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2014届莆田一中数学高考模拟试卷(理科)


福建省莆田一中 2014 年高考考前模拟数学理试题 2014-5-24
理科数学 (完卷时间:120 分钟;满分:150 分) 注意事项: 1.本科考试分试题卷和答题卷,考生须在答题卷上作答,答题前,请在答题卷的密封线内填写学校、 班级、准考证号、姓名; 2.本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,全卷满分 150 分,考试时间 120 分钟. 参考公式:
样本数据 x1 , x 2 , , x n 的标准差
2 ? ? xn ? x ? ? ?

锥体体积公式:

s?

1? 2 2 ? x1 ? x ? ? ? x2 ? x ? ? n?

1 V ? Sh 3

其中 S 为底面面积, h 为高

其中 x 为样本平均数 柱体体积公式

球的表面积、体积公式

V ? Sh
其中 S 为底面面积, h 为高

S ? 4?R 2 , V ?

4 3 ?R 3

其中 R 为球的半径

第Ⅰ卷 (选择题 共 50 分) 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中有且只有一项是符合 题目要求的,把答案填在答题卡的相应位置. ) 1.如图,在复平面内,复数 Z1 , Z2 对应的向量分别是 OA, OB, 则 | Z1 ? Z 2 | =( ) A.2 B.3 ) C. (0, C. 2 2 D. 3 3

2.抛物线 y ? 4 x 2 的焦点坐标为 ( A. (0,1) B. (1,0)

1 ) 16

D. (

1 ,0 ) 16

3.某几何体的三视图如图所示,其中俯视图为扇形, 则该几何体的体积为( A. ) C.

2? 3

B.

? 3

2? 9

D.

16? 9

4. 设随机变量 ? 服从正态分布 N (3,4) , 若 P(? ? 2a ? 3) ? P(? ? a ? 2) ,则 a ? ( A.3 B. )

5 3

C.5

D.

7 3

5. 设函数 f ( x ) ? log 2

x ,等比数列 ?an ? 中, a2 ? a5 ? a8 ? 8 ,则 4
) D. -10

f (a1 ) ? f (a2 ) ? ... ? f (a9 ) ? (
A. -9 B. -8 C. -7

2 6. 若函数 f ( x) ? x ? x ? a ,则使得“函数 y ? f ( x) 在区间 ( ?1,1) 内有零点”成立的一个必要非充分条

件是( )
页 1第

( A) ?

1 ? a ? 2. 4

( B) ?

1 ? a ? 2. 4

(C ) 0 ? a ? 2 .

(D) ?

1 ?a?0. 4

7.设 P 为曲线 y ?

3 x 上任一点, F1 (?5,0), F2 (5,0) ,则下列命题正确的是: ( ) 4
B. PF1 ? PF2 ? 8 C. PF1 ? PF2 ? 8 D. PF1 ? PF2 ? 8

A. PF1 ? PF2 ? 8

8.在高校自主招生中,某校获得 5 个推荐名额,其中清华大学 2 名,北京大学 2 名,复旦大学 1 名,并 且北京大学和清华大学都要求必须有男生参加,学校通过选拔定下 3 男 2 女共 5 个推荐对象,则不同推荐 方法的种数是 ( ) A.20 B.22 C.24 D. 36 9.已知 a, b, c 均为单位向量,且满足 a b ? 0 ,则 (a ? b ? c) (a ? c) 的最大值为( )

A.1 ? 2 3 B.3 ? 2 2 C.2 ? 5 D.2 ? 2 2
?2 x ? 1( x ? 0) 10.已知函数 f ( x) ? ? ,把函数 g ( x) ? f ( x) ? x 的零点按从小到大的顺序排列成一个数列, ? f ( x ? 1) ? 1( x ? 0) 则该数列的通项公式为 ( ) n(n ? 1) A. an ? B. an ? n(n ? 1)(n ? N* ) (n ? N* ) 2

C. an ? n ? 1(n ? N* )

D. an ? 2n ? 2(n ? N* )

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分.把答案填在答题卡的相应位置. 11. 把函数 y ? sin(2 x ?

