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巧求空间角


● 

解 题 技 巧 与 方 法  ’   I  
●. - I  
● 

繇 镰 

● 

◎ 胡述 洪  ( 江 西省 崇义 中学

3 4 1 3 0 0 )  

众所周知 , 高 中立 体 几 何 中 空 间 角 有 : 线线

角 、 线面角 、   二面角. 其求法较 复杂 , 也较 灵活. 如 二 面 角 的 基 本 求 法 就 
有: 定义法 、 垂面法 、 三垂 线 法 、 射影面积法 、 向量 法. 在 求 角 

二、 巧 用法 向量 

向量 法 是 在 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 的 基 础 上 , 以 向 量 为 
工具 , 通过 空 间 向量 的数 量 积 计 算 角 , 思路简便 , 化证 为算.  

的 过程 中 , 如果能结合图形的特征 , 灵 活 巧妙 地 运 用 一 些 结 
论 , 就 可 以 巧 求 空 间 角.  


缺 点 是计 算 量 较 大 , 尤 其 是 法 向量 的计 算. 如 果 综 合 几 何 法 
与 向量 法 的优 点 , 巧 用 法 向量 就 能 快 速 求 角.  
例 3   正方 体 A B C D— A   B l C , D。 的截 面 A 。 B , C D和截面   A B 。 C所 成 的 二 面角 的大 小 是 (   ) .  

舯 一 一   一 ~ 一 做 一 佃   一 一   一
。 . … s  



巧 用 三 余 弦 公 式 

三 余 弦公 式 简介 : 如 图, P O上  
O L , 则有 C 0 8 /P A B =C O S   P A O?  
C O S   BA0.  

A . 4 5  ̄


B . 6 0  ̄

c _ a … s   - 5

注 意 

P A B是 直 线 P A 与 
. . . . . . .

由 正 方体 的性 

平 面 d内 的 直线 A 曰所 成 的 角 , /P A O是 直线 和 平 面 O l 所 成 

面 A . B   C D, B D   上平 面 .  
一  

的角 ,  B A O是 直 线 P A在 平 面 O t 上 的射 影 D A与 平 面  内  
直线 A B所 成 的 角 .  

B D : 分别是平面 A 。 B . C D  
的法 向 量 , 它们的夹角  

例1   ( 2 0 0 9 年 全 国 卷 I理 科 )已 知 三 棱 柱 A B C—  

截面 A B 。 C和截 面 A . B 。 C  
的平 面 角 .  

A 。 B 。 C 。 的侧 棱 与底 面边 长 都 相 等 , A  在 底 面 A B C上的射影  
为B C的中点 , 则 异面 直 线  
为(  
A.

与 C C .所 成 的 角 的余 弦值 

设正方体棱长为 1 , 】  
BC L=   c o s L C1 BD  ̄:   2
._ _

) .  

字   B .  

c . 字   。 . ÷  

点评

寻 找 两 截 面 的 

线) , 把 求 二 面 角 的 大 小 转  归 的数 学 思 想 . 求 角时 , 直 拄  而避 免 了求 法 向量 的 繁 杂 计 
例 4 ( 2 0 0 9年 江 苏 j  

在 四棱 锥 P— A B C D 中, 底 
形, P A上平 面 A BC D, P A=  

2 . 以B D 的 中 点为 球 心 、 曰   面交 P D 于 点 M. ( 1 ) 求证   平面 P C D . ( 2 ) 求直线 P C 与平 面 A B M 所 成 的角.   解 ( 1 ) 只需 证 P D   J _ 平面 A B M. ( 略)  

E, 由题意可证得 , P c在 面 A P B上 的 射 影 尸 E为 LA P B的 角 
平分线 , 所以   E P A=   E P B= 3 0 。 .   由三 余 弦 公 式 , 可 得 

( 2 ) 由( 1 ) 知: P  为 平 面 A B M 的法向量 , 故直线 P c与  平面 A B M所成 的角的余角 就是 P C与 P D 所 成 的 角 即  C P D, 易求 : P D= 4   , P C= 6 .  

c 。 s   CPA : c 。 s   cPE ?c 。 s   EPA =   c o s   6 0 ̄


√ 5 。 -
. 

Rt   CPD

, c o sZ _ CPD =   PD
=   =  
. 

故 线P C 与 面P A B 所 成 的 角 的 余 弦 值 等 于 拿.  
故 所 求 角 为  。   i   点评 以上两题求 角的 关键是 : 正 确 地 找 出 三 余 弦 公  点评 第二 问求 线 面角 时 , 充 分 利用 了第 一 问 的结 论 , 把  式 中的 三 条 特 征 直 线 , 从 而 求 出 三个 特 征 角 , 代 人 公 式 快 速 
求解.  

.  

求 线面 角 的问题转 化成求 法 向量 的夹角 , 值得 同学们 学 习.  

数 学 学 习 与研 究

2 0 1 2 . 3  


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