tceic.com
简单学习网 让学习变简单
当前位置:首页 >> 数学 >>

第五节两角和与差的正弦、余弦和正切公式


第五节

两角和与差的正弦、余弦和正切公式

1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin(α± β)=sin_αcos_β± cos_αsin_β; cos(α?β)=cos_αcos_β± sin_αsin_β; tan(α± β)= tan α± tan β . 1?tan αtan β

2.二倍角的正弦、余弦、

正切公式 sin 2α=2sin_αcos_α; cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α; tan 2α= 2tan α . 1-tan2α

1.在使用两角和与差的余弦或正切公式时运算符号易错. 2 2.在(0,π)范围内,sin(α+β)= 2 所对应的角 α+β 不是唯一的. [试一试] 1.sin 68° sin 67° -sin 23° cos 68° 的值为( 2 A.- 2 3 C. 2 答案:B α 3 2.(2013· 江西高考)若 sin2= 3 ,则 cos α=( 2 A.-3 1 B.-3 ) 2 B. 2 D.1 )

1 C.3 解析:选 C

2 D.3 α 3 α ? 3? 1 因为 sin2= 3 ,所以 cos α=1-2sin2 2=1-2×? ?2=3. ?3?

1.公式的常用变形 (1)tan α± tan β=tan(α± β)(1?tan αtan β); (2)cos2α= 1+cos 2α 1-cos 2α 2 , sin α = ; 2 2

(3)1+sin 2α=(sin α+cos α)2, 1-sin 2α=(sin α-cos α)2, ? π? ?. sin α± cos α= 2sin?α± ? 4? 2.角的变换技巧 2α=(α+β)+(α-β); α+β α-β α=(α+β)-β;β= 2 - 2 ; α-β ? β? ? α ? ?α+2?-?2+β?. = 2 ? ? ? ? 3.三角公式关系

[练一练] π? 3 ? ?π ? 2 1.已知 tan?α-6?=7,tan?6+β?=5,则 tan(α+β)的值为( ? ? ? ? 29 A.41 答案:D π? 2 ? 2.(2013· 全国卷Ⅱ)已知 sin 2α=3,则 cos2?α+4?=( ? ? ) 1 B.29 1 C.41 D.1 )

1 A.6 1 C.2 π? ? 解析:选 A 法一:cos2?α+4? ? ? π?? 1 1? 1 ? =2?1+cos?2α+2??=2(1-sin 2α)=6. ? ? ?? π? 2 2 ? 法二:cos?α+4?= 2 cos α- 2 sin α, ? ? π? 1 ? 所以 cos2?α+4?=2(cos α-sin α)2= ? ? 1 1 1 (1 - 2sin α cos α ) = (1 - sin 2 α ) = 2 2 6.

1 B.3 2 D.3

考点一

三角函数公式的基本应用 cos 2α π?=________. ? 2sin?α+4? ? ?

3 ?π ? 1.已知 sin α=5,α∈?2,π?,则 ? ? cos 2α π?= ? 2sin?α+4? ? ?

解析:

cos2α-sin2α =cos α-sin α, ? 2 ? 2 2? sin α+ cos α? 2 ?2 ? 3 4 ?π ? ∵sin α=5,α∈?2,π?,∴cos α=-5. ? ? 7 ∴原式=-5. 7 答案:-5 ?π ? 2. (2013· 四川高考)设 sin 2α=-sin α, α∈?2,π?, 则 tan 2α 的值是________. ? ? 1 ?π ? 解析:∵sin 2α=2sin αcos α=-sin α,∴cos α=-2,又 α∈?2,π?,∴sin α ? ?