) 的图象向____平移 ____个单位长度就可得到函数 y=sin2x 的图象。 3 2 4 1 1 2 1 3 1 4 12.已知 (1 ? ) ? a0 ? a1 ? a2 ( ) ? a3 ( ) ? a4 ( ) , 则a2 ? a4 ? ___ . x x x x x
13.利用计算机在区间(0,1)上产生两个随机数 a,b,则方程 有实数根的概率是___ .

?

b ? 2a ? x x

14.已知函数 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数, f (1) ? 0 ,且当 x ? 0时,xf '( x) ? f ( x), 则不等式 f ( x) ? 0 的 解集为____. 15. 如图,A 是两条平行直线之间的一定点,且点 A 到两条平行直线的距 为 AM ? 1, AN ? 3 。设 ABC , AC ? AB ,且顶点 B、C 分别在两条 平行直线上运动,则 ABC 面积的最小值为_____, 为_______. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答要写在 卡相应位置,应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16 .(本小题满分 13)我国是世界上严重缺水的国家之 城市缺水问题较为突出 .某市为了节约生活用水,计划 市试行居民生活用水定额管理(即确定一个居民月均用 标准?用水量不超过 a 的部分按照平价收费,超过 a 的
页 2第

离分别

1 3 ? 的最大值 AB AC

答题

一, 在本 水量 部分

按照议价收费) . 为了较为合理地确定出这个标准,通过抽样获得了 100 位居民某年的月均用水量 ( 单 位:t),制作了频率分布直方图, (I)由于某种原因频率分布直方图部分数据丢失,请在图中将其补充完整; (II)用样本估计总体,如果希望 80%的居民每月的用水量不超出标准,则月均用水量的最低标准定为多少 吨,并说明理由; (III) 若将频率视为概率,现从该市某大型生活社区随机调查 3 位居民的月均用水量 (看作有放回的抽 样),其中月均用水量不超过(II)中最低标准的人数为 x,求 x 的分布列和均值.

17. (本小题满分 13 分) 如图,在三棱锥 P ? ABC 中, PA ? 底面 ABC , AC ? BC ,

H 为 PC 的中点, M 为 AH 的中点, PA ? AC ? 2 , BC ? 1 .
(Ⅰ)求证: AH ? 平面 PBC ; (Ⅱ)求 PM 与平面 AHB 成角的正弦值; (Ⅲ)设点 N 在线段 PB 上,且 求实数 ? 的值.

PN ? ? , MN // 平面 ABC , PB

18. (本小题满分 13 分)某音乐喷泉喷射的水珠呈抛物线形,它在每分钟内随时间 t (秒)的变化规律大致 可用 y ? ?(1 ? 4sin
2

t? 2 t? ) x ? 20(sin ) x ( t 为时间参数, x 的单位: m )来描述,其中地面可作为 x 轴 60 60

所在平面,泉眼为坐标原点,垂直于地面的直线为 y 轴。 (Ⅰ)试求此喷泉喷射的圆形范围的半径最大值; (Ⅱ)若在一建筑物前计划修建一个矩形花坛并在花坛内装置两个这样的喷泉,则如何设计花坛的尺寸和 两个喷水器的位置,才能使花坛的面积最大且能全部喷到水?

19.(本小题满分 13 分) 已知椭圆 C:

2 x2 y 2 2 5 5 )在椭圆 C 上. ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )的离心率为 ,点(1, 2 5 a b 5

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ) 在 x 轴上是否存在一定点 E,使得对椭圆 C 的任意一条过 E 的弦 AB, 为定值?若存在,求出定点和定值;若不存在,请说明理由。 20. (本小题满分 14 分) x 已知 f(x)=e -t(x+1). (Ⅰ)若 f(x)≥0 对一切正实数 x 恒成立,求 t 的取值范围;
页 3第

1 EA
2

?

