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2004-2013上海历年高考数学函数大题-理


2004-2013 上海历年高考数学函数大题-理
(2004 上海)18、(本题满分 12 分) 某单位用木料制作如图所示的框架, 框架的下部是边长分别为 x、y(单位:m)的矩形.上部 是等腰直角三角形. 要求框架围成的总面积 8cm2. 问 x、y 分别为多少(精确到 0.001m) 时用 料最省?

【解】由题意得 xy ?

/>1 2 x ? 8 ,∴ y ? 4

8?

x2 4 ? 8 ? x ( 0 ? x ? 4 2 ). x x 4

于定, 框架用料长度为

2 3 1 ? 2x ? 2 y ? 2 ( x ?) ? ( 2 2
当 ( ? 2) x ?

16 x? 2) ? x

? 4 6 .4 2

3 2

16 ,即 x ? 8 ? 4 2 时等号成立. x

此时, x≈2.343,y=2 2 ≈2.828. 故当 x 为 2.343m,y 为 2.828m 时, 用料最省. (2004 上海)19、(本题满分 14 分) 第 1 小题满分 6 分, 第 2 小题满分 8 分 记函数 f ( x) ?

2?

x?3 的定义域为 A , g ( x) ? lg[( x ? a ? 1)(2a ? x)] ( a ? 1 ) 的定义域 x ?1

为 B. (1) 求 A ; (2) 若 B ? A , 求实数 a 的取值范围. 19、 【解】(1) 2 ?

x?3 x ?1 ?0, 得 ? 0 , x ? ?1 或 x ? 1 x ?1 x ?1

即 A=(-∞,-1)∪[1,+ ∞) (2) 由 ( x ? a ? 1)(2a ? x) ? 0 , 得 ( x ? a ? 1)( x ? 2a) ? 0 . ∵ a ? 1 ,∴ a ? 1 ? 2a , ∴ B ? (2a, a ? 1) .

∵ B ? A , ∴ 2a ? 1 或 a ? 1 ? ?1 , 即 a ? ∴

1 或 a ? ?2 , 而 a ? 1 , 2

1 1 ? a ? 1 或 a ? ?2 , 故当 B ? A 时, 实数 a 的取值范围是(-∞,-2]∪[ ,1) 2 2

(2004 上海)20、(本题满分 14 分) 第 1 小题满分 6 分, 第 2 小题满分 8 分 已知二次函数 y ? f1 ( x) 的图象以原点为顶点且过点 (1,1) , 反比例函数 y ? f 2 ( x) 的图象 与直线 y ? x 的两个交点间距离为 8, f ( x) ? f1 ( x) ? f 2 ( x) . (1) 求函数 f ( x) 的表达式; (2) 证明:当 a ? 3 时,关于 x 的方程 f ( x) ? f (a) 有三个实数解. 20、 【解】(1)由已知,设 f1 ( x) ? ax ,由 f1 ( x) ? 1 ,得 a ? 1 ,
2

∴ f1 ( x) ? x .
2

设 f 2 ( x) ?

k (k>0),它的图象与直线 y ? x 的交点分别为 x

A( k , k ) , B(? k , ? k )

8 8 2 .故 f ( x) ? x ? . x x 8 8 2 2 (2) 【证法一】 f ( x) ? f (a) ,得 x ? ? a ? , x a 8 8 2 2 即 ? ?x ? a ? . x a 8 8 2 2 在同一坐标系内作出 f 2 ( x) ? 和 f3 ( x) ? ? x ? a ? 的大致图象,其中 f 2 ( x) 的图象 x a 8 2 是以坐标轴为渐近线,且位于第一、 三象限的双曲线, f 3 ( x) 与的图象是以 (0, a ? ) 为顶点, a
由 AB ? 8 ,得 k ? 8 , ∴ f 2 ( x) ? 开口向下的抛物线. 因此 f 2 ( x) 与 f 3 ( x) 的图象在第三象限有一个交点, 即 f ( x) ? f (a) 有一个负数解.
2 又∵ f 2 (2) ? 4 , f3 (2) ? ?4 ? a ?

