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直线与方程(教师版)


知能梳理
【知识点一:倾斜角与斜率】 (1)直线的倾斜角 ①关于倾斜角的概念要抓住三点:1、与 x 轴相交;2、x 轴正向;3、直线向上方向。 ②直线与 x 轴平行或重合时,规定它的倾斜角为 0 ③倾斜角 ? 的范围 00 ? ? ? 1800 (2)直线的斜率 ①直线的斜率就是直线倾斜角的正切值,而倾斜角为 90 的直线斜率不存在. 记作 k ? tan ? (? ?

90 )
0
0
0

⑴当直线 l 与 x 轴平行或重合时, ? ? 0 , k ? tan 0 ? 0
0

0

⑵当直线 l 与 x 轴垂直时, ? ? 90 , k 不存在.
0

) x1 ? x2) ②经过两点 P 的直线的斜率公式是 k 1 ( x1 , y1 ), P( x2 , y2(
③每条直线都有倾斜角,但并不是每条直线都有斜率. (3)求斜率的一般方法: ①已知直线上两点,根据斜率公式 k ?

?

y2 ? y1 x2 ? x1

y2 ? y1 ( x2 ? x1 ) 求斜率; x2 ? x1

②已知直线的倾斜角 ? 或 ? 的某种三角函数根据 k ? tan ? 来求斜率; (4)利用斜率证明三点共线的方法: 已知 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), C ( x3 , y3 ) ,若 x1 ? x2 ? x3或k AB ? k BC ,则有 A、B、C 三点共线。 【知识点二:直线平行与垂直】 (1)两条直线平行:对于两条不重合的直线 l1 , l2 ,其斜率分别为 k1 , k 2 ,则有 l1 // l 2 ? k1 ? k 2 特别地,当直线 l1 , l2 的斜率都不存在时, l1与l2 的关系为平行 (2)两条直线垂直:如果两条直线 l1 , l2 斜率存在,设为 k1 , k 2 ,则有 l1 ? l 2 ? k1 ? k 2 ? -1 注:两条直线 l1 , l2 垂直的充要条件是斜率之积为-1,这句话不正确;

由两直线的斜率之积为-1,可以得出两直线垂直;反过来,两直线垂直,斜率之积不一定为-1。如果 l1 , l2 中 有一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为 0 时, l1与l2 互相垂直. 【知识点三:直线的方程】 (1)直线方程的几种形式 名称 ①点斜式 方程的形式 已知条件 局限性 不包括垂直于 x 轴的 直线 不包括垂直于 x 轴的 直线 不包括垂直于 x 轴和

y ? y1 ? k ( x ? x1 )

( x1 , y1 ) 为直线上一定点,

k 为斜率
②斜截式

y ? kx ? b

k 为斜率, b 是直线在 y 轴
上的截距

③两点式

y ? y1 x ? x1 ? y2 ? y1 x2 ? x1

经过两点( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ) 且(x1 ? x2 ,y1 ? y2 )

y 轴的直线

④截距式

x y ? ?1 a b
Ax ? By ? C ? 0
( A ? B ? 0)
2 2

a 是直线在 x 轴上的非零截距, 不包括垂直于 x 轴和

b 是直线在 y 轴上的非零截距

y 轴或过原点的直线
无限制,可表示任何 位置的直线 【不一定】

⑤一般式

A, B, C为系数

问题:过两点 P 1 ( x1 , y1 ), P 2 ( x2 , y2 ) 的直线是否一定可用两点式方程表示? (1)若 x1 ? x2且y1 ? y2 ,直线垂直于 x 轴,方程为 x ? x1 ; (2)若 x1 ? x2且y1 ? y2 ,直线垂直于 y 轴,方程为 y1 ? y2 ; (3)若 x1 ? x2且y1 ? y2 ,直线方程可用两点式表示 直线的点斜式方程实际上就是我们熟知的一次函数的解析式; 利用斜截式求直线方程时,需要先判断斜率存在与否.

