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竞赛课件24:几何光学问题集成


?
光总沿着光程为极值的路径传播——在均匀介质里 光总沿着光程为极值的路径传播——在均匀介质里 —— 沿直线传播,因为给定两点间直线路径最短;在不均匀 沿直线传播,因为给定两点间直线路径最短; 的介质中,光沿着所有可能的光程中有最小、 的介质中,光沿着所有可能的光程中有最小、最大或稳 定的光程的路径传播,即遵从费马原理. 定的光程的路径传播,即遵从费马原理.

>
ni
A

?Si
B

l = lim ∑ni ??si
N→ ∞ i=1

N

P′

P

P′P

F1

F2

F1

F2

l F1 PF2 = 2an l F1 P ′F2 < 2an = l F1 PF2 l F1 P ′′F2 > 2an = l F1 PF2

l AOB = n1 ? AO + n2 ? OB

A
2 2 2

= n1 ? x + h + n2 ? y + h
2 2 1

h1
x

N

i
O

n1

= n1 ? x + h + n2 ?
2 2 1

(a ? x)

2

2 + h2 a

y
a
n2

光程有最值应满足
lim n1 ?

r
( a ? x ? ?x )
x = n2
2 2 + h2 ? n1 ? x 2 + h12 + n2 ?

( x + ?x )

2

+ h12 + n2 ?

(a ? x)

h2

2

2 + h2

δ x→0

?x

=0

n1

y
2 y 2 + h2

x 2 + h12

B

即 n1 sin i = n2 sin r

某行星上大气的折射率随着行星表面的高度h按照 = 某行星上大气的折射率随着行星表面的高度 按照n=n0- 按照 ah的规律而减小,行星的半径为 ,行星表面某一高度 0处有光波道,它始终在 的规律而减小, 的规律而减小 行星的半径为R,行星表面某一高度h 处有光波道, 恒定高度,光线沿光波道环绕行星传播,试求高度h 恒定高度,光线沿光波道环绕行星传播,试求高度 0.

专题24专题24-例1
查阅

依据费马原理求解: 依据费马原理求解 l = ( n0 ? α h0 ) ? 2π ( R + h0 ) ? n0 ? = 2π a ? ? h0 ? ? ( R + h0 ) ? a ? 由基本不等式: 由基本不等式 n0 ? n0 ? Q ? ? h0 ? + ( R + h0 ) = +R=C a ? a ?
1 ? n0 ? n0 ? ? ∴ 当 ? ? h0 ? = ( R + h0 ) , h0 = ? ? R ? 时光程有最大值 2? a ? a ? ? 1 ? n0 ? 物像公 即在 ? ? R ? 处存在光的圆折射波道 式 2? a ?

返回

依据惠更斯原理求解: 依据惠更斯原理求解
c c 由 = h0 nh hnh+?h

M N h O R h0

c c n0 ? ah0 n0 ? a( h0 + ?h) = R + h0 R + ( h0 + ?h)

( n0 ? ah0 ) ( R + h0 ) = ?( n0 ? ah0 ) ? a?h? ?( R + h0 ) + ?h? ? ?? ?

( n0 ? ah0 ) ?h = a?h( R + h0 )

1 ? n0 ? h0 = ? ? R ? 2? a ?

?
光源形成的单心光束的顶点 虚物点

实物点

被光具作用(折射、反射) 被光具作用(折射、反射)后的单心光束的会聚 点或发散点称作实像点或虚像点

A S 根据费马原理可以推论,任 根据费马原理可以推论, 一发光点所发光束经球面反 射或折射后能成像于一点的 条件是, 条件是,从物点到达像点的 所有光线的光程都相等 y
αQ
i

x

i′

O1 h

α
2

P

C

y′
S′

F

O

OP = u
2

OQ = v

? ( y ? h) 2 ? ? y ′ ( y′v h) 2 ? + 2 2 1? + ( v ? k )=?1 + = ? ? x = ( u ? x) 11 + 1 2 2 = ? ? + ( u ? x) ? ? y ( v u x) ? ? ? v ? ? u f 2 2 2 y′′+ h) 2 ( y ? h) ( y +h 对近轴光线 ≈ ( u ? x) + + ( v ? x) + 2( uu x) 2( v2v x) ? 2?

y x ) y+ ( y ? h) + ′ ? v ? x? 1+ ( 1 ′ +2 ?) Q x = h? = h ? h ?y y ( h ) llSO1Su= v ( u ? + ′ + + ? h? ? ? + ? + y? h ? 2 2r 2 u 2v u v ? 2 ?u v r? ?
2 ′2 2
2

2

2

B α

某观察者通过一块薄玻璃板去看在凸面镜中他自己眼睛的 他移动着玻璃板, 像.他移动着玻璃板,使得在玻璃板中与在凸面镜中所看到的他眼睛的像重合在 一起.若凸面镜的焦距为10 一起.若凸面镜的焦距为 cm,眼睛与凸面镜顶点的距离为 cm,问玻璃板距 ,眼睛与凸面镜顶点的距离为40 , 观察者眼睛的距离为多少? 观察者眼睛的距离为多少?