8 a

当 a ? 3 时, f3 (2) ? f 2 (2) ? a ?
2

8 ?8 ? 0 , a

∴当 a ? 3 时,在第一象限 f 3 ( x) 的图象上存在一点 (2, f (2)) 在 f 2 ( x) 图象的上方. ∴ f 2 ( x) 与 f 3 ( x) 的图象在第一象限有两个交点,即 f ( x) ? f (a) 有两个正数解.

因此,方程 f ( x) ? f (a) 有三个实数解. 【证法二】由 f ( x) ? f (a) ,得 x 2 ? 即 ( x ? a)( x ? a ? 方程 x ? a ?

8 8 ? a2 ? , x a

8 ) ? 0 ,得方程的一个解 x1 ? a . ax

8 ? 0 化为 ax2 ? a2 x ? 8 ? 0 , ax
4

由 a ? 3 , ? ? a ? 32a ? 0 ,得

?a 2 ? a 4 ? 32a ?a 2 ? a 4 ? 32a x2 ? , x3 ? , 2a 2a
∵ x2 ? 0, x3 ? 0 , ∴ x1 ? x2 ,且 x2 ? x3 . 若 x1 ? x3 ,即 a ?

?a 2 ? a 4 ? 32a 2 4 4 ,则 3a ? a ? 32a , a ? 4a , 2a

得 a ? 0 或 a ? 3 4 ,这与 a ? 3 矛盾, ∴ x1 ? x3 . 故原方程 f ( x) ? f (a) 有三个实数解.

(2005 上海)21. (本题满分 16 分) (4+6+6=16 分)对定义域是 D f 、D g 的函数 y ? f ( x) 、
? f ( x) g ( x), 当x ? D f 且x ? Dg . y ? g ( x) ,规定:函数 h( x) ? ? ? f ( x), 当x ? D f 且x ? Dg ? g ( x), 当x ? D 且x ? D f g ?

(1)若函数 f ( x) ?

1 2 , g ( x) ? x ,写出函数 h( x ) 的解析式; x ?1

(2)求问题(1)中函数 h( x ) 的值域; (3)若 g ( x) ? f ( x ? ? ) ,其中 ? 是常数,且 ? ? ?0, ? ? ,请设计一个定义域为 R 的函 数 y ? f ( x) ,及一个 ? 的值,使得 h( x) ? cos 4 x ,并予以证明.

? x2 ? 解(1) h( x) ? ? x ? 1 ?1 ?

x ? (??,1) ? (1,??) x ?1

(2)当 x ? 1时, h( x) ?

x2 1 ? x ?1? ? 2. x ?1 x ?1

若 x ? 1, 则h( x) ? 4, 其中等号当 x=2 时成立, 若 x ? 1, 则h( x) ? 0, 其中等号当 x=0 时成立, ∴函数 h( x)的值域(??,0] ? {1} ? [4,??) (3)[解法一]令 f ( x) ? sin 2 x ? cos 2 x,? ? 则 g ( x) ? f ( x ? ? ) ? sin 2( x ?

?
4

,

?

) ? cos 2( x ? ) ? cos 2 x ? sin 2 x, 4 4

?

于是 h( x) ? f ( x) ? f ( x ? ? ) ? (sin 2 x ? cos 2 x)(cos 2 x ? sin 2 x) ? cos 4 x. [解法二]令 f ( x) ? 1 ?

2 sin 2 x,? ?

?
2



则 g ( x) ? f ( x ? ? ) ? 1 ? 2 sin 2( x ?

?
2

) ? 1 ? 2 sin 2 x,
2

于是 h( x) ? f ( x) ? f ( x ? ? ) ? (1 ? 2 sin 2 x)(1 ? 2 sin 2 x) ? 1 ? 2 sin 2 x ? cos 4 x. (2005 上海)22. (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满 分 8 分,第 3 小题满分 6 分.

1,2?, P2 2,2 , P3 3,2 ,?, Pn n,2 在直角坐标平面中,已知点 P 1?
2 3

?

? ?

?

