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高三一轮复习导学案76 第13章 第05节——数学归纳法


§ 13.5

数学归纳法

数学归纳法 一般地,证明一个与正整数 n 有关的命题,可按下列步骤进行: (1)(归纳奠基)证明当 n 取第一个值 n0 (n0∈N*)时命题成立; (2)(归纳递推)假设 n=k (k≥n0,k∈N*)时命题成立,证明当 n=k+1 时命题也成立. 只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从 n0 开始的所有正整

数 n 都成立.上述方法 叫做数学归纳法. [难点正本 疑点清源] 1. 数学归纳法是一种重要的数学思想方法, 主要用于解决与正整数有关的数学问题. 证 明时步骤(1)和(2)缺一不可,步骤(1)是步骤(2)的基础,步骤(2)是递推的依据. 2.在用数学归纳法证明时,第(1)步验算 n=n0 的 n0 不一定为 1,而是根据题目要求, 选择合适的起始值.第(2)步,证明 n=k+1 时命题也成立的过程,一定要用到归纳 假设,否则就不是数学归纳法.

1 1.在应用数学归纳法证明凸 n 边形的对角线为 n(n-3)条时,第一步检验第一个值 n0 2 =________. 2.用数学归纳法证明:“1+a+a +?+a
2 n+1

1-an 2 = (a≠1)”,在验证 n=1 时,左 1-a



端计算所得的项为_______________________________________________________. 1 1 1 3.用数学归纳法证明:“1+ + +?+ n <n (n>1)”,由 n=k (k>1)不等式成立, 2 3 2 -1 推证 n=k+1 时,左边应增加的项的项数是________. 4.记凸 k 边形的内角和为 f(k),则凸 k+1 边形的内角和 f(k+1)=f(k)+________. 1 1 1 1 5. 已知 f(n)= + + +?+ 2, 则 ( n n+1 n+2 n 1 1 A.f(n)中共有 n 项,当 n=2 时,f(2)= + 2 3 1 1 1 B.f(n)中共有 n+1 项,当 n=2 时,f(2)= + + 2 3 4 1 1 2 C.f(n)中共有 n -n 项,当 n=2 时,f(2)= + 2 3 1 1 1 D.f(n)中共有 n2-n+1 项,当 n=2 时,f(2)= + + 2 3 4

)

题型一 用数学归纳法证明等式

例1

n(n+1)(2n+1) 求证:12+22+?+n2= . 6

探究提高 用数学归纳法证明恒等式应注意:明确初始值 n0 的取值并验证 n=n0 时命 题的真假(必不可少).“假设 n=k (k∈N*,且 k≥n0)时命题正确”并写出命题形式分 析“n=k+1 时”命题是什么,并找出与“n=k”时命题形式的差别.弄清左端应增 加的项,明确等式左端变形目标,掌握恒等式变形常用的方法:乘法公式、因式分解、 添拆项、配方等.简言之:两个步骤、一个结论;递推基础不可少,归纳假设要用到, 结论写明莫忘掉. n(n+1) 2 是否存在常数 a,b,c 使得等式 1·2+2·2+?+n(n+1)2= 2 3 (an + 12 bn+c)对于一切正整数 n 都成立?并证明你的结论. 题型二 用数学归纳法证明不等式 例2 用数学归纳法证明: n 1 1 1 1 1+ ≤1+ + +?+ n≤ +n (n∈N*). 2 2 3 2 2 探究提高 (1)用数学归纳法证明与 n 有关的不等式一般有两种具体形式:一是直接给 出不等式,按要求进行证明;二是给出两个式子,按要求比较它们的大小,对第二类 形式往往要先对 n 取前几个值的情况分别验证比较,以免出现判断失误,最后猜出从 某个 n 值开始都成立的结论,常用数学归纳法证明. (2)用数学归纳法证明不等式的关键是由 n=k 时成立得 n=k+1 时成立,主要方法有: ①放缩法;②利用基本不等式;③作差比较法等. 1 设数列{an}满足 a1=2,an+1=an+ (n=1,2,?). an (1)证明:an> 2n+1对一切正整数 n 都成立; an (2)令 bn= (n=1,2,?),判断 bn 与 bn+1 的大小,并说明理由. n 题型三 用数学归纳法证明整除问题 例3 用数学归纳法证明 an 1+(a+1)2n 1(n∈N*)能被 a2+a+1 整除.
+ -

探究提高 证明整除问题的关键是“凑项”,而采用增项、减项、拆项和因式分解等 手段,凑出 n=k+1 时的情形,从而利用归纳假设使问题获证. 求证:(3n+1)×7n-1 (n∈N*)能被 9 整除.

