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2014-2015学年上学期高二年级期中考试数学试卷(理科)


河南省实验中学 2014-2015 学年上学期高二年级期中考试数学试卷(理科)
(时间:120 分钟,满分:150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.) 1.命题“若 A?B,则 A=B”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中,真命题的个数 是( A.4 ) B.0 C.2 D.

3 ( D. )

π 2.在△ABC 中,若 a=2,b= 2,A= ,则 B 等于 4 A. π 12 B. π 6 C. π 5 或 π 6 6

π 11 或 π 12 12 ( 2 3 ( D. 1 4 ) )

3.在△ABC 中,sin A∶sin B∶sin C=4∶3∶2,则 cos A 的值是 1 A.- 4 B. 1 4 2 C.- 3 D.

4.已知 x>1,y>1 且 lg x+lg y=4,则 lg xlg y 的最大值是 A.4 B.2 C.1

x+y≤3, ? ? 5 .设变量 x,y 满足约束条件?x-y≥-1, ? ?y≥1,
A.12 B.10 C.8

则目标函数 z=4x+2y 的最大值为 (

)

D.2 )

6. 在 ?ABC 中,?B ? A. 2

?
3

,三边长 a,b,c 成等差数列,且 ac ? 6 ,则 b 的值是 ( C. 5 D. 6 )

B. 3

7.数列{an}的通项式 a n ? A、第 9 项 C、第 10 项

n ,则数列{an}中的最大项是( n ? 90
2

B、第 10 项和第 9 项 D、第 9 项和第 8 项

8.已知等差数列 ?an ? 中,有 成立的 n 的最大值为( A.11 )

a11 ? 1 ? 0 ,且该数列的前 n 项和 Sn 有最大值,则使得 Sn ? 0 a10

B.20

C. 19

D.21

1

9 设 x,y 都是正数,且 2 x + y = 1 ,则

1 1 + 的最小值是( x y
D 3 +2 2

)

A 4 2

B 3 2

C 2 +3 2

10.数列{an}的首项为 1,{bn}是以 2 为首项,以 2 为公比的等比数列,且 bn=an+1-an(n∈N 则

*)

an = (
n

) B.

A. 2 - 1

2n

C. 2

n +1

-1

D. 2 - 2

n

11. 若两个等差数列 {an } , {bn } 的前 n 项的和为 An , Bn . 且 ( A. )

a ? a13 An 4n + 5 ,则 5 = = Bn 5n - 5 b5 ? b13

7 9

B.

8 7

C.

19 20

D.

7 8

12 已知平面区域 D 由以 A?1,3? 、 B?5,2? 、 C ?3,1? 为顶点的三角形内部和边界组成.若在区 域 D 上有无穷多个点 ? x, y ? 可使目标函数 z ? x ? my 取得最小值,则 m ? A. ? 2 B. ? 1 C. 1 D. 4

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在答题卡中的横线上) 13.设 a= 3- 2,b= 6- 5,c= 7- 6,则 a、b、c 的大小顺序是________. 14 .已知不等式 x ? ax ? b ? 0 的解集为( 2 , 3 ),则不等式 bx ? ax ? 1 ? 0 的解集为
2 2

___________________. 15.把一数列依次按第一个括号内一个数,第二个括号内两个数,第三个括号内三个数,第 四个括号内一个数, ?循环分为(1), (3,5), (7,9,11), (13), (15,17), (19,21,23), (25), ?, 则第 100 个括号内的数为________. 16.在三角形 ABC 中,若角 A、B、C 所对的三边 a、b、c 成等差数列,则下列结论中 正确的是____________.(把所有正确结论的序号都填上) ①b2≥ac; ②

1 1 2 ? ? ; a c b

③b ?
2

a2 ? c2 ; 2

④ B ? (0,

?
3

]