用截距式方程表示直线时,要注意以下几点:方程的条件限制为 a ? 0, b ? 0 ,即两个截距均不能为零,因 此截距式方程不能表示过原点的直线以及与坐标轴平行的直线;用截距式方程最便于作图,要注意截距是 坐标而不是长度. 截距与距离的区别:截距的值有正、负、零。距离的值是非负数。截距是实数,不是“距离” ,可正可负。 截距式方程的应用 ①与坐标轴围成的三角形的周长为: |a|+|b|+ a ? b ;
2 2

②直线与坐标轴围成的三角形面积为: S=

1 | ab | ; 2

③直线在两坐标轴上的截距相等,则 k ? ?1 或直线过原点,常设此方程为 x ? y ? a或y ? kx

(2)线段的中点坐标公式

若点P 1, P 2的坐标分别是( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ),

x ?x ? x? 1 2 ? ? 2 且线段P 1P 2的中点M ( x, y )的坐标为 ? ? y ? y1 ? y2 ? ? 2
【知识点四 直线的交点坐标与距离】 (1)两条直线的交点 设两条直线的方程是 l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 , l2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 两条直线的交点坐标就是方程组 ?

? A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 的解。 ? A2 x ? B2 y ? C2 ? 0

①若方程组有唯一解,则这两条直线相交,此解就是交点的坐标; ②若方程组无解,则两条直线无公共点,此时两条直线平行. (2)几种距离 两点间的距离:平面上的两点 P 1 ( x1 , y1 ), P 2 ( x2 , y2 ) 间的距离公式

|P 1P 2 |?

( x2 ? x1 ) 2 ? ( y2 ? y1 ) 2

特别地,原点 O(0, 0) 与任一点 P( x, y ) 的距离 | OP |?

x2 ? y2

点到直线的距离:点 P 0 ( xo , y0 ) 到直线 Ax ? By ? C ? 0 的距离

d ?

| Ax0 ? By0 ? C | A2 ? B 2

两条平行线间的距离:两条平行线 Ax ? By ? C1 ? 0与Ax ? By ? C2 ? 0 间的距离

d?

| C1 ? C2 | A2 ? B 2

注:1 求点到直线的距离时,直线方程要化为一般式; 2 求两条平行线间的距离时,必须将两直线方程化为系数相同的一般形式后,才能套用公式计算。

精讲精练
【例 1】已知 取值范围是( A 答案:B 分析:由于直线 l 与线段 AB 有公共点,故直线 l 的斜率应介于 OA,OB 斜率之间. 解:由题意, , ,由于直线 l 与线段 AB 有公共点, ) B C D , ,直线 l 过原点 O 且与线段 AB 有公共点,则直线 l 的斜率的

所以直线 l 的斜率的取值范围是 考点:本题主要考查直线的斜率公式,考查直线 l 与线段 AB 有公共点,应注意结合图象理解. 【例 2】在坐标平面内,与点 A(1,2)距离为 1,且与点 B(3,1)距离为 2 的直线共有( A1条 答案:B 分析:由题意,A、B 到直线距离是 1 和 2,则以 A、B 为圆心,以 1、2 为半径作圆,两圆的公切线的条 数即可. 解:分别以 A、B 为圆心,以 1、2 为半径作圆,两圆的公切线有两条,即为所求. 考点:本题考查点到直线的距离公式,考查转化思想 【例 3】将直线 l1:y=2x 绕原点逆时针旋转 60° 得直线 l2,则直线 l2 到直线 l3:x+2y﹣3=0 的角为( A 30° 答案:A 分析:结合图象,由题意知直线 l1l3 互相垂直,不难推出 l2 到直线 l3:x+2y﹣3=0 的角. 解:记直线 l1 的斜率为 k1,直线 l3 的斜率为 k3,注意到 k1k3=﹣1,l1⊥l3,依题意画出示意图,结合图形 分析可知,直线 l2 到直线 l3 的角是 30° B 60° C 120° D 150° ) B2条 C3条 D4条 )

考点:本题考查直线与直线所成的角,涉及到角公式

【例 4】方程 x ? y ? 1 所表示的图形的面积为_________。 答案: 2 解:方程 x ? y ? 1 所表示的图形是一个正方形,其边长为 2 【例 5】设 a ? b ? k (k ? 0, k为常数) ,则直线 ax ? by ? 1 恒过定点 答案: ( , ) 解: ax ? by ? 1 变化为 ax ? (k ? a) y ? 1, a( x ? y) ? ky ? 1 ? 0, 对于任何 a ? R 都成立,则 ? .

1 1 k k

?x ? y ? 0 ? ky ? 1 ? 0

【例 6】一直线过点 M (?3, 4) ,并且在两坐标轴上截距之和为 12 ,这条直线方程是__________. 答案: 4 x ? y ? 16 ? 0 ,或 x ? 3 y ? 9 ? 0 解:设 y ? 4 ? k ( x ? 3), y ? 0, x ?