?

n

?,其中 n 是正整数,

对平面上任一点 A0 ,记 A1 为 A0 关于点 P1 的对称点, A2 为 A1 关于点 P2 的对称点, . . . , An 为 An?1 关于点 Pn 的对称点. (1)求向量 A0 A2 的坐标; (2)当点 A0 在曲线 C 上移动时,点 A2 的轨迹是函数 y ? f ( x) 的图象,其中 f ( x) 是 以 3 为周期的周期函数, 且当 x ? ?0,3? 时, f ( x) ? lg x .求以曲线 C 为图象的函数在 ?1,4 ? 上 的解析式; (3)对任意偶数 n ,用 n 表示向量 A0 An 的坐标. [解](1)设点 A0 ( x, y ) ,A0 关于点 P1 的对称点 A1 的坐标为 A1 (2 ? x,4 ? y), A1 关于点 P2 的对称点 A2 的坐标为 A2 (2 ? x,4 ? y ) ,所以, A0 A2 ? {2,4}. (2)[解法一]? A0 A2 ? {2,4},? f ( x) 的图象由曲线 C 向右平移 2 个单位,再向上平 移 4 个单位得到. 因此,曲线 C 是函数 y ? g ( x) 的图象,其中 g ( x) 是以 3 为周期的周期函数,且当

x ? (?2,1]时, g ( x) ? lg( x ? 2) ? 4, 于是,当x ? (1,4]时, g ( x) ? lg( x ? 1) ? 4.
[解法二]设 A0 ( x, y ), A2 ( x 2 , y 2 ), 于是?

? x2 ? x ? 2 ? y2 ? y ? 4

若 3 ? x2 ? 6, 则0 ? x2 ? 3 ? 3, 于是f ( x2 ) ? f ( x2 ? 3) ? lg( x2 ? 3). 当 1 ? x ? 4时, 则3 ? x2 ? 6. y ? 4 ? lg( x ? 1), (3) A0 An ? A0 A2 ? A2 A4 ? ? ? An ? 2 An 由于 A2 k ? 2 A2 k ? 2 P2 k ?1 P2 k , 得 A0 An ? 2( P 1P 2 ? P 3P 4 ??? P n ?1 P n) ,

?当x ? {1,4]时, g ( x) ? l g x ( ? 1) ? 4.

n 2(2 n ?1) 4(2 n ? 1) ? 2[(1,2) ? (1,2 3 ) ? ? ? (1,2 n ?1 )] ? 2{ , } ? {n, }. 2 3 3

(2006 上海)17. (本小题满分 12 分) ? ? 求函数 y ? 2 cos(x ? ) cos(x ? ) ? 3 sin 2x 的值域和最小正周期。 4 4 ? ? 解: y ? 2cos( x ? )cos( x ? ) ? 3sin2 x 4 4 1 1 2 2 ? 2( cos x ? sin x ) ? 3sin 2 x 2 2 ? cos2 x ? 3sin 2 x

? 2sin(2 x ? ? ) 6
∴ 函数

y ? 2cos( x ? ? )cos( x ? ? ) ? 3sin2 x 的值域是 [?2,2] ,最小正周期是 ? 4 4



(2006 上海)18. (本小题满分 12 分) 如图,当甲船位于 A 处时获悉,在其正东方向相 距 20 海里的 B 处有一艘渔船遇险等待营救。 甲船 立即前往救援,同时把消息告知在甲船的南偏西 30°,相距 10 海里 C 处的乙船,试问乙船应朝北 偏东多少度的方向沿直线前往 B 处救援(角度精 确到 1°)?
[解] 连接 BC,由余弦定理得 BC =20 +10 -2×20×10COS120°=700. 于是,BC=10 ∵
2 2 2

7.
∴sin∠ACB=

sin ACB sin120 ? ? , 20 10 7

3 7

,

∵∠ACB<90°

∴∠ACB=41°

∴乙船应朝北偏东 71°方向沿直线前往 B 处救援.

(2007 上海)17. (本题满分 14 分) 在 △ABC 中 , a, b , c分 别 是 三 个 内 角 A,B,C 的 对 边 . 若 a ? 2,

C?

π , 4

cos

B 2 5 ,求 △ABC 的面积 S . ? 2 5

4 3 解: 由题意,得 cos B ? , B 为锐角, sin B ? , 5 5
? 3π ? 7 2 sin A ? sin( π ? B ? C ) ? sin? ?B?? , 10 ? 4 ?