-2 3 3 2tan α = 2 ,tan α=- 3,∴tan 2α= = 3. 2 = 1-tan α 1-?- 3?2 答案: 3 ?1 π? 3.已知函数 f(x)=2sin?3x-6?,x∈R. ? ? ?5π? (1)求 f? 4 ?的值; ? ? π? ? π? 10 6 ? (2)设 α,β∈?0,2?,f?3α+2?=13,f(3β+2π)=5,求 cos(α+β)的值. ? ? ? ? ?1 π? 解:(1)∵f(x)=2sin?3x-6?, ? ? π ?5π? ?5π π? ∴f? 4 ?=2sin?12-6?=2sin4= 2. ? ? ? ? π? ? π? 10 ? (2)∵α,β∈?0,2?,f?3α+2?=13, ? ? ? ? 6 f(3β+2π)=5, π? 6 10 ? ∴2sin α=13,2sin?β+2?=5. ? ? 5 3 即 sin α=13,cos β=5. 12 4 ∴cos α=13,sin β=5. ∴cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β 12 3 5 4 16 =13×5-13×5=65. [类题通法] 两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广,可用 α、β 的三角函 数表示 α± β 的三角函数, 在使用两角和与差的三角函数公式时, 特别要注意角与 角之间的关系,完成统一角和角与角转换的目的.

考点二

三角函数公式的逆用与变形应用

[典例]

(1)(2013· 长春二模)在△ABC 中,若 tan A· tan B=tan A+tan B+1, )

则 cos C 的值是(

2 A.- 2 1 C.2 (2) sin 110° sin 20° 的值为( 2 cos 155° -sin2155° )

2 B. 2 1 D.-2

1 A.-2 3 C. 2 [解析]

1 B.2 3 D.- 2 (1)由 tan Atan B=tan A+tan B+1,可得

tan A+tan B =-1,即 tan(A+B)=-1, 1-tan Atan B 3π π 2 所以 A+B= 4 ,则 C=4,cos C= 2 .故选 B. (2) sin 110° sin 20° sin 70° sin 20° cos 20° sin 20° = cos 310° = cos 50° cos2155° -sin2155°

1 2sin 40° 1 = sin 40°=2. [答案] (1)B (2)B

[类题通法] 运用两角和与差的三角函数公式时,不但要熟练、准确,而且要熟悉公式的 逆用及变形,如 tan α+tan β=tan(α+β)· (1-tan αtan β)和二倍角的余弦公式的多 种变形等. [针对训练] π? π? 4 3 ? ? 1.(2014· 赣州模拟)已知 sin?α+6?+cos α= 5 ,则 sin?α+3?的值为( ? ? ? ? 4 A.5 3 C. 2 3 B.5 3 D. 5 )

3 3 4 3 解析:选 A 由条件得 2 sin α+2cos α= 5 ,

1 3 4 即2sin α+ 2 cos α=5. π? 4 ? ∴sin?α+3?=5. ? ? 3π 2.若 α+β= 4 ,则(1-tan α)(1-tan β)的值是________. tan α+tan β 3π 解析:-1=tan 4 =tan(α+β)= , 1-tan αtan β ∴tan αtan β-1=tan α+tan β. ∴1-tan α-tan β+tan αtan β=2, 即(1-tan α)(1-tan β)=2. 答案:2

考点三 [典例]

角的变换

3 1 (2014· 常州一模)已知 α,β 均为锐角,且 sin α=5,tan(α-β)=-3.

(1)求 sin(α-β)的值; (2)求 cos β 的值. [ 解] π? ? (1)∵α,β∈?0,2?, ? ?

π π 从而-2<α-β<2. 1 又∵tan(α-β)=-3<0, π ∴-2<α-β<0. 10 ∴sin(α-β)=- 10 . 3 10 (2)由(1)可得,cos(α-β)= 10 . 3 4 ∵α 为锐角,且 sin α=5,∴cos α=5. ∴cos β=cos[α-(α-β)] =cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β)

