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线面平行


课题:必修②§2.2.1 直线与平面平行的判定
广州市第四十七中学 2011-11-5 一、学与教的基本面分析 1.学习内容及分析 本节教材选自人教 A 版数学必修②第二章第二节的第一课,本节课是在前面已学空间 点、线、面位置关系的基础作为学习的出发点,结合有关的实物模型,通过直观感知、操作 确认(合情推理,不要求证明)归纳出直线与平面平行的判定定理。同时,直线与平面问题是 高考考查的重点之一,求解的关键是根据线与面之间的互化关系,借助创设辅助线与面,找 出符号语言与图形语言之间的关系把问题解决。 通过对有关概念和定理的概括、 证明和应用, 使学生体会“转化”的观点, 提高学生的空间想象能力和逻辑推理能力, 特别是对线线平行、 面面平行的判定的学习有着重要的辐射作用。 因此, 本节内容在立几学习中起着承上启下的 作用,意义重大。 2. 学生学习的起点知识与技能分析 (1)学生具备必要的知识与心理基础. 通过前面的学习, 学生已经了解简单几何体的模型, 具备一定的看直观图想象实物的能 力,这为本节课通过实物模型和直观图,判断线面关系提供了一定的知识基础。线面平行关 系是在生活中广泛存在的,是学生乐于探究和便于理解的。因此,学生具备本节知识的心理 准备和情感基础。 (2)学生能力分析 任教的学生在年段属中上程度,学生学习兴趣较高,感知能力较强,同时,具备一定的 分析问题能力和合情推理能力。 但学习立几所具备的语言表达及空间感与空间想象能力相对 不足,逻辑推理证明方面有一定困难。 3. 该专题的学习特点及分析 (1)从具体模型到抽象的定理 遵循从具体到抽象的原则,适当运用多媒体辅助教学手段,借助实物模型,合情推理, 归纳出直线与平面平行的判定定理,让学生在观察分析、自主探索、合作交流的过程中,揭 示直线与平面平行的判定、理解数学的概念,领会数学的思想方法,养成积极主动、勇于探 索、自主学习的学习方式,发展学生的空间观念和空间想象力,提高学生的数学逻辑思维能 力。 (2)运用判定定理证明立体几何问题 理解并掌握直线与平面平行的判定定理, 将合情推理与演绎推理有机结合, 掌握直线与 平面平行的画法并能准确使用数学符号语言、 文字语言表述判定定理。 培养学生观察、 探究、 发现的能力和空间想象能力、逻辑思维能力。让学生在观察、探究、发现中学习,在自主合 作、交流中学习,体验学习的乐趣,增强自信心,树立积极的学习态度,提高学习数学的成 就感。 二、学与教的目标定位 通过直观感知——观察——操作确认的认识方法, 理解、 掌握直线与平面平行的判定定 理,体会该定理在证明问题中的运用。 (1)理解并掌握直线与平面平行的判定定理。 (2)进一步培养学生观察、发现的能力和空间想象能力。 (3)能把线面平行关系(空间问题)转化为线线平行关系(平面问题)进行问题解决,进 彭建平

一步体会数学化归的思想方法,结合例题,使学生养成证题规范的习惯,不断培养学生的数 学思维能力。 三、学与教的重点与难点 根据教参建议, “直线与平面平行的判定” 安排 1 个课时学习, 故本节课学与教的重点、 难点如下: 1.学与教的重点 直线和平面平行的判定定理的发现和应用。 2.学与教的难点 定理的应用及证明过程的书写格式。 四、学与教的方式与方法分析 1、教法分析:根据本节内容较抽象,学生不易理解的特点,本节教学采用启发式教学,辅 以观察法、发现法、练习法、讲解法。采用这些方法的原因是高一学生的空间想象能力比较 差,只能通过对实物的观察及一定的练习才能掌握本节知识。 2、学法分析:通过对直观教具的观察,教会学生观察——猜想——证明的学习方法,让学 生进一步了解 “转化” 的数学思想方法, 在教学中培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力, 并在教学中逐步提高学生论证问题的能力。 五、学与教的过程设计 (一)知识准备、新课引入 提问 1:根据公共点的情况,空间中直线 a 和平面 ? 有哪几种位置关系?并完成下表: (多媒体幻灯片演示)

位置关系 公共点情况 符号表示 图形表示 我们把直线与平面相交或平行的位置关系统称为直线在平面外,用符号表示为 a ? ? 提问 2:根据直线与平面平行的定义 (没有公共点)来判定直线与平面平行你认为方便 吗?谈谈你的看法,并指出是否有别的判定途径。 [设计意图:通过提问,学生复习并归纳空间直线与平面位置关系引入本节课题,并为 探寻直线与平面平行判定定理作好准备。] (二)判定定理的探求过程 1、直观感知 提问:根据同学们日常生活的观察,你们能举出直线与平面平行的具体实例吗? 生 1:例举日光灯与天花板,树立的电线杆与墙面。 生 2:门转动到离开门框的任何位置时,门的边缘线始终与门框所在的平面平行(由学

