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新课标高中数学必做100题(选修1-1)


【精品练】高中数学必做 100 题—回归选修 1-1
时量:120 分钟 班级: 姓名: 计分: (说明: 《选修 1-1》共精选 12 题,每题 12 分, “◎”为教材精选, “☆”为《精讲精练.选 修 1-1》精选) 4? x 1. 已知 p : ?2 ? ? 2 , q : x 2 ? 2 x ? 1 ? m2 ? 0(m ? 0) , 若 ?p是?q 的必要不

充分条件,求 3 实数 m 的取值范围. (☆P6 9)

2. 点 M ( x, y ) 与定点 F (4,0) 的距离和它到直线 l : x ? (◎P41 例 6)

25 4 的距离的比是常数 , M 的轨迹. 求 4 5

3. 双曲线的离心率等于 4)

5 x2 y 2 ,且与椭圆 ? ? 1有公共焦点,求此双曲线的方程. (◎P68 2 9 4

4. 倾斜角

? 的直线 l 过抛物线 y 2 ? 4 x 焦点, 且与抛物线相交于 A、 两点, B 求线段 AB 长.(◎ 4

P61 例 4)

5. 当 ? 从 0? 到 180? 变化时,方程 x 2 ? y 2 cos ? ? 1 表示的曲线的形状怎样变换?(◎P68 5)

6. 一座抛物线拱桥在某时刻水面的宽度为 52 米,拱顶距离水面 6.5 米. (1)建立如图所示的平面直角坐标系 xoy,试求拱桥所在抛物线的方程; (2)若一竹排上有一 4 米宽 6 米高的大木箱,问此木排能否安全通过此桥?

7. 已知椭圆 C 的焦点分别为 F1( ?2 2 ,0)和 F2(2 2 ,0) ,长轴长为 6,设直线 y=x+2 交椭圆 C 于 A、B 两点. 求: (1)线段 AB 的中点坐标; (2)弦 AB 的 长. M F1 O F2

8. 在抛物线 y 2 ? 4 x 上求一点 P,使得点 P 到直线 l : x ? y ? 4 ? 0 的距离最短, 并求最短距离. 9. 点 M 是椭圆

x2 y 2 ? ? 1 上的一点,F1、F2 是左右焦点,∠F1MF2=60?,求△F1MF2 的面积. 64 36

10. (06 年江苏卷)已知三点 P(5,2) F1 (-6,0) F2 (6,0). 、 、

(☆P21 例 4)

(1)求以 F1 、 F2 为焦点且过点 P 的椭圆的标准方程; (2)设点 P、 F1 、 F2 关于直线 y =x 的对称点分别为 P? 、 F1' 、 F2' ,求以 F1' 、 F2' 为焦点且过点 P? 的双曲线的标准方程。

11. 已知函数 f ( x) ? xe x ( e 为自然对数的底). (1) 求函数 f ( x) 的单调递增区间; (2) 求曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程.

1 12. 设函数 f ( x) ? ? x3 ? 2 x 2 ? 3x . 3 (1)求函数 f(x)的单调区间; (2)求函数 f(x)的极大值和极小值.

13. (06 年福建卷)已知函数 f ( x) ?

ax ? 6 的图象在点 M (?1, f (?1)) 处的切线方程为 x2 ? b

x ? 2y ? 5 ? 0 .
(1)求函数 y ? f ( x) 的解析式; (2)求函数 y ? f ( x) 的单调区间. (☆P50 8)

14. 已知 a 为实数, f ( x) ? ( x 2 ? 4)( x ? a) . (1)求导数 f ' ( x) ; (2)若 f ' (?1) ? 0 ,求 f ( x) 在 ? ?2, 2? 上的最大值和最小值; (3)若 f ( x) 在 (??, ?2) 和 ? 2,?? ? 上都是增函数,求 a 的取值范围. 3) (☆P45 例

15.(2005 年全国卷 III.文)用长为 90cm,宽为 48cm 的长方形铁皮做一个无盖的容器,先在 四角分别截去一个小正方形,然后把四边翻转 90° 角,再焊接而成(如图) ,问该容器的高为 多少时,容器的容积最大?最大容积是多少? (☆P47 例 1)

2 16.(2006 年江西卷)已知函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ? c 在 x ? ? 与 x ? 1 时都取得极值, (☆ 3 P49 例 2)

(1)求 a、b 的值与函数 f ( x) 的单调区间; (2)若对 x ? ? ?1, 2? 时,不等式 f ( x) ? c 2 恒成立, 求 c 的范围.