?4 ?4 ? 3; x ? 0, y ? 3k ? 4; ? 3 ? 3k ? 4 ? 12 k k 4 1 3k ? ? 11 ? 0,3k 2 ? 11k ? 4 ? 0, k ? 4, 或k ? ? k 3

【例 7】已知 A(1,2) ,B(3,4) ,直线 l1:x=0,l2:y=0 和 l3:x+3y﹣1=0、设 Pi 是 li(i=1,2,3)上 与 A、B 两点距离平方和最小的点,则△P1P2P3 的面积是________ 答案: 分析:设出 P1,P2,P3,求出 P1 到 A,B 两点的距离和最小时,P1 坐标,求出 P2,P3 的坐标,然后再解 三角形的面积即可. 解:设 P1(0,b) ,P2(a,0) ,P3(x0,y0) 由题设点 P1 到 A,B 两点的距离和为

显然当 b=3 即 P1(0,3)时,点 P1 到 A,B 两点的距离和最小,同理 P2(2,0) ,P3(1,0) ,所以

考点:本题考查得到直线的距离公式,函数的最值,考查函数与方程的思想,是中档题. 【例 8】已知直线(a﹣2)y=(3a﹣1)x﹣1,为使这条直线不经过第二象限,则实数 a 的范围是___ 答案:[2,+∞) 分析:由已知中直线(a﹣2)y=(3a﹣1)x﹣1 不经过第二象限,我们分别讨论 a﹣2=0(斜率不存在) ,a ﹣2≠0(斜率存在)两种情况,讨论满足条件的实数 a 的取值,进而综合讨论结果,得到答案. 解:若 a﹣2=0,即 a=2 时,直线方程可化为 x= ,此时直线不经过第二象限,满足条件; 若 a﹣2≠0,直线方程可化为 y= 得 a>0 综上满足条件的实数 a 的范围是[2,+∞) x﹣ ,此时若直线不经过第二象限,则 ≥0, ≥0,解 ___

考点:本题考查的知识点是确定直线位置的几何要素,其中根据直线的斜截式方程中,当 k≥0 且 b≤0 时, 直线不过第二象限得到关于 a 的不等式组, 是解答本题的关键, 但解答时, 易忽略对 a﹣2=0 (斜率不存在) 时的讨论,而错解为(2,+∞) 。 【例 9】 直线 y ? ?

3 在线段 AB 为边在第一象限内作等边△ ABC , x ? 1 和 x 轴,y 轴分别交于点 A, B , 3

如果在第一象限内有一点 P ( m, ) 使得△ ABP 和△ ABC 的面积相等,求 m 的值。 解:由已知可得直线 CP // AB ,设 CP 的方程为 y ? ?

1 2

3 x ? c, (c ? 1) 3



3 c ?1 3 1 x ? 3 过 P (m, ) ? AB ? ? 3, c ? 3 , y ? ? 3 2 2 1 1? 3



1 3 5 3 ?? m ? 3, m ? 2 3 2

【例 10】已知点 A(1,1) , B (2, 2) ,点 P 在直线 y ?
2 2

1 2 2 x 上,求 PA ? PB 取得最小值时 P 点的坐标。 2

2 2 2 2 2 解:设 P(2t , t ) ,则 PA ? PB ? (2t ? 1) ? (t ? 1) ? (2t ? 2) ? (t ? 2) ? 10t ? 14t ? 10

当t ?

7 7 7 2 2 时, PA ? PB 取得最小值,即 P( , ) 10 5 10

【例 11】在△ABC 中,已知 BC 边上的高所在直线的方程为 x﹣2y+1=0,∠ A 的平分线所在直线的方程为 y=0.若点 B 的坐标为(1,2) ,求点 C 的坐标.

分析:根据三角形的性质解 A 点,再解出 AC 的方程,进而求出 BC 方程,解出 C 点坐标.逐步解答. 解:点 A 为 y=0 与 x﹣2y+1=0 两直线的交点,∴ 点 A 的坐标为(﹣1,0) .∴ 又∵∠A 的平分线所在直线的方程是 y=0,∴

kAB=

=1.

kAC=﹣1. ∴ 直线 AC 的方程是 y=﹣x﹣1.