10 1 1 10 4 8 , ? S ? ac? sin B ? ? 2 ? ? ? . 2 2 7 5 7 7 (2006 上海)22. (本小题满分 18 分) a 已知函数 y ? x ? 有如下性质:如果常数 a > 0,那么该函数在 (0, a ] 上是 x
由正弦定理得 c ?

减函数,在 [ a ,??) 上是增函数。 (1) 如果函数 y ? x ?
2b ( x > 0 )的值域为 [6,??) ,求 b 的值; x

c (常数 c > 0)在定义域内的单调性,并说明理由; x2 a c 对函数 y ? x ? 和 y ? x 2 ? 2 (常数 a > 0)作出推广 ,使它们都是你所推 x x 广的函数的特例。研究推广后的函数的单调性(只须写出结论,不必证明) ,并 1 1 1 求函数 F( x ) ? ( x 2 ? ) n ? ( 2 ? x ) n (n 是正整数)在区间 [ ,2] 上的最大值和最 x 2 x 小值(可利用你的研究结论) 。 b 2 b b [解](1)函数 y=x+ (x>0)的最小值是 2 2 ,则 2 2 =6, ∴b=log29. x

(2) 研究函数 y ? x 2 ?

(2) 设 0<x1<x2,y2-y1= x 2

2

?

c c c 2 ? x12 ? 2 ? ( x 2 ? x12 )(1 ? 2 2 ) . 2 x2 x1 x1 ? x 2
2



4

c <x1<x2 时, y2>y1,
4

函数 y= x

?
2

c x2 ?

在[

4

c ,+∞)上是增函数;
4

当 0<x1<x2< 又 y= x
2

c 时 y2<y1,

函数 y= x

c x2

在(0,

c ]上是减函数.

?

c x2

是偶函数,于是,

该函数在(-∞,- (3) 可以把函数推广为 y= x

4

c ]上是减函数,

在[-

4

c ,0)上是增函数;

a (常数 a>0),其中 n 是正整数. xn a n 2n 2n 当 n 是奇数时,函数 y= x ? n 在(0, a ]上是减函数,在[ a ,+∞) x
n

?

上是增函数,

在(-∞,- 当 n 是偶数时,函数 y= x
n

2n

a ]上是增函数,

在[-

2n

a ,0)上是减函数;
上是增函数,

?

a xn

在(0,

2n

a ]上是减函数,在[ 2 n a ,+∞)
2n

在(-∞,- F(x)= ( x
2

a ]上是减函数,

在[-

2n

a ,0)上是增函数;

1 1 ? ) n + ( 2 ? x) n x x 1 1 1 1 0 2n 1 2 n ?3 r n = Cn ( x ? 2n ) ? Cn ( x ? 2 n ?3 ) ? ? ? C n ( x 2 n ?3 r 2 n ? 3 r ) ? ? ? C n (xn ? n ) x x x x 1 因此 F(x) 在 [ ,1]上是减函数,在[1,2]上是增函数. 2 1 9 n 9 n 所以,当 x= 或 x=2 时,F(x)取得最大值( ) +( ) ; 2 2 4
当 x=1 时 F(x)取得最小值 2
n+1



(2007 上海)18. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满 分 8 分. 近年来,太阳能技术运用的步伐日益加快.2002 年全球太阳电池的年生产量达到 670 兆瓦,年生产量的增长率为 34%.以后四年中,年生产量的增长率逐年递增 2%(如,2003 年的年生产量的增长率为 36%) . (1)求 2006 年全球太阳电池的年生产量(结果精确到 0.1 兆瓦) ; (2)目前太阳电池产业存在的主要问题是市场安装量远小于生产量,2006 年的实际安 装量为 1420 兆瓦.假设以后若干年内太阳电池的年生产量的增长率保持在 42%,到 2010 年,要使年安装量与年生产量基本持平(即年安装量不少于年生产量的 95%) ,这四年中太 阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到多少(结果精确到 0.1%)? 解: (1)由已知得 2003,2004,2005,2006 年太阳电池的年生产量的增长率依次为

36% , 38% , 40% , 42% .
则 2006 年全球太阳电池的年生产量为

670 ? 1.36 ? 1.38 ? 1.40 ? 1.42 ? 2 4 9.8 9(兆瓦).
(2)设太阳电池的年安装量的平均增长率为 x ,则
1420(1 ? x)4 ≥ 95% . 2499.8(1 ? 42%)4

解得 x ≥ 0.615 . 因此,这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到 61.5% . (2007 上海)19. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 7 分,第 2 小题满 分 7 分. 已知函数 f ( x) ? x 2 ?

a x

( x ? 0 ,常数 a ? R ) .