答案
班级: 姓名: (说明: 《选修 1-1》 部分共精选 12 题, “◎” 表示教材精选, “☆” 表示 《精讲精练.选修 1-1》

精选)
4? x ? 2 , q : x 2 ? 2 x ? 1 ? m2 ? 0(m ? 0) , 若 ?p是?q 的必要不充分条件,求 3 实数 m 的取值范围. (☆P6 9)

1. 已知 p : ?2 ?

解:∵﹁p 是﹁q 必要不充分条件, ∴ ? q ? ? p ,即 p ? q .……(3 分) 4? x 解 p : ?2 ? ……(6 分) ? 2 得 ?2 ? x ? 10 ,即: p : ?2 ? x ? 10 . 3 解 q : x2 ? 2 x ? 1 ? m2 ? 0 变形为 [ x ? (1 ? m)][ x ? (1 ? m)] ? 0 ,解得 1 ? m ? x ? 1 ? m , 即 q :1 ? m ? x ? 1 ? m . ……(9 分)

?1 ? m ? ?2 由 p ? q ,则 ? ,解得 m ? 9 . ?1 ? m ? 10
所以实数 m 的取值范围 m ? 9 。 2. 点 M ( x, y ) 与定点 F (4,0) 的距离和它到直线 l : x ? (◎P41 例 6) 解:设 d 是点 M 到直线 l: x? ……(12 分)

25 4 的距离的比是常数 , M 的轨迹. 求 4 5

25 的距离,根据题意得,点 M 的轨迹就是集合 4

? MF 4 ? ? ? P ? ?M ? ? ,……(4 分) d 5? ? ? ?
由此得

( x ? 4) 2 ? y 2 4 ? 。 将 上 式 两 边 平 方 , 并 化 简 , 得 9 x 2 ? 25 y 2 ? 225 。 即 25 5 ?x 4

x2 y 2 ? ? 1 。……(9 分) 25 9 所以,点 M 的轨迹是长轴、短轴长分别为 10、6 的椭圆。. ……(12 分)
3. 双曲线的离心率等于 4)

x2 y 2 5 ,且与椭圆 ? ? 1有公共焦点,求此双曲线的方程. (◎P68 2 9 4

x2 y 2 ? ? 1焦点为 F (? 5,0) ,根据题意得双曲线的焦点为 F (? 5,0) ,……(3 分) 9 4 x2 y 2 设双曲线的标准方程为 2 ? 2 ? 1,且有 c ? 5 。……(6 分) a b
解:椭圆

c 5 ,得 a ? 2 ,得 b2 ? c2 ? a2 ? 5 ? 4 ? 1 ,……(10 分) ? a 2 x2 所求双曲线的方程为 ? y 2 ? 1 。……(2 分) 4
又由 e ? 4. 倾斜角为

? 的直线 l 经过抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点,且与抛物线相交于 A、B 两点,求线段 4

AB 的长. (◎P61 例 4) 解:设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) , A, B 到准线的距离分别为 d A , d B , 由 抛 物 线 的 定 义 可 知

AF ? d A ? x1 ? 1, BF ? d B ? x2 ? 1







AB ? AF ? BF ? x1 ? x2 ? 2 。……(3 分)

由已知得抛物线的焦点为 F (1,0) ,斜率 k ? tan 分)

?
4

? 1 ,所以直线 AB 方程为 y ? x ? 1 。……(6

2 将 y ? x ? 1 代 入 方 程 y 2 ? 4 x , 得 ( x ? 1) ? 4 , 化 简 得 x2 ? 6 x ? 1? 0 。 由 求 根 公 式 得 x

x1 ? 3 ? 2 2, x2 ? 3 ? 2 2 ,……(9 分)
于是 AB ? x1 ? x2 ? 2 ? 8 。所以,线段 AB 的长是 8。……(12 分) 5. 当 ? 从 0? 到 180? 变化时,方程 x 2 ? y 2 cos ? ? 1 表示的曲线的形状怎样变换? 解:当 ? ? 0? 时, cos0? ? 1 ,方程 x2 ? y 2 ? 1 表示圆心在原点的单位圆。……(3 分) 当 90? ? ? ? 0? 时, 1 ? cos? ? 0 ,方程 x 2 ? y 2 cos ? ? 1 表示圆心在原点的单位圆。……(5 分) 当 ? ? 90? 时, cos90? ? 0 ,方程 x 2 ? 1 ,得 x ? ?1 表示与 y 轴平行的两条直线。……(7 分) 当 180? ? ? ? 90? 时, cos? ? 0 ,方程 x 2 ? y 2 cos ? ? 1 表示焦点在 x 轴上的双曲线。……(9 分) 当 ? ? 180? 时, cos180? ? ? 1,方程 x2 ? y 2 ? 1 表示焦点在 x 轴上的等轴双曲线。……(12 分) 6. 一座抛物线拱桥在某时刻水面的宽度为 52 米,拱顶距离水面 6.5 米. (1)建立如图所示的平面直角坐标系 xoy,试求拱桥所在抛物线的方程; (2)若一竹排上有一 4 米宽 6 米高的大木箱,问此木排能否安全通过此桥? 解: (1)设抛物线方程 x 2 ? ?2 py .……(2 分) 由题意可知,抛物线过点 (26, ?6.5) ,代入抛物线方程,得
2 2 6 ? 1 p , 解得 p ? 52 , 3