4 3 10 3 ? 10? ? =5× 10 +5×?- 10 ? ? 9 10 = 50 . 在本例条件下,求 sin(α-2β)的值. 10 3 10 解:∵sin(α-β)=- 10 ,cos(α-β)= 10 , 9 10 13 10 cos β= 50 ,sin β= 50 . 24 ∴sin(α-2β)=sin[(α-β)-β]=sin(α-β)cos β-cos(α-β)sin β=-25. [类题通法] 1.当“已知角”有两个时,一般把“所求角”表示为两个“已知角”的和 或差的形式; 2.当“已知角”有一个时,此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或 差的关系,然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”; 3.注意角变换技巧. [针对训练] π? 1 π? 2 ? ? 1.设 tan(α+β)=5,tan?β-4?=4,则 tan?α+4?=( ? ? ? ? 13 A.18 3 C.22 解析:选 C 13 B.22 1 D.6 π? π? ? ? tan?α+4?=tan(α+β)-?β-4? ? ? ? ? )

π? ? tan?α+β?-tan?β-4? ? ? 3 = = . π ? ? 22 1+tan?α+β?tan?β-4? ? ? π? 4 π? ? ? 2.设 α 为锐角,若 cos?α+6?=5,则 sin?2α+12?的值为________. ? ? ? ? π? 4 ? 解析:因为 α 为锐角,cos?α+6?=5, ? ? π? 3 π? 24 ? ? 所以 sin?α+6?=5,sin 2?α+6?=25, ? ? ? ?

π? 7 ? cos 2?α+6?=25, ? ? π? π? π? ? ? ? α+6?- ? 所以 sin?2α+12?=sin?2? ? 4? ? ? ? ? 24 2 7 2 17 2 =25× 2 -25× 2 = 50 . 17 2 答案 50


推荐相关:

两角和与差正弦余弦正切学案(答案)

第五节 两角和与差的正弦余弦和正切公式 【考纲】 1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式. 2.能利用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式. 3...


两角和与差的正弦、余弦、正切公式教案

两角和与差的正弦余弦正切公式教案_学习总结_总结/汇报_实用文档。高一数学必修四第三章两角和与差的正弦余弦正切公式教案设计学科...


新高二三角函数及两角和与差的正弦、余弦和正切公式

新高二三角函数及两角和与差的正弦余弦和正切公式_数学_高中教育_教育专区。三角函数及两角和与差的正弦余弦和正切公式 1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式 ...


两角和与差的正弦、余弦和正切公式及二倍角公式专题复习

两角和与差的正弦余弦和正切公式及二倍角公式专题复习_数学_高中教育_教育专区。两角和与差的正弦余弦和正切公式及二倍角公式专题复习一、知识要点: 1.两角...


两角和差正弦余弦正切练习题标准题

让更多的孩子得到更好的教育 3.1 两角和与差的正弦余弦正切公式 1.sin 25 π 11π 11π 5π cos -cos sin 的值是( ) 6 12 6 12 2 2 A.- 答案...


两角和与差正弦,余弦,正切公式试题(含答案)1

两角和差的正弦余弦正切测验题 班级 学号 姓名 得分 . 一、选择题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。) 1. ( ) A.0 D. ? 1 2 ...


两角和与差的正弦、余弦和正切公式 知识点与题型归纳

两角和与差的正弦余弦和正切公式 知识点与题型归纳_数学_高中教育_教育专区。●高考明方向 1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式. 2.能利用两角差的余弦...


两角和与差的正弦余弦正切公式练习题

两角和与差的正弦余弦正切公式练习题_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 两角和与差的正弦余弦正切公式练习题_数学_高中教育_教育专区。...


两角和与差的正弦、余弦、正切公式

提示:在第一章我们用诱导公式五(或六)可以实现正弦余弦的互化,这对我们解决 今天的问题有帮助吗? 让学生动手完成两角和与差正弦和正切公式. ?? ? ? ?? ...


《两角和与差的正弦、余弦、正切公式》

两角和与差的正弦余弦正切公式》_数学_高中教育_教育专区。主动成长 夯基达标 1.(cos ? ? ? ? -sin )(cos +sin )等于( 12 12 12 12 B.- ) ...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 简单学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com