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716数列



一、等差的基本计算 1、通项公式:an=a1+(n-1)d. 2、前 n 项和公式:Sn=na1+



n?n-1? ?a1+an?n d= . 2 2

3、若 m,n,p,q∈N*,且 m+n=p+q=2k,{an}为等差数列,则 am+an=ap+aq=2ak. 4、若{an}为等差数列,则 Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…仍为等差数列,公差为 n2d. 5、证明{an}为等差数列的方法: (1)用定义证明:an-an-1=d(d 为常数,n≥2)?{an}为等差数列; (2)用等差中项证明:2an+1=an+an+2?{an}为等差数列; (3)通项法:an 为 n 的一次函数?{an}为等差数列; n?a1+an? (4)前 n 项和法:Sn=An2+Bn 或 Sn= . 2 二、等比的基本计算 1、通项公式:an=a1qn 1.


an=amqn

-m

na ,q=1, ? ? 1 2、前 n 项和公式:Sn=?a1?1-qn? a1-anq = ,q≠1. ? 1-q ? 1-q
2 3、在等比数列{an}中,若 m+n=p+q=2r(m,n,p,q,r∈N*),则 am· an=ap· aq=ar .

4、数列 Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…仍是等比数列(此时 q≠-1); 5、证明{an}为等比数列的方法: an+1 an (1)定义法:若 =q(q 为非零常数,n∈N*)或 =q(q 为非零常数且 n≥2,n∈N*), an an-1 则{an}是等比数列. (2)等比中项法:若数列{an}中,an≠0 且 a2 an+2(n∈N*),则数列{an}是等比数列. n+1=an· (3)通项公式法:若数列通项公式可写成 an=c· qn(c,q 均是不为 0 的常数,n∈N*),则 {an}是等比数列. 典型例题: 1、在数列{an}中,若 a1=1,an+1=an+2(n≥1),则该数列的通项 an=________.2n-1 2、设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,S8=4a3,a7=-2,则 a9=( A.-6 B.-4 C.-2 D.2 ) )

3、等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a5=8,S3=6,则 S10-S7 的值是( A.24 B.48 C.60 D.72

4、 等差数列 {an } 中 a1 ? 2013, 前 n 项和为 S n ,

S12 S10 ? 则 S2013 的值为_____. 2103 ? ?2 , 12 10

5、若数列{an}满足:a1=19,an+1=an-3(n∈N*),则数列{an}的前 n 项和数值最大时,n 的 值为( ) A.6 B.7 C.8 D.9

6、已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,并且 S10>0,S11<0,若 Sn≤Sk 对 n∈N*恒成立,则正 整数 k 的值为( A.5 ) B.6 C.4 D.7

Sn 2n-3 a9 7、 设等差数列{an}, {bn}的前 n 项和分别为 Sn, Tn, 若对任意自然数 n 都有 = , 则 Tn 4n-3 b5+b7 + a3 的值为________. b8+b4 19 41 )

8、已知正项组成的等差数列{an}的前 20 项的和为 100,那么 a6· a15 的最大值为( A.25 C.100 B.50 D.不存在

Sn 2n an 9、等差数列{an},{bn}的前 n 项和分别为 Sn,Tn,若 = ,则 =( Tn 3n+1 bn 2 A. 3 2n-1 B. 3n-1 2n+1 C. 3n+1 2n-1 D. 3n+4

) 特殊值

10、 在等差数列{an}中, a1>0, a10· a11<0, 若此数列的前 10 项和 S10=36, 前 18 项和 S18= 12, 则数列{|an|}的前 18 项和 T18 的值是( A.24 B.48 C.60 ) D.84

11、已知等差数列{an}前三项的和为-3,前三项的积为 8. (1)求等差数列{an}的通项公式; an=-3n+5 或 an=3n-7.

(2)若 a2, a3, a1 成等比数列, 求数列{|an|}的前 n 项和.

4,n=1, ? ? Sn=?3 2 11 ? ?2n - 2 n+10,n>1.

4 12、已知数列{an}满足 3an+1+an=0,a2=- ,则{an}的前 10 项和等于( 3 A.-6(1-3 C.3(1-3
-10

)

)

1 B. (1-310) 9 D.3(1+3
-10

-10

)

)

13、等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S3+3S2=0,则公比 q=________.-2 14、设等比数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若 S2 ? 3, S4 ? 15, 则 S6 ? ( ) A.31 B.32 C.63 D.64 15、设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S6∶S3=1∶2,则 S9∶S3 等于( ) A.1∶2 B.2∶3

C.3∶4 16、则 ln a1 ? ln a2 ? ?? ? ln a20 ?

