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2015优化方案(高考总复习)新课标 湖北理科第六章第5课时课后达标检测


[基础达标] 一、选择题 1. (2014· 天津一中高三月考)已知全集 U=R, A={y|y=2x+1}, B={x||x-1|+|x-2|<2}, 则(?UA)∩B=( ) ? 1 ? A.? B.?x|2<x≤1? ? ? C.{x|x<1} D.{x|0<x<1} 1 5 解析:选 B.A={y|y=2x+1}={y|y>1},B={

x||x-1|+|x-2|<2}={x| <x< },所以?UA 2 2 1 ? ? ={y|y≤1},所以(?UA)∩B=?x|2<x≤1?. ? ? 2.(2014· 武汉市高三调研测试)若 logmn=-1,则 m+3n 的最小值为( ) A.2 B.2 2 C.2 3 D.4 解析: 选 C.因为 logmn=-1 则 mn=1, 且 m>0, m≠1, n>0.所以 m+3n≥2 3mn=2 3, 3 当且仅当 m=3n,即 m= 3,n= 时等号成立.故 m+3n 的最小值为 2 3. 3 3.已知 x,y,z∈R+,且 x+y+z=2,则 x2+y2+z2 的最小值为( ) 4 A. B.1 3 2 1 C. D. 3 3 解析:选 A.由柯西不等式得(x2+y2+z2)(12+12+12)≥(x+y+z)2,即 3(x2+y2+z2)≥4. 4 4 所以 x2+y2+z2≥ .即 x2+y2+z2 的最小值为 . 3 3 2 4.(2014· 武汉市高三模拟考试)已知 2x +3y2+6z2-a=0,x+y+z+2-a=0,则实数 a 的取值范围为( ) A.[1,4] B.(-∞,1]∪[4,+∞) C.(1,4) D.(-∞,1)∪(4,+∞) 解析: 选 A. 由柯西不等式,得 ? 1 ?2+? 1 ?2+? 1 ?2?≥? 2x·1 + 3y·1 + 6z·1 ?2, [( 2x)2+( 3y)2+( 6z)2]? 2 3 6? ?? 2? ? 3? ? 6? ? ? 1 1 1 2 ? 即 a? ?2+3+6?≥(a-2) ,解得 1≤a≤4. 二、填空题 5.设函数 f(x)= |x+1|+|x-2|-a,若函数 f(x)的定义域为 R,则实数 a 的取值范围是 ________. 解析: 由题意,|x+1|+|x-2|-a≥0 对任意 x∈R 恒成立,即|x+1|+|x-2|≥a 对任意 x∈R 恒成立. 因为|x+1|+|x-2|≥|(x+1)-(x-2)|=3, 所以 3≥a.即实数 a 的取值范围是(- ∞,3]. 答案:(-∞,3] 6.已知 x+2y+3z=1,则 x2+y2+z2 的最小值是________. 解析:由柯西不等式,得(x2+y2+z2)(12+22+32)≥(x+2y+3z)2,则 14(x2+y2+z2)≥1. 1 1 所以 x2+y2+z2≥ .故 x2+y2+z2 的最小值是 . 14 14 1 答案: 14