(1)讨论函数 f ( x) 的奇偶性,并说明理由; (2)若函数 f ( x) 在 x ?[ 2, ? ? ) 上为增函数,求 a 的取值范围. 解: (1)当 a ? 0 时, f ( x) ? x ,
2

对任意 x ? ( ? ?, 0) ? (0, ? ? ) , f ( ? x) ? (? x) ? x ? f ( x) , ?
2 2

f ( x) 为偶函数.

当 a ? 0 时, f ( x) ? x2 ?

a ( a ? 0, x ? 0) , x

取 x ? ?1 ,得 f (?1) ? f (1) ? 2 ? 0, f (?1) ? f (1) ? ?2a ? 0 ,
? f ( ?1 ) ? ? f ( , 1) f ? ( 1? )f , ( 1 )

? 函数 f ( x) 既不是奇函数,也不是偶函数.
(2)解法一:设 2 ≤ x1 ? x2 ,

f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? x12 ?

( x ? x2 ) a a 2 ? x1 x2 ( x1 ? x2 ) ? a ? , ? 1 ? x2 ? x1 x 2 x1 x2

要使函数 f ( x) 在 x ?[ 2, ? ? ) 上为增函数,必须 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 恒成立.
? x1 ? x 2 ? 0, x x 1 ? 2 4 ,即 a ? x1 x 2 ( x1 ? x 2 ) 恒成立.

又? x1 ? x2 ? 4 ,? x1 x2 ( x1 ? x2 ) ? 16 .
16] . ? a 的取值范围是 ( ? ?,

解法二:当 a ? 0 时, f ( x) ? x ,显然在 [ 2, ? ? ) 为增函数.
2

当 a ? 0 时,反比例函数

a 在 [ 2, ? ? ) 为增函数, x

? f ( x) ? x 2 ?

a 在 [ 2, ? ? ) 为增函数. x

当 a ? 0 时,同解法一.

(2008 上海)18. (本题满分 15 分)本题共有 2 个小题,第 1 个题满分 5 分,第 2 小题满 分 10 分. 已知函数 f ( x) ? sin 2 x , g ( x) ? cos ? 2 x ? 的图像分别交于 M、N 两点。 (1) 当 t ?

? ?

??

? ,直线 x ? t (t ? R) 与函数 f ( x)、g ( x) 6?

?
4

时,求 | MN | 值;

(2) 求 | MN | 在 t ? ?0,

? ?? 时的最大值. ? 2? ?

(2008 上海)19. (本题满分 16 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 8 分,第 2 小题满 分 8 分. 已知函数 f ( x) ? 2 ?
x

1 。 2|x|

(1) 若 f ( x) ? 2 ,求 x 的值; (2) 若 2 f (2t ) + mf (t ) ≥0 对于 t ? [1, 2] 恒成立,求实数 m 的取值范围。
t

(2009 上海)20(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分。

a ? 0.1 ? 15ln , ( x ? 6) ? ? a?x 有时可用函数 f ( x) ? ? ? x ? 4.4 , ( x ? 6) ? x?4 ?
*

描述学习某学科知识的掌握程度,其

中 x 表示某学科知识的学习次数( x ? N ) , f ( x) 表示对该学科知识的掌握程度,正实数 a 与学科知识有关。 (1) 证明:当 x ? 7 时,掌握程度的增加量 f ( x ? 1) ? f ( x) 总是下降; (2) 根 据 经 验 , 学 科 甲 、 乙 、 丙 对 应 的 a 的 取 值 区 间 分 别 为

(115,121] , (121,127] , (121,133] 。当学习某学科知识 6 次时,掌握程度是 85%,请
确定相应的学科。 20.证明(1)当 x ? 7时,f ( x ? 1) ? f ( x) ?