D.1∶3 .50

17、已知等比数列 {an } 满足 an ? 0, n ? 1, 2,? ,且 a5 ? a2n? 5 ? 22n (n ? 3) ,则当 n ? 1 时,

log2 a1 ? log2 a3 ?? ? log2 a2n? 1 ? (
A. n(2n ? 1)
A.7 C.-5

)

B. (n ? 1)

2

C. n 2
) B.5 D.-7

D. (n ? 1) 2

18、已知{an}为等比数列,a4+a7=2,a5a6=-8,则 a1+a10=(

二、求通项
2 3 4 5 1、数列 1, , , , ,…的一个通项公式是 ( 3 5 7 9 n A.an= 2n+1 n C.an= 2n-3 ) n 2n-1 n 2n+3 。

B.an=

D.an=

2、 (1) 已知数列 {an } 满足 an?1 ? an ? 2n,a1 ? 2 , 则数列 {an } 的通项公式为 解析: an ? n ? n ? 2
2

(2)数列{an}的首项为 3,{bn}为等差数列且 bn=an+1-an(n∈N*).若 b3=-2,b10=12, 则 a8=( A.0 C.8 ) B.3 D.11

3 、 ( 1 ) 已 知 数 列 ?an ? 满 足 a1 ? 3 , a n ?1 ? 为 。

3n ? 1 a n , 则 数 列 {an } 的 通 项 公 式 3n ? 2 6 解析: an ? 3n ? 1
n?n+1? 。 an= 2 。

n+1 (2) a1=1, 当 n>1 时 an= a-, 则数列 {an } 的通项公式为 n-1 n 1

4、(1)已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 , an?1 ? 3an ? 4 ,则数列 {an } 的通项公式为 解析: an ? 3 ? 2
n

(2)已知数列{an}满足 a1=1,an+1=3an+2;则 an=________. 2×3n 1-1


5、(1)已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 , an?1 ? 2an ? 2 ,则数列 {an } 的通项公式为
n



(2)已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 , an?1 ? 2an ? 3 ,则数列 {an } 的通项公式为
n

解析: an ? n2
n

n?1

解析: an ? 3 ? 2 解析: an ? 4 ? 3

n

6、已知数列 {an } 满足 a1 ? 1 , an?1 ? 3an ? 4n ,则数列 {an } 的通项公式为

? 2n ?1 7、(1)已知数列 {an } 满足 a1 ? 1 , an?1 ? an ? an?1an ? 0 ,则数列 {an } 的通项公式为

n?1

解析: an ?

1 n
则数列 {an } 的通项公式为

3 3an (2)已知数列{an}的首项 a1= ,an+1= ,n∈N*. 5 2an+1

3n 3n ? 2 8、已知数列 {an } 满足 a1 ? 5 , a2 ? 2 , an ? 2an?1 ? 3an?2
解析: an ? 式为 解析: an ?

(n ? 3) ,则数列 {an } 的通项公

2 * 9、已知各项均为正数的数列{an}满足:a2 n+1=2an+anan+1,且 a2+a4=2a3+4,其中 n∈N .

13 7 ? (?1) n ?1 ? ? 3n ?1 4 4

求数列{an}的通项公式; 10、(1)已知数列 {an } 前 n 项和为 S n ? n ?
2

an=2n

1 n ,则这个数列的通项公式为 2

解析: an ? 2n ?

2 2 (2)正项数列{an}的前 n 项和 Sn 满足:S2 n-(n +n-1)Sn-(n +n)=0.

1 2

求数列{an}的通项公式。

an=2n. n?n+1? an= . 2

n+2 (3) 已知数列{an}中, a1=1, 前 n 项和 Sn= a . 求{an}的通项公式. 3 n

(4)已知数列 {an } 满足 a1 ? 2a2 ? 3a3 ???? ? nan ? n ,则数列 {an } 的通项公式为 解析: an ?

