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100测评网高三数学复习南通市2009届高三第四次统一测试数学试题


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南通市 2009 届高三第四次统一测试数学试题 第Ⅰ部分必考内容
(命题单位:通州中学 满分 160 分,答卷时间 120 分钟) 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.不需写出解答过程,请把 答案填写在答题纸相应位置上. 1

.对于命题p: ?x ? R ,使得x 2+ x +1 < 0.则 ? p 为:_________. 2.复数 z1 ? 3 ? i , z2 ? 1 ? i ,则复数 3.“ x ? 1 ”是“ x ? x ”的
2

z1 在复平面内对应的点位于第_______象限. z2
条件.

4.一个靶子上有 10 个同心圆,半径依次为 1、2、……、10,击中由内至外的区域 的成绩依次为 10、9、……、1 环,则不考虑技术因素,射击一次,在有成绩的情 况下成绩为 10 环的概率为 . ?x ? y ≤ 3 2 2 5.设 x 、 y 满足条件 ? . ? y ≤ x ? 1 ,则 z ? ( x ? 1) ? y 的最小值 ?y≥0 ? 6.如果执行下面的程序框图,那么输出的 S ?

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7.△ABC 中, AB ? 3, AC ? 1, ?B ? 30? ,则△ABC 的面积等于_________. 8.给出下列命题: ①变量 y 与 x 之间的相关系数 r ? ?0.9568 ,查表到相关系数的临界值为

r0.05 ? 0.8016 ,则变量 y 与 x 之间具有线性关系;
② a ? 0, b ? 0 则不等式 a3 ? b3 ? 3ab2 恒成立; ③ 对于函数 f ? x ? ? 2 x2 ? mx ? n. 若 f ? a ? ? 0. f ? b ? ? 0, 则函数在 ? a, b ? 内至多有 一个零点; ④ y ? f ? x ? 2? 与 y ? f ? 2 ? x ? 的图象关于 x ? 2 对称. 其中所有正确命题的序号是__________. 1 9.若?ABC 内切圆半径为 r,三边长为 a、b、c,则?ABC 的面积 S= r (a+b+c) 类 2 比到空间,若四面体内切球半径为 R,四个面的面积为 S1、S2 、S3 、S4,则四 面体的体积 V= .
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

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10.已知 a ? 2 b ? 0 ,且关于 x 的函数 f(x)= 则 a 与 b 的夹角范围为_______.

1 3 1 x ? a x 2 ? a ? bx 在 R 上有极值, 3 2

11. 已知数列 ?an ? 为等差数列, 且 a1 ? a7 ? a13 ? 4? , 则a tn ( 12.函数 f ( x) ? ln( x ? 1) ?

a2 ? ) a 2 1

? ________.

2 的零点所在的区间是(n,n+1) ,则正整数 n=______. x

13.四棱锥 P ? ABCD 的顶点 P 在底面 ABCD 中的投影恰好是 A,其三视图如图: 则四棱锥 P ? ABCD 的表面积为 .

主 视 a 图 D 俯 视 图 A a B C

左 视 图

a

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14.已知点 P 是抛物线 y 2 ? 4 x 上的动点,点 P 在 y 轴上的射影是 M,点 A 的坐标 是(4,a) ,则当 | a | ? 4 时, | PA | ? | PM | 的最小值是 .

二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算 步骤 15.(本题满分 12 分)某校从参加高一 频 率 组 距 年级期末考试的学生中抽出 60 名学生,将其成绩(是不小于 40 不大于 100 的整数)分成六段

?40,50? , ?50,60? … ?90,100? 后
(1)求第四小组的频率,并补全 这个画出如下部分频率分布直方图. (2) 观察频率分布直方图图形的 信息,估计这次考试的及格率( 60 分及以上为及格)和平均分.

0.025 0.015 0.01 0.005 40 50 60 70 80 90 100 分 数

16. (本题满分 13 分)如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F 为棱 AD、 AB 的中点. (1)求证:EF∥平面 CB1D1; (2)求证:平面 CAA1C1⊥平面 CB1D1.