0.4 ( x ? 3)( x ? 4)

而当 x ? 7时 ,函数 y ? ( x ? 3)( x ? 4) 单调递增,且 ( x ? 3)( x ? 4) >0……..3 分

故 f ( x ? 1) ? f ( x) 单调递减

?当 x ? 7时 ,掌握程度的增长量 f ( x ? 1) ? f ( x) 总是下降……………..6 分
(2)由题意可知 0.1+15ln 整理得

a =0.85……………….9 分 a?6

a ? e0.05 a?6

e0.05 解得 a ? 0.05 ? 6 ? 20.50 ? 6 ? 123.0,123.0 ? (121,127] …….13 分 e ?1
由此可知,该学科是乙学科……………..14 分
w.w.w.k.s.5.u.c. o. m

(2009 上海)22.(本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满 分 6 分,第 3 小题满分 6 分。 已知函数 y ? f ( x) 的反函数。定义:若对给定的实数 a(a ? 0) ,函数 y ? f ( x ? a) 与 ; 若 函 数 y ? f (ax) 与 y ? f ?1 ( x ? a) 互 为 反 函 数 , 则 称 y ? f ( x) 满 足 “ a 和 性 质 ” 。 y ? f ?1 (ax) 互为反函数,则称 y ? f ( x) 满足“ a 积性质” (1) 判断函数 g ( x) ? x ? 1( x ? 0) 是否满足“1 和性质” ,并说明理由;
2

(2) 求所有满足“2 和性质”的一次函数; (3) 设函数 y ? f ( x)( x ? 0) 对任何 a ? 0 ,满足“ a 积性质” 。求 y ? f ( x) 的表达式。 解,函数 g ( x) ? x ? 1( x ? 0) 的反函数是 g ( x) ?
2
?1

x ? 1( x ? 1)

? g ?1 ( x ? 1) ? x ( x ? 0)
2

w.w.w.k.s. 5.u. c.o. m

而 g ( x ? 1) ? ( x ? 1) ? 1( x ? ?1), 其反函数为 y ? 故函数 g ( x) ? x ? 1( x ? 0) 不满足“1 和性质”
2

x ? 1 ? 1( x ? 1)

(2)设函数 f ( x) ? kx ? b( x ? R) 满足“2 和性质” , k ? 0.

? f ?1 ( x) ?

x ?b x ? 2?b …….6 分 ( x ? R),? f ?1 ( x ? 2) ? k k x ? b ? 2k 而 f ( x ? 2) ? k ( x ? 2) ? b( x ? R), 得反函数 y ? ………….8 分 k x ? 2 ? b x ? b ? 2k 由“2 和性质”定义可知 = 对 x ? R 恒成立 k k

? k ? ?1, b ? R, 即所求一次函数为 f ( x) ? ? x ? b(b ? R) ………..10 分

(3)设 a ? 0 , x0 ? 0 ,且点 ( x0 , y0 ) 在 y ? f (ax) 图像上,则 ( y0 , x0 ) 在函数 y ? f 图象上, 故?

?1

(ax)

? f (ax0 ) ? y0 ,可得 ay0 ? f ( x0 ) ? af (ax0 ) , ?1 ? f (ay0 ) ? x0

. . . . . .12 分

令 ax0 ? x ,则 a ? 综上所述, 1 ? b1q 而f
?1

x f ( x0 ) x x 。? f ( x0 ) ? 。 f ( x) ,即 f ( x) ? 0 x0 x0 x
? bn f ( x) ?

. . . . . .14 分

n ?1

k k k ,其反函数就是 y ? , (k ? 0) ,此时 f (ax) ? x ax ax
. . . . . .16 分

(ax) ?

k ?1 ,故 y ? f (ax) 与 y ? f (ax) 互为反函数 。 ax

(2010 上海)22.(本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 3 分,第 2 小题满 分 5 分,第 3 小题满分 10 分。 若实数 x 、 y 、 m 满足 x ? m > y ? m ,则称 x 比 y 远离 m . (1)若 x 2 ? 1 比 1 远离 0,求 x 的取值范围; (2)对任意两个不相等的正数 a 、 b ,证明: a3 ? b3 比 a 2b ? ab2 远离 2ab ab ; (3)已知函数 f ( x) 的定义域 D={x|x≠