而 BC 与 x﹣2y+1=0 垂直,∴ kBC=﹣2. ∴ 直线 BC 的方程是 y﹣2=﹣2(x﹣1) . 由 y=﹣x﹣1,y=﹣2x+4, 解得 C(5,﹣6) 考点:直线的点斜式方程。本题可以借助图形帮助理解题意,将条件逐一转化求解

【例 12】直线 l 过点 P(2,1) ,且分别与 x ,y 轴的正半轴于 A,B 两点,O 为原点. (1)求△AOB 面积最小值时 l 的方程; (2)|PA|?|PB|取最小值时 l 的方程. 分析: (1)设 AB 方程为 ,点 P(2,1)代入后应用基本不等式求出 ab 的最小值,即得三角形 OAB

面积面积的最小值. (2)设直线 l 的点斜式方程,求出 A,B 两点的坐标,代入|PA|?|PB|的解析式,使用基 本不等式,求出最小值,注意检验等号成立条件. 解: (1)设 A(a,0) 、B(0,b ) ,a>0,b>0,AB 方程为 ≥2 ,∴ab≥8 (当且仅当 a=4,b=2 时,等号成立) , ,即 x+2y﹣4=0. ,点 P(2,1)代入得

故三角形 OAB 面积 S= ab≥4,此时直线方程为:

(2)设直线 l:y﹣1=k(x﹣2) ,分别令 y=0,x=0,得 A(2﹣ ,0) ,B(0,1﹣2k) . 则|PA|?|PB|=
2

=

≥4,

当且仅当 k =1,即 k=± 1 时,|PA|?|PB|取最小值, 又∵ k<0,∴ k=﹣1,这时 l 的方程为 x+y﹣3=0. 考点:本题考查直线在坐标轴上的截距的定义,直线的截距式方程,以及基本不等式的应用. 1 【例 13】求倾斜角是直线 y=- 3x+1 的倾斜角的 ,且分别满足下列条件的直线方程: 4 (1)经过点( 3,-1);(2)在 y 轴上的截距是-5. 解:∵直线的方程为 y=- 3x+1,∴k=- 3,倾斜角 α=120° , 由题知所求直线的倾斜角为 30° ,即斜率为 3 . 3 3 (x- 3),即 3x-3y-6=0. 3 3 x-5,即 3x-3y-15=0. 3

(1)∵直线经过点( 3,-1),∴所求直线方程为 y+1=

(2)∵直线在 y 轴上的截距为-5,∴由斜截式知所求直线方程为 y= 【例 14】已知直线 l:kx-y+1+2k=0 (1)证明:直线 l 过定点;

(2)若直线 l 交 x 负半轴于 A,交 y 正半轴于 B,△AOB 的面积为 S,试求 S 的最小值并求出此时直线 l 的方程。 解:(1) 证明:由已知得 k(x+2)+(1-y)=0, ∴无论 k 取何值,直线过定点(-2,1)。 1 (2) 令 y=0 得 A 点坐标为(-2- ,0), k 令 x=0 得 B 点坐标为(0,2k+1)(k>0), 1 1 1 1 1 1 1 ∴S△AOB= |-2- ||2k+1| = (2+ )(2k+1) = (4k+ +4) ≥ (4+4)=4 2 k 2 k 2 k 2 1 1 当且仅当 4k= ,即 k= 时取等号。 k 2

1 即△AOB 的面积的最小值为 4,此时直线 l 的方程为 x-y+1+1=0 , 即 x-2y+4=0 2 【例 15】已知函数 ,g(x)=x+a(a>0) ;

(1)求 a 的值,使点 M(f(x) ,g(x) )到直线 x+y﹣1=0 的最短距离为 (2)若不等式

在 x∈[1,4]恒成立,求 a 的取值范围。

分析: (1)先用点到直线的距离公式表示距离,利用换元法,进而利用二次函数的配方法即可求解; (2)将绝对值符号化去,从而转化为 ﹣2t+a ≤0 在 t∈[1,2]上恒成立,从而得解. 解: (1)由题意得 M 到直线的距离 ,
2

上恒成立,进而利用换元法转化为 at

2





∵ ∴

t≥0 ∴ a≥1 时, a =30<a<1 时,dmin=0,不合题意 综上 a=3

即 t=0 时,

(2)由

即 令
2

上恒成立,也就是
2 2

在[1,4]上恒成立

,且 x=t ,t∈[1,2] ,由题意 at ﹣2t+a ≤0 在 t∈[1,2]上恒成立
2 2

设 ? (t)=at ﹣2t+a ,则要使上述条件成立,只需 即满足条件的 a 的取值范围是 考点:本题以函数为载体,考查点线距离,考查恒成立问题,关键是掌握距离公式,熟练恒成立问题的处 理策略.


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