所以抛物线方程为 x 2 ? ?104 y . ……(6 分) (2)把 x ? 2 代入,求得 y ? ? 而 6.5 ? 6 ? 0.5 ?

1 . ……(9 分) 26

1 ,所以木排能安全通过此桥. ……(12 分) 26

7. 已知椭圆 C 的焦点分别为 F1( ?2 2 ,0)和 F2(2 2 ,0) ,长轴长为 6,设直线 y=x+2 交椭圆 C 于 A、B 两点. 求: (1)线段 AB 的中点坐标; (2)弦 AB 的长. 解:设椭圆 C 的方程为 ∴ 椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? 2 ? 1 ,由题意 a=3,c=2 2 ,于是 b= a 2 ? c 2 =1. ……(3 分) 2 a b

x2 +y2=1.……(5 分) 9 ?y ? x ? 2 ? 联立方程组 ? x 2 ,消 y 得 10x2+36x+27=0, 2 ? ? y ?1 ?9 因为该二次方程的判别式Δ >0,所以直线与椭圆有两个不同的交点,……(9 分) 18 9 1 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则 x1+x2= ? ,故线段 AB 的中点坐标为( ? , ) .……(12 5 5 5 分)

8. 在抛物线 y 2 ? 4 x 上求一点 P,使得点 P 到直线 l : x ? y ? 4 ? 0 的距离最短, 并求最短距离. 解:设与直线 l : x ? y ? 4 ? 0 平行,且与抛物线 y 2 ? 4 x 相切的直线为 x ? y ? k ? 0 .……(3 分)

?x ? y ? k ? 0 由? 2 , 消 x 得 y 2 ? 4 y ? 4k ? 0 .……(5 分) ? y ? 4x
∴ ? ? 42 ? 16k ? 0 ,解得 k ? 1 ,即切线为 x ? y ? 1 ? 0 .……(7 分)

?x ? y ? 1 ? 0 由? 2 ,解得点 P(1,2) . ……(9 分) ? y ? 4x
∴ 最短距离 d ?

| 4 ? 1| 12 ? 12

?

3 2 .……(12 分) 2

9. 点 M 是椭圆 F1MF2 的面积.

x2 y 2 ? ? 1 上的一点,F1、F2 是左右焦点,∠F1MF2=60?,求△ 64 36
M F1 O F2

x2 y 2 解:由 ? ? 1 ,得 a=8,b=6, c ? a 2 ? b 2 ? 2 7 .……(3 分) 64 36 根据椭圆定义,有 | MF1 | ? | MF2 |? 2a ? 16 .……(5 分)
在△F1MF2 中,由余弦定理,得到

| F1F2 |2 ?| MF1 |2 ? | MF2 |2 ?2 | MF1 |? MF2 |? ?F1MF2 . | cos
| cos60? ,……(7 分) 即 (4 7)2 ?| MF1 |2 ? | MF2 |2 ?2 | MF1 |? MF2 |?

112 ?| MF1 |2 ? | MF2 |2 ? | MF1 |? MF2 |? (| MF1 | ? | MF2 |)2 ? 3| MF1 |? MF2 |? 162 ? 3| MF1 |? MF2 | | | | , 解得 | MF1 |? MF2 |? 48 .……(10 分) |
△F1MF2 的面积为: S ?