1 n

三、求和
1、设数列{(-1)n}的前 n 项和为 Sn,则对任意正整数 n,Sn=( n[?-1?n-1] A. 2 ?-1?n 1+1 B. 2


) ?-1?n-1 D. 2

?-1?n+1 C. 2

2、已知等差数列{an}满足:a5=9,a2+a6=14.bn=an+qan(q>0),求数列{bn}的前 n 项和 Sn.

n?n+1?,q=1, ? ? Sn=? 2 q?1-q2n? n+ ,q>0,q≠1. ? 1-q2 ? 3、已知数列{an}的前 n 项和 Sn=n2-6n,则{|an|}的前 n 项和 Tn=( A.6n-n2
2 ? ?6n-n ?1≤n≤3? C.? 2 ?n -6n+18?n>3? ?

)

B.n2-6n+18
2 ? ?6n-n D.? 2 ?n -6n ?

?1≤n≤3? ?n>3? )

1 1 1 1 1 4、数列 1 ,3 ,5 ,7 ,…,(2n-1)+ n,…的前 n 项和 Sn 的值等于( 2 4 8 16 2 A.n2+1- 1 2n 1 B.2n2-n+1- n 2

C.n2+1-

1 - 2n 1

1 D.n2-n+1- n 2

5、已知数列: 1,1 ? 2,1 ? 2 ? 22, ?, 1 ? 2 ? 22 ? ? ? 2n?1 ,求前 n 项和 Sn 的值

6、求Sn ? 1 ? 3x ? 5x2 ? 7 x3 ? ? ? ? ? (2n ?1) xn?1
? 1 ? 7、已知 an=n.则数列?a a ?的前 100 项和=________. ? n n+1?

100 101

n+1 8、bn= 2 数列{bn}的前 n 项和为 Tn,求 Tn. 4n ?n+2?2

9、an ?

2n?1 ,求 S n (2n ? 1)(2n?1 ? 1)
n?2 ,求S n n?n ? 1? ? 2 n

10、an ?

四、综合 1.已知在数列 {an } 中, a1 ? 1 ,当 n ? 2 时,其前 n 项和 Sn 满足 S n ? a n ( S n ? ) 。 (Ⅰ) 求 Sn 的表达式;(Ⅱ) 设 bn ?
2

1 2

Sn 1 ,数列 {bn }的前 n 项和 Tn .证明 Tn ? 2n ? 1 2

2 2.已知各项均为正数的数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 an ? an ? 2Sn .

(1)求 a1 ;(2) 求数列 {an } 的通项; (3) 若 bn ?

1 an

2

(n ? N ? ) , Tn ? b1 ? b2 ? ........? bn ,求证: Tn <

5 3

3、设数列 ?an ? 的前 n 和为 Sn ,满足 Sn ? 2nan?1 ? 3n2 ? 4n, n ? N * ,且 S3 ? 15 . (1)求 a1 , a2 , a3 的值;(2)求数列 ?an ? 的通项公式.

4、设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn .已知 a1 ? 1 ,

2Sn 1 2 ? an ?1 ? n 2 ? n ? , n ? N* . n 3 3 (Ⅰ) 求 a2 的值;(Ⅱ) 求数列 ?an ? 的通项公式;
(Ⅲ) 证明:对一切正整数 n ,有

1 1 1 7 ? ??? ? . a1 a2 an 4

5、设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,满足 2Sn ? an?1 ? 2n?1 ? 1 , n ? N* ,且 a1 、 a2 ? 5 、 a 3 成 等差数列. (Ⅰ)求 a1 的值;(Ⅱ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅲ)证明:对一切正整数 n ,有 6 、已知数列 ?an ? 满足 a1 =

1 1 1 3 ? ?? ? ? . a1 a2 an 2

1 3 , an =2 ? ? n ? 2 ? , Sn 是数列 ?bn ? 的前 n 项和,且有 an ?1 2

? 1 ? Sn n ?1 =1 ? bn .(1)证明:数列 ? ? 为等差数列;(2)求数列 ?bn ? 的通项公式; 2 n ? an ? 1 ?
(3)设 cn ?

an ,记数列 ?cn ? 的前 n 项和 Tn ,求证: Tn ? 1 . bn

7、已知 Sn 为数列 ?an ? 的前 n 项和, Sn ? nan ? 3n(n ? 1) ( n ? N ),且 a2 ? 11 .
*

(1)求 a1 的值;(2)求数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ; (3)设数列 {bn } 满足 bn ?

