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:第3讲 函数的基本性质


(5)简单性质 ①奇函数在其对称区间上的单调性相同; ②偶函数在其对称区间上的单调性相反; ③在公共定义域内: 增函数 f ( x) ? 增函数 g ( x) 是增函数; 减函数 f ( x) ? 减函数 g ( x) 是减函数; 增函数 f ( x) ? 减函数 g ( x) 是增函数; 减函数 f ( x) ? 增函数 g ( x) 是减函数。 4.周期性 (1) 定义: 如

果存在一个非零常数 T, 使得对于函数定义域内的任意 x, 都有 f(x+T)= f(x), 则称 f(x)为周期函数; (2)性质:①f(x+T)= f(x)常常写作 f ( x ?

T T ) ? f ( x ? ), 若 f(x)的周期中,存在一个最小 2 2

的正数,则称它为 f(x)的最小正周期;②若周期函数 f(x)的周期为 T,则 f(ωx)(ω≠0)是周 期函数,且周期为

T |? |



四.典例解析
题型一:判断函数的奇偶性 例 1.讨论下述函数的奇偶性:

16x ? 1 ? 2 x (1) f ( x) ? ; 2x

?1n( x ? 1 ? x )(x ? 0) ? (2) f ( x) ? ?0 ( x ? 0) ; ? ?1n( 1 ? x ? ? x )(x ? 0)

(3) f ( x) ? 1og2 ( 1 ? x 2 ? x 2 ? 1 ? 1);

a2 ? x2 (4) f ( x) ? (常数a ? 0); | x ? a | ?a
例 2.设函数 f(x)在(-∞,+∞)内有定义,下列函数:①y=-|f(x)|;②y=xf(x2); ③y=-f(-x);④y=f(x)-f(-x)。 必为奇函数的有_____(要求填写正确答案的序号) 题型二:奇偶性的应用 例 3.设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,若当 x≥0 时,f(x)=log3(1+x),则 f(-2) =____ _。 例 4.已知定义在 R 上的函数 y= f(x)满足 f(2+x)= f(2-x),且 f(x)是偶函数,当 x∈[0, 2]时,f(x)=2x-1,求 x∈[-4,0]时 f(x)的表达式。 例 5.设 a ? 0 , f ( x) ?

ex a ? 是 R 上的偶函数。 a ex

(1)求 a 的值;(2)证明 f ( x ) 在 (0, ??) 上为增函数。 例 6. 已知 f(x)是定义在 R 上的增函数, 对 x∈R 有 f(x)>0, 且 f(5)=1, 设 F(x)= f(x)+ 讨论 F (x)的单调性,并证明你的结论。 例 7.设函数 f(x)= 单调区间上的单调性。 (2)已知 f ( x) ? 8 ? 2 x ? x2 , 若 g ( x) ? f (2 ? x2 ) 试确定 g ( x) 的单调区间和单调性。 题型五:单调性的应用 例 9.已知偶函数 f(x)在(0,+∞)上为增函数,且 f(2)=0,解不等式 f[log2(x2+5x+4)]≥0。 。 题型六:最值问题 例 11.设 a 为实数,函数 f(x)=x2+|x-a|+1,x∈R。 (1)讨论 f(x)的奇偶性;(2)求 f(x)的最小值。 例 12.设 m 是实数,记 M={m|m>1},f(x)=log3(x2-4mx+4m2+m+

1 , f ( x)

x?a (a>b>0),求 f(x)的单调区间,并证明 f(x)在其 x?b

1 )。 m ?1

(1)证明:当 m∈M 时,f(x)对所有实数都有意义;反之,若 f(x)对所有实数 x 都有意 义,则 m∈M; (2)当 m∈M 时,求函数 f(x)的最小值; (3)求证:对每个 m∈M,函数 f(x)的最小值都不小于 1。 题型七:周期问题 例 13.若 y=f(2x)的图像关于直线 x ? ( ) A.

a b 和 x ? (b ? a ) 对称,则 f(x)的一个周期为 2 2 b?a 2

a?b 2

B. 2(b ? a)

C.

D. 4(b ? a)

例 14 . 已 知 函 数 y ? f ( x) 是 定 义 在 R 上 的 周 期 函 数 , 周 期 T ? 5 , 函 数

y ? f( x) (? 1? x ? 1) 是奇函数又知 y ? f ( x) 在 [0,1] 上是一次函数,在 [1, 4] 上是二次函
数,且在 x ? 2 时函数取得最小值 ?5 。 ①证明: f (1) ? f (4) ? 0 ; ②求 y ? f ( x), x ?[1, 4] 的解析式; ③求 y ? f ( x) 在 [4,9] 上的解析式。


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