D1 A1 B1

C1

E A

D F B

C

17.(本题满分 15 分)在 ?ABC 中, a ,b , c 分别是角 A、B、C 的对边, m ? ( 2b ? c ,cosC ),n ? ( a , cos A ) ,且 m// n . (1)求角 A 的大小; (2)求 y ? 2 sin B ? cos(
2

?

?

?

?

?
3

? 2 B) 的值域.

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18.(本题满分 15 分)椭圆 C 的中心为坐标原点 O,焦点在 y 轴上,离心率 e = 椭圆上的点到焦点的最短距离为 1- 交于相异两点 A、B,且 AP (1)求椭圆方程; (2)若 OA+? OB = 4OP ,求 m 的取值范围.

2 , 2

2 , 直线 l 与 y 轴交于点 P(0,m) ,与椭圆 C 2

=? PB .

19. (本题满分 16 分) 已知数列 {an } 的首项 a1 ? 1 前 n 项和为 Sn , 且 Sn ?1 、 ,a2 ? 3 ,

Sn 、 Sn?1 (n ≥2)分别是直线 l 上的点 A、B、C 的横坐标, AB ? b1 ? 1 , bn?1 ? log2 (an ? 1) ? bn .
⑴ 判断数列 {an ? 1} 是否为等比数列,并证明你的结论;
bn?1 ?1

2an ? 1 BC ,设 an

n 4 n ?1 ⑵ 设 cn ? ,证明: ? C k ? 1 . an an ?1 k ?1

20. 对于函数 f ( x ) , 若存在 x0 ? R , 使 f ( x0 ) ? x0 成立, 则称 x0 为 f ( x ) 的不动点。

x2 ? a (b, c ? N *) 有 且 仅 有 两 个 不 动 点 0 、 2 , 且 如 果 函 数 f ( x) ? bx ? c 1 f ( ? 2 )? ? 。 2 (1)试求函数 f ( x ) 的单调区间;
(2)点 A( x1, f ( x1 )), B( x2 , f ( x2 )), C (x3 , f (x3 )) 从左到右依次是函数 y ? f ( x) 图象上三点,其中 1 ? xi ? 2(i ? 1, 2,3), 求证:⊿ ABC 是钝角三角形.

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第Ⅱ部分

加试内容

(命题单位:通州中学 满分 40 分,答卷时间 30 分钟) 一.必答题:本大题共 2 小题,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 1. (本小题满分 10 分)一个盒子装有六张卡片,上面分别写着如下六个定义域为 R 的函数:f1(x)=x,f2(x)=x2,f3(x)=x3,f4(x)=sinx,f5(x)=cosx,f6(x)=2. (1)现从盒子中任取两张卡片,将卡片上的函数相加得一个新函数,求所得函数是 奇函数的概率; (2)现从盒子中进行逐一抽取卡片,且每次取出后均不放回,若取到一张记有偶函 数的卡片则停止抽取,否则继续进行,求抽取次数 ? 的分布列和数学期望.

2. (本小题满分 10 分)已知数列 {an } 满足 a1 ? 1 ,且 4an?1 ? an an?1 ? 2an ? 9 ( n? N ) (1)求 a1 , a2 , a3 , a4 的值; (2)由(1)猜想 {an } 的通项公式,并给出证明. 二、选答题:本大题共 4 小题,请从这 4 题中选做 2 小题,如果多做,则按所做的 前两题记分.每小题 10 分,共 20 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步 骤. 3. (几何证明选讲) (本小题满分10分)如图所示,已知PA与⊙O相切,A为切点, PBC为割线, ,弦CD∥AP,AD、BC相交于E 点,F为CE上一点,且DE2=EF· EC? (1)求证:?P=?EDF; (2)求证:CE· EB=EF· EP. F C D O · E B A P
?