专题24专题24-例2

S′

S2

S

x

x

S1

根据近轴光线平面折射规律: 根据近轴光线平面折射规律:

SS2 = ( n ? 1) x
根据球面镜物象公式: 根据球面镜物象公式:

1 1 1 ? =? ( n ? 1) x + 40 2x ? 40 10

x ≈ 24.2cm

圆锥面的内表面镀上反射层,构成圆锥面镜. 圆锥面的内表面镀上反射层,构成圆锥面镜.在 圆锥形内沿轴拉紧一根细丝.要使细丝发出的光线在圆锥内面上反 圆锥形内沿轴拉紧一根细丝. o 射不多于一次,圆锥形最小的展开角α=____________ α=____________. 射不多于一次,圆锥形最小的展开角α=____________. 120

若3

α
2

≥ 180

o
P′
α
2

一次反射光无入射点

α 2α 2α
2α α 2 2

A

P B

则 α ≥ 120

o

小路灯L发出的光束在离灯 处会聚成小光斑A. 小路灯 发出的光束在离灯R0=100 m处会聚成小光斑 .在光传 发出的光束在离灯 处会聚成小光斑 播的路径上放两个正方形平面镜,如图.两镜面的交线到灯的距离r= 播的路径上放两个正方形平面镜,如图.两镜面的交线到灯的距离 =70 m,并且 , 垂直穿过光束轴.两面镜互相垂直,其中一个平面镜与光束轴交成角α= ° 垂直穿过光束轴.两面镜互相垂直,其中一个平面镜与光束轴交成角 =30°,则 现在光束将会聚在离灯__________m处. 现在光束将会聚在离灯 处 40

则两垂直平面镜将令灯 发出的光束会聚于离灯

L发出的光为会聚光束,A为虚物点 发出的光为会聚光束, 为虚物点 发出的光为会聚光束 轴以上部分光束经平面镜OM反射仍为会聚光束,顶点 反射仍为会聚光束, 轴以上部分光束经平面镜 反射仍为会聚光束 关于OM对称 在A1,A1与A关于 关于 对称 会聚的这束光射向平面镜ON并被二次反射 并被二次反射, 向A1会聚的这束光射向平面镜 并被二次反射,反射光束会 聚于A 相当于虚物A 通过ON成实像 成实像, 关于ON对称 对称, 聚于 3,相当于虚物 1通过 成实像,A3与A1关于 对称, 由于OM与ON垂直,易知A3在L发出的光束轴上且 3= OA; 由于 与 垂直,易知 发出的光束轴上且OA ; 垂直 发出的光束轴上且 同理, 发出的轴以下部分光束先经平面镜 反射、 发出的轴以下部分光束先经平面镜ON反射 同理,L发出的轴以下部分光束先经平面镜 反射、再 经平面镜OM反射亦不改变会聚性,并由对称性知会聚于 3 反射亦不改变会聚性, 经平面镜 反射亦不改变会聚性 并由对称性知会聚于A A2 M L 虚物 A O A3 A1 N

100m ? 2 × 30m = 40m

由点光源S发出的近轴光线经透明球形成像, 由点光源 发出的近轴光线经透明球形成像,像到透 发出的近轴光线经透明球形成像 明球的距离为b,如图所示.如果沿垂直于水平轴将球分成两半, 明球的距离为 ,如图所示.如果沿垂直于水平轴将球分成两半,左 左侧 , 边一半的平面上镀银,那么像的位置在__________,与球的距离为 边一半的平面上镀银,那么像的位置在 b . ____________.

左半平面镀银成平面镜, 左半平面镀银成平面镜,通过左球面 的折射光线通过平面镜反射不改变光 束敛散性只是再次由左球面折射而已
S ′′ S′

b
S ′′ 与 S ′ 两像情况完全相同,关于平面镜对称 两像情况完全相同,

深度为3 的水面上( 深度为 cm的水面上(n1=1.33)漂浮着 cm厚的醇 的水面上 )漂浮着2 厚的醇 则水底距醇表面的像视深度为___________. (n2=1.36)层,则水底距醇表面的像视深度为 ) 3.7cm .

对水醇界面

n2 y = h1 n1
对醇气界面

醇表面 h2 H h1 y 底 水醇界面

y + h2 H= n2
1.36 ×3+ 2 cm = 1.33 1.36

≈ 3.7cm

S′

如图所示,两块平面镜宽度均为 = 如图所示,两块平面镜宽度均为L=5 cm ,相交 成角α= ° 构成光通道.两镜的右端相距为d= 成角 =12°,构成光通道.两镜的右端相距为 =2 cm,左端靠在 , 光接收器的圆柱形的感光面上. 光接收器的圆柱形的感光面上.试问入射光线与光通道的轴成的最 大角度为多少,才能射到光接收器上? 大角度为多少,才能射到光接收器上? 不经反射, 不经反射,入射光能射到感光面 上,入射光与轴所成最大角如图 经一次反射而能入射光面上, 经一次反射而能入射光面上, 入射光与轴所成最大角增大 以最大角度入射的光 线延长后应恰与接受器表 面相切, 面相切,如图 ? max
? 1 ? 2?

