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2015-2016高中数学人教B版必修2同步测试:2.4.1 2《空间直角坐标系 空间两点的距离公式》(含答案)


2.4.1 2《空间直角坐标系 双基达标

空间两点的距离公式》 ?限时20分钟?

1.点 P(2,-3,1)关于坐标原点的对称点是 ( A.(-2,-3,-1) C.(2,-3,-1) B.(-2,3,-1) D.(-2,3,1) ).

解析 点 P(2,-3,1)关于坐标原点的对称点是(-2,3,-1).故选 B

. 答案 B 2.点 M(3,4,1)到点 N(0,0,1)的距离是 ( A.5 C.3 解析 由空间两点间距离公式得, |MN|= ?3-0?2+?4-0?2+?1-1?2=5.故选 A. 答案 A 3.已知点 A(3,5,-7),B(-2,4,3),则线段 AB 的中点坐标是 ( A.(1,9,-4) C.(5,1,-10) ?1 9 ? B.?2,2,-2? ? ? D.(-5,-1,10) ). B.0 D.1 ).

?3-2 5+4 -7+3? ?1 9 ? ?, 解析 由中点坐标公式可得 AB 的中点坐标是? 即?2,2,-2?.故选 , , 2 2 ? ? ? ? 2 B. 答案 B 4.在空间直角坐标系中,点 M(-2,4,-3)在 xOz 平面上的射影为 M1 点,则 M1 关于原 点的对称点坐标是________. 解析 M 点在 xOz 平面上的射影 M1 坐标为(-2,0,-3),M1 关于原点的对称点为(2,0,3). 答案 (2,0,3) 5.已知 A(4,-7,1),B(6,2,z),若|AB|=10,则 z=________. 解析 由|AB|= ?4-6?2+?-7-2?2+?1-z?2=10,解得 z=1± 15.

答案 1± 15 6.已知正四棱锥 P?ABCD 的底面边长为 5 2,侧棱长为 13,试建立适当的空间直角坐 标系,写出各顶点的坐标. 解 若建立如图(1)所示的空间直角坐标系,则各点的坐标为 P(0,0,12), ?5 2 ? ?5 2 5 2 ? 5 2 A? ,- 2 ,0?,B? 2 , 2 ,0? 2 ? ? ? ? ? 5 2 5 2 ? ? 5 2 ? 5 2 ?,D?- ?. C? - , , 0 ,- , 0 2 2 2 2 ? ? ? ?

若建立如图(2)所示的空间直角坐标系, 则各点的坐标为 P(0,0,12),A(5,0,0), B(0,5,0),C(-5,0,0),D(0,-5,0). 综合提高 ?限时25分钟?

7.如图,在空间直角坐标系中,有一棱长为 a 的正方体 ABCO?A′B′C′D′,A′C 的中点 E 与 AB 的中点 F 的距离为 ( A. 2a C.a 解析 A′(a,0,a),C(0,a,0), 2 B. 2 a 1 D.2a ).

?a a a? E 点坐标为?2,2,2?, ? ? a ? ? 而 F?a,2,0?. ? ? ∴|EF|= 答案 B 8.已知点 A(1,-2,11),B(4,2,3),C(6,-1,4),则△ABC 的形状是 ( A.等腰三角形 C.直角三角形 解析 由距离公式得|AB|= 89, |BC|= 14,|AC|= 75, 满足|AC|2+|BC|2=|AB|2,故选 C. 答案 C 9. 已知空间点 A(x,1,2)和点 B(2,3,4), 且|AB|=2 6, 则点 A 到平面 yOz 的距离是________. 解析 ∵|AB|=2 6, ∴(x-2)2+(1-3)2+(2-4)2=24, 即(x-2)2=16, ∴x=-2 或 x=6, ∴点 A 到平面 yOz 的距离为 2 或 6. 答案 2 或 6 10.与点 A(-1,2,3),B(0,0,5)的距离相等的点的坐标满足的条件为________. 解析 设满足条件的点的坐标为 (x , y , z) ,由题意可得 ?x+1?2+?y-2?2+?z-3?2 = B.等边三角形 D.等腰直角三角形 ). a2 a2 2 2 4 +0 + 4 = 2 a,故选 B.

x2+y2+?z-5?2, 即 2x-4y+4z-11=0. 答案 2x-4y+4z-11=0. 11.已知点 A(-4,2,3)关于坐标原点的对称点为 A1,A1 关于 xOz 平面的对称点为 A2,A2 关于 z 轴的对称点为 A3,求线段 AA3 的中点 M 的坐标. 解 ∵点 A(-4,2,3)关于坐标原点的对称点 A1 的坐标为(4,-2,-3), 点 A1(4,-2,-3)关于 xOz 平面的对称点 A2 的坐标为(4,2,-3),

点 A2(4,2,-3)关于 z 轴的对称点 A3 的坐标为(-4,-2,-3), ∴AA3 中点 M 的坐标为(-4,0,0).

12.(创新拓展)如图所示,以棱长为 1 的正方体的具有公共顶点的三条棱所在的直线为坐 标轴,建立空间直角坐标系 Oxyz,点 P 在对角线 AB 上运动,点 Q 在棱 CD 上运动. (1)当 P 是 AB 的中点,且 2|CQ|=|QD|时,求|PQ|的值; (2)当 Q 是棱 CD 的中点时,试求|PQ|的最小值及此时点 P 的坐标. 解 (1)∵正方体的棱长为 1,P 是 AB 的中点, ?1 1 1? ∴P?2,2,2?, ? ? ∵2|CQ|=|QD|, 1? 1 ? ∴|CQ|= ,Q?0,1,3?. 3 ? ? ∴由两点间的距离公式得 |PQ|= ?1 ? ?1 ? ?1 1? ?2-0?2+?2-1?2+?2-3?2 ? ? ? ? ? ?



19 19 36= 6 .

(2)如右图所示,过点 P 作 PE⊥OA 于点 E,则 PE 垂直于坐标平面 xOy,设点 P 的横坐标 为 x,则由正方体的性质可得点 P 的纵坐标也为 x,由正方体的棱长为 1,得 AE= 2(1-x).

AE PE ∵AO=BO, ∴PE= 2?1-x?· 1 =1-x, 2

∴点 P 的坐标为(x,x,1-x). 1? ? 又∴Q?0,1,2?, ? ? ∴|PQ|= = ? 1 ? ?0-x?2+?1-x?2+?-2+x?2 ? ? ? 1? 1 3?x-2?2+2. ? ?

5 3x2-3x+4=

1 ∴当 x=2时, 2 ?1 1 1? |PQ|min= 2 ,点 P 的坐标为?2,2,2?, ? ? 2 即 P 为 AB 的中点时,|PQ|的值最小,最小值为 2 .


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