32.归纳、猜想、证明——从特 殊到一般的思维能力 1 1 试题:(12 分)在各项为正的数列{an}中,数列的前 n 项和 Sn 满足 Sn= ?an+a ?. 2? n? (1)求 a1,a2,a3; (2)由(1)猜想数列{an}的通项公式,并且用数学归纳法证明你的猜想. 1 1 审题视角 (1)数列{an}的各项均为正数,且 Sn= ?an+a ?,所以可根据解方程求出 a1, 2? n? a2,a3;(2)观察 a1,a2,a3 猜想出{an}的通项公式 an,然后再证明. 规范解答



1 1 (1)S1=a1= ?a1+a ?得 a2=1. 1 2? 1? [1 分]

∵an>0,∴a1=1, 1 1 由 S2=a1+a2= ?a2+a ?, 2? 2? 得 a2+2a2-1=0,∴a2= 2-1. 2 1 1 又由 S3=a1+a2+a3= ?a3+a ? 2? 3? 得 a2+2 2a3-1=0,∴a3= 3- 2. 3 (2)猜想 an= n- n-1 (n∈N*) 证明:①当 n=1 时,a1=1= 1- 0,猜想成立. ②假设当 n=k (k∈N*)时猜想成立, 即 ak= k- k-1, 则当 n=k+1 时,ak+1=Sk+1-Sk 1 1 1 1 = ?ak+1+a ?- ?ak+a ?, ? 2? 2 k? k+1? 1 1 1 1? ? 即 ak+1= ?ak+1+a ?- ? k- k-1+ ? 2? 2? +1? k- k-1? k 1 1 = ?ak+1+a ?- k, 2? k+1? ∴a2+1+2 kak+1-1=0, k ∴ak+1= k+1- k. 即 n=k+1 时猜想成立. 由①②知,an= n- n-1 (n∈N ). 批阅笔记 和发现问题,并证明所得结论的正确性,这是非常重要的一种思维能力.
*

[2 分]

[3 分] [5 分] [6 分]

[11 分] [12 分]

(1)本题运用了从特殊到一般的探索、归纳、猜想及证明的思维方式去探索

(2)本题易错原因是,第(1)问求 a1,a2,a3 的值时,易计算错误或归纳不出 an 的一般表 达式.第(2)问想不到再次利用解方程的方法求解,找不到解决问题的突破口.

方法与技巧 1.利用数学归纳法可以对不完全归纳的问题进行严格的证明. 2.利用数学归纳法可以证明与正整数有关的等式问题. 3.利用数学归纳法可以证明与正整数有关的不等式问题. 4.利用数学归纳法可以证明整除问题,在证明时常常利用凑数、凑多项式等恒等变形. 5.利用数学归纳法可以证明几何问题. 失误与防范 1.数学归纳法仅适用于与正整数有关的数学命题. 2.严格按照数学归纳法的三个步骤书写,特别是对初始值的验证不可省略,有时要取 两个(或两个以上)初始值进行验证;初始值的验证是归纳假设的基础. 3.注意 n=k+1 时命题的正确性.

4.在进行 n=k+1 命题证明时,一定要用 n=k 时的命题,没有用到该命题而推理证明 的方法不是数学归纳法.

课时规范训练
(时间:60 分钟) A 组 专项基础训练题组 一、选择题 1.如果命题 p(n)对 n=k 成立,则它对 n=k+2 也成立.若 p(n)对 n=2 成立,则下列 结论正确的是 A.p(n)对所有正整数 n 都成立 C.p(n)对所有正奇数 n 都成立
*

(

)

B.p(n)对所有正偶数 n 都成立 D.p(n)对所有自然数 n 都成立

2.某个命题与自然数 n 有关,若 n=k (k∈N )时命题成立,那么可推得当 n=k+1 时 该命题也成立,现已知 n=5 时,该命题不成立,那么可以推得 A.n=6 时该命题不成立 C.n=4 时该命题不成立
3 3 3 *

(

)

B.n=6 时该命题成立 D.n=4 时该命题成立

3.用数学归纳法证明“n +(n+1) +(n+2) ,(n∈N )能被 9 整除”,要利用归纳假设 证 n=k+1 (k∈N*)时的情况,只需展开 A.(k+3) C.(k+1)
3