θ

m

=θ +

α
2

d r 2L α 而 sin = sin θ = sin ≈ 0.5 = 1? 2 2( L + r ) r+L d 2

α

? max = 30 + 6 = 36
o o

o

如图所示,介质在一定区域 > 、 > 内的折射率随着 内的折射率随着y的变 如图所示,介质在一定区域x>0、y>0内的折射率随着 的变 化而连续变化.一束细光束沿x方向垂直入射到介质表面 并沿着一个半径为R的 方向垂直入射到介质表面, 化而连续变化.一束细光束沿 方向垂直入射到介质表面,并沿着一个半径为 的 圆弧路径穿过介质,求折射率n随 变化的规律 如果y=0时折射率 0=1,已知的材 变化的规律. 时折射率n , 圆弧路径穿过介质,求折射率 随y变化的规律.如果 时折射率 料中最大折射率(金刚石折射率)不超过2.5, 料中最大折射率(金刚石折射率)不超过 ,圆弧所对应的圆心角最大可能达多 少?

专题24专题24-例3

光穿过几个互相平行的、 光穿过几个互相平行的、折 射率不同的介质区时 有

y
y

θ
y

O点光沿 方向 则第 层入射角 i满足 点光沿x方向 则第i层入射角 方向,则第 层入射角r

n0 sin θ = n1 sin r1 = LL = ni sin ri
O

ni

ri ri

ri+1

n3 n2 n0 n0 o n1 sin ri = sin 90 = O ni ni ? n0 ? 由图示几何关系得 y = R ? R sin r = R ? 1 ? ? i ni ? ? R

x

x

n( y ) =

n0 = 1, nm = 2.5

1 o θ m = 90 ? sin ≈ 66.4 2.5
o ?1

R? y

n0

nD 、nC、nF 分别表示材料对单色光 及单色光 及F的折射率.一束白光照射到一 分别表示材料对单色光D及单色光 及单色光C及 的折射率 的折射率. 顶角A=60°,冕牌玻璃(n=1.500,n=1.495,)制的棱镜上,使单色光 在棱镜中 顶角 ° 冕牌玻璃( , , 制的棱镜上,使单色光D在棱镜中 的传播方向垂直于角A的平分面 求从棱镜射出的单色光C和 之间的夹角 的平分面. 之间的夹角. 的传播方向垂直于角 的平分面.求从棱镜射出的单色光 和F之间的夹角.

专题24专题24-例4通常用阿贝数

来表示光学材料的色散特性, ? nC ) ν = ( nD ? 1) / ( nF来表示光学材料的色散特性,其中

折射光具之三棱镜 折射光具之三棱镜 对光路的作用
A 顶角

δ = ( i ? r ) + ( i′ ? r ′)

r + r′ = A

i B

O

E r r′ D

O′

i′

δ

δ = i + i′ ? A
i
i′

δ min = 2i ? A
C

偏向角δ 反映三棱镜改变光传播方向的程度! 偏向角δ 反映三棱镜改变光传播方向的程度!

解答

本题比较三棱镜对C 本题比较三棱镜对 、D、F三 三 种色光改变传播方向的程度 改变传播方向的程度! 种色光改变传播方向的程度!
单色光D对称进出三棱镜, 单色光 对称进出三棱镜,光路如示 对称进出三棱镜 单色光D通过三棱镜偏向角为 单色光 通过三棱镜偏向角为

A
δ

A ?1 i = sin nD sin = sin 0.750 2
?1

δ D = 2i ? A

i

r

r′

i′

单色光C通过三棱镜偏向角小于 单色光 通过三棱镜偏向角小于D 通过三棱镜偏向角小于 单色光F通过三棱镜偏向角大于 单色光 通过三棱镜偏向角大于D 通过三棱镜偏向角大于

′ δ C = i + iC ? A ′ δ F = i + iF ? A

′ sin iF 由 sin ( A ? rC ) ′ sin iC sin i 由 = nC = 得 sin rC sin ( A ? rC )

′ ′ 则δ F ? δ C = iF ? iC

其中 sin i = nF = 得 iF ′ sin rC

≈ 49 ? 24o
o

′ iC ≈ 48 ? 16

δ F ? δ C = 1.08

o

如图.湖湾成顶角为α的楔形,岸上住有一个渔人: 如图.湖湾成顶角为α的楔形,岸上住有一个渔人:他的房子 点到他离湖最近的C点之距离为 ,而到湖湾的一头,即到D点之距离 在A点,从A点到他离湖最近的 点之距离为 h,而到湖湾的一头,即到 点之距离 点 点到他离湖最近的 湖对岸B点处有渔人好友的房子 点处有渔人好友的房子, 位置与A点相对湖岸对称 为.湖对岸 点处有渔人好友的房子,点B位置与 点相对湖岸对称.渔人拥有一 位置与 点相对湖岸对称. 只小船,他可以速度沿岸步行或以速度v/2乘船在湖中划行 乘船在湖中划行, 只小船,他可以速度沿岸步行或以速度 乘船在湖中划行,他从自己家出发到好 友家里去.求他需要的最短时间. 友家里去.求他需要的最短时间.