1 EB
2

(Ⅱ)设 g ? x ? ? f ? x ? ?

t ,且 A(x1,y1)、B(x2,y2)(x1≠x2)是曲线 y=g(x)上任意两点,若对任意的 t ex ≤-1,直线 AB 的斜率恒大于常数 m,求 m 的取值范围;
n

n n n (Ⅲ)求证: 1 ? 2 ? ? ? ? ? ? n ? 1? ≤ n (n∈N*).

21. (本题满分 14 分) 本题有(1) 、 (2) 、 (3)三个选答题,每题 7 分,请考生任选两题做答,满分 14 分.如果多做,则按 所做的前两题记分.作答时,先用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑,并将所选题号填 入括号中. (1) (本小题满分 7 分)选修 4-2:矩阵与变换 矩形 OABC 在变换 T 的作用下变成了平行四边形 OA ' B ' C ' , 变换 对应的矩阵为 M , 矩阵 N 是把坐标平面上的点的横坐标伸长到原 倍, 纵坐标伸长到原来的 3 倍所对应的变换矩阵。(Ⅰ)求 (MN )?1 ; 断矩阵 MN 是否存在特征值。 (2) (本小题满分 7 分) 选修 4—4:极坐标与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为 ? ( ? 为参数),M 是 C1 上的动点,P 点满足 (Ⅰ)求 C2 的方程; (Ⅱ)在以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线 ? ? 如图, T 所 来的 2 (Ⅱ)判

? x ? 2cos ? ? y ? 2 ? 2sin ?

OP ? 2OM ,P 点的轨迹为曲线 C2,

? 与 C1 的异于极点的交点为 A,与 3

C2 的异于极点的交点为 B,求 AB .
(3) (本小题满分 7 分) 选修 4—5:不等式选讲 已知关于 x 的不等式: 2x ? m ? 1 的整数解有且仅有一个值为 2. (Ⅰ)求整数 m 的值; (Ⅱ)已知 a, b, c ? R ,若 4a ? 4b ? 4c ? m ,求 a ? b ? c 的最大值
4 4 4 2 2 2

2014 届莆田一中高三理科数学模拟试卷参考答案及评分参考
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1. A 2. C 3. D 4. D 5. A 6. A 7. D 8. C 9. C 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分.
页 4第

10. C

11.左,

?
6

12.40

13. P ?

1 . 3

14.

?x | x ? 1, 或 ?1 ? x ? 0?

15. 3, 2

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答写在答题卡相位置,应写出文字说明、证明过程或演算步 骤. 16.(本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ) ???3 分 (Ⅱ) 月均用水量的最低标准应定为 2.5 吨.样本 均用水量不低于 2.5 吨的居民有 20 位, 占样本总 20%,由样本估计总体,要保证 80%的居民每月的 量不超出标准,月均用水量的最低标准应定为 吨.???6 分 (Ⅲ)依题意可知,居民月均用水量不超过(Ⅱ) 低标准的概率是 中月 体的 用水 2.5 中最

4 , 5 1 5
3

则 X ~ B (3, ) , P ( X ? 0) ? ( ) ?

1 12 1 4 1 2 , P( X ? 1) ? C3 ( ) ? 125 5 5 125 4 1 48 4 64 3 P( X ? 2) ? C32 ( ) 2 ( ) ? , P ( X ? 3) ? ( ) ? ?????9 分 5 5 125 5 125
X
P
0 1 2 3

4 5

分布列为

1 125

12 125

48 125

64 125
.………………13 分

?11 分

E( X ) ? 3?