三、解答题(本大题共 6 小题,70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ) 17. (本小题 10 分)
2 2 设命题 p :2 x ? 3x ? 1 ? 0 , 命题 q : x ? (2a ? 1) x ? a(a ? 1) ≤ 0 , 若命题 p 是命题 q 的

充分不必要条件,求实数 a 的取值范围. 18 (本小题 12 分)
2

△ABC 在内角 A、B、C 的对边分别为 a, b, c ,已知 a = b cos C + c sin B (1)求 B; (2)若 b = 2 ,求△ABC 面积的最大值。 19 (本小题 12 分) (1)已知 a, b, c 为任意实数,求证: a ? b ? c ? ab ? bc ? ca
2 2 2

(2)设 a, b, c 均为正数,且 a + b + c = 1 ,求证: ab ? bc ? ca ? 20 (本小题 12 分) 已知等差数列{an}满足 a2=0,a6+a8=-10. (1)求数列{an}的通项公式; (2)求数列? n-1?的前 n 项和. ?2 ? 21 (本小题 12 分)
?

1 3

an ?

郑州市某棚户区改造建筑用地平面示意图如图所示, 经规划调研确定, 棚改规划建筑用地区 域近似的为圆面,该圆面的内接四边形 ABCD 是原棚户区建筑用地,测量可知边界 AB=AD=4 万米,BC=6 万米,CD=2 万米。 (1)请计算原棚户区建筑用地 ABCD 的面积及线段 AC 的长; (2)因地理条件的限制,边界 AD,DC 不能变更,而边界 AB,BC 可以调整,为了提高棚户 区改造建筑用地的利用率,请在弧上设计一点 P,使得棚户区改造的新建筑用地 APCD 的面 积最大,并求最大值。 22(本小题 12 分) 已知数列{an}中,a1=2,a2=3,其前 n 项和 Sn 满足 Sn+2+Sn=2Sn+1+1(n∈N );数列{bn}中,
*

b1=a1, {bn + 2} 是以 4 为公比的等比数列。
(1)求数列{an},{bn}的通项公式; (2)设 cn=bn+2+(-1) 都有 cn+1>cn 成立.
n-1

λ·2an

(λ 为非零整数, n∈ N ), 试确定 λ 的值, 使得对任意 n∈ N,

*

*

3

河南省实验中学 2014——2015 学年上期期中答案 高二 理科数学 一.选择题 二.填空题 CBAAB, DBCDA, DC 13 a > b > c
2

14 ( -

1 1 ,- ) 2 3

15 .397

16. (1)(3)(4)

17.解:由 2 x ? 3x ? 1 ? 0 得

1 ≤ x ≤1 , 2

2分

由 x2 ? (2a ? 1) x ? a(a ? 1) ≤ 0 ,得 a ≤ x ≤ a ? 1

4分

Q 命题 p 是命题 q 的充分不必要条件,
? 1 ? x a +1} 的真子集。 \ ? x | ? x ? 1? 是 {x | a # ? 2 ?
7分

1 ? ?a ≤ , 因此 ? 2 ? a ? 1≥ 1 , ?
18 每小题 6 分

解得 a ? ?0, ? .

? 1? ? 2?

10 分

19(1)由 a ? b ? 2ab , b ? c ? 2bc , c ? a ? 2ca 三式相加即得,6 分
2 2 2 2 2 2

(2)因为 (a +b + c) = a +b + c + 2ab + 2bc + 2ca =1,及
4

2

2

2

2

: a + b + c ? ab bc + ca 即得 ab ? bc ? ca ?
2 2 2

1 3

12 分

20 解 (1)设等差数列{an}的公差为 d,
? ?a1+d=0, 由已知条件可得? ?2a1+12d=-10, ?

解得?

? ?a1=1, ?d=-1 ?

.

