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广东省东莞市2012届高三数学模拟试题(1)理科


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广东省东莞市 2012 届高三理科数学模拟试题(一)

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分。满分 40 分.在每小题给出的四个选项中.只有一项是符合 题目要求的.
2 1.已知全集 U ? R ,集合 P ? x | x ? 1 ,那么 CU

P ?

?

?

A. ? ??, ?1?

B. ?1, ?? ?

C. ? ?1,1?

D. ? ??, ?1? ? ?1, ???

2.设 i 为虚数单位,复数 A.- 1

a?i 是纯虚数,则实数 a 等于 1? i
C. 2 D. ?

B.1

2

3.下列命题中的假命题是 ... A. ?x ? R, x 3 ? 0 C. ?x ? R,2 x ? 0 B.“ a ? 0 ”是“ a ? 0 ”的充分不必要条件 D.“x<2”是“|x|<2”的充分非必要条件

4.三棱柱的侧棱与底面垂直,且底面是边长为 2 的等边三角形, 其正视图(如图所示)的面积为 8,则侧视图的面积为 A. 8 B. 4 C. 4 3 D. 3 1 1

5.已知随机变量 X 服从正态分布 N (a, 4) ,且 P( X ? 1) ? 0.5 , 则实数 a 的值为 A. 1 B. 3 C. 2 D.4
开始 S=0 i=2

正视图

6.右图给出的是计算

1 1 1 1 的值的一个程序 ? ? ??? 2 4 6 100

框图,则判断框中应该填入的条件是 A. i>98 B i?98.
2

C. i?100

D. i>100
Y S=S+1/i i=i+2 图2

N

7.点 P 是抛物线 y ? 4 x 上一动点,则点 P 到点 A(0, ? 1) 的 距离与到直线 x ? ?1 的距离和的最小值是 A. 5 B. 3 C.2 D. 2

输出S 结束

8.若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大,则称这个数为“伞数” .现从 1,2,3,4,5,6 这六个数字中任取 3 个数,组成无重复数字的三位数,其中“伞数”有 A.120 个 B.80 个 C.40 个 D. 20 个
1

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二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 5 分,满分 30 分.其中 14~15 题是选做题,考生只能选做一题, 两题全答的,只计算前一题得分.请将答案填在答题卡相应位置.

? e x , x ? 0. 1 9. 设 g ( x) ? ? 则 g ( g ( )) ? _________. 2 ?lnx, x ? 0.
10.从圆(x-1) +(y-1) =1 外一点 P(2,3)向这个圆引切线,则切线长为________. 11.命题: “若空间两条直线 a , b 分别垂直平面 ? ,则 a // b ”学生小夏这样证明: 设 a , b 与面 ? 分别相交于 A 、 B ,连结 A 、 B ,
2 2

? a ? ? , b ? ? , AB ? ? ?①
∴ a ? AB, b ? AB ∴ a // b ????②

?????????③

这里的证明有两个推理,即:① ? ②和② ? ③. 老师评改认为 小夏的证明推理不正确,这两个推理中不正确的是 .

12.设 ?lg an ? 成等差数列,公差 d ? lg3 ,且 ?lg an ? 的前三项和为 6 lg 3 ,则 ?an ? 的通项为___________.

13.若不等式组

? y ? x, ? ? y ? ? x, ?2 x ? y ? 4 ? 0 ?

表示的平面区域 M , x ? y ? 1所表示的平面的区域为 N,现随机向区域
2 2

M 内抛一粒豆子,则豆子落在区域 N 内的概率为_____________. 14. (坐标系与参数方程)在平面直角坐标系下,曲线 C1 : ?

? x ? 2t ? 2a ( t 为参数) , y ? ?t ?

曲线 C2 : ?

? x ? 2cos ? ( ? 为参数) .若曲线 C1 、 C2 有公共点,则实数 a 的取值范围__________. ? y ? 2 ? 2sin ?

15. (几何证明选讲)如图,圆 O 的直径 AB ? 8 , C 为圆周上一点,

BC ? 4 ,过 C 作圆的切线 l ,过 A 作直线 l 的垂线 AD , D
为垂足, AD 与圆 O 交于点 E ,则线段 AE 的长为 .

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分,解答必须写出文字说明、证明过程 和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分)? 某工厂生产某种产品,已知该产品的月生产量 x (吨)与每吨产品的价格 p (元/吨)之间的关系式为:p=24200-0.2x2,且生产 x 吨的成本为 R ? 50000 ? 200 x (元).问该厂每月

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生产多少吨产品才能使利润达到最大?最大利润是多少?(注:利润=收入─ 成本)

17. (本小题满分 12 分)
2 已 知 函 数 f ( x) ? 2 si n x ? c o s x ? 2 3 c o s ?x ? 3 ( 其 中 ? ? 0 ) 直 线 x ? x1 、 x ? x2 是 , ? ?

y ? f (x) 图象的任意两条对称轴,且 | x1 ? x2 | 的最小值为
⑴求 ? 的值; ⑵若 f (a ) ?