kπ π .任取 x ? D , f ( x) 等 + ,k∈Z,x∈R } 2 4

于 sin x 和 cos x 中远离 0 的那个值.写出函数 f ( x) 的解析式,并指出它的基本性质(结论 不要求证明). 解析:(1) x ? (??, ? 2) ? ( 2. ? ?) ; (2) 对任意两个不相等的正数 a、b,有 a3 ? b3 ? 2ab ab , a2b ? ab2 ? 2ab ab , 因为 | a3 ? b3 ? 2ab ab | ? | a 2b ? ab2 ? 2ab ab |? (a ? b)(a ? b)2 ? 0 , 所以 | a3 ? b3 ? 2ab ab |?| a 2b ? ab2 ? 2ab ab | ,即 a3?b3 比 a2b?ab2 远离 2ab ab ;

? 3? ? sin x , x ? (k? ? , k? ? ) ? ? 4 4 (3) f ( x) ? ? , ? ? ? cos x , x ? (k? ? , k? ? ) ? ? 4 4
性质:1?f(x)是偶函数,图像关于 y 轴对称,2?f(x)是周期函数,最小正周期 T ? 3?函数 f(x)在区间 (

?
2



k? ? k? k? k? ? ? , ] 单调递增,在区间 [ , ? ) 单调递减,k?Z, 2 4 2 2 2 4

4?函数 f(x)的值域为 (

2 ,1] . 2

(2010 上海)19.(本题满分 12 分) 已知 0 ? x ?

?
2

,化简:

x ? lg(cos x ? tan x ? 1 ? 2sin 2 ) ? lg[ 2 cos( x ? )] ? lg(1 ? sin 2 x) .=0 2 4
(2011 上海)20.(本大题满分 12 分,第 1 小题满分 4 分,第二小题满分 8 分) 已知函数 f ( x) ? a ? 2 ? b ? 3 ,其中常数 a, b 满足 a ? b ? 0
x x

(1)若 a ? b ? 0 ,判断函数 f ( x) 的单调性; (2)若 a ? b ? 0 ,求 f ( x ? 1) ? f ( x) 时的 x 的取值范围.

(2012 上海)20.已知函数 f ( x) ? lg( x ? 1) . (1)若 0 ? f (1 ? 2 x) ? f ( x) ? 1 ,求 x 的取值范围; (6 分) (2)若 g ( x) 是以 2 为周期的偶函数,且当 0 ? x ? 1 时,有 g ( x) ? f ( x) ,求函数

y ? g ( x) ( x ?[1, 2]) 的反函数.(8 分)
[解](1)由 ?

?2 ? 2 x ? 0 ,得 ? 1 ? x ? 1 . ? x ?1 ? 0
2?2 x x ?1

2x ? 1 得1 ? 由 0 ? lg(2 ? 2 x) ? lg( x ? 1) ? lg 2x?? 1

? 10 .
2 3

……3 分
1 3

因为 x ? 1 ? 0 ,所以 x ? 1 ? 2 ? 2x ? 10 x ? 10 , ? 由?

?x? .
……6 分

? ?1 ? x ? 1 ?x?1 得? 2 . 3 3 2 1 ? ? x ? 3 ? 3

(2)当 x?[1,2]时,2-x?[0,1],因此

y ? g ( x) ? g ( x ? 2) ? g (2 ? x) ? f (2 ? x) ? lg(3 ? x) . 由单调性可得 y ? [0, lg 2] .
y
x

……10 分

因为 x ? 3 ? 10 ,所以所求反函数是 y ? 3 ? 10 , x ? [0, lg 2] . ……14 分 (2012 上海)21.海事救援船对一艘失事船进行定位:以失事船的当前位置为原点,以正 北方向为 y 轴正方向建立平面直角坐标系(以 1 海里为单位长度) ,则救援船恰在失事船的 y P 正南方向 12 海 里 A 处,如图. 现假设:①失事船的移动路径可视为抛物线

x 2 ;②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援;③救 援船出发 t 小时后,失事船所在位置的横坐标为. (1)当 t ? 0.5 时,写出失事船所在位置 P 的纵坐标. 若此时
12 49

y?

