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江西省南昌市第三中学2016届高三数学上学期第二次月考试题 文


南昌三中 2015—2016 学年度上学期第二次月考 高三数学(文)试卷
一、 选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.cos(-300°)的值为( A. 1
2


2

B. ? 1

C.

r />2. 已知集合 A ? ??1,0,1? ,集合 B ? x 1 ? 2 ? 4 ,则 A ? B 等于 (
x

?

3 2

D. ?

?

3 2

)

A. ??1,0,1? 3.函数 f ( x) ?

B. ?1?

C. ??1,1? )

D. ?0,1?

1 log2 x ? 1

的定义域为(

A. (0, 2)
?

B. (0, 2]
?
?

C. (2,??)
?

D. [2, ??) )

4. 计算sin43 cos13 -sin13 cos 43 的值等于( A.

1 2
1 2x

B.

3 3

C.

2 2

D.

3 2

5.下列函数为奇函数的是(
x A. 2 ?
3 B. x sin x

) C. 2 cos x ? 1 )
2 x D. x ? 2

6. “ sin ? ? cos ? ”是“ cos 2? ? 0 ”的(

A 充分不必要条件

B 必要不充分条件

C 充分必要条件

D 既不充分也不必要


?2 x ?1 ? 2, x ? 1 7.已知函数 f ( x) ? ? ,且 f (a ) ? ?3 ,则 f (6 ? a ) ? ( ?? log 2 ( x ? 1), x ? 1
(A) ?

7 4

(B) ?

5 4

(C) ?

3 4

(D) ?

1 4


8.函数 f ? x ? ? ? x ?

? ?

1? ? cos x ( ?? ? x ? ? 且 x ? 0 )的图象可能为( x?

1

A. 9.函数 f ( x) ?

B.

C.

D. )

1 3 ax ? x 2 ? 5(a ? 0) 在 (0, 2) 上不单调,则 a 的取值范围是( 3 1 1 A. 0 ? a ? 1 B. 0 ? a ? C. ? a ? 1 D. a ? 1 2 2
R 上 的 函 数 f ( x) = 2
| x - m|

10. 已 知 定 义 在

- 1(m为实数) 为 偶 函 数 , 记


a = f (log 0.5 3), b = f (log 2 5), c = f (2m) ,则 a, b, c ,的大小关系为(
A. a < b < c 11.若 sin( A.B. c < a < b C. a < c < b ) D. ) D. c < b < a

1 ? ? -α )= ,则 cos( +2α )=( 4 3 3
B.-

1 1 C. 4 4 3 2 12.函数 f ( x) ? cos x ? sin x ? cos x 的最大值等于( 8 32 16 4 A、 B、 C、 D、 27 27 27 27
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13. lg

7 8

7 8

5 1 ? 2 lg 2 ? ( ) ?1 ? 2 2
2

. .
2

14.函数 f ( x) ? 1 ? 3 sin x 的最小正周期为

15.已知函数 f(x)=sinx+5x,x∈(-1,1).如果 f(1-a)+f(1-a )<0,则 a 的取值范围 是______. 16.下面有四个命题:①函数 y=sin x-cos x 的最小正周期是 ? .②函数
4 4

11 ?? ? f ( x) ? 3sin ? 2 x ? ? 的图象关于直线 x ? ? 对称;③在同一坐标系中,函数 y=sinx 的 12 ?? ?
图象和函数 y=x 的图象有三个公共点.④把函数

? ? y ? 3 sin( 2 x ? )的图象向右平移 得到 y ? 3 sin 2 x的图象 . 3 6
其中真命题的序号是 (写出所有真命题的编号) 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 1 13 π 17. (本小题满分 10 分)已知 cosα = ,cos(α -β )= ,且 0<β <α < .(1)求 tan2α 7 14 2 的值;(2)求角 β .
2

18. (本小题满分 12 分)两会结束后,房价问题仍是国民关注的热点问题,某高校金融学 一班的学生对某城市居民对房价的承受能力 (如能买每平方米 6 千元的房子即承受能力为 6 千元)的调查作为社会实践,进行调查统计, 将承受能力数据按区间 频率 组距

0.45

[2.5,3.5),[3.5, 4.5),[4.5,5.5),[5.5,6.5),[6.5,7.5]
(千元)进行分组,得到如下统计图: (1) 求 a 的值, 并估计该城市居民的平均承受能力是多 少元; (2)若用分层抽样的方法,从承受能力在 [3.5, 4.5) 与

a
0.14 0.1 2.5 3.5 4.5 5.5 6.5 7.5
千元

[5.5, 6.5) 的居民中抽取 5 人,在抽取的 5 人中随机取 2 人,求 2 人的承受能力不同的概率.

19. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? 2 cos x sin( x ?

?
3

) ? 3 sin 2 x ? sin x cos x.(1)求

函数 f ( x) 的单调递增区间; (2)在给出的直角坐标系中,画出函数 f ( x )在[ ? 象;

? ?

, ] 上的图 2 2

20. (本 小题满分 12 分)如图,已知 AA1 ? 平面 ABC, BB1 || AA1 ,

AB=AC=3, BC ? 2 5, AA 1 ? 7 , BB 1 ? 2 7, 点 E,F 分
别是 BC, AC 的中点.(I)求证:EF∥ 平面 A 1 1B 1BA ;

3

(II)求证:平面 AEA 1 ? 平面 BCB1 .

3 cos ? ,其中 x ? R,? 为参 16 数,且 0 ? ? ? 2? . (1)当时 cos ? ? 0 ,判断函数 f ?x ? 是否有极值; (2)要使函数 f ?x ? 的
3 2 21. (本小题满分 12 分)已知函数 f ? x ? ? 4 x ? 3 x cos ? ?

极小值大于零,求参数 ? 的取值范围; (3)若对(2)中所求的取值范围内的任意参数 ? , 函数 f ?x ? 在区间 ?2a ? 1, a ? 内都是增函数,求实数 a 的取值范围.

22. (本小题满分 12 分)设函数 f(x)= e -ax-2,(Ⅰ)求 f(x)的单调区间;(Ⅱ)若 a=1,k 为整数,且当 x>0 时,(x-k) f?(x)+x+1>0,求 k 的最大值.

x

4

南昌三中高三第二次月考试卷 2015-9-16 数学答案(文科) 二、 选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.cos(-300°)的值为( A A. 1
2


2

B. ? 1

C.

2. 已知集合 A ? ??1,0,1? ,集合 B ? x 1 ? 2 ? 4 ,则 A ? B 等于 (D
x

?

3 2

D. ?

?

3 2

)

A. ??1,0,1?

B. ?1?

C. ??1,1?

D. ?0,1?

3. 【2014 高考山东卷文第 3 题】函数 f ( x) ? C. (2,??)

1 log2 x ? 1

的定义域为(



A. (0, 2)

B. (0, 2]

D. [2, ??)

【答案】 C 【解析】由已知 log2 x ?1 ? 0,log2 x ? 1, ,解得 x ? 2 ,故选 C . 4. 计算sin43 cos13 -sin13 cos 43 的值等于( A. A.
? ?
? ?



1 2
1 2x

B.

3 3

C.

2 2

D.

3 2

2 x D. x ? 2

5. 【2014 高考广东卷文第 5 题】下列函数为奇函数的是(
x A. 2 ?
3 B. x sin x

C. 2 cos x ? 1
x

【答案】A【解析】对于 A 选项中的函数 f ? x ? ? 2 ?

1 ? 2 x ? 2? x ,函数定义域为 R , x 2

f ? ? x ? ? 2? x ? 2?? ? x? ? 2? x ? 2x ? ? f ? x ? ,故 A 选项中的函数为奇函数;对于 B 选项中的
函数 g ? x ? ? x sin x ,由于函数 y1 ? x3 与函数 y2 ? sin x 均为奇函数,则函数
3

g ? x ? ? x3 sin x 为偶函数;对于 C 选项中的函数 h ? x ? ? 2cos x ?1,定义域为 R , h ? ?x ? ? 2cos ? ?x ? ?1 ? 2cos x ?1 ? h ? x ? ,故函数 h ? x ? ? 2cos x ?1 为偶函数;对于 D
选项中的函数 ? ? x ? ? x ? 2 , ? ?1? ? 3 , ? ? ?1? ?
2 x

3 ,则 ? ? ?1? ? ?? ?1? ,因此函数 2

? ? x? ? x2 ? 2x 为非奇非偶函数,故选 A.
6.【2015 高考陕西,文 6】 “ sin ? ? cos ? ”是“ cos 2? ? 0 ”的( )

A 充分不必要条件

B 必要不充分条件
2

C 充分必要条件

D 既不充分也不必要

【答案】 【解析】 cos 2? ? 0 ? cos A

? ? sin 2 ? ? 0 ? (cos ? ? sin ? )(cos ? ? sin ? ) ? 0 ,
5

所以 sin ? ? cos ? 或 sin ? ? ? cos ? ,故答案选 A . 7.【2015 高考新课标 1,文 10】已知函数 f ( x) ? ?