? . 2

2 5? ? 4a) 的值. ,求 sin( 3 6

18. (本小题满分 14 分) 甲,乙两人进行乒乓球比赛,约定每局胜者得 1 分,负者得 0 分,比赛进行到有一人比对方多 2 分或 打满 6 局时停止.设甲在每局中获胜的概率为 p ( p ? 束时比赛停止的概率为 (1)求 p 的值; (2)设 ? 表示比赛停止时比赛的局数,求随机变量 ? 的分布列和数学期望 E? .

1 ) ,且各局胜负相互独立.已知第二局比赛结 2

5 . 9

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19. (本小题满分 14 分)

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? 已知斜三棱柱 ABC ? A 1B 1C 1 的底面是直角三角形, ?ACB ? 90 ,侧棱与底面所成角为 ? ,点 B 1 在

底面上的射影 D 落在 BC 上. (1)求证: AC ? 平面 B B1C1C ; (2)若 cos? ? ,且当 AC ? BC ? AA 1? 3 时, 求二面角 C ? AB ? C1 的大小.

1 3

20. (本小题满分 14 分) 已知椭圆的一个顶点为 A ? 0, ?1? ,焦点在 x 轴上,中心在原点.若右焦点到直线 x ? y ? 2 2 ? 0 的 距离为 3. (1)求椭圆的标准方程; (2)设直线 y ? kx ? m (k ? 0) 与椭圆相交于不同的两点 M , N .当 AM ? AN 时,求 m 的取值范 围.

21. (本小题满分 14 分) 已知数列 ?an ? 中,a1 ? 3 ,a2 ? 5 , 其前 n 项和 Sn 满足 Sn ? Sn?2 ? 2Sn?1 ? 2n?1 ? n ≥ 3? , bn ? 令 (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)若 f ? x ? ? 2x ?1 ,求证: Tn ? b1 f ?1? ? b2 f ? 2? ? ? ? bn f ? n ? ?

1 . an ? an ?1

1 ( n ≥1) . 6

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东莞市 2012 届高三理科数学模拟试题(一) 参考答案
一、选择题 题号 答案 二、填空题 9. 1 D 2 A 3 D 4 C 5 A 6 C 7 D 8 C

1 ; 2

10.2 ;

11.② ? ③;

12. an ? 3 ;
n

3? 13. 64 ;
三、解答题

14. [2 ? 5,2 ? 5 ] ;

15 .4

16. (本小题满分 12 分) 解:每月生产 x 吨时的利润为
f ( x) ? (24200 ? 1 2 x ) x ? (50000 ? 200 x) 5

1 ? ? x3 ? 24000 x ? 50000 5
5 5

( x ? 0) ???? 5 分

由 f ?( x) ? ? 3 x 2 ? 24000 ? ? 3 ( x ? 200 )( x ? 200 ) ???? 7 分 得当 当 0 ? x ? 200 , f ?( x) ? 0, 时

x ? 200 , f ?( x) ? 0, 时

∴ f (x) 在(0,200)单调递增,在(200,+∞)单调递减, ???? 10 分

1 故 f (x) 的最大值为 f (200 ) ? ? (200 ) 3 ? 24000 ? 200 ? 50000 ? 3150000 (元) 5
答:每月生产 200 吨产品时利润达到最大,最大利润为 315 万元. ?? 12 分

17. (本小题满分 12 分) 解:⑴ f ( x) ? sin 2?x ? 3 cos 2?x ? 2 sin( 2?x ?

?
3

) ??2 分,

T ? 2? T ?

?
2

? ? ??3 分,

2? ? ? , 2? ?

所以 ? ? 1 ??4 分,

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⑵ f ( x ) ? 2 sin( 2 x ? 由 f (a) ?

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?
3

),

2 ? 1 得 sin( 2? ? ) ? ??8 分, 3 3 3

sin(

? 5? 3? ? ? ? 4? ) ? sin[ ? 2(2? ? )] ? ? cos 2(2? ? ) (或设 ? ? 2? ? , 3 6 2 3 3 ?
3


则 2? ? ? ? 从而 sin(

5? 3? ? 4? ? ? 2? , 6 2

5? ? 4? ) ? ? cos 2 ? )??10 分 6
? 2 sin 2 (2? ? ??

?
3

) ? 1 ?11 分,

7 ??12 分 9

18. (本小题满分 14 分) 解 (1)当甲连胜 2 局或乙连胜 2 局时,第二局比赛结束时比赛停止, 故 p ? (1 ? p) ?
2 2

5 , 9

解得 p ? 又p?

1 2 或p? . 3 3

1 2 ,所以 p ? .???????6 分 2 3

(2)依题意知 ? 的所有可能取值为 2,4,6.

P(? ? 2) ?

5 , 9

5 5 20 P (? ? 4) ? (1 ? ) ? ? , 9 9 81 5 20 16 P(? ? 6) ? 1 ? ? ? , 9 81 81
所以随机变量 ? 的分布列为:

?
P

2

4

6

5 9

20 81

16 81

所以 ? 的数学期望 E? ? 2 ?