D 走“光对称进出三棱镜”时的路径时间最 光对称进出三棱镜” 短,即沿图答中折线APQB,其中PQ∥AB, α α sin i v Q 借助光折射模型: 借助光折射模型: sin r = v = 2 r = 2 l P r i 由几何关系 AP = QB 2 h = cos i α PQ = 2 l 2 ? h2 ? h tan i sin A C 2 h 则最短时间为

B

(

)

2h t= + v cos i
4sin

4

(

l 2 ? h2 ? h tan i sin v

)

α

α
2

=

l 2 ? h2 + 2h 1 ? 4sin2 v

α

? ? α 2sin ? l 2 ? h2 ? α 2h 2= 2 ? sin + 4? ?h ? v α α? 2 v 1 ? 4sin2 v 1 ? 4sin2 ? ? 2 2? ?

2

若 PQ = 0, 即 l 2 ? h2 = h tan i ,

l 2 ? h2 = 2 h

4sin2

α

2 ,

1 ? 4sin2

α

2

2l t= v

如图, 是光滑的, 是毛糙的, 如图,等腰直角玻璃镜的底面AC和侧面BC是光滑的,而侧面AB是毛糙的, 棱镜的底面放在报纸上, 看去,只看见报纸上一篇文章的一部分, 棱镜的底面放在报纸上,一位观察者从光滑面BC 看去,只看见报纸上一篇文章的一部分,这 ),求玻璃的折射率 可见部分与应见部分之比为 k=0.95(按面积),求玻璃的折射率. (按面积),求玻璃的折射率.

从BC看到压在玻璃棱镜下的文 看到压在玻璃棱镜下的文 字,需有进入棱镜的光从AC面折 需有进入棱镜的光从 面折 设全反射临界角为α,从BC面最上 射到报纸, 恰发生全反射, 端进入的光线BD恰发生全反射,则 射到报纸,经由纸面反射回棱镜 AD间没有射向报纸的光线,!若投射 间没有射向报纸的光线, 再出射到观察者视场中! 再出射到观察者视场中是看不 到文字的区域, 到文字的区域,即有 AC面某部分的光发生了全反射 面某部分的光发生了全反射, 到AC面某部分的光发生了全反射, a = 1 ? 0.95 ( AC = l 其下面文字就看不见了; 其下面文字就看不见了;) α l
由几何关系,在三角形 由几何关系,在三角形ADB中有 中有 A a D

B

C

a = o sin 45o ? α 2 sin 90 + α

(

l

)

(

)

tan α = 0.9
1 + 0.9 2 n= ≈ 1.5 0.9

1 Q sin α = n

假定你站在水平的大沙漠上.在远处, 假定你站在水平的大沙漠上.在远处,你会看见好似水面的东 当你靠近“水面” 它会同时后退,并保持你同它的距离不变, 西,当你靠近“水面”时,它会同时后退,并保持你同它的距离不变,试解释这 一现象.假定你的两眼离地面1.6m,且你同“水面”的距离保持为 一现象.假定你的两眼离地面 ,且你同“水面”的距离保持为250 m,试计算 , 地表温度.空气在15℃ 一个大气压下的折射率为1.0002760,假定在距地面 m 地表温度.空气在 ℃,一个大气压下的折射率为 ,假定在距地面1 以上空气温度恒为30℃ 大气压强为0.1013 MPa.折射率用 表示,并假定 表示, 以上空气温度恒为 ℃,大气压强为 .折射率用n表示 并假定(n-1)同 同 空气密度成正比. 空气密度成正比.