n 2 3n ? 2 . ,求证: b1 ? b2 ? ? ? bn ? 3 Sn

8、已知数列 {an } 中, a 2 ? 2 ,前 n 项和为 S n , 且S n ?

n(a n ? 1) . 2

(Ⅰ)证明数列 {an?1 ? an } 是等差数列,并求出数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ?

k 1 ,数列 {bn } 的前 n 项和为 T n ,求使不等式 Tn ? 对一切 57 (2a n ? 1)(2a n ? 1)

n ? N * 都成立的最大正整数 k 的值。

9、设各项均为正数的数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,满足 an +12 =4Sn +4n ? 3 ,且 a2 , a5 , a14 恰 好是等比数列 ?bn ? 的前三项. (1)求数列 ?an ? 、 ?bn ? 的通项公式;
* (2)记数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn ,若对任意的 n ? N , (Tn ? )k ? 3n ? 6 恒成立,求实

3 2

数 k 的取值范围.

答案: 1、解:(1)当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 代入 S n 2 ? a n ( S n ? ) ,得
2S n S n?1 ? S n ? S n?1
所以 ?

1 2 1 1 ? ?2 ? 0 … 2 分,由于 S n ? 0 ,所以 S n S n ?1

?1? ? 是首项为 1 ,公差为 2 的等差数列 ? Sn ? 1 1 ? 1 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n ? 1 ,所以 S n ? 从而 2n ? 1 Sn Sn 1 1? 1 1 ? (2) bn ? ? ? ? ? ? 2n ? 1 (2n ? 1)(2n ? 1) 2 ? 2n ? 1 2n ? 1 ?

1 1 1 1 1 1 1 1 1 )? [(1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )] ? (1 ? 2 2n ? 1 2 2 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 1 所以 Tn ? 2 2 2、解: (1)令 n ? 1 ,得 a1 ? a1 ? 2S1 ? 2a1 ,? a1 ? 0 ? a1 ? 1
∴ Tn ?
2 (2)又 an ? an ? 2S n ………① 2 有 an ?1 ? an ?1 ? 2S n ?1 ………… ②

②-①得 an?1 ? S n?1 ? S n , (an?1 ? an )(an?1 ? an ? 1) ? 0 , ? an ? 0 ? an?1 ? an ? 0 ∴ an?1 ? an ? 1 , ∴ an ? 1 ? 1? (n ? 1) ? n (3)n=1 时 b1 =1<

5 符合 3
1 1 n2 ? 4 ? 4 1 ? ,所以 ? 1 ? 2? ? ? 2 n ? 1 2 n ?1? 4n 2 ? 1 ?

n ? 2 时,因为 1 ? 2
n

?k
k ?1

n

1
2

1 1 ? 2 5 ?1 1 ? 1 ? 2? ? ? ? ? ? ? ? 1? ? 2n ? 1 2n ? 1 ? 3 3 ?3 5

5 3 3、解:(1)当 n ? 1 时, a1 ? 2a2 ? 7 ① , 当 n ? 2 时, a1 ? a2 ? 4a3 ? 20 ②
∴ Tn ? b1 ? b2 ? ........? bn <

S3 ? a1 ? a2 ? a3 ? 15 ③, 由①②③解得 a1 ? 3, a2 ? 5, a3 ? 7
(2)当 n ? 1 时, Sn ? 2nan?1 ? 3n2 ? 4n ①, Sn?1 ? 2 ? n ?1? an ? 3? n ?1? ? 4 ? n ?1? ②
2

①—②化简得 2nan?1 ? ? 2n ?1? an ? 6n ?1 (当 n ? 1 时也成立) 方法 1:(凑配)

令 2n ? ? an ?1 ? A ? n ? 1? ? B? ? ? ? 2n ? 1? ? an ? An ? B ? ,求得 A ? ?2,B ? ?1 即

2n ? ? an ?1 ? 2 ? n ? 1? ? 1? ? ? ? 2n ? 1? ? an ? 2n ? 1?