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4. (矩阵与变换) (本小题满分 10 分)设 M 是把坐标平面上的点的横坐标伸长到 2 倍,纵坐标伸长 到 3 倍的伸压变换. 求逆矩阵 M 的方程.
?1

以及椭圆

x2 y 2 ? ? 1 在 M ?1 的作用下的新曲线 4 9

5. (坐标系与参数方程) (本小题满分 10 分)已知直线 l 经过点 P(1,1) ,倾斜角 ? ? (1)写出直线 l 的参数方程; (2)设 l 与圆 x ? y ? 4 相交与两点 A, B ,求点 P 到 A, B 两点的距离之积.
2 2

?
6



6. (不等式选讲) (本小题满分 10 分)设 x ? y ? z ? 1, 求 F ? 2 x2 ? 3 y 2 ? z 2 的最大值.

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数学试题(答卷)
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.不需写出解答过程,请把 答案直接填写在相应位置上. 1.________________2._____________3._______________ 4.____________ 5._______________6.______________7._______________ 8.____________ 9._______________ 10.____________ 11.______________ 12.___________ 13._________________ 14._______________ 二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算 步骤 15.(本题满分 12 分)
频 率 组 距

0.025 0.015 0.01 0.005 40 50 60 70 80 90 100 分 数

D1 A1 B1

C1

16. (本题满分 13 分) E A

D F B

C

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17.(本题满分 15 分)

18. (本题满分 16 分)

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19. (本题满分 16 分)

20.(本题满分 18 分)

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第Ⅱ部分
1. (本小题满分 10 分)

加试内容

一.必答题:本大题共 2 小题,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

2. (本小题满分 10 分)

二、选答题 选答题 1,你所选择的题号是



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解:

选答题 2,你所选择的题号是 解:



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数学试题参考答案
一、填空题: 1. ?x ? R ,均有x 2+ x +1≥0 2.第一象限 3.充分而不必要条件 4. 0.01 5. 4 10. ( 6. 2550 7.

?
3

3 3 或 2 4
12.1

8.①④ 9.
2

1 R(S1+S2+S3+S4) 3
2

, ? ] ,11. ? 3

13. S ? 2a ? 2a

14.

a2 ? 9 ?1

二、解答题: 15. (Ⅰ)因为各组的频率和等于 1,故第四组的频率:

f4 ? 1 ? (0.025 ? 0.015 ? 2 ? 0.01 ? 0.005) ?10 ? 0.3
直方图如右所示 6′ (Ⅱ)依题意,60 及以上的分数所 在的第三、四、五、六组,频率和 为
频 率 组 距

3′

(0.015 ? 0.03 ? 0.025 ? 0.005) ?10 ? 0.75
所以,抽样学生成绩的合格率是 75 %.. 9 ′ 利用组中值估算抽样学生的平均分
0.025 0.015 0.01 0.005 40 50 60 70 80 90 100 分 数

45 ? f1 ? 55 ? f 2 ? 65 ? f3 ? 75 ? f 4 ? 85 ? f5 ? 95 ? f6
= 45 ? 0.1 ? 55 ? 0.15 ? 65 ? 0.15 ? 75 ? 0.3 ? 85 ? 0.25 ? 95 ? 0.05 =71 D1 估计这次考试的平均分是 71 分 12′ B1 A1 16.(1)证明:连结 BD. 在长方体 AC1 中,对角线 BD // B1D1 . 又 E、F 为棱 AD、AB 的中点, ? EF // BD . E A

C1

D F B

C

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? EF // B1D1 .
又 B1D1? ? 平面 CB1D1 , EF ? 平面 CB1D1 ,

? EF∥平面 CB1D1.
(2)

6′

在长方体 AC1 中,AA1⊥平面 A1B1C1D1,而 B1D1? ? 平面 A1B1C1D1,

? AA1⊥B1D1.
又 在正方形 A1B1C1D1 中,A1C1⊥B1D1, ? B1D1⊥平面 CAA1C1. 又 B1D1? ? 平面 CB1D1, 13′ 4′

? 平面 CAA1C1⊥平面 CB1D1.
17. (1)由 m// n 得 (2b ? c) ? cos A ? a cosC ? 0
? ?