由于(n-1)∝ρ,温度 ∝ , 由于 T越高,空气密度越小,折 越高, 越高 空气密度越小, 射率也越小, 射率也越小,大沙漠地表 温度较高,高处景物( 温度较高,高处景物(例 如白云) 如白云)的光自上向下行 进,连续从光密介质向光 疏介质折射, 疏介质折射,在地面附近 发生全反射, 发生全反射,反射光进入 人眼的结果是看到了景物 的虚像, 的虚像,形似水面

沙漠蜃景
解答

根据克拉珀龙方 程,压强一定时有

T ρ = C , 而 ( n ? 1) ∝ ρ
1m

n30,T30 1.6m

1 则 ( n ? 1) ∝ T

θ
250m

n0,T0

n30 sin θ = n0 sin 90



o

其中 sin θ =

250 250 2 + 1.6 2

288 n0 ? 1 303 而 ( n30 ? 1) = ( n15 ? 1) 由 = 303 n30 ? 1 T0
288 × 0.0002760 T0 = 250 ? 288 ? ?1 ? 303 × 0.0002760 + 1? × 2 2 ? ? 250 + 1.6

≈ 329K

图中的矩形ABCD代表一个折射率为 的透明长方体,其四周介质 代表一个折射率为n的透明长方体 图中的矩形 代表一个折射率为 的透明长方体, 1 的折射率为1,一束单色细光束以角θ入射至 面上的P点 入射至AB面上的 的折射率为 ,一束单色细光束以角 入射至 面上的 点, AP = AD.不考虑 2 在长方体内的二次及二次以上的多次折射,试解下面三个问题: 在长方体内的二次及二次以上的多次折射,试解下面三个问题 ⑴若要求此光束进 入长方体能射至AD面上 面上, 的最小值θ 应为多大? 若要求此光束能在AD面 入长方体能射至 面上,角θ的最小值 min应为多大?⑵若要求此光束能在 面 的最小值 上全反射, 应在什么范围内? 应在什么范围内? 画出角θ小 上全反射,角θ应在什么范围内?长方体的折射率 应在什么范围内?⑶画出角 小 应在什么范围内 长方体的折射率n应在什么范围内 于上问中许可的最小角及大于上问中许可的最大角时的光路图. 于上问中许可的最小角及大于上问中许可的最大角时的光路图

面上全反射, ⑵若要求此光束能在AD面上全反射,应满足 若要求此光束能在 面上全反射
sin ( 90o ? r ) ≥ 1 1 ? sin θ ? ? 1? ? ≥ ? n n ? n ?
2

sin θ 1 ? ? tan r ≥ 2 ? 则? ? min ? sin θ = n ? sin r ?

⑴若要求此光束进入长方体能射至AD面 若要求此光束进入长方体能射至 面 折射光至少能射至D点 上,折射光至少能射至 点: n n

= n sin r ≥ ≥
?1

θm
P B

θ

= sin

n 5

55

A

r
D C

n2 ? 1 ≥ sin θ

5 ≤n≤ 5 如示: ⑶如示: 2

n ≤ 1, n ≤ 5 5

n 5 n ?1 ≥ , n≥ 2 5
2

有一薄凸透镜,凸面曲率半径 有一薄凸透镜,凸面曲率半径R=30 cm,如图所示.已知在利 ,如图所示. 用近轴光线成像时: 若将此透镜的平面镀银,其作用等同于一个焦距是30 用近轴光线成像时:⑴若将此透镜的平面镀银,其作用等同于一个焦距是 cm 的 若将此透镜的凸面镀银,其作用也等同于一个凹面镜.求在⑵ 凹面镜 ;⑵若将此透镜的凸面镀银,其作用也等同于一个凹面镜.求在⑵情况下 的等效凹面镜的焦距. 的等效凹面镜的焦距. 若将此透镜的平面镀银, 若将此透镜的平面镀银, 其作用要等同于一个焦距 的凹面镜, 是30 cm 的凹面镜,应使 主轴上距球面顶点2 主轴上距球面顶点2f的物 点发出的光进入球内后与 镀银平面垂直地入射, 镀银平面垂直地入射,则 反射后光反向沿原路径到 达主轴上物点处, 达主轴上物点处,即等效 于凹面镜过曲率中心的光 线反射后仍过曲率中心

r

i
2f

R

对近轴光线, 对近轴光线,由几何关系得

2 f ? tan ( i ? r ) = R ? tan r 2 f (i ? r) = R ? r

由图示几何关系得

i 3 = r 2

续解

查阅 若将此透镜的凸面镀银, 若将此透镜的凸面镀银,其作用也要 等同于一个凹面镜, 等同于一个凹面镜,应使进入镜中的 光沿凸面的径向射至镀银球面, 光沿凸面的径向射至镀银球面,则反 射后光沿原路径返回, 射后光沿原路径返回,设等效凹面镜 曲率半径为x x = 2 f ′ 曲率半径为 由图示几何关系得

x ? tan i = R ? tan r
对近轴光线, 对近轴光线,由几何关系得

f ′ = 10cm
i

2 f ′ i = R?r

r

i 3 而 = r 2

x R

的曲面),其焦点为F 面是球面,其球心C与 重合. 的曲面),其焦点为 1和F2;S2面是球面,其球心 与F2重合.已知此透镜放在空 ),其焦点为 气中时能使从无穷远处位于椭球长轴的物点射来的全部入射光线( 气中时能使从无穷远处位于椭球长轴的物点射来的全部入射光线(不限于傍轴光 会聚于一个像点上,椭圆的偏心率为e. 求此透镜材料的折射率n( 线)会聚于一个像点上,椭圆的偏心率为 .⑴求此透镜材料的折射率 (要论 );⑵如果将此透镜置于折射率为n′的介质中 并能达到上述的同样的要求, 的介质中, 证);⑵如果将此透镜置于折射率为 的介质中,并能达到上述的同样的要求, 椭圆应满足什么条件? 椭圆应满足什么条件?