2n ? 1 bn 2n 因为 b1 ? 0, b2 ? 0, b3 ? 0 ,故必有 bn ? 0 ,即 an ? 2n ? 1
令 bn ? an ? 2n ?1 ,则 2nbn?1 ? ? 2n ?1? bn ,即 bn ?1 ? 方法 2:(数学归纳法)由(1) a1 ? 3, a2 ? 5, a3 ? 7 ,猜想 an ? 2n ? 1, 下面用数学归纳法证明对 ?x ? N ? , an ? 2n ? 1 : (1)当 n ? 1, n ? 2, n ? 3 时,成立 (2)假设当 n ? k 时成立,即有 ak ? 2k ? 1 , 2kak ?1 ? ? 2k ?1? ak ? 6k ?1 当 n ? k +1 时, 2kak ?1 ? ? 2k ?1?? 2k ?1? ? 6k ?1 ? 4k ? 6k
2

4k 2 ? 6k ? 2k ? 3 ? 2 ? k ? 1? ? 1 ,成立 2k 综上所述,对 ?x ? N ? , an ? 2n ? 1 1 2 解:(Ⅰ) 依题意, 2 S1 ? a2 ? ? 1 ? ,又 S1 ? a1 ? 1 ,所以 a2 ? 4 ; 3 3 1 3 2 2 (Ⅱ) 当 n ? 2 时, 2Sn ? nan ?1 ? n ? n ? n , 3 3
所以 ak ?1 ?

1 2 3 2 ? n ? 1? ? ? n ? 1? ? ? n ? 1? 3 3 1 2 2 两式相减得 2an ? nan ?1 ? ? n ? 1? an ? ? 3n ? 3n ? 1? ? ? 2n ? 1? ? 3 3 a a a a 整理得 ? n ? 1? an ? nan?1 ? n ? n ? 1? ,即 n ?1 ? n ? 1 ,又 2 ? 1 ? 1 n ?1 n 2 1 a a ? an ? 故数列 ? ? 是首项为 1 ? 1 ,公差为 1 的等差数列,所以 n ? 1 ? ? n ? 1? ? 1 ? n , 1 n ?n? 2 所以 an ? n . 1 7 1 1 1 5 7 ? 1? ? ? ; (Ⅲ) 当 n ? 1 时, ? 1 ? ;当 n ? 2 时, ? a1 4 a1 a2 4 4 4 1 1 1 1 1 ? 2? ? ? ,此时 当 n ? 3 时, an n ? n ? 1? n n ? 1 n 2Sn ?1 ? ? n ? 1? an ?
1 1 1 1 1 1 1 1 ?1 1? ?1 1? 1? ? 1 ? ? ? ? ? 1 ? ? 2 ? 2 ? ? ? 2? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? a1 a2 an 4 3 4 n 4 ? 2 3? ? 3 4? ? n ?1 n ? 1 1 1 7 1 7 ? 1? ? ? ? ? ? 4 2 n 4 n 4

综上,对一切正整数 n ,有

1 1 1 7 ? ??? ? . a1 a2 an 4

?2a1 ? a2 ? 3 ? 5、解:(Ⅰ)由 ?2 ? a1 ? a2 ? ? a3 ? 7 ,解得 a1 ? 1 . ? ?2 ? a2 ? 5 ? ? a1 ? a3 n ?1 n (Ⅱ)由 2Sn ? an?1 ? 2 ? 1 可得 2Sn?1 ? an ? 2 ? 1 ( n ? 2 ),两式相减,可得
n 2an ? an?1 ? an ? 2n , 即 an?1 ? 3an ? 2 , 即 an?1 ? 2

n ?1

? 3 ? an 2 ?

n

所以数列 ?a ?,

n

? 2n ? (n ? 2 )

是 一 个 以 a2 ? 4 为 首 项 , 3 为 公 比 的 等 比 数 列 . 由 2a1 ? a2 ? 3 可 得 , a2 ? 5 , 所 以 n?2 n n an ? 2n ? 9? 3 ,即 an ? 3 ? 2 ( n ? 2 ),当 n ? 1 时, a1 ? 1 ,也满足该式子,所以数列

?an ? 的通项公式是 an ? 3n ? 2n .

( Ⅲ ) 因 为 3n ? 3n ?1 ? 2 ? 3n ?1 ? 2 ? 2n ?1 ? 2n , 所 以 3n ? 2n ? 3n ?1 , 所 以 a ? 3n ?1 , 于 是 n
?1? 1? ? ? n 1 1 1 1 1 3 ? ?1? ? 3 3 ? ? ? ? ? 1 ? ? ? ? n ?1 ? ? ? ? ?1 ? ? ? ? ? . 1 a1 a2 an 3 3 2? ? ?3? ? ? 2 1? 3
n

1

1

下面给出其它证法. 1 3 1 1 1 3 ?1? ? ?1? ? 当 n ?1 时 , ; 当 n?2 时 , ; 当 n?3 时 , a1 2 a1 a2 5 2

1 1 1 1 1 3 ? ? 1? ? ? . ? a1 a2 a3 5 1 9 2 1 当 n ? 4 时, ? bn ,所以 1 ? 1 ? ? ? 1 an a1 a2 an
?1? 1 1 ? ? 5 19 3 ? ?1? ?1 ? ? ? 32 ? ? ?2? 1 1? 2
n ?3

? ? ? ?