生到教室门前作演示),然后教师用多媒体动画演示。 [学情预设:此处的预设与生成应当是很自然的,但老师要预见到可能出现的情况如电 线杆与墙面可能共面的情形及门要离开门框的位置等情形。] 2、动手实践 教师取出预先准备好的直角梯形泡沫板演示: 当把互相平行的一边放在讲台桌面上并转 动,观察另一边与桌面的位置给人以平行的感觉,而当把直角腰放在桌面上并转动,观察另 一边与桌面给人的印象就不平行。 [设计意图:设置这样动手实践的情境,是为了让学生更清楚地看到线面平行与否的关 键因素是什么,使学生学在情境中,思在情理中,感悟在内心中,学自己身边的数学,领 悟空间观念与空间图形性质。] 3、探究思考 (1)上述演示的直线与平面位置关系为何有如此的不同?关键是什么因素起了作用呢? 通过观察感知发现直线与平面平行,关键是三个要素:①平面外一条线 线 ③这两条直线平行 (2)如果平面外的直线 a 与平面 ? 内的一条直线 b 平行,那么直线 a 与平面 ? 平行吗? 4、归纳确认: (多媒体幻灯片演示) 直线和平面平行的判定定理: 平面外的一条直线与平面内的一条直线平行, 则该直线和 这个平面平行。 简单概括: (内外)线线平行 ? 线面平行 ②平面内一条直

a ? ?? ? 符号表示: b ? ? ? ? a || ? a || b ? ?
温馨提示: 作用:判定或证明线面平行。 关键:在平面内找(或作)出一条直线与面外的直线平行。 思想:空间问题转化为平面问题(空间问题平面化) (三)定理运用,问题探究(多媒体幻灯片演示) 1、想一想: (1)判断下列命题的真假?说明理由: ①直线与平面没有公共点,则直线与平面行。( ②若 a ∥ b , b ? ) ) )

? ,则 a∥ ? (其中 a , b 表示直线, ? 表示平面)(
)

③如果两条平行线中有一条平行于这个平面,那么另外一条直线也平行于该平面。( ④一直线上有两个点到平面的距离相等,则这条直线与平面平行(

[学情预设:设计这组问题目的是强调定理中三个条件的重要性,同时预设(1)中的③④

学生可能认为正确的,这样就无法达到老师的预设与生成的目的,这时教师要引导学生思 考,让学生想象的空间更广阔些。此外教师可用预先准备好的羊毛针与泡沫板进行演示, 让羊毛针穿过泡沫板以举不平行的反例,如果有的学生空间想象力强,能按老师的要求生 成正确的结果则就由个别学生进行演示。] 2、证一证: 例 1(见课本 55 页例 1):已知空间四边形 ABCD 中,E、F 分别是 AB、AD 的中点,求证: EF || 平面 BCD。 变式一:条件改为

AE AF ? 时, EF∥平面 BCD 吗? AB AD

变式二:变式:空间四边形 ABCD 中,E、F、G、H 分别是边 AB、AD、CD、CB 中点, 连结 EF、FG、GH、HE、AC、BD 请分别找出图中满足线面平行位置关系的所有情况。(共 6 组线面平行) [设计意图:设计本变式训练,目的是通过问题探究、讨论,思辨,及时巩固定理,运 用定理,把找空间平行直线问题转化为找三角形中位线或平行四边形问题,培养学生的识 图能力与逻辑推理能力。] 3、练一练: 练习 1:见课本 55 页练习 1、2 练习 2:将两个全等的正方形 ABCD 和 ABEF 拼在一起,设 M、N 分别为 AC、BF 中点, 求证:MN || 平面 BCE。 变式:若将练习 2 中 M、N 改为 AC、BF 分点且 AM = FN,试问结论仍成立吗?试证之。 [设计意图:设计这组练习,目的是为了巩固与深化定理的运用,特别是通过练习 2 及 其变式的训练,让学生能在复杂的图形中去识图,去寻找分析问题、解决问题的途径与方 法,以达到逐步培养空间感与逻辑思维能力。] 4、作一作: 设 a、b 是二异面直线,则过 a、b 外一点 p 且与 a、b 都平行的平面存在吗?若存在请 画出平面,不存在说明理由? 先由学生讨论交流,教师提问,然后教师总结,并用准备好的羊毛针、铁线、泡沫板等 演示平面的形成过程,最后借多媒体展示作图的动画过程。本例可作为学生课后思考题。 [设计意图:这是一道动手操作的问题,不仅是为了拓展加深对定理的认识,更重要的 是培养学生空间感与思维的严谨性。]

(四)总结 先由学生口头总结,然后教师归纳总结(由多媒体幻灯片展示) : 1、线面平行的判定定理:平面外的一条直线与平面内的一条直线平行,则该直线与这 个平面平行。

a ? ?? ? 2、定理的符号表示: b ? ? ? ? a || ? a || b ? ?
简述: (内外)线线平行则线面平行 3、定理运用的关键是找(作)面内的线与面外的线平行,途径有:取中点利用平行四 边形或三角形中位线性质等。
D1 F C1 B1

(五)作业
A1

课本 P62,第 3 题 补充:如图,在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中, E、F 分别是棱 BC 与 C1D1 中点, 求证:EF || 平面 BDD1B1
A D

C E B

分析:根据判定定理必须在平面 BDD1B1 内找(作)一条线与 EF 平行,联想到中点问题 找中点解决的方法,可以取 BD 或 B1D1 中点而证之。 思路一:取 BD 中点 G 连 D1G、EG,可证 D1GEF 为平行四边形。 思路二:取 D1B1 中点 H 连 HB、HF,可证 HFEB 为平行四边形。 [知识链接:根据空间问题平面化的思想,因此把找空间平行直线问题转化为找平行四 边形或三角形中位线问题,这样就自然想到了找中点。平行问题找中点解决是个好途径好 方法。这种思想方法是解决立几论证平行问题,培养逻辑思维能力的重要思想方法]


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