O A

x

两船恰好会合,求救援船速度的大小和方向; (6 分) (2)问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船?(8 分)

[解](1) t ? 0.5 时,P 的横坐标 xP= 7t ? 中,得 P 的纵坐标 yP=3. 由|AP|=
949 2

7 2

,代入抛物线方程 y ?

12 49

x2
……2 分 ……4 分

,得救援船速度的大小为 949 海里/时.
7 2

由 tan∠OAP= 3 ?12 ?

7 30

7 ,得∠OAP=arctan 30 ,故救援船速度的方向

7 为北偏东 arctan 30 弧度.

……6 分
2

(2)设救援船的时速为 v 海里,经过 t 小时追上失事船,此时位置为 (7t , 12t ) . 由 vt ? 因为 t ?
2

(7t ) 2 ? (12t 2 ? 12) 2 ,整理得 v 2 ? 144 (t 2 ? t12 ) ? 337 .……10 分
1 t2

? 2 ,当且仅当 t =1 时等号成立,
2

所以 v ? 144 ? 2 ? 337 ? 25 ,即 v ? 25 . 因此,救援船的时速至少是 25 海里才能追上失事船.
2

……14 分

(2013 上海)20.甲厂以 x 千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求 1≤x≤10), 每一小时可获得的利润是 100(5 x ? 1 ? ) 元. (1)要使生产该产品 2 小时获得的利润不低于 3 000 元,求 x 的取值范围; (2)要使生产 900 千克该产品获得的利润最大,问:甲厂应该选取何种生产速度?并求此最 大利润.

3 x

3 3 )×2=200(5x+1- ). x x 3 1 由题意,200(5x++1- )≥3 000,解得 x≤- 或 x≥3. x 5
解:(1)生产该产品 2 小时的利润为 100(5x+1- 又 1≤x≤10,所以 3≤x≤10.

900 小时, x 3 900 3 1 获得利润为 100(5 x ? 1 ? ) ? = 90000(? 2 ? ? 5) ,1≤x≤10. x x x x 3 1 记 f(x)= ? 2 ? +5,1≤x≤10, x x 1 1 2 1 则 f(x)= ?3( ? ) ? ? 5 ,当且仅当 x=6 时取到最大值. x 6 12 61 最大利润为 90 000× =457 500 元. 12
(2)生产 900 千克该产品,所用的时间是 因此甲厂应以 6 千克/小时的速度生产,可获得最大利润为 457 500 元. (2013 上海)21.已知函数 f(x)=2sin(ω x),其中常数 ω >0. (1)若 y=f(x)在 ? ?

? ? 2? ? , 上单调递增,求 ω 的取值范围; ? 4 3 ? ?

(2)令 ω =2,将函数 y=f(x)的图像向左平移

? 个单位,再向上平移 1 个单位,得到函数 y 6

=g(x)的图像.区间[a,b](a,b∈R,且 a<b)满足:y=g(x)在[a,b]上至少含有 30 个零 点.在所有满足上述条件的[a,b]中,求 b-a 的最小值.

解:(1)因为函数 y=f(x)在 ? ? 所以

? 2? ? ? ≥ ,且- ≤? , 2? 3 2? 4
3 . 4

? ? 2? ? 上单调递增,且 ω >0, , ? 4 3 ? ?

所以 0<ω ≤

(2)f(x)=2sin2x,

? ? 个单位,再向上平移 1 个单位后得到 y=2sin2 ( x ? ) +1 的 6 6 ? 图像,所以 g(x)=2sin2 ( x ? ) +1. 6 5? 3? 令 g(x)=0,得 x=kπ + 或 x=kπ + (k∈Z), 12 4 ? 2? 所以两个相邻零点之间的距离为 或 . 3 3
将 y=f(x)的图像向左平移 若 b-a 最小,则 a 和 b 都是零点, * 此时在区间[a,π +a],[a,2π +a],?,[a,mπ +a](m∈N )上分别恰有 3,5,?,2m+1 个零点,所以在区间[a,14π +a]上恰有 29 个零点, 从而在区间(14π +a,b]上至少有一零点, 所以 b-a-14π ≥

5? ? 上恰有 30 个零点, 3 12 ? ? 12 ? ? 43 因此,b-a 的最小值为 14? ? ? ?. 3 3
另一方面,在区间 ?

? . 3 ? 5?

,14? ?

?

?


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