? 1?

1 1 3 3 ? ? ? . 5 19 16 2

6、解:(1)证明:? an =

?

? a ? 1? ? 1 ? 1 ? 1 n ? 2 a 1 ? n ?1 ? n ?1 ? ? an ? 1 an ?1 ? 1 an ?1 ? 1 an ?1 ? 1 1 1 ? ? 1? n ? 2 ? 即: ? an ? 1 an ?1 ? 1
∴数列 ?

2an ?1 ? 1 2a ? 1 a ?1 ? n ? 2 ? ,? an ? 1 ? n?1 ? 1 ? n?1 an ?1 an ?1 an ?1

? 1 ? 1 ? 2 为首项, 1 为公差的等差数列. ? 是以 a ? 1 a ? 1 ? n ? 1
? ?

2n ? 2 ? ? 2n ? 4 ? bn ? ? ? 2 ? bn ?1 ? n n ?1 ? ? ? b b 2n ? 2 2n ? 4 2 2n bn ? bn ? bn ?1 ? n ? bn ?1 , 即: n ? ? n ? 2? n n ?1 n n ?1 bn ?1 n ? 1 b b b b b 2? 2 2?3 2? 4 2? n ? 2 ? 3 ? 4 ? ... ? n ? ? ? ? ... ? ? n ? n ? 2n ?1 b1 b2 b3 bn ?1 1 2 3 n ?1 b1
(2)当 n ? 2 时, bn ? S n ? S n ?1 ? ? 2 ? 当 n ? 1 时, b1 ? S1 ? 2 , ∴ bn ? n ? 2n

1 1 n+2 ? 2 ? ? n ? 1? ?1 ? n ? 1 ? an ? 1 ? ? an ? an ? 1 n ?1 n ?1 a n?2 1 1 ? cn ? n ? ? ? n n ?1 bn n ? n ? 1? ? 2 n?2 ? n ? 1? 2n
(3)由(1)知:
n ? 1 ? 1 ? ? 1 1 ? 1 1 ? ?Tn ? ? ci ? ?1 ? ? ? ? ... ? ? ? ? 1 ? ?1 ? 1 ? ? 1 2 ? n ? 1 n n ? n?2 ? n ? 1 ? 2 n ? 1 ? 2 ? ? ? ? ? 2 ? 2 ? ? 2 ? 2 3? 2 ? i ?1 ? ?

7、(1)解:由 S2 ? a1 ? a2 ? 2a2 ? 3 ? 2(2 ?1) 和 a2 ? 11 可得 a1 ? 5 (2)解法 1:当 n ? 2 时,由 an ? Sn ? Sn?1 得 an ? nan ? 3n(n ?1) ? (n ?1)an?1 ? 3(n ?1)(n ? 2) 4分

2分

? (n ?1)an ? (n ?1)an?1 ? 6(n ?1) ? an ? an?1 ? 6(n ? 2, n ? N ? )
∴数列 {an } 是首项 a1 ? 5 ,公差为 6 的等差数列 ∴ an ? a1 ? 6(n ?1) ? 6n ?1 ∴ Sn ? 7分 8分

6分

n(a1 ? an ) ? 3n 2 ? 2n 2

[解法 2:当 n ? 2 时,由 Sn ? nan ? 3n(n ?1) ? n(Sn ? Sn?1 ) ? 3n(n ?1) 可得 (n ? 1)Sn ? nSn?1 ? 3n(n ? 1)

4分

S n S n ?1 ? ?3 6分 n n ?1 S S ∴数列 { n } 是首项 1 ? 5 ,公差为 3 的等差数列 n 1 S ? n ? 5 ? 3(n ? 1) ? 3n ? 2 ,即 Sn ? 3n2 ? 2n n ?
(3)证明:? bn ?

