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2014 年杭州市第二次高考科目教学质量检测数学理科荅案


2014 年杭州市第二次高考科目教学质量检测 高三数学(理科)检测试卷答案
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 题号 答案 1 B 2 A 3 C 4 C 5 C 6 C 7 B 8 B 9 D 10 B

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分

. 11.-1-i 15. ? 12.

28 3

13.0

14.48

1 ) 17.0 4 三、解答题: 本大题共 5 小题, 共 72 分.解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤. 18. (本题满分 14 分) (Ⅰ)设等差数列的公差为 d,等比数列的公比为 q, 则 a1=1,a2=2,a3=1+d,a4=2q,a5=1+2d, 所以 4+d=2q,(1+d)+(1+2d)=2+2q, 解得 d=2,q=3. 所以
16.[-2,

1 4

n, (n ? 2k ? 1) ? ? an ? ? ,k∈N*. ………………………………………7 分 n ?1 2 ? ?2 ? 3 ,(n ? 2k )
(Ⅱ)当 n=1 时,S2n=2n+n2; 当 n≥2 时, 因为 S2n=

(1 ? 2n ? 1)n 2(1 ? 3n ) =n2-1+3n=n2-1+(1+2)n ? 2 1? 3 >n2-1+2n+1=n2+2n. …………………………………………7 分

19. (本题满分 14 分) (Ⅰ)设事件 A 为“两球上的标号都是奇数或都是偶数”,所以

P( A) ?
(Ⅱ)由得意得

1 1 1 C1 2 3 C2 ? C2 C1 ? ; 1 C1 C 5 5 4

……………………………5 分

X=1,2,3. 则
1 1 1 C1 C1 C1 3 3 1 3 2 C3 2 C1C3 ; ; ? P ( X ? 2) ? ? P ( X ? 3) ? ? . 1 1 1 1 1 1 C5 5 C5C4 10 C5C4 C3 10

P( X ? 1) ?

所以 X 的分布列为
X

1
3 5

2
3 10

3
1 10

P 所以

3 3 1 3 ………………9 分 E ( X ) ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? . 5 10 10 2 20. (本题满分 15 分) 解: (Ⅰ)取 AC 的中点 F,连接 DF,A′F, 则 DF//AB,A′E//AB, 所以 DF//A′E, 1 1 又因为 DF= AB,A′E= AB, 2 2 所以 DF=A′E, 所以四边形 DFA′E 是平行四边形, 所以 ED//A′F,又 A′F ? 平面 ACC′A′, 所以 ED//平面 ACC′A′; ……………………………………………………5 分 (Ⅱ)在平面 ABC 中,以过点 A 且垂直于 AC 的直线为 x 轴,以直线 AC 为 y 轴,AA′为 z 轴,建立空间直角坐标系 A-xyz.

? 3 1 ? 所以点 A(0, 0, 0),B( 3, ?1,0) , C(0, 2, 0),B?( 3, ?1,2) , C′(0, 2, 2),D ? ? 2 , 2 ,0 ? ?. ? ?
所以

? 3 1 ? ? AD ? ? ? 2 , 2 ,0 ? ? , AB ? ? ?
设平面 B′AD 的法向量为 m=(x,y,z), 则由 m· AD =0 和 m· AB? =0,得

?

3, ?1,2 , AC ? ? ? 0,2,2 ? .

?

? 3 1 x ? y ? 0, ? 取 m= (1, ? 3, ? 3) . 2 ? 2 ? 3x ? y ? 2 z ? 0. ?
同理,可取平面 C′AD 的法向量 n= (1, ? 3, 3) . 设二面角 B′-AD-C′等于 θ,则 m?n 1 ? . cosθ= | m |?| n| 7 21. (本题满分 15 分) (Ⅰ)

……………………………………10 分

x2 …………………………………4 分 ? y2 ? 1 ; 4 (Ⅱ)设直线 BC 的方程为 x=ty+1(t∈R) ,点 B,C 的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2), 把直线 BC 的方程代入椭圆方程,得 (t2+4)y2+2ty-3=0. 所以 ?2t ?3 y1 ? y2 ? 2 , y1 ? y2 ? 2 . t ?4 t ?4 所以
x1 x2 ? (ty1 ? 1)(ty2 ? 1) ? t 2 y1 y2 ? t ( y1 ? y2 ) ? 1 ? 4 ? 4t 2 , t2 ? 4

x1 ? x2 ? (ty1 ? 1) ? (ty2 ? 1) ? t ( y1 ? y2 ) ? 2 ?
因为直线 AB 的斜率 k AB ?