4 12 ? 5 5

答:人数 x 均值为

17. (本小题满分 13 分) (Ⅰ)证明:因为 PA ? 底面 ABC , BC ? 底面 ABC , 所以 PA ? BC , 又因为 AC ? BC , PA ???? 1 分

AC ? A , 所以 BC ? 平面 PAC ,???? 2 分 又因为 AH ? 平面 PAC , 所以 BC ? AH . ??? 3 分 因为 PA ? AC , H 是 PC 中点,所以 AH ? PC ,
BC ? C ,所以 AH ? 平面 PBC . ????? 5 分 (Ⅱ)解:在平面 ABC 中,过点 A 作 AD // BC, 因为 BC ? 平面 PAC ,所以 AD ? 平面 PAC , 由 PA ? 底面 ABC ,得 PA , AC , AD 两两垂直, 所以以 A 为原点, AD , AC , AP 所在直线分别为 x
又因为 PC

y 轴,

P(0, 0, 2) , z 轴如图建立空间直角坐标系, 轴, 则 A(0, 0, 0) ,
1 1 B(1, 2, 0) , C (0, 2,0) , H (0,1,1) , M (0, , ) 2 2
设 平 面 AHB 的 法 向 量 为 n ? ( x, y, z ) , 因为

AH ? (0,1,1) , AB ? (1,2,0) ,



5第

由 ?

? ?n ? AH ? 0, ? ?n ? AB ? 0,

得 ?

? y ? z ? 0, ? x ? 2 y ? 0,

令 z ? 1 ,得 n ? (2, ?1,1) .???? 7 分

设 PM 与平面 AHB 成角为 ? ,

因为

1 3 PM ? (0, ,? ) , 2 2

1 3 2 ? 0 ? (?1) ? ? 1? (? ) PM ? n 2 2 , ? 所以 sin ? ? cos ? PM , n ? ? 5 PM ? n ? 6 2
即 sin ? ?

2 15 . ?? 9 分 15
所以 PN ? (?, 2?, ?2? ) ,

(Ⅲ)解:因为 PB ? (1, 2, ?2) , PN ? ? PB ,

又因为 PM ? (0, , ? ) ,所以 MN ? PN ? PM ? (? , 2? ? 因为 MN // 平面 ABC ,平面 ABC 的法向量 AP ? (0,0,2) , 所以 MN ? AP ? 3 ? 4? ? 0 , 解得 ? ?

1 2

3 2

1 3 , ? 2? ) . ? 11 分 2 2

20 60 ? ?t t? t? 1 ? 4sin 2 sin ?1 ? 4 sin 60 60 60 t? t? t? ? (0,1) ,故 sin ?1 ? 4 sin ? 4, 因 t ? (0,60) 时, sin 60 60 60 t? 1 ? ,即当 t ? 10或50 时, x 有最大值 5, 从而当 sin 60 2 所以此喷泉喷射的圆形范围的半径最大值是 5m ;
18.【解析】 : (1)当 y ? 0 时, x ?
2 2 边界,依题意得: ( ) ? ( ) ? 25 , ( x ? 0, y ? 0 )

20sin

?t

3 . 4

??? 13 分

??6 分 (2)设花坛的长、宽分别为 xm,ym,根据要求,矩形花坛应在喷水区域内,顶点应恰好位于喷水区域的

x 4

y 2

问题转化为在 x ? 0, y ? 0 ,

x2 ? y 2 ? 100的条件下,求 S ? xy 的最大值。 ?8 分 4

法一:? S ? xy ? 2 ?

x2 x x x ? y ? ( ) 2 ? y 2 ? 100 ,由 ? y 和 ? y 2 ? 100 及 x ? 0, y ? 0 得: 2 2 2 4

x ? 10 2, y ? 5 2

? Smax ? 100
x2 ? y 2 ? 100, 4

???12 分

法二:∵ x ? 0, y ? 0 ,



6第

? S ? xy ? x 100?

