了 an?1 ? 36, an?2 ? 18, an?3 ? 9 . 根据性质 P,有 ai , a j ,使得 9 ? ai ? a j 我们需要考虑如下几种情形: ① ai ? 8, a j ? 1 , 此时集合中至少还需要一个大于等于 4 的元素 ak ,才能得到元素 8, 则 S ? 148 ; ② ai ? 7, a j ? 2 ,此时集合中至少还需要一个大于 4 的元素 ak ,才能得到元素 7, 则 S ? 148 ; ③ ai ? 6, a j ? 3,此时集合 A={1,2,3,6,9,18,36,72} 的和最小,为 147; ④ ai ? 5, a j ? 4 ,此时集合 A={1,2,4,5,9,18,36,72} 的和最小,为 147. ………14 分

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