7.(2014· 武汉市高三调研考试)不等式|x-1|+|x+2|≥5 的解集是________. 解析:当 x<-2 时,不等式可化为-(x-1)-(x+2)≥5,解得 x≤-3; 当-2≤x≤1 时,不等式可化为-(x-1)+(x+2)≥5,即 3≥5,无解; 当 x>1 时,不等式可化为(x-1)+(x+2)≥5,解得 x≥2. 综上,不等式|x-1|+|x+2|≥5 的解集是(-∞,-3]∪[2,+∞). 答案:(-∞,-3]∪[2,+∞) 8.已知 x>0,y>0,且 2x+y=6,则 x2y 的最大值为________. x+x+y?3 解析:因为 x>0,y>0,所以 x2y=x· x· y≤? ? 3 ? =8,当且仅当 x=y=2 时,等号成 立. 答案:8 1 1 1 9.(2014· 湖北省公安三中高三月考)已知 x,y,z 为正实数,且 + + =1,则 x+4y x y z +9z 的最小值为________,此时 x=________,y=________,z=________. 1 1 1? ?x 4y? ?x 9z? ?4y 9z? 解析: x + 4y + 9z = (x + 4y + 9z) ? ? x+y+ z ? = 14 + ?y+ x ? + ?z+ x ? + ? z + y ? ≥14 + x 4y x 9z 4y 9z x 4y x 9z 4y 9z 2 · +2 · +2 · =36,当且仅当 = , = , = ,即 x=2y=3z,即 x y x z x z y y x z x z y =6,y=3,z=2 时等号成立. 答案:36 6 3 2 10.空间向量 α=(1,1,1),β=(x,y,z),已知|β|=3 3,则 (1)α·β 的最大值为________; (2)此时 β=________. 解析:(1)由柯西不等式|α·β|≤|α||β|,得|α·β|≤ 3×3 3,所以|α·β|≤9.故 α·β≤9. (2)由柯西不等式成立的条件可知,β=3α,故 β=(3,3,3). 答案:(1)9 (2)(3,3,3) 11.(2014· 黄冈市黄冈中学高三模拟考试)已知 x,y,z∈(0,+∞),且 ln2x+ln2y+ln2z 2 1 x = ,则 的最大值为________. 3 yz 解析:由柯西不等式,得(ln2x+ln2y+ln2z)[22+(-1)2+(-1)2]≥(2ln x-ln y-ln z)2,则 2 2 2 2 ?lnx ?2≤2,得- 2≤lnx ≤ 2,则 e- 2≤x ≤e 2.即x 的最大值为 e 2. ? yz? yz yz yz 2 答案:e 12.若不等式|3x-b|<4 的解集中整数有且仅有 1,2,3,则实数 b 的取值范围是________. b-4 b+4 解析:不等式|3x-b|<4?-4<3x-b<4,所以 <x< . (*) 3 3 b-4 b+4 若原不等式的整数解只有 1,2,3,由(*)式,知 0≤ <1 且 3< ≤4,解得 4≤b<7 且 3 3 5<b≤8,所以 5<b<7. 答案:(5,7) [能力提升] 一、选择题 1 . (2014· 湖北省八校高三联考 ) 若 2x + 3y + 5z = 29 ,则函数 μ = 2x+1+ 3y+4 + 5z+6的最大值为( ) A. 5 B.2 15 C.2 30 D. 30 解析:选 C.由柯西不等式,得

[

2x+1 2+ 3y+4 2+ 5z+6

2

](12+12+12)≥(

2x+1+ 3y+4+ 5z+6)2, 则 3(2x

+ 3y + 5z + 11)≥( 2x+1 + 3y+4 + 5z+6 )2 , 即 3(29 + 11)≥( 2x+1 + 3y+4 + 5z+6)2,所以 2x+1+ 3y+4+ 5z+6≤2 30.即函数 μ= 2x+1+ 3y+4+ 5z+6的

最大值为 2 30. 2.(2012· 高考湖北卷)设 a,b,c,x,y,z 是正数,且 a2+b2+c2=10,x2+y2+z2=40, a+b+c ax+by+cz=20,则 =( ) x+y+z 1 1 A. B. 4 3 1 3 C. D. 2 4 2 2 2 解析:选 C.由题意可得 x +y +z =2ax+2by+2cz,① ①与 a2+b2+c2=10 相加可得(x-a)2+(y-b)2+(z-c)2=10, x-a=a ? ? 所以不妨令?y-b=b ? ?z-c=c x-a=b ? ? 或?y-b=c ? ?z-c=a ,

则 x+y+z=2(a+b+c), a+b+c 1 即 = . x+y+z 2 二、填空题 3.(2014· 武汉市部分学校高三联考)设二次函数 f(x)=ax2-4x+c(x∈R)的值域为[0,+ 1 9 ∞),则 + 的最大值为________. c+1 a+9 4ac-16 解析:由题意,a>0,且 =0,则 ac=4. 4a a+9+9c+9 a+9c+18 a+9c+18 1 9 5 故 + = = = =1+ ≤1 + c+1 a+9 ?c+1??a+9? ac+a+9c+9 a+9c+13 a+9c+13 5 6 2 1 9 6 = ,当且仅当 a=9c,即 a=6,c= 时等号成立.故 + 的最大值为 . 3 5 c+1 a+9 2 a· 9c+13 5 6 答案: 5 4.设 x,y,z∈R,若 2x-3y+z=3,则 x2+(y-1)2+z2 的最小值为________,且此时 y=________. 解析:由 2x-3y+z=3,得 2x-3(y-1)+z=6,故由柯西不等式得[x2+(y-1)2+z2][22 36 +(-3)2+12]≥(2x-3y+3+z)2=36,∴x2+(y-1)2+z2≥ . 14 18 x y-1 z 所以最小值为 , = = =t,因为 2x-3y+z=3, 7 2 -3 1 3 2 ∴2(2t)-3(-3t+1)+t=3,所以 t= .所以 y=- . 7 7 18 2 答案: - 7 7 5.(2014· 陕西省重点中学高三模拟考试)对于任意的实数 a(a≠0)和 b,不等式|a+b|+|a -b|≥M· |a|恒成立,记实数 M 的最大值是 m,则 m 的值为________. 解析:不等式|a+b|+|a-b|≥M· |a|恒成立, |a+b|+|a-b| 即 M≤ 对于任意的实数 a(a≠0)和 b 恒成立, |a| 只要左边恒小于或等于右边的最小值. 因为|a+b|+|a-b|≥|(a+b)+(a-b)|=2|a|,当且仅当(a-b)(a+b)≥0 时等号成立,即 |a+b|+|a-b| |a+b|+|a-b| |a|≥|b|时, ≥2 成立,也就是 的最小值是 2. |a| |a| 答案:2 → → 6.(2014· 湖北省黄冈模拟)已知 M 是△ABC 内的一点(不含边界),且AB· AC=2 3,∠