2分 4分

故数列{an}的通项公式为 an=2-n. (2)设数列? n-1?的前 n 项和为 Sn, ?2 ? 即 Sn=a1+ +?+ n-1, 2 2 故 S1=1, = + +?+ n. 2 2 4 2 所以,当 n>1 时,①-②得
?

an ?

a2

an



Sn a1 a2

an



6分

Sn
2

=a1+

a2-a1
2

+?+

an-an-1 an
2
n-1



2

n

1 1 1 2-n =1-( + +?+ n-1)- n 2 4 2 2 1 2-n n =1-(1- n-1)- n = n. 2 2 2 所以 Sn= 10 分

n
2
?

n-1

.当 n=1 时也成立.

综上,数列? n-1?的前 n 项和 Sn= n-1. 2 ?2 ? 21. 解:(1)

an ?

n

12 分

四边形 ABCD 内接于圆,? ?ABC ? ?ADC ? 180 ----------1 分
0

连接 AC 由余弦定理得

AC 2 ? 42 ? 62 ? 2 ? 4 ? 6 ? cos ?ABC , AC 2 ? 42 ? 22 ? 2 ? 2 ? 4 ? cos ?ADC


cos ?ABC ? ? cos ?ADC ,? cos ?ABC ?

1 -----------3 分 2



?ABC ? ? 0, ? ? ,故 ?ABC ?

?
3

---------------4 分

1 ? 1 2? ? S四边形ABCD ? ? 4 ? 6 ? sin ? ? 2 ? 4 ? sin ? 8 3 (万平方米). 2 3 2 3
在 ?ABC 中,由余弦定理, AC ? AB ? BC ? 2 AB ? BC ? cos ?ABC
2 2 2

5

? 16 ? 36 ? 2 ? 4 ? 6 ?

1 ? 28, ? AC ? 2 7 .-------------6 分 2 S?ADC ? 1 AD ? CD ? sin1200 ? 2 3 ---7 分 2

(2)

S四边形APCD ? S?ADC ? S?APC ,又

设 AP ? x, CP ? y, 则 S?APC ?

1 3 xy sin 600 ? xy .-------------9 分 2 4

又由余弦定理 AC 2 ? x2 ? y 2 ? 2xy.cos600 ? x2 ? y 2 ? xy ? 28 ,----------10 分

? x2 ? y 2 ? xy ? 2xy ? xy ? xy, ? xy ? 28, 当且仅当 x ? y 时取等号.
所以 S四边形APCD ? 2 3 ?

3 3 xy ? 2 3 ? ? 28 ? 9 3 , 4 4

? 面积最大为 9 3 万平方米。-----------------12 分
22 解 (1)由已知,得 Sn+2-Sn+1-(Sn+1-Sn)=1, 所以 an+2-an+1=1(n≥1). 又 a2-a1=1, 所以数列{an}是以 a1=2 为首项,1 为公差的等差数列. 所以 an=n+1. 因为{bn+2}是以 4 为首项,4 为公比的等比数列. 所以 bn=4 -2. (2)因为 an=n+1,bn=4 -2, 所以 cn=4 +(-1) 需 cn+1-cn=4
n n+1 n n-1 n n

2分

4分

6分

λ ·2

n+1

.要使 cn+1>cn 恒成立,
n+2

-4 +(-1) λ ·2
n-1 n+1

n

n

-(-1)

n-1

λ ·2

n+1

>0 恒成立,

即 3·4 -3λ (-1) 所以(-1)
n-1

2

>0 恒成立. 9分 恒成立, 10 分

λ <2

n-1

恒成立.
n-1

①当 n 为奇数时,即 λ <2 当且仅当 n=1 时,2
n-1

有最小值 1,所以 λ <1;
n-1

②当 n 为偶数时,即 λ >-2 当且仅当 n=2 时,-2
n-1

恒成立, 所以 λ >-2, 11 分

有最大值-2.

结合①②可知-2<λ <1. 又 λ 为非零整数,则 λ =-1. 故存在 λ =-1,使得对任意 n∈N ,都有 cn+1>cn 成立.
*

12 分

6


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