由正弦定理得 2 sin B cos A ? sin C cos A ? sin A cos C ? 0

? ?

2 sin B cos A ? sin(A ? C ) ? 0
6′ 8′

2 sin B cos A ? sin B ? 0 1 ? ? A, B ? ?0, ? ?? sin B ? 0, cos A ? ,? A ? 2 3
(2) y ? sin B ? cos
2

?

3

cos 2 B ? sin

?

3

sin 2 B
10′

=1 ?

1 3 cos 2 B ? sin 2 B 2 2

= sin( 2 B ?

?
6

) ?1 2? ? ? 7? ? ? ? 2B ? ? 3 6 6 6

12′

由(1)得 0 ? B ?

? ? 1 ? ? sin(2 B ? ) ? ? ? ,1? 6 ? 2 ?

?1 ? ? y ? ? ,2? ?2 ?

15′

y2 x2 2 c 2 18. (1)设 C: 2+ 2=1(a>b>0) ,设 c>0,c2=a2-b2,由条件知 a-c= , = , a b 2 a 2 ∴a=1,b=c= 2 , 2

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x2 故 C 的方程为:y2+ =1 1 2 (2)由AP =λPB , OA+? OB = 4OP ∴λ+1=4,λ=3 或 O 点与 P 点重合OP = 0 当 O 点与 P 点重合OP = 0 时,m=0 5′









7′





当 λ=3 时,直线 l 与 y 轴相交,则斜率存在。
设 l 与椭圆 C 交点为 A(x1,y1) ,B(x2,y2)
?y=kx+m ? ? 2 2 ?2x +y =1 ?

得(k2+2)x2+2kmx+(m2-1)=0

Δ=(2km)2-4(k2+2) (m2-1)=4(k2-2m2+2)>0 (*) -2km m2-1 x1+x2= 2 , x1x2= 2 k +2 k +2 ∵ AP =3PB
?x1+x2=-2x2 → ∴-x =3x ∴? ? 1 2 2 ? ?x1x2=-3x2

11′

-2km 2 m2-1 消去 x2,得 3(x1+x2)2+4x1x2=0,∴3( 2 ) +4 2 =0 k +2 k +2 整理得 4k2m2+2m2-k2-2=0 2-2m2 1 1 m2= 时,上式不成立;m2≠ 时,k2= 2 , 4 4 4m -1 2-2m2 1 1 因 λ=3 ∴k≠0 ∴k2= 2 >0,∴-1<m<- 或 <m<1 2 2 4m -1 容易验证 k2>2m2-2 成立,所以(*)成立 1 1 即所求 m 的取值范围为(-1,- )∪( ,1)∪{0} 2 2 19. ⑴由题意得 16′ 4′

13′

Sn?1 ? Sn 2an ? 1 ? ? an ?1 ? 2an ? 1 Sn ? Sn?1 an

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?a

n ?1

, ? 1 ? 2(an ? 1) (n≥2)

又∵ a1 ? 1 , a2 ? 3

? 数列 {a

n

? 1} 是以 a1 ? 1 ? 2 为首项,以 2 为公比的等比数列。

8′

[则 an ? 1 ? 2n

?a

n

? 2n ?1( n ? N * )]

⑵由 an ? 2n ? 1及 bn?1 ? log2 (an ? 1) ? bn 得 bn?1 ? bn ? n

?b

n

? 1?

n(n ? 1) , 2

11′

1 1 4 n?1 2n ? n ? n ?1 则 cn ? ? n n ?1 an an?1 (2 ? 1)(2 ? 1) 2 ? 1 2 ? 1

bn?1 ?1

13′

?C
k ?1

n

k

1 ? ? 1 1 ? ? 1 1 ? 1 ? ? 1 ? 1 ?? ? 2 ? 3 ? 4 ? n?1 ??? 2 ??? 3 ? ??? ? n ? ? 2 ?1 2 ?1? ? 2 ?1 2 ?1? ? 2 ?1 2 ?1? ? 2 ?1 2 ?1?
? 1? 1 2
n ?1

?1 16′ ?1 x2 ? a ? x ? (1 ? b) x 2 ? cx ? a ? 0(b ? 1) 20. (1)设 bx ? c c ? 2?0 ? ? ? a?0 ? x2 ? ? 1? b ?? ∴? ∴ f ( x) ? c c b ? 1? ? 2? 0 ? a ? (1 ? ) x ? c ? 2 2 ? 1? b ? ?2 1 ? ? ? ?1 ? c ? 3 由 f (?2) ? 1? c 2 又∵ b, c ? N * ∴ c ? 2, b ? 2

x2 6′ ( x ? 1) 2( x ? 1) 2 x 2( x ? 1) ? x 2 2 x 2 ? 2 x 于是 f ?( x) ? ? 4( x ? 1)2 2( x ? 1)2 由 f ?( x) ? 0 得 x ? 0 或 x ? 2 ; 由 f ?( x) ? 0 得 0 ? x ? 1 或 1 ? x ? 2 故函数 f ( x ) 的单调递增区间为 (??, 0) 和 (2, ??) ,
∴ f ( x) ?

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单调减区间为 (0,1) 和 (1, 2) (2)证明:据题意 A( x1, f ( x1 )), B( x2 , f ( x2 )), C( x3 , f ( x3 )) 且 x1<x2<x3, 由(1)知 f (x1)>f (x2)>f (x3), 10′

? BA ? ( x1 ? x2 , f ( x1 ) ? f ( x2 )), BC ? ( x3 ? x2 , f ( x3 ) ? f ( x2 ))

? BA ? BC ? ( x1 ? x2 )( x3 ? x2 ) ? [ f ( x1 ) ? f ( x2 )][ f ( x3 ) ? f ( x2 )]
x1 ? x2 ? 0, x3 ? x2 ? 0, f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0, f ( x3 ) ? f ( x2 ) ? 0
? BA ? BC ? 0,??B ? ( , ? ) 2 即⊿ ABC 是钝角三角形.

14′

?

18′

第Ⅱ部分

加试内容

一.必答题: 1. (1)记事件 A 为“任取两张卡片,将卡片上的函数相加得到的函数是奇函数” ,

C32 1 由题意知 P( A) ? 2 ? . C6 5
(2)ξ 可取 1,2,3,4.
1 1 1 C3 C3 C3 1 3 ? , P ( ? ? 2 ) ? ? ? , 1 1 1 C6 2 C6 C5 10

4′

P(? ? 1) ?

P(? ? 3) ?

1 1 1 1 1 1 1 C3 C3 C3 C3 C2 C2 C1 3 1 ; ? ? ? , P ( ? ? 4 ) ? ? ? ? ? 1 1 1 1 1 1 1 C6 C5 C4 20 C6 C5 C4 C3 20

8′

故ξ 的分布列为

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ξ P 1 2 3 4

1 2

3 10

3 20

1 20

E? ? 1 ?

1 3 3 1 7 ? 2 ? ? 3? ? 4? ? . 2 10 20 20 4

答:ξ 的数学期望为 . 2. (1)由 4an?1 ? an an?1 ? 2an ? 9 得 an ?1 ?

7 4

10′

9 ? 2an 1 , ? 2? 4 ? an an ? 4
3′ 5′ 6′

7 13 19 , a3 ? , a4 ? 3 5 7 6n ? 5 (2)猜想 an ? 2n ? 1
求得 a2 ? 证明:①当 n=1 时,猜想成立。 ②设当 n=k 时 (k ? N ?) 时,猜想成立,即 ak ?