x2 x2 1 = x 2 ? (100? ) ? ? ( x 2 ? 200) 2 ? 10000 4 4 4
x2
2

? y ? 100可解得: y ? 5 2 。 ∴当 x 2 ? 200,即 x ? 10 2 , S max ? 100 由 , 4
答:花坛的长为 10 2m ,宽为 5 2m ,两喷水器位于矩形分成的两个正方形的中心,符合要 求。 ?????13 分

x2 y 2 19.解:(Ⅰ)设椭圆 C 的方程为 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 ), a b
点(1,

b2 1 ? 1 ? e2 ? ① 2 a 5

3 )在椭圆 C 上, 2
2 2

1 4 ? 2 ? 1② , 2 a 5b

由①②得: a ? 5, b ? 1 , ? 椭圆 C 的方程为

x2 ? y 2 ? 1, ?????? 4 分 5

(Ⅱ)设 E x0 , 0 ,分别过 E 取两垂直于坐标轴的两条弦 CD, C ?D ? ,
2 1 1 ? ? 2 2 2 x EC ED 5 ? x0 1 ? 5 ? x0 1? 0 5 ? 30 ? 30 解得 x0 ? ? ,∴E 若存在必为 ? ,定值为 6. ???6′ ? ,0 ? ? ? 3 3 ? ? ? ? 30 ? 30 ? 30 下证 ? 满足题意。 设过点 E ? 的直线方程为 x ? ty ? ,代入 C 中得: ? ? 3 ,0 ? ? ? 3 ,0 ? ? 3 ? ? ? ?

?

?



1

2

?

1

2

?

1

EC ?

2

?

1

ED?

2

,即

2 30 5 ty ? ? 0 ,设 A ? x1 , y1 ? 、 B ? x2 , y2 ? , 3 3 5 20 30t 则 y1 ? y2 ? ? , y1 ? y2 ? ? ???8′ 2 2 3 ? t ? 5? 3 ? t ? 5?

?t

2

? 5 y2 ?

?

1 EA
2

?

1 EB
2

?

?1 ? t ? y
2

1

2

?

1

?1 ? t ? y
2

1

2 2

?

? 1 1 ? ? 2? 2? ?1 ? t ? ? y1 y2 ? 1
2

?

?1 ? t ?
2

1

y12 ? y2 2 1 ? y1 ? y2 ? ? 2 y1 y2 ? 2 2 2 y1 y2 ?1 ? t 2 ? ? y1 y2 ?
2

? 2 30t ? 2 1 ? ?3 t ?5 ? ? 1? t2 ? ? ? ?3

?

? ?

? 5 ? ?2 2 ? 3 t ?5 ? ? 6 .???12 分 2 ? 5 ? t2 ? 5 ? ?

2

?

?

同理可得 E ? ??
?

?

30 ? ,0 ? ? 也满足题意。 3 ?

?

综上得定点为 E ? ??
?

?

30 ? ,定值为 ,0 ? ? 3 ?

1 EA
2

?

1 EB
2

? 6.

?13 分

20.(1) f ? x ? ≥ 0 ? t ≤

ex (x>0)恒成立。 x ?1 xe x ex ≥0 设 p? x? ? (x≥0),则 p? ? x ? ? 2 x ?1 ? x ? 1?

∴ p ? x ? 在 x ???? ??? 时单调递增, p ? x ? ≥ p ? 0? ? 1 (x=1 时取等号) ,
页 7第

∴t≤1 (2)设 x1、x2 是任意的两实数,且 x1<x2
g ? x2 ? ? g ? x1 ? x2 ? x1 ? m ,故 g ? x2 ? ? mx2 ? g ? x1 ? ? mx1

???4 分

设 F ? x ? ? g ? x ? ? mx ,则 F(x)在 R 上单调递增, 即 F ? ? x ? ? g? ? x ? ? m ? 0 恒成立。 即对任意的 t≤-1,x∈R, m ? g? ? x ? 恒成立。 而 g? ? x ? ? e x ? t ? 故 m<3 (3)由(1)知, x ? 1 ≤ e x ? e?
x ?1? ?1

???7 分

t ? ?t ? ≥ 2 e x ? ? x ? ? t ? ?t ? 2 ?t ? x e ?e ?