1 1 | MF1 |? MF2 | sin ?F1MF2 ? ? 48 ? sin 60? ? 12 3 .……(12 分) | 2 2
(☆P21 例 4)

10. (06 年江苏卷)已知三点 P(5,2) F1 (-6,0) F2 (6,0). 、 、

(1)求以 F1 、 F2 为焦点且过点 P 的椭圆的标准方程; (2)设点 P、 F1 、 F2 关于直线 y=x 的对称点分别为 P? 、 F1' 、 F2' ,求以 F1' 、 F2' 为焦点且过点 P? 的双曲线的标准方程。 解: (1)设所求椭圆方程为

x2 y 2 ? ? 1 (a>b>0),其半焦距 c=6,……(2 分) a 2 b2

2a ? PF1 ? PF2 ? 112 ? 22 ? 12 ? 22 ? 6 5 ……(4 分)

x2 y 2 ? ? 1 . ……(6 分) 45 9 , , , (2)点 P(5,2)、F1(-6,0)、F2(6,0)关于直线 y=x 的对称点分别为点 P (2,5)、F1 (0,-6)、F2 (0,6). ……(8 分)
∴ a ? 3 5 ,b2=a2-c2=9. 所以所求椭圆的标准方程为 设所求双曲线的标准方程为

y 2 x2 ? ? 1(a1 ? 0, b1 ? 0) ,由题意知,半焦距 c1=6, a12 b12

2a1 ? P?F1? ? P?F2? ? 112 ? 22 ? 12 ? 22 ? 4 5 , a1 ? 2 5 ,b12=c12-a12=36-20=16.
所以,所求双曲线的标准方程为

y 2 x2 ? ? 1 .……(12 分) 20 16

11. 已知函数 f ( x) ? xe x ( e 为自然对数的底). (1)求函数 f ( x) 的单调递增区间; (2)求曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程. 解: f ( x) ? xe x ? f ?( x) ? e x ( x ? 1) ,因此有……(3 分) (1)令 f ?( x) ? 0 ? x ? ?1 ,即函数 f ( x) 的单调递增区间是 (?1, ? ?) ;……(6 分) (2)因为 f (1) ? e , f ?(1) ? 2e ,……(9 分) 所以曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为

y ? e ? 2e( x ? 1) ,即 2ex ? y ? e ? 0 .……(12 分)

1 12. 设函数 f ( x) ? ? x3 ? 2 x 2 ? 3x . 3 (1)求函数 f(x)的单调区间; (2)求函数 f(x)的极大值和极小值. 解:∵ f′(x)=-x2+4x-3=-(x-3)(x-1), ……(2 分) (1)由 f′(x)>0,解得:1<x<3;由 f′(x)<0,解得:x<1 或 x>3, 则函数 f(x)的单调递增区间为(1, 3) ,单调递减区间为(-∞,1)和(3,+∞). ……(6 分) (2)由 f′(x)=0,解得:x=1 或 x=3. 列表如下:……(9 分)
x f′(x) f(x) (-∞,1) — 单调递减 ↘ 1 0 - (1, 3) + 3 0 0 (3,+ ∞) — 单调递减 ↘

单调递增 4 ↗ 3 4 ∴函数 f(x)的极大值为 0,极小值为- .……(12 分) 3 13.(06 年福建卷)已知函数 f ( x) ?

ax ? 6 的图象在点 M (?1, f (?1)) 处的切线方程为 x2 ? b

x ? 2y ? 5 ? 0 .
(1)求函数 y ? f ( x) 的解析式; (2)求函数 y ? f ( x) 的单调区间. (☆P50 8) 解: (1)? f ( x) ?

a( x 2 ? b) ? 2 x(ax ? 6) ax ? 6 ,? f ?( x) ? .……(2 分) ( x 2 ? b) 2 x2 ? b

又?函数 f ( x) 的图象在点 M (?1, f (?1)) 处的切线方程为 x+2y+5=0, ……(4 分)

1 ? ?1 ? 2 f (?1) ? 5 ? 0, 即f (?1) ? ?2, f ?(?1) ? ? . 解得a ? 2, b ? 3, (?b ? 1 ? 0, b ? ?1舍去) 2 2x ? 6 .……(6 分) ?所求函数解析式为 f ( x) ? 2 x ?3

(2)? f ?( x) ?

?2 x 2 ? 12 x ? 6 . ? 令f ?( x) ? 0, 解得 x1 ? 3 ? 2 3, x2 ? 3 ? 2 3. ……(8 分) ( x 2 ? 3)2

当 x ? 3 ? 2 3 或 x ? 3 ? 2 3 时, f ?( x) ? 0; 当 3 ? 2 3 ? x ? 3 ? 2 3 时, f ?( x) ? 0.