6k ? 5 , 7′ 2k ? 1 1 1 6k ? 1 6(k ? 1) ? 5 则当 n=k+1 时,有 ak ?1 ? 2 ? , ? 2? ? ? 6k ? 5 ak ? 4 2 k ? 1 2( k ? 1) ? 1 ?4 2k ? 1
所以当 n=k+1 时猜想也成立 ③综合①②,猜想对任何 n ? N ? 都成立。 二、选答题: 3. (1)∵DE2=EF·EC, ∴DE ? CE=EF? ED. ∵?DEF 是公共角, ∴ Δ DEF ∽ Δ CED . ?EDF=?C. ∵CD∥AP, ∴?C=? P. C D F ∴ O · E B A P 9′ 10′

∴?P=?EDF.----5′ (2)∵?P=?EDF, ?DEF=?PEA,

∴ Δ DEF ∽ Δ PEA . ∴ DE ? PE=EF ?

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EA.即 EF·EP=DE·EA. ∵弦 AD、BC 相交于点 E,∴DE·EA=CE·EB.∴CE·EB=EF·EP. 4. (矩阵与变换) 解: . 10′

?1 ?2 M ?1 ? ? ?0 ? ?
椭圆

? 0? ?, 1? 3? ?

5′

x2 y 2 ? ? 1 在 M ?1 的作用下的新曲线的方程为 x2 ? y 2 ? 1 4 9

10′

? ? ? 3 x ? 1 ? t cos x ? 1? t ? ? ? ? 6 2 . 5. (1)直线的参数方程为 ? ,即 ? ? y ? 1 ? t sin ? ? y ? 1? 1 t ? ? 6 ? ? 2
? 3 x ? 1? t ? ? 2 代入 x 2 ? y 2 ? 4 , (2)把直线 ? ? y ? 1? 1 t ? ? 2
得 (1 ?

5′

3 2 1 t ) ? (1 ? t )2 ? 4, t 2 ? ( 3 ? 1)t ? 2 ? 0 , t1t2 ? ?2 , 2 2
10′

则点 P 到 A, B 两点的距离之积为 2 . 6.

1 ? ? x ? y ? z?

2

1 ? 1 ? ?? ? 2x ? ? 3 y ? 1? z ? 3 ? 2 ?

2

?1 1 ? ? ? ? ? 1? ? 2 x 2 ? 3 y 2 ? z 2 ? ?2 3 ? 6 ? F ? 2x2 ? 3 y 2 ? z 2 ? 11

7′

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当且仅当

2x 3y z ? ? 1 1 1 2 3

且 x ? y ? z ? 1, x ?

3 2 6 , y ? ,z ? 11 11 11

F 有最小值

6 11

10′

=========================================================== 适用版本: 人教版,苏教版, 鲁教版,北京版,语文 A 版,语文 S 版,冀教版,沪教版,北大师大版, 人教版新版,外研版,新起点,牛津译林,华师大版,湘教版,新目标,苏科版,粤沪版, 北京版,岳麓版 适用学科: 语文,数学,英语,科学,物理,化学,生物,政治,历史,地理 适用年级: 一年级,二年级,三年级,四年级,五年级,六年级,七年级,八年级,九年级,小一,小二, 小三,小四,小五,小六,初一,初二,初三,高一,高二,高三,中考,高考,小升初 适用领域及关键字: 100ceping,51ceping,52ceping,ceping,xuexi,zxxx,zxjy,zk,gk,xiti, 教 学 , 教学 研究 , 在 线教学,在线学习,学习,测评,测评网,学业测评, 学业测评网,在线测评, 在线测评网, 测试,在线测试,教育,在线教育,中考,高考,中小学,中小学学习,中小学在线学习,试题, 在线试题,练习,在线练习,在线练习,小学教育,初中教育,高中教育,小升初复习,中考复 习,高考复习,教案,学习资料,辅导资料,课外辅导资料 ,在线辅导资料,作文,作文辅导, 文档,教学文档,真题,试卷,在线试卷,答案,解析,课题,复习资料,复习专题,专项练习,学 习网,在线学习网,学科网,在线学科网,在线题库,试题库,测评卷,小学学习资料,中考 学习资料,单元测试,单元复习,单元试卷,考点,模拟试题,模拟试卷,期末考试,期末试卷, 期中考试,期中试卷 =========================================================== 本卷由《100 测评网》整理上传,专注于中小学生学业检测,练习与提升.


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