( B.(k+2)
3

)

3

D.(k+1)3+(k+2)3

4.设 f(x)是定义在正整数集上的函数,且 f(k)满足:当“f(k)≥k2 成立时,总可推出 f(k +1)≥(k+1)2 成立”.那么下列命题总成立的是 A.若 f(3)≥9 成立,则当 k≥1,均有 f(k)≥k 成立 B.若 f(5)≥25 成立,则当 k<5,均有 f(k)≥k2 成立 C.若 f(7)<49 成立,则当 k≥8,均有 f(k)<k2 成立 D.若 f(4)=25 成立,则当 k≥4,均有 f(k)≥k2 成立 二、填空题 5.若 f(n)=12+22+32+?+(2n)2,则 f(k+1)与 f(k)的递推关系式是 _______________________________________________________________________. 1 6.在数列{an}中,a1= 且 Sn=n(2n-1)an,通过计算 a2,a3,a4,猜想 an 的表达式是 3 ______________. 1 1 1 1 2k+1 7.用数学归纳法证明?1+3??1+5??1+7???1+2k-1?> (k>1),则当 n=k+1 ? ?? ?? ? ? 2 ? 时,左端应乘上____________________________,这个乘上去的代数式共有因式的 个数是__________. 三、解答题 8.用数学归纳法证明: 1 1 1 n 对任意的 n∈N*, + +?+ = . 1×3 3×5 (2n-1)(2n+1) 2n+1 B 组 专项能力提升题组 一、选择题 1 1 1 127 1.用数学归纳法证明不等式 1+ + +?+ n-1> (n∈N*)成立,其初始值至少应取 2 4 64 2
2

(

)

( A.7 B.8

)

C.9 D.10 1 1 1 13 2.用数学归纳法证明不等式 + +?+ < (n≥2,n∈N*)的过程中,由 n=k 2n 14 n+1 n+2 递推到 n=k+1 时不等式左边 1 A.增加了一项 2(k+1) 1 1 B.增加了两项 、 2k+1 2k+2 1 C.增加了 B 中两项但减少了一项 k+1 D.以上各种情况均不对 3.用数学归纳法证明: “(n+1)· (n+2)· (n+n)=2n· 3· (2n-1)”, ?· 1· ?· 从“k 到 k+1” 左端需增乘的代数式为 A.2k+1 2k+1 C. k+1 二、填空题 4.已知整数对的序列如下:(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2), (4,1),(1,5),(2,4),?,则第 60 个数对是________. n4+n2 5.用数学归纳法证明 1+2+3+?+n2= ,则当 n=k+1 时左端应在 n=k 的基 2 础上加上______________________________________. 1 1 1 n + 6.已知 f(n)=1+ + +?+ (n∈N*).用数学归纳法证明 f(2n)> 时,f(2k 1)-f(2k)= 2 3 n 2 ______________________________________________________________________. 三、解答题 7.设数列{an}的前 n 项和为 Sn,且方程 x2-anx-an=0 有一根为 Sn-1,n=1,2,3,?. (1)求 a1,a2; (2)猜想数列{Sn}的通项公式,并给出严格的证明. 8.(2010· 江苏)已知△ABC 的三边长是有理数. (1)求证:cos A 是有理数; (2)求证:对任意正整数 n,cos nA 是有理数. B.2(2k+1) 2k+3 D. k+1 ( ) ( )