1 4 9 BAC=30° ,若△MBC,△MCA,△MAB 的面积分别为 x,y,z,记 f(x,y,z)= + + , x y z 则 f(x,y,z)的最小值是________. 1 → → 解析:根据AB· AC=2 3,得 AB· AC=4,故△ABC 的面积是 AB· ACsin 30° =1,即 x+y 2 1 4 9 1 4 9 4x 9x y 9y z 4z + z = 1. 故 f(x, y , z)= + + = (x + y+ z)( + + ) = 14+ + + + + + =14+ x y z x y z y z x z x y 4 x y 9 x z 9 y 4 z ? + ?+? + ?+? + ?≥14+4+6+12=36.等号当且仅当 y=2x, z=3x,3y=2z 时成立. ? y x? ? z x? ? z y ? 答案:36 7.设 a,b,c,x,y,z 均为正实数,且满足 a2+b2+c2=25,x2+y2+z2=36,ax+by a+b+c +cz=30,则 =________. x+y+z a+b+c a b c 解析:由柯西不等式等号成立的条件,知 = = =λ,再由等比定理,得 =λ. x y z x+y+z 因此只需求 λ 的值即可.由柯西不等式,得 a b c 302=(ax+by+cz)2≤(a2+b2+c2)(x2+y2+z2)=25×36,当且仅当 = = =λ 时,上式 x y z 等号成立.于是 a=λx,b=λy,c=λz. 5 a b c 5 从而有 λ2(x2+y2+z2)=25,解得 λ=± (舍负),即 = = = . 6 x y z 6 5 答案: 6 1 ?2 8.(2014· 湖南长沙市高三模拟 )已知 x>0,y>0,z>0,x+2y+3z=3,那么? ?x+4y? + ?2y+ 1 ?2+?3z+ 1 ?2 的最小值为________. 6z? ? 2x? ? 解析:由柯西不等式,得 ??x+ 1 ?2+?2y+ 1 ?2+?3z+ 1 ?2?(12+12+12)≥?x+ 1 +2y+ 1 +3z+ 1 ?2, 6z? ? 2x? ? 6z 2x? ?? 4y? ? ? 4y 1 1 1 ? ?2 ? ?2 ? ?2? 即 3? ??x+4y? +?2y+6z? +?3z+2x? ?≥ ?3+ 1 + 1 + 1 ?2,当且仅当 x+ 1 =2y+ 1 =3z+ 1 时等号成立.因为 1 + 1 + 1 = ? 2x 4y 6z? 4y 6z 2x 2x 4y 6z x+2y+3z x+2y+3z x+2y+3z 1 y x z x 1 z x y 1 1 ?y + + = + + + + + + + + = +?3x+12y? ? 6 3x 2x 12y 6 4y 18z 9z 6 2 3×2x 3×4y 3×6z z x z y 1 y x z x z y 3 + ?+? + ?≥ +2 +? · + 2 · + 2 · = ,当且仅当 2 x 18 z 4 y 9 z ? ? ? ? 2 3x 12y 2x 18z 4y 9z 2 y x z x z y = , = , = ,即 x∶y∶z=6∶3∶2 时等号成立,且 x∶y∶z=6∶3∶2 3x 12y 2x 18z 4y 9z 1 1 1 也满足 x+ =2y+ =3z+ ,即两次等号可以同时成立,所以 4y 6z 2x ?x+ 1 ?2+?2y+ 1 ?2+?3z+ 1 ?2?≥?3+3?2. 3? 6z? ? 2x? ? ? 2? ?? 4y? ? 1 ?2 ? 1 ?2 ? 1 ?2 27 即? ?x+4y? +?2y+6z? +?3z+2x? ≥ 4 . 27 答案: 4


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