5 20 16 266 ? 4? ? 6? ? .??????12 分 9 81 81 81

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19. (本小题满分 14 分)

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解: (1)∵点 B 1 在底面上的射影 D 落在 BC 上,∴ B1D ? 平面 ABC ,

AC ? 平面 ABC ,∴ B1 D ? AC 又∵ ?ACB ? 90? ∴ BC ? AC , B1 D I BC ? D ,
∴ AC ? 平面 BB1C1C .????4 分 (2)以 C 为原点, CA 为 x 轴, CB 为 y 轴,过 C 点且垂直于平面 ABC 的直线为 z 轴, 建立空间直角坐标系,则 A(3, 0, 0) , B(0,3, 0) , C1 (0, ?1,2 2) , AB ? (?3,3,0) ,

uur u

uuu r BC1 ? (0, ?4, 2 2) .显然,平面 ABC
的法向量 n ? (0,0,1) .????7 分 设平面 ABC1 的法向量为 m ? ( x, y, z ) ,

uuu r ?m ? AB ? 0 ??3x ? 3 y ? 0 ? ? 由 ? uuu ,即 ? , r ??4 y ? 2 2 z ? 0 ?m ? BC1 ? 0 ? ?

m ? ( 2, 2,2)
∴ cos ? n, m ??

????12 分

2 , ? n, m ?? 45? 2
????14 分

∴二面角 C ? AB ? C1 的大小是 45? .

20. (本小题满分 14 分)

x2 2 解: (1)依题意可设椭圆方程为 2 ? y ? 1 ,则右焦点 F a

?

a 2 ? 1,0

?,

a2 ?1 ? 2 2
由题设

2
故所求椭圆的方程为

? 3 ,解得 a 2 ? 3 ,…4 分

x2 ? y 2 ? 1 。……………5 分 3

设 P ? xP ,P ?、M ? xM ,M ?、N ? xN ,N ? ,P 为弦 MN 的中点, y y y

? y ? kx ? m ? 2 2 2 由 ? x2 得 (3k ? 1) x ? 6mkx? 3(m ? 1) ? 0 , 2 ? ? y ?1 ?3

? 直线与椭圆相交,
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?? ? ? 6mk ? ? 4 ? 3k 2 ? 1? ? 3 ? m2 ? 1? ? 0 ? m 2 ? 3k 2 ? 1 ,① ………8 分
? xP ? xM ? x N 3mk m ?? 2 ,从而 yP ? kxP ? m ? 2 2 3k ? 1 3k ? 1 ,

? k AP ?

yP ? 1 m ? 3k 2 ? 1 ,又 AM ? AN ,? AP ? MN ,则: ?? xP 3mk
②………………………10 分

?

m ? 3k 2 ? 1 1 ? ? ,即 2m ? 3k 2 ? 1 , 3m k k

2 把②代入①得 m ? 2m ,解得 0 ? m ? 2 , …………………………12 分

1 2m ? 1 ? 0 ,解得 m ? .…… ……………………………13 分 2 3 1 综上求得 m 的取值范围是 ? m ? 2 . ………………………………14 分 2
由②得 k ?
2

21. (本小题满分 14 分) 解: (1)由题意知 Sn ? Sn?1 ? Sn?1 ? Sn?2 ? 2n?1 ? n ≥ 3? 即 an ? an?1 ? 2n?1 ? n ≥ 3? ∴ an ? ? an ? an?1 ? ? ? an?1 ? an?2 ? ? ? ? ? a3 ? a2 ? ? a2 -------2 分 -------3 分

? 2n?1 ? 2n?2 ? ? ? 22 ? 5 ? 2n?1 ? 2n?2 ? ? ? 22 ? 2 ? 1 ? 2 ? 2n ? 1? n ≥ 3? ----5 分
检验知 n ? 1 、 2 时,结论也成立,故 an ? 2n ? 1 . (2)由于 bn f ? n ? ? -------7 分

n ?1 n 1 1 ? 2 ? 1? ? ? 2 ? 1? 1 ? 1 1 ? ? 2n ?1 ? ? ? ? n ? n ?1 ? n n ?1 n n ?1 2 ? 2 ? 1?? 2 ? 1? 2 ? 2 ?1 2 ?1? ? 2 ? 1?? 2 ? 1?

-------10 分
1? 1 1 ? ? 1 1 ? 1 ?? ? 1 故 Tn ? b1 f ?1? ? b2 f ? 2 ? ? ? ? bn f ? n ? ? ?? ? ? ? ??? ? n ? n?1 ? ? ? 2 ? ? 2 3 ? 2 ?? 1 ? 2 1 ? 2 ? ? 1 ? 2 1 ? 2 ? ? 2 ? 1 2 ? 1 ??

---------12 分

1? 1 1 ? 1 1 1 ? ? ? n?1 ? ? ? ? . 2 ?1? 2 2 ?1? 2 1? 2 6

---------14 分

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8


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