答案
基础自测 1.3 2.1+a+a2 题型分类· 深度剖析 例1 证明 (1)当 n=1 时,左边=1, 1· (1+1)(2+1) 右边= =1,左边=右边,等式成立; 6 (2)假设 n=k (k∈N*)时,等式成立, k(k+1)(2k+1) 即 12+22+?+k2= , 6 则当 n=k+1 时, 12+22+?+k2+(k+1)2 k(k+1)(2k+1) = +(k+1)2 6 (k+1)[(k+1)+1][2(k+1)+1] = 6 所以当 n=k+1 时,等式仍然成立. 由(1)、(2)可知,对于?n∈N*等式恒成立. 变式训练 1 解 假设存在符合题意的常数 a,b,c,在等式 1·2+2·2+?+n(n+1)2 2 3 n(n+1) 2 = (an +bn+c)中, 12 1 令 n=1,得 4= (a+b+c) ① 6 1 令 n=2,得 22= (4a+2b+c) ② 2 令 n=3,得 70=9a+3b+c 由①②③解得 a=3,b=11,c=10, 于是,对于 n=1,2,3 都有 1·2+2·2+?+n(n+1)2 2 3 n(n+1) 2 = (3n +11n+10)(*)式成立. 12 下面用数学归纳法证明:对于一切正整数 n,(*)式都成立. (1)当 n=1 时,由上述知,(*)式成立. (2)假设 n=k (k∈N*)时,(*)式成立, 即 1·2+2·2+?+k(k+1)2 2 3 k(k+1) 2 = (3k +11k+10), 12 那么当 n=k+1 时, 1·2+2·2+?+k(k+1)2+(k+1)(k+2)2 2 3 k(k+1) 2 = (3k +11k+10)+(k+1)(k+2)2 12 (k+1)(k+2) 2 = (3k +5k+12k+24) 12 ③ 3.2k 4.π 5.D



(k+1)(k+2) [3(k+1)2+11(k+1)+10], 12

由此可知,当 n=k+1 时,(*)式也成立. 综上所述,当 a=3,b=11,c=10 时题设的等式对于一切正整数 n 都成立. 1 1 例 2 证明 (1)当 n=1 时,左边=1+ ,右边= +1, 2 2 3 1 3 ∴ ≤1+ ≤ ,即命题成立. 2 2 2 (2)假设当 n=k (k∈N*)时命题成立,即 k 1 1 1 1 1+ ≤1+ + +?+ k≤ +k, 2 2 3 2 2 则当 n=k+1 时, k+1 1 1 1 1 1 1 k 1 1+ + +?+ k+ k + k +?+ k >1+ +2k·k =1+ . 2 3 2 2 +1 2 +2 2 2 2 +2k 2 +2k 1 1 1 1 1 1 又 1+ + +?+ k+ k + k +?+ k 2 3 2 2 +1 2 +2 2 +2k 1 1 1 < +k+2k·k= +(k+1), 2 2 2 即 n=k+1 时,命题成立. 由(1)(2)可知,命题对所有 n∈N*都成立. 变式训练 2 (1)证明 方法一 当 n=1 时,a1=2> 2×1+1,不等式成立. 假设当 n=k (k∈N*)时,ak> 2k+1成立. 那么当 n=k+1 时, 1 1 a2k+1=a2k+ +2>2k+3+ >2(k+1)+1. a2k a2k ∴当 n=k+1 时,ak+1> 2(k+1)+1成立. 综上,an> 2n+1对一切正整数 n 都成立. 方法二 当 n=1 时,a1=2> 3= 2×1+1,结论成立. 假设当 n=k (k∈N*)时结论成立, 即 ak> 2k+1. 1 那么当 n=k+1 时,由函数 f(x)=x+ (x>1)的单调递增性和归纳假设, x 1 1 知 ak+1=ak+ > 2k+1+ ak 2k+1 2k+1+1 2k+2 = = 2k+1 2k+1 = 4k2+8k+4 (2k+3)(2k+1) > 2k+1 2k+1

= 2k+3= 2(k+1)+1. ∴当 n=k+1 时,结论成立. ∴an> 2n+1对一切正整数 n 均成立. an+1 (2)解 n+1 bn+1 ∵ = bn an n

1 n =?1+a2n?· ? ? n+1 1 2(n+1) n n <?1+2n+1?· ? ? n+1=(2n+1) n+1 ?n+1?2-1 ? 2? 4 2 n(n+1) = = <1. 1 2n+1 n+ 2 故 bn+1<bn. 例3
2

证明 (1)当 n=1 时,

a +(a+1)=a2+a+1 可被 a2+a+1 整除. (2)假设 n=k (k∈N*)时, ak 1+(a+1)2k
+ + -1

能被 a2+a+1 整除,
+ - + - -

则当 n=k+1 时, ak 2+(a+1)2k 1=a·k 1+(a+1)2(a+1)2k 1=a·k 1+a· a a (a+1)2k 1+(a2+a+1)(a+1)2k
1
+ - - + - +