专题24- 有一薄透镜如图示, 面是旋转椭球面( 专题24-例7有一薄透镜如图示,S1面是旋转椭球面(椭圆绕长轴旋转而成

符合要求的透镜形成光路如示N

由几何关系 F1 F2 O1 F1 + O1 F2 = 2a = e F1 F2 O1 F1 O1 F2 = = sin 2r sin ( i ? r ) sin ( i + r ) sin i 1 = =n sin r e
透镜置于折射率为n1的介质中时 透镜置于折射率为

i O1

r S1 F1 S2

N′

C F2

sin i 1 n1 = = sin r e ′ n

n e′ = n1

和透镜的后焦点F. 试用圆规和直尺, 路 ABC和透镜的后焦点 . 试用圆规和直尺 , 作出透镜所 和透镜的后焦点 在位置和它的主光轴. 在位置和它的主光轴.
两点; ①连接B、F两点; 连接 、 两点 为直径作圆; ②以BF为直径作圆; 为直径作圆 ③延长入射线AB; 延长入射线 ; 用有刻度的直尺零刻线对准点F, ④用有刻度的直尺零刻线对准点 ,以F 为轴转动 直尺, 直尺,当FK=GE时,作线段 ; 时 作线段EF; 点作EF的垂线为主轴 ⑤过F点作 的垂线为主轴, 点作 的垂线为主轴, 与圆交于O即为光心 即为光心; 与圆交于 即为光心; ⑥OB为透镜所在位置 为透镜所在位置 ∵BG⊥EF ∴ Rt ?BEG ? Rt ?OKF ⊥ 则OK∥AB为副光轴 ∥ EF为焦平面 为焦平面 A E ④ G K F ⑥ ③

如图表示一条光线经过薄会聚透镜折射的光

B ② O ①

C ⑤

AB经透镜折射后的光线过副焦点 ,即为 经透镜折射后的光线过副焦点K,即为BC 经透镜折射后的光线过副焦点

利用薄凸透镜得到三齿的像,如图.三齿 利用薄凸透镜得到三齿的像,如图. ABCEDG的底边 位于主光轴上 , AB=BC. AB部分成像 的底边AC位于主光轴上 的底边 位于主光轴上, . 部分成像 放大率β , 部分的放大率β 试求BD部分成像 放大率 1=6,而 BC部分的放大率 2=3 , 试求 部分成像 部分的放大率 的放大率. 的放大率.
v A ? vB β1 = =6 C B A uB ? uA v B ? vC β2 = =3 uC ? uB BD放大率为 1 1 1
根据题意
E D G

L O

f
根据公式

=

uA

+

vA

1 1 1 = + f uB v B 1 1 1 = + f uC vC

vB β= uB
= 2β 1 β 2 β1 + β 2

=2

在不透光的箱内直立着一根蜡烛, 在不透光的箱内直立着一根蜡烛,箱的后壁是平面 前壁嵌有透镜,如图,箱长为L, 镜,前壁嵌有透镜,如图,箱长为 ,在这光具组中观察到蜡烛火焰 的两个像,并且像的大小相等.试求透镜的焦距. 的两个像,并且像的大小相等.试求透镜的焦距. 物直接经透镜成放大虚像

S1 物经平面镜的反射光再经透镜成放大实像 设前一像之像距v 后一像之像距v 蜡烛距透镜u, 设前一像之像距 1,后一像之像距 2,蜡烛距透镜 ,则

S2

两像放大率为

v1 v2 = u 2L ? u

1 1 1 = ? f u v1 1 1 1 = + f 2 L ? u v2

f =L

凸透镜后面距离L=4 cm(大于焦距)处放置一块垂直于主光轴的平面镜 凸透镜后面距离 (大于焦距) 透镜前面垂直于主光轴放一页方格纸,如图.当这页纸相对透镜移动两个位置时( 透镜前面垂直于主光轴放一页方格纸,如图.当这页纸相对透镜移动两个位置时(这两个 位置相距=9 位置相距 cm),纸上均得到其方格的像.试求凸透镜的焦距. ) 纸上均得到其方格的像.试求凸透镜的焦距.