?

?t ? 1 ≥ 3
???9 分

?

2

, ? x ≤ e x ?1
n n

? k ?1 ? ek k ?k? 取 x ? ( k ? 1, 2 ,? ? ? ,n ? 1 ) ,则 ? ? ≤ ? e n ? ? n . e n ? n? ? ?
n ?1 n n ?1 k e 1 e 1? e e ?1 1 ? 1 ?k? ≤ ? ? ? ? n ?? ?1 ? ? ? n? ? n n 1? e e ?1? e e ? e ?1 e ? k ?1 ? k ?1 e n ?1
n ?1 ?k? n n ? ? n ? ? 1, ? ? k ? n ? k ?1 ? k ?1 n ?1 n

?

?

∴ 1n ? 2n ? ? ? ? ? ? n ? 1? ≤ nn (n∈N*)
n

???14 分

21. (1) (本小题满分 7 分)选修 4—2:矩阵与变换 解: (Ⅰ)设 M ? ?

?a b? ? ,则 A(2,0)变为A '(0, 2); B(2,1)变为B '(?1,3); ?c d ?



8第

故?

? a b ?? 2 ? ? 0 ? ? a b ?? 2 ? ? ?1? ?? ? ? ? ? ; ? ?? ? ? ? ? ; ? c d ?? 0 ? ? 2 ? ? c d ??1 ? ? 3 ?

?a ? 0 ?b ? ?1 ? 所以 ? , c ? 1 ? ? ?d ? 1
1? 2? ?, 0? ? ?

? 1 ? 2 0 ? 1 2 0 0 ? 3 0 ? 1 2 0 ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?1 MN ? ? , ( MN ) ? , , N ? M ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ??1 ? 1 1 ?? 0 3 ? ? 2 3 ? ? 0 3? ?1 1 ? ? ? 3 ? 3 (Ⅱ)因为矩阵 MN 的特征多项式 f (? ) ? ? ? 2 ? 3? ? 6 ?2 ? ? 3

f (? ) ? ? 2 ? 3? ? 6 ? 0 的判别式小于 0,故矩阵 MN 不存在特征值。

(2) (本小题满分 7 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 (I)设 P(x,y),则由条件知 M(

x y , ).由于 M 点在 C1 上,所以 2 2

? x ? 2 cos ? ? ? x ? 4cos ? ? x ? 4cos ? ? 2 即? 从而 C 2 的参数方程为 ? ( ? 为参数) ? ? y ? 4 ? 4sin ? ? y ? 4 ? 4sin ? ? y ? 2 ? 2 sin ? ? ?2 (Ⅱ)曲线 C 1 的极坐标方程为 ? ? 4sin ? ,曲线 C 2 的极坐标方程为 ? ? 8sin ? .

? ? 与 C 1 的交点 A 的极径为 ?1 ? 4sin , 3 3 ? ? 射线 ? ? 与 C 2 的交点 B 的极径为 ? 2 ? 8sin .所以 | AB |?| ? 2 ? ?1 |? 2 3 . 3 3
射线 ? ?

(3) (本小题满分 7 分)选修 4—5:不等式选讲

m ?1 m ?1 ?x? 2 2 m ?1 m ?1 ?3? m?5 ?2? ? 不等式的整数解为 2, ? 2 2 又不等式仅有一个整数解 2, ? m ? 4 ……3 分 4 4 4 (Ⅱ)显然 a ? b ? c ? 1 由柯西不等式可知: (a 2 ? b 2 ? c 2 ) 2 ? (12 ? 12 ? 12 )[(a 2 ) 2 ? (b 2 ) 2 ? (c 2 ) 2 ] 2 2 2 2 2 2 2 所以 (a ? b ? c ) ? 3 即 a ? b ? c ? 3
( I )由 | 2 x ? m |? 1,得 当且仅当 a ? b ? c ?
2 2 2

3 时取等号,最大值为 3 3

………7 分



9第


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