=a[ak 1+(a+1)2k 1]+(a2+a+1)(a+1)2k 1,由假设可知 a[ak 1+(a+1)2k 1]能被 a2
-1

+a+1 整除,(a2+a+1)(a+1)2k ∴ak 2+(a+1)2k
+ +1

也能被 a2+a+1 整除,

也能被 a2+a+1 整除,

即 n=k+1 时命题也成立, 由(1)(2)知,对任意 n∈N*原命题成立. 变式训练 3 证明 (1)当 n=1 时,(3n+1)×7n-1=27,能被 9 整除. (2)假设 n=k (k∈N*)时命题成立,即(3k+1)×7k-1 能被 9 整除, 那么当 n=k+1 时: [3(k+1)+1]×7k 1-1=[(3k+1)+3]×(1+6)×7k-1 =(3k+1)×7k-1+(3k+1)×6×7k+21×7k =[(3k+1)× k-1]+3k×6×7k+(6+21)×7k. 7 由归纳假设知,以上三项均能被 9 整除.则由(1)、(2)可知,命题对任意 n∈N*都成立. 课时规范训练 A组 1.B 2.C 3.A 4.D 5.f(k+1)=f(k)+(2k+1)2+(2k+2)2 6.an= 1 (2n-1)(2n+1)


1 1 1 7.?1+2k+1??1+2k+3???1+2k+1-1?

?

??

? ?

?

2k

-1

8.证明

1 1 (1)当 n=1 时,左边= = , 1×3 3 1 1 右边= = ,左边=右边, 2×1+1 3 所以等式成立. (2)假设当 n=k (k∈N*)时等式成立,即有 1 1 1 k + +?+ = , 1×3 3×5 (2k-1)(2k+1) 2k+1 则当 n=k+1 时,

1 1 1 1 + +?+ + 1×3 3×5 (2k-1)(2k+1) (2k+1)(2k+3) k(2k+3)+1 k 1 = + = 2k+1 (2k+1)(2k+3) (2k+1)(2k+3) 2k2+3k+1 k+1 k+1 = = = , (2k+1)(2k+3) 2k+3 2(k+1)+1 所以当 n=k+1 时,等式也成立. 由(1)(2)可知,对一切 n∈N*等式都成立. B组 1.B 2.C 3.B 4.(5,7) 5.(k2+1)+(k2+2)+(k2+3)+?+(k+1)2 1 1 1 6. k + k +?+ k+1 (k∈N*) 2 +1 2 +2 2 7.解 (1)当 n=1 时,x2-a1x-a1=0 有一根为 S1-1=a1-1, 于是(a1-1)2-a1(a1-1)-a1=0, 1 解得 a1= . 2 1 当 n=2 时,x2-a2x-a2=0 有一根为 S2-1=a2- , 2 1?2 1? 1 于是?a2-2? -a2?a2-2?-a2=0,解得 a2= . ? ? 6 (2)由题设(Sn-1)2-an(Sn-1)-an=0,
2 即 Sn-2Sn+1-anSn=0.

当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1, 代入上式得 Sn-1Sn-2Sn+1=0. 1 1 1 2 由(1)得 S1=a1= ,S2=a1+a2= + = . 2 2 6 3 3 n 由①可得 S3= .由此猜想 Sn= ,n=1,2,3,?. 4 n+1 下面用数学归纳法证明这个结论. (ⅰ)n=1 时已知结论成立. (ⅱ)假设 n=k (k∈N*)时结论成立, k 即 Sk= , k+1 1 当 n=k+1 时,由①得 Sk+1= , 2-Sk k+1 即 Sk+1= ,故 n=k+1 时结论也成立. k+2 n 综上,由(ⅰ)、(ⅱ)可知 Sn= 对所有正整数 n 都成立. n+1 AB2+AC2-BC2 8.证明 (1)由 AB、BC、AC 为有理数及余弦定理知 cos A= 是有理数. 2AB· AC (2)用数学归纳法证明 cos nA 和 sin A· nA 都是有理数. sin ①当 n=1 时,由(1)知 cos A 是有理数,从而有 sin A· A=1-cos2A 也是有理数. sin ②假设当 n=k(k∈N*)时,cos kA 和 sin A· kA 都是有理数.当 n=k+1 时,由 sin cos(k+1)A=cos A· kA-sin A· kA, cos sin sin A· (k+1)A=sin A· A· kA+cos A· kA) sin (sin cos sin ①

=(sin A· A)· kA+(sin A· kA)· A, sin cos sin cos 由①和归纳假设,知 cos (k+1)A 与 sin A· sin(k+1)A 都是有理数,即当 n=k+1 时, 结论成立. 综合①、②可知,对任意正整数 n,cos nA 是有理数.


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