?2 x ?1 ? 2, x ? 1 ?? log 2 ( x ? 1), x ? 1

,且 f (a ) ? ?3 ,则

f (6 ? a) ? (
(A) ?

) (B) ?

7 4

5 4

(C) ?

3 4

(D) ?

1 4

【答案】A【解析】∵ f (a ) ? ?3 ,∴当 a ? 1 时, f (a ) ? 2

a ?1

? 2 ? ?3 ,则 2a ?1 ? ?1 ,此

等 式 显 然 不 成 立 , 当 a ? 1 时 , ? log 2 ( a ? 1) ? ?3 , 解 得 a ? 7 , ∴

7 f (6 ? a ) ? f (?1) = 2?1?1 ? 2 ? ? ,故选 A. 4
8. 【2015 高考浙江,文 5】函数 f ? x ? ? ? x ? 为( )

? ?

1? ? cos x ( ?? ? x ? ? 且 x ? 0 )的图象可能 x?

A.

B.

C.

D.

【答案】D【解析】因为 f (? x) ? (? x ? ) cos x ? ?( x ? ) cos x ? ? f ( x) ,故函数是奇函 数,所以排除 A,B;取 x ? ? ,则 f (? ) ? (? ?

1 x

1 x

1

?

1 ) cos ? ? ?(? ? ) ? 0 ,故选 D.

?

1 3 2 9.函数 f ( x) ? ax ? x ? 5(a ? 0) 在 (0, 2) 上不单调,则 a 的取值范围是( D ) 3 1 1 A. 0 ? a ? 1 B. 0 ? a ? C. ? a ? 1 D. a ? 1 2 2
10.【2015 高考天津,文 7】 已知定义在 R 上的函数 f ( x) = 2
| x - m|

- 1(m为实数) 为偶函数,
6

记 a = f (log 0.5 3), b = f (log 2 5), c = f (2m) ,则 a, b, c ,的大小关系为( (A) a < b < c (B) c < a < b (C) a < c < b
log 0,5 3



(D) c < b < a

【答案】B【解析】由 f ? x ? 为偶函数得 m ? 0 ,所以 a ? 2

? 1 ? 2log2 3 ? 1 ? 3 ? 1 ? 2,

b ? 2log2 5 ? 1 ? 5 ? 1 ? 4 , c ? 20 ? 1 ? 0 ,所以 c < a < b ,故选 B.
11.若 sin( A.-

1 ? ? -α )= ,则 cos( +2α )=( 4 3 3
B.-

) D.

7 8

解析:sin(

1 ? ? ? ? ? ? -α )=cos[ -( -α )]=cos( +α )= .所以 cos( +2α )=cos[2( + 4 3 2 3 6 3 6
2
2

1 4

C.

1 4

7 8

7 ? ?1? α )]=2cos ( +α )-1=2× ? ? -1=- .答案:A 8 6 ?4?
12.函数 f ( x) ? cos3 x ? sin 2 x ? cos x 的最大值等于( B) A、

8 27

B、

32 27

C、

16 27

D、

4 27

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.【2015 高考安徽,文 11】 lg

5 1 ? 2 lg 2 ? ( ) ?1 ? 2 2

.

【答案】-1【解析】原式= lg 5 ? lg 2 ? 2 lg ? 2 ? lg 5 ? lg 2 ? 2 ? 1 ? 2 ? ?1 14. 【2015 高考上海,文 1】函数 f ( x) ? 1 ? 3 sin x 的最小正周期为
2

. , 所 以









?













2 sin 2 x ? 1 ? cos 2 x

3 1 3 2? f ( x) ? 1 ? (1 ? cos 2 x) ? ? ? cos 2 x ,所以函数 f ( x) 的最小正周期为 ?? . 2 2 2 2
15.已知函数 f(x)=sinx+5x,x∈(-1,1).如果 f(1-a)+f(1-a )<0,则 a 的取值范围 是______. 【答案】 1<a< 2【解析】 ∵f(x)为奇函数,且在(-1,1)上是增函数.f(1-a)+f(1- -1<1-a<1, ? ? 2 a )<0,即 f(1-a)<f(a -1).∴?-1<a -1<1, ? ?1-a<a2-1,
2 2 4 4 2

解之得 1<a< 2.