物、像位置重合是平面镜使光路可逆而成! 像位置重合是平面镜使光路可逆而成! L O L O 由透镜成像公式: 由透镜成像公式:

1 1 1 = + f f +l L 1 1 1 = + f f +9 4

f = 3cm

如图所示的薄透镜系统中,透镜L1和L2的焦距f1=f2=10 cm, 如图所示的薄透镜系统中,透镜 的焦距 , 薄透镜系统中 两透镜的间距为70 cm,物在 1的前方 两透镜的间距为 ,物在L 的前方20 cm处,试求最后像的位置、大小与正倒 处 试求最后像的位置、 为提高光能利用率(增加系统的聚光能力以增加像亮度) 为提高光能利用率(增加系统的聚光能力以增加像亮度),可增加第三个会聚透 为了使最后像的位置仍保持不变,试问L 应放在何处? 镜L3,为了使最后像的位置仍保持不变,试问 3应放在何处?试借助特殊光线用 作图法解释L 能提高聚光能力的原因。 作图法解释 3能提高聚光能力的原因。

1 1 1 = + f1 2 f1 v1 1 1 缩小倒立实像: 对L2成S1的缩小倒立实像: 1 = + f 2 d ? 2 f v2
对L1成S的等大倒立实像: 的等大倒立实像: L1 S S2 F1 S1 F2 L3 L2

v1 = 20cm v 2 = 12.5cm

P y

n1
i

x O1 h O

A

n2 C
? y′

α r

-s

s′

P′

B n 2 2 ′2 2 y n y′ ′ n n n′ =n1 ? ? y?2x?) 2 2+1??n12 + h) 22 n2 n1 2 lPO1+′ n2 sn1 n1?s + x2) y + ( h ? h + ? ? + = ′? ( y + n 根据费马原理可以推论,y ? n1)y ? n2 n( s′ h = ? ( + y + ? 根据费马原理可以推论,任一发光点所发光束经球面折射后 l ?n1 s P + ? n1 0 ? 2 ? s ′ s s′ R R ? 2 2s 2s′ s 能成像于一点的条件是, ? s s s′ ? s ′ ? 能成像于一点的条件是,从物点到达像点的所有光线的光程 R ? n 2 ? ( ?n′1+ h) 2 ? ? ( y ? h) 2 ? 都相等 y 2 2

= n1

?1 + ? + ∞( s′ ? x) ?1= ? + 2 f 2 ? ( s′f? x) 2 ? ( ?s + x ) ? 1 ? s′ ? nR ? n1 R 2 y ′ n1 22 2 f 2 f1 =( ? y′ + h) 2 f 2 = f1 β = = ? ( y ? h)) n ? n = 1 n ? n ( y?h s 1 y n s ≈ n1 ( ?s + x)2+ n1 + n22 (+′ ? x) + n2 1 2 s′ 2( ?s2+ x) s 2( s′s′ x) 2? ? s

( ?s + x )

? ? ?

n1 P -s 对球面AOB运用球面折射公 对球面 运用球面折射公 式: O -R2

A n


n2
P ′′
O R1

P′

B d 薄透镜d→0 薄透镜

s′

s ′′

n n1 n ? n1 ? = s ′′ s R1

对球面AO 运用球面折射公式 运用球面折射公式: 对球面 ′B运用球面折射公式

n2 n2 ? n n ? = s ′ s ′′ ? d R2

1 n ? n1 n2 ? n 物方焦距 ? = + f2 ff 1 n1 R1 n1 R2 1
像方焦距

n2 n1 n ? n1 n2 ? n ? = + s′ s R1 R2 + n ? n= 1n ? n s1 = s ′ 1 + 2
f2 n2 R1 n2 R2

如图所示, 折射率n=1.5, 专题24专题24-例5 如图所示,一玻璃半球的曲率半径为R,折射率 ,其平面的一边镀

由球面所成的第一个像的位置; 银.一物高为h,放在曲面顶点前 处.求⑴由球面所成的第一个像的位置;⑵这一光具组 一物高为 ,放在曲面顶点前2R处 的最后一个像在哪里? 的最后一个像在哪里

对球面所成第1个像运用高 对球面所成第 个像运用高 斯公式: 斯公式

n h 2R

f1 f2 + =1 ?2 R s ′

1 R = ?2 R 其中 f1 = 1 ? 1.5

1.5 f2 = R = 3R 1.5 ? 1

s′ = ∞

即球面一次折射后成平行光! 即球面一次折射后成平行光 被平面镜反射后仍为平行光再次由球面折射: 被平面镜反射后仍为平行光再次由球面折射

f2 f1 + =1 ?∞ s ′′

s ′′ = 2 R

上贴一个平凸透镜,透镜在空气中的焦距等于f. 上贴一个平凸透镜,透镜在空气中的焦距等于 .透镜和器皿壁是非 4 3 n水 而玻璃的折射率 n玻 物体位于透 常薄的,水的折射率为 常薄的, ,= .= 3 2 镜的主光轴上.求出并讨论像的位置y与物体的位置 的关系. 与物体的位置x的关系 镜的主光轴上. 求出并讨论像的位置 与物体的位置 的关系 . 作为 特例,求出x= 时的像的位置和放大倍数 时的像的位置和放大倍数. 特例,求出 =f时的像的位置和放大倍数.如果透镜是贴在器皿内壁 那时候情况是否变化?怎样变化? 那时候情况是否变化?怎样变化? 透镜在空气中焦距为f 透镜在空气中焦距为 n水 n玻 n0
-R