2x ? 6 在 (??,3 ? 2 3) 和 (3 ? 2 3, ??) 内是减函数,在 (3 ? 2 3,3 ? 2 3) 内是增函 x2 ? 3 数. ……(12 分) ? f ( x) ?
14. 已知 a 为实数, f ( x) ? ( x 2 ? 4)( x ? a) , (1)求导数 f ' ( x) ; (2)若 f ' (?1) ? 0 ,求 f ( x) 在 ? ?2, 2? 上的最大值和最小值; (3)若 f ( x) 在 (??, ?2) 和 ? 2,?? ? 上都是增函数,求 a 的取值范围. 分) (2) f ' (? 0? , a ? 由 得 1 ) (5 分) (☆P45 例 3) 解: (1)因为 f ( x) ? ( x 2 ? 4)( x ? a) = x3 ? ax2 ? 4 x ? 4a ,所以 f ' ( x) ? 3x 2 ? 2ax ? 4 .……(3

1 1 , 此时有 f ( x) ? ( x 2 ? 4)( x ? ), 2 2

所以 f ' ( x) ? 3x 2 ? x ? 4 ……

4 4 50 9 或 x ? ?1 ,又因为 f ( ) ? ? , f (?1) ? , f (?2) ? 0, f (2) ? 0 , 3 27 2 3 9 50 所以 f ( x) 在 ? ?2, 2? 上的最大值为 ,最小值为 ? .……(8 分) 2 27 (3)? f ' ( x) ? 3x 2 ? 2ax ? 4 的图象为开口向上且过点(0,-4)的抛物线.
由 f ' ( x) ? 0 ,得 x ? 由 条 件 得 f ' (?2) ? 0, f ' (2) ? 0,

? 4a ? 8 ? 0 即? , 解 得 ?2 ? a ? 2 . 所 以 a 的 取 值 范 围 为 ?8 ? 4a ? 0

? ?2, 2? .……(12 分)
15. ( 2005 年全国卷 III.文)用长为 90cm,宽为 48cm 的长方形铁皮做一个无盖的容器,先 在四角分别截去一个小正方形,然后把四边翻转 90° 角,再焊接而成(如图) ,问该容器的高 为多少时,容器的容积最大?最大容积是多少? (☆P47 例 1) 解:设容器的高为 x,容器的体积为 V,……(1 分) 则 V=(90-2x) (48-2x)x, (0<x<24)……(5 分) 3 2 =4x -276x +4320x ∵V′=12 x2-552x+4320 令 V′=12 x2-552x+4320=0 得 x1=10,x2=36. ……(8 分) ∵令 V′>0 得 x>36 或 x<10 ;令 V′<0 得 10<x<36. ? 函数在 (0,10) 上递增,在 (10,24) 上递减. ? 当 x=10 时,V 有极大值 V (10) =19600. 又 V (0) =0, V (24) =0, 所以当 x=10 时,V 有最大值 V (10) =19600cm 3 .……(12 分)

2 16.(2006 年江西卷)已知函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ? c 在 x ? ? 与 x ? 1 时都取得极值, (☆ 3 P49 例 2) (1)求 a、b 的值与函数 f ( x) 的单调区间.

(2)若对 x ? ? ?1, 2? 时,不等式 f ( x) ? c 2 恒成立,求 c 的取值范围. 解: (1)? f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ? c ,? f ' ( x) ? 3x 2 ? 2ax ? b .……(3 分)

2 12 4 1 由 f ' (? ) ? ? a ? b ? 0 , f ' (1) ? 3 ? 2a ? b ? 0 得 a= - ,b=-2 9 3 3 2

? f ' ( x) ? 3x 2 ? x ? 2 ? (3x ? 2)( x ? 1) ,? 当 x 变化时, f ' ( x) 、 f ( x) 的变化情况如下表:
x
f ' ( x)

2 (??, ? ) 3

?

2 3

2 (? ,1) 3

1 0 极小值 c ?
3 2

(1, ??)



0 极大值 c ?
22 27


?



f ( x)

?

?

? 函数 f ( x) 的递增区间是(-?,-
分)

2 2 )和(1,+?) ;递减区间是(- ,1). ……(6 3 3

1 2 x -2x+c x ? ? ?1 , 2,……(8 分) ? 2 2 22 3 1 又? f ( ? ) = c ? , f (1) ? c ? , f (?1) ? c ? , f (2) =c+2. 3 2 2 27 ? f (2) =c+2 为最大值. ……(10 分)

(2)? f ( x) =x3-

要使 f ( x) ? c 2 在 x ? ? ?1, 2? 恒成立,只需 c 2 ? f (2) =c+2,解得 c?-1 或 c?2. ……(12 分) 答案整理:贺联梅 欢迎将错误反馈到 zssxzb@163.com


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