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《程伟巅峰数学》2016年度创新秒杀课程精华展示六十二--秒杀直线与圆相交的弦长相关运算


【拓展训练 1】已知直线 y=-x+1 与圆 C:X2+Y2-4X+3=0 相交于 A,B 两点,则|AB|的值为( )

A

B.

C.

D.2

x2 ? y2 ? 4x ? 3 ? 0 ? (x ? 2)2 ? y2 ? 1 由圆的神级结论公式可得 2 1 ? (?1)

2 1 ? (?1)2 ? ((?1) ? 2 ? 1 ? 0)2 |AB|= ? 1 ? (?1)2 2

[拓展训练 2]若直线 y=x+4 与圆(x+a)2+(y-a)2=4a(0<a<4),相交于 A,B 两点,则弦 AB 长的 最大值为( )

A.2

B.4

C.

D.2

解:由题可知r ? 2 a 2 ? 4a 1 ? 1 8a ? (?a ? 4 ? a)2 由神级结论可得 |AB|= ? 2 2 2a ? (2 ? a)2 4a ? 4a 当直线AB过圆心是 |AB|最长 即就是a=-a+4,解得a=2,代入可得 |AB|=4 2

【拓展训练 3】一直线 l:x+y=4 被一圆心为 C(1,1)的圆截得的弦长为 2 ( ) B. (x-1)2+(y-1)2=4 C. (x-1)2+(y-1)2=5

,则圆 C 的方程为

A. (x-1)2+(y-1)2 =2

D. (x-1)2+(y-1)2=6

2r2 1 ? 1 r2 ? r2 ? (?1 ? 1 ? 4 ? 1)2 由神级结论可得 |AB|= ? 2 3 r2 ? r2 解得r2 ? 5 故圆的方程为(x-1)2 ? (y ? 1)2 ? 5

【拓展训练 4】在平面直角坐标系 xoy 中,已知圆 C(x-2)2+(y+1)2=5 过点 P(5,0)且斜率 为 k 的直线 l 与圆 c 相较于不同的两点 A,B (1).求 k 的取值范围 (2).若弦长|AB|=4,求直线 l 的方程

(2)解由题可得直线方程为y=kx-5k 2 ? 5 1 ? k2 5 ? 5k2 ? (k ? 2 ? 5k ? (?1))2 由神级结论可得 |AB|= ? 4 5 ? 5k2 3 解得k ? 0或者k ? 4 3 故直线方程为y=5或者y= x ? 5 4


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