水中的发光体位于距盛水器皿壁x处 专题24- 水中的发光体位于距盛水器皿壁 处,从外面往器皿壁 专题24-例6

f = 2R
由薄透镜成像普适公式

P′

P -x

n0 n水 n ? n水 n0 ? n 1 1 4 >0 ? = + = ? y ?x ∞ ?R y f 3x < 0 1 4 1 ? 1.5 ? = 当 x = f 时y = ? 3 f y ?3 x ? f 2 n水 y β= ? =4 n0 x

续解

透镜是贴在器皿内壁的
由薄透镜成像普适公式

n0 n水 n ? n水 n0 ? n ? = + P′ y ?x R ∞

n水 P -x

n玻
R

n0

3 4 ? 1 4 2 3 ? = y ?3 x f 2

1 1 4 = ? y 3 f 3x
当x = f 时y = ? f

4 β= 3

如图所示,两个完全相同的球面薄表壳玻璃合在一起,中空, 如图所示,两个完全相同的球面薄表壳玻璃合在一起,中空, 其中一块涂银成为球面反射镜.屏上小孔Q为点光源,它发出的光经反射后成像于 其中一块涂银成为球面反射镜.屏上小孔 为点光源, 为点光源 点.调整屏与表壳间的距离L,当L=20 cm时,像点正好落在屏上.然后在表壳玻 调整屏与表壳间的距离 , 时 像点正好落在屏上. Q′ 璃间注满折射率的水.试问,当L为何值时,像点仍落在屏上? 璃间注满折射率的水.试问, 为何值时,像点仍落在屏上? 为何值时

设球面曲率半径R,当L=20cm时, 球面镜反射成像物距 球面曲率半径 当 时 等于像距,由球面镜反射成像公式 等于像距 由球面镜反射成像公式

Q 在表壳玻璃间注水 使成一水凸透镜! 使成一水凸透镜!
其像方焦距由

1 1 2 Q′ + = L L R R = L = 20cm

n0

n水

n0

n水 ? n0 n0 ? n水 1 = + f2 R ?R

4 4 ?1 1? 1 3 = 30cm = 3 ? f2 R ?R 续解

R L

R

Q对水透镜一次成像Q1,由薄透镜成像公式

4 4 ?1 1? 1 1 3 ? = 3 + S1′ ? L′ R ?R
Q1对球面镜二次成像Q2

1 1 2 ? + = ′ S1′ S 2 R
Q2对水透镜三次成像在屏

L′ = 12cm
Q′
n0

1 1 1 + = S1′ L′ 30 1 1 1 ? + = ′ S1′ S 2 10 1 1 1 ? = ′ L′ S 2 30
n水 n0

查阅

1 1 ? ′ L′ S 2

4 4 ?1 1? 3 = 3 + R ?R

Q R
L′

R

如图所示,薄壁球形玻璃鱼缸的半径为 ,所盛水的折射率n= 如图所示,薄壁球形玻璃鱼缸的半径为R,所盛水的折射率 = 4/3.鱼缸左侧与轴线垂直的平面反射镜离球心的距离为 .一条位于左球面顶点 .鱼缸左侧与轴线垂直的平面反射镜离球心的距离为3R. Q′ 处的小鱼沿缸壁以速度v游动 从鱼缸右侧观察鱼的直接像与反射像( 游动. 处的小鱼沿缸壁以速度 游动.从鱼缸右侧观察鱼的直接像与反射像(先经平面镜 反射,再经鱼缸所成的像).试求两像之间的相对速度. ).试求两像之间的相对速度 反射,再经鱼缸所成的像).试求两像之间的相对速度.

4 1? n水 1 3 ? = S ′ ?2 R ?R

由球面折射高斯公式 P1

俯视直接成像光路
2r -i

i P 3R -3R r R O -2R

对近轴光线, 对近轴光线,由几何关系得

S ′ = ?3R

i 4 n水 = = r 3

3 R ? ( 2r ? i ) = 2 R ? r
俯视反射像光路 P3 P2
′ s2 ? 2R

由球面折射高斯公式

4 ?1 n水 1 ? = 3 ′ S 2 ?4 R R ′ S 2 = ?16 R

P′

P
-4R

O
′ s2

′ s3

续解

v1 4 3 R = ? v 3 2R v 2 3 16 R = ? v 4 4R v3 4 7R = ? v 2 3 3 × 14 R
2v v P1
P′

4 1? n水 1 3 ? = ′ S 3 14 R ?R

7R ′ S3 = 3

查阅

v1 = 2v

2v 8 v 2 = 3v v31 = + 2v = v 3 3 2v v3 = 3
v P3 O
16R
7 R 3

P2

P
4R

2v 3


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