16.下面有五个命题:①函数 y=sin x-cos x 的最小正周期是 ? .②函数

11 ?? ? f ( x) ? 3sin ? 2 x ? ? 的图象关于直线 x ? ? 对称;③在同一坐标系中,函数 y=sinx 的 12 ?? ?
图象和函数 y=x 的图象有三个公共点.④把函数

7

? ? y ? 3 sin( 2 x ? )的图象向右平移 得到 y ? 3 sin 2 x的图象 . 3 6 ? ⑤函数 y ? sin( x ? ) 在〔0,?〕上是减函数 . 2
其中真命题的序号是 ( (写出所有真命题的编号) )

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 1 13 π 17. (本小题满分 10 分)已知 cosα = ,cos(α -β )= ,且 0<β <α < .(1)求 tan2α 7 14 2 的值;(2)求角 β . 解: (1) sin ? ? 1 ? cos
2

??

4 3 sin ? , tan ? ? ? 4 3 ??4 分 7 cos ?

π π 13 (2)由 0<β <α < ,得 0<α -β < .又∵cos(α -β )= ,??5 分 2 2 14

?13?2 3 3.??6 分 1-? ? = ?14? 14 由 β =α -(α -β )得,cosβ =cos[α -(α -β )]=cosα cos(α -β )+sinα sin(α - 1 β )= .??8 分 2 π π 0<β < ,∴β = .??10 分 2 3
∴sin(α -β )= 1-cos ?α -β ?=
2

18. (本小题满分 12 分)两会结束后,房价问题仍是国民关注的热点问题,某高校金融学 一班的学生对某城市居民对房价的承受能力 (如能买每平方米 6 千元的房子即承受能力为 6 千元)的调查作为社会实践,进行调查统计, 将承受能力数据按区间 频率 组距

0.45

[2.5,3.5),[3.5, 4.5),[4.5,5.5),[5.5,6.5),[6.5,7.5]
(千元)进行分组,得到如下统计图: (1) 求 a 的值, 并估计该城市居民的平均承受能力是多 少元; (2)若用分层抽样的方法,从承受能力在 [3.5, 4.5) 与

a
0.14 0.1
2.5 3.5 4.5 5.5 6.5 7.5
千元

[5.5, 6.5) 的居民中抽取 5 人,在抽取的 5 人中随机取 2 人,求 2 人的承受能力不同的概率.
18 解:(1)由 0.1 ? 0.1 ? 0.14 ? 0.45 ? a ? 1 ,所以 a ? 0.21 , 2分

平均承受能力 x ? 3 ? 0.1 ? 4 ? 0.14 ? 5 ? 0.45 ? 6 ? 0.21 ? 7 ? 0.1 ? 5.07 , 即城市居民的平均承受能力大约为 5070 元; 5分

8

(2)用分层抽样的方法在这两组中抽 5 人, 即 [3.5, 4.5) 组中抽 2 人与 [5.5, 6.5) 抽 3 人,

2 设 [3.5, 4.5) 组中两人为 A 1, A 2 , [5.5, 6.5) 组中三人为 B 1 , B2 , B2 ,从这 5 人中随机取 人,有

A1 A2 , A1B1 , A1B2 , A1B3 , A2 B1 , A2 B2 , A2 B3 , B1B2 , B1B3 , B2 B3 共 10 中,符合两人承受能
力不同的有 A1B1 , A1B2 , A1B3 , A2 B1 , A2 B2 , A2 B3 共 6 中,所以所求概率为 P ? 12 分

6 3 ? . 10 5

19. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? 2 cos x sin( x ?

?
3

) ? 3 sin 2 x ? sin x cos x.(1)求

函数 f ( x) 的单调递增区间; (2)在给出的直角坐标系中,画出函数 f ( x )在[ ? 象;

? ?

, ] 上的图 2 2

17. (1)

?1 ? 3 2 2 2 ? ? f ( x) ? 2 cos x? ? 2 sin x ? 2 cos x ? ? 3 sin x ? sin x cos x ? 2 sin x cos x ? 3 (cos x ? sin x) ? ?

sin 2 x ? 3 cos 2 x ? 2sin(2 x ? ) 3
由: 2k? ? 间 为 ? k? ?

?

??3 分

?

2

? 2x ?

?

3

? 2 k? ?

?

2

, k? ?

5? ? ? x ? k? ? , k ? Z 所以 f ( x) 的单调递增区 12 12

? ?

5? ?? , k? ? ? (k ? Z ) ??6 分 12 12 ?
9

(2)表格 3 分,图形 3 分

20.(本小题满分 12 分) (2015 年天津文)如图,已知 AA1 ? 平面 ABC, BB1 || AA1 ,

AB=AC=3, BC ? 2 5, AA 的中点.(I)求证: 1 1 ? 7 ,, BB 1 ? 2 7, 点 E,F 分别是 BC, AC EF∥ 平面 A1B1BA ; (II)求证:平面 AEA 1 ? 平面 BCB1 .