8 . t2 ? 4

y1 ,所以直线 AB 的方程为 x1 ? 2 y? y1 ( x ? 2) . x1 ? 2

所以点 M 的坐标为 (3,

5 y1 5 y2 ) ,同理, N (3, ). x1 ? 2 x2 ? 2

故以 MN 为直径的圆方程为:

? x ? 3?? x ? 3? ? ? y ?
?


?

5 y1 ?? 5 y2 ? ?? y ? ? ? 0, x1 ? 2 ?? x2 ? 2 ?

? x ? 3?
又因为

2

? 5 y1 5 y2 ? 25 y1 y2 ? y2 ? ? ? ?0. ?y? ? x1 ? 2?? x2 ? 2 ? ? x1 ? 2 x2 ? 2 ?

25 y1 y2 25 y1 y2 25 y1 y2 ? ? 2 ? x1 ? 2?? x2 ? 2 ? x1 x2 ? 2 ? x1 ? x2 ? ? 4 t y1 y2 ? 3t ? y1 ? y2 ? ? 9
=?

25 . 12

5 y ? x ? 2 ? ? 5 y2 ? x1 ? 2 ? 3 ? y1 ? y2 ? ? 2ty1 y2 5 y1 5 y2 ? ? 1 2 ?5 2 , x1 ? 2 x2 ? 2 t y1 y2 ? 3t ? y1 ? y2 ? ? 9 ? x1 ? 2?? x2 ? 2 ?

5t . 3 故以 MN 为直径的圆方程为
=?

? x ? 3?
令 y=0,即得 定点坐标为 (3 ?

2

? y2 ?

5t 25 y? ?0. 3 12

5 3 5 3 ,0)或 (3 ? ,0) .……………………………………11 分 6 6

22. (本题满分 14 分) (Ⅰ)函数 f (x)的定义域为{x | x>-1},

1 . x ?1 1 1 当-1<x<0 时,因为 >1>ex,所以 ex- <0,即 f ′(x)<0, x ?1 x ?1 所以 f (x)在(-1,0)上单调递减.
f ′(x)=ex-

1 1 ,所以 ex- >0,即 f ′(x)>0, x ?1 x ?1 所以 f (x)在(0, +∞)上单调递增. 故当 x=0 时,f (x)取得最小值 1.………………………………………4 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知,当 x≥0 时,ex-ln(x+1)≥1. 又因为 0≤x1<x2,所以 x2-x1>0, 所以 e x2 ? x1 -ln(x2-x1+1)≥1, 所以 ① e x2 ? x1 ≥1+ln(x2-x1+1).
当 x>0 时,ex>1> 又 ln(x2-x1+1)-ln

x2 ? 1 ( x2 ? x1 ? 1)( x1 ? 1) = ln x1 ? 1 x2 ? 1
= ln[

x1 ( x2 ? x1 ) ? 1] >ln1=0. x2 ? 1

所以 ln(x2-x1+1)>ln

x2 ? 1 . x1 ? 1



综合①、②得 e x2 ? x1 ? 1 ? ln

x2 ? 1 e( x ? 1) 成立.…………………5 分 ? ln 2 x1 ? 1 x1 ? 1

(Ⅲ)因为 g(x)=

ln x 1 ? ln(1 ? ) . x ?1 x n ln 2 1 令 x ? 2n ,故 g(2n)= n (n∈N*) . ? ln(1 ? n ) , 2 ?1 2 1 a ln 2n a 要使 g(2n)<a,只要 n ? 且 ln(1 ? n ) ? 即可. 2 2 2 ?1 2 a 1 a 2 由 ln(1 ? 2n ) ? 2 ,解得 n ? ? log 2 (e ? 1) .
又当 n>1 时,

ln 2n n ln 2 2n ln 2 2ln 2 , ? ? ? n n 2 ? 1 (1 ? 1) ? 1 n(n ? 1) n ? 1

故只需

2ln 2 a 4ln 2 < ,即 n> ? 1. a n ?1 2
a

设 n0 ? max{2, ? log 2 (e 2 ? 1),

4ln 2 ? 1} , a
……………………………5 分

只需取 m(a) ? 2n0 ?1 时, g ? m(a)? ? a . 注:这样的 m(a)不唯一.


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