8 分]

n 1 2 2 ? ? ? Sn 3n ? 2 2 3n ? 2 3n ? 1 ? 3n ? 2

10 分

( 2 3n ? 2 ? 3n ? 1 ) 2 ? = ( 3n ? 2 ? 3n ? 1) ( 3n ? 2+ 3n ? 1)( 3n ? 2 ? 3n ? 1 ) 3
∴ b1 ? b2 ? ? ? bn ? 分

11 分

2 [( 5 ? 2) ? ( 8 ? 5) ? ? ? ( 3n ? 2 ? 3n ? 1)] 3

13

?

2 2 ( 3n ? 2 ? 2) ? 3n ? 2 3 3

8、解:(Ⅰ)由题意,当 n ? 1时, a1 ? S1 ?

a1 ? 1 , 则a1 ? 1. 2

a2 ? 2, 则a2 ? a1 ? 1.
当 n ? 2时, a n ? S n ? S n ?1 ?

n(a n ? 1) (n ? 1)(a n ?1 ? 1) 1 ? ? [nan ? (n ? 1)a n ?1 ? 1], 2 2 2

1 [( n ? 1)a n ?1 ? na n ? 1], 2 1 则 a n ?1 ? a n ? [( n ? 1)a n ?1 ? 2na n ? (n ? 1) a n ?1 ], 2 a n ?1 ?
则 (n ? 1)an?1 ? 2(n ? 1)an ? (n ? 1)an?1 ? 0, 即 an?1 ? 2an ? an?1 ? 0,即an?1 ? an ? an ? an?1 . 则数列 {an?1 ? an } 是首项为 1,公差为 0 的等差数列。 6分

从而 an ? an?1 ? 1 ,则数列 {an } 是首项为 1,公差为 1 的等差数列。 所以, an ? n(n ? N * ) (Ⅱ) bn ? 8分

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) (2a n ? 1)(2a n ? 1) (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1
1 1 1 1 1 1 [(1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )] 2 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1

10 分

所以, Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ?

?

1 1 n (1 ? )? . 2 2n ? 1 2n ? 1

12 分

由于 Tn ?1 ? Tn ?

n ?1 n 1 ? ? ? 0. 2n ? 3 2n ? 1 (2n ? 3)(2n ? 1)

因此 T n 单调递增,故 T n 的最小值为 T1 ? 令

1 3

14 分 16 分

1 k ? , 得k ? 19 ,所以 k 的最大值为 18。 3 57

2 a 2 =4Sn?1 +4 ? n ? 1? ? 3 9、(1)? an +1 =4Sn +4n ? 3 ,?当 n ? 2 时, n ,

?an+12 ? an 2 =4 ? Sn ? Sn?1 ? ? 4=4an ? 4



?an+12 ? an2 ? 4an ? 4 ? ? an ? 2?

2



? an ? 0 恒成立,? an +1 ? an ? 2, n ? 2 ,
当 n ? 2 时,

?an ? 是公差 d ? 2 的等差数列.

3分
2

2 ? a2 , a5 , a14 构成等比数列,?a5 ? a2 ? a14 , ? a2 ? 8 ? ? a2 ? ? a2 ? 24 ? ,

解得

a2 ? 3 ,

5分

?当 n ? 2 时, an ? 3 ? 2 ? n ? 2? ? 2n ? 1 ,
2 由条件可知, a2 =4a1 +4 ? 3 ,? a1 ? 2

6分

? 2, n ? 1 an ? ? ?2n ? 1, n ? 2 . ? 数列 ?an ? 的通项公式为
?b1 ? 3, b2 ? 9 ,?数列 {bn } 的通项公式为 bn ? 3
n

8 分, 9分

Tn ?
(2)

b1 (1 ? q n ) 3(1 ? 3n ) 3n?1 ? 3 3n ?1 ? 3 3 ? ? ?( ? )k ? 3n ? 6 * 1? q 1? 3 2 , 2 2 对 n ? N 恒成
2n ? 4 3n 对 n ? N * 恒成立,

?k ?
立, 即

11 分



cn ?

2n ? 4 2n ? 4 2n ? 6 ?2(2n ? 7) cn ? cn ?1 ? ? n ?1 ? n 3 , 3n 3 3n ,

当 n ? 3 时,

cn ? cn?1 ,当 n ? 4 时, cn ? cn?1
2 2 k? 27 . 27 ,

13 分

? (cn ) max ? c3 ?

16 分


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