【解析】 (I) 分别是 BC, AC 的中点,所以 1

证明:如图,连接 A 1B ,在△ A 1BC 中,因为 E 和 F

EF ∥ A1B ,又因为 EF ? 平面 A1B1BA , 所以 EF∥ 平面 A1B1BA .
(II)因为 AB=AC,E 为 BC 中点,所以 AE ? BC ,因为 AA1 ? 平面 ABC, BB1 ∥ AA1 所以

BB1 ? 平面 ABC,从而 BB1 ? AE ,又 BC ? BB1 ? B ,所以 AE ? 平面 BCB1 ,又因为
AE ? 平面 AEA1 ,所以平面 AEA1 ? 平面 BCB1 .

3 cos ? ,其中 x ? R,? 为参 16 数,且 0 ? ? ? 2? . (1)当时 cos ? ? 0 ,判断函数 f ?x ? 是否有极值; (2)要使函数 f ?x ? 的
3 2 21. (本小题满分 12 分)已知函数 f ? x ? ? 4 x ? 3 x cos ? ?

10

极小值大于零,求参数 ? 的取值范围; (3)若对(2)中所求的取值范围内的任意参数 ? , 函数 f ?x ? 在区间 ?2a ? 1, a ? 内都是增函数,求实数 a 的取值范围. (1)解:当 cos ? ? 0 时, f ( x) ? 4 x3 ,则 f ( x ) 在 (??, ??) 内是增函数,故无极值. (2)解: f '( x) ? 12 x2 ? 6 x cos ? ,令 f '( x) ? 0 ,得 x1 ? 0, x2 ?

cos ? 2

由(Ⅰ) ,只需分下面两种情况讨论. ①当 cos ? ? 0 时,随 x 的变化 f '( x) 的符号及 f ( x ) 的变化情况如下表: x

(??, 0)
+ ↗

0 0 极大值

(0,


cos ? ) 2

cos ? 2
0 极小值

(
+

cos ? , ??) 2

f '( x) f ( x)



cos ? cos ? 1 3 cos ? ) ,且 f ( ) ? ? cos3 ? ? ? 处取得极小值 f( 2 2 4 16 2 1 3 cos ? 3 ) ? 0 ,必有 ? cos ? (cos 2 ? ? ) ? 0 ,可得 0 ? cos ? ? 要使 f ( 4 4 2 2 ? ? 3? 11? 3 ?? ? 由于 0 ? cos ? ? ,故 ? ? ? 或 6 2 2 6 2 cos ? ? 0 ②当时 ,随 x 的变化, f '( x) 的符号及 f ( x ) 的变化情况如下表: x (0, ??) 0 cos ? cos ? cos ? (??, ) ( , 0) 2 2 2 + 0 0 + f '( x) 极大值 极小值 f ( x) ? ? ? 3 cos ? . 因此,函数 f ( x)在x ? 0 处取得极小值 f (0) ,且 f (0) ? 16 若 f (0) ? 0 ,则 cos ? ? 0 。矛盾。所以当 cos ? ? 0 时, f ( x ) 的极小值不会大于零。 综上,要使函数 f ( x ) 在 (??, ??) 内的极小值大于零,参数 ? 的取值范围为 ? ? 3? 11? ( , )?( , )。 6 2 2 6 cos ? , ??) 内都是增函数。由题设, (3)解:由(2)知,函数 f ( x ) 在区间 (??, ??) 与 ( 2 函数 f ( x)在(2a ?1, a) 内是增函数,则 a 须满足不等式组 2a ? 1 ? a 2a ? 1 ? a
因此,函数 f ( x ) 在 x ?

a?0



? ? 3? 11? 3 ? ?( , ) ?( , ) 时, 0 ? cos ? ? 。 6 2 2 6 2 1 3 4? 3 要使不等式 2a ? 1 ? cos ? 关于参数 ? 恒成立,必有 2a ? 1 ? ,即 ? a。 2 4 8 4? 3 4? 3 综上,解得 a ? 0 或 ? a ? 1。所以 a 的取值范围是 (??, 0) ? [ ,1) 。 8 8
由(II) ,参数时 22. (本小题满分 12 分)设函数 f(x)= e -ax-2,(Ⅰ)求 f(x)的单调区间;(Ⅱ)若 a=1,k 为整数,且当 x>0 时,(x-k) f?(x)+x+1>0,求 k 的最大值 【答案】
11
x

2a ? 1 ?

1 cos ? 2

12


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