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2016高考试题《三角函数、三角变换与解三》考点归纳


2016 年高考试题《三角函数、三角变换与解三角形》考点归纳 考点一:三角函数的关系与诱导公式
【解题技巧】 2 2 (1)利用 sin α+cos α=1 可以实现角 α 的正弦、余弦的互化,在开方时要特别注意判断符号;也 sin? 2 2 可以把常数“1”、系数“1”、分母“1”看成是 sin α+cos α;利用 ? tan? 可以实现角 α 的弦切 cos? 互

化. (2)利用诱导公式进行化简求值时,先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数,其步骤: 去负号—脱周期—化锐角. 特别注意函数名称和符号的确定. 注意求值与化简后的结果要尽可能有理化、 整式化. 1、(2016?全国新课标卷三)若 tan ? ? (A)

3 ,则 cos2 ? ? 2sin 2? ? ( 4
(C) 1 (D)



64 25

(B)

48 25

16 25

【解析】由 tan ? ?

3 4 3 4 3 ,得 sin ? ? , cos ? ? 或 sin ? ? ? , cos ? ? ? ,所以 5 5 5 5 4
16 12 64 ? 4? ? ,故选 A. 25 25 25

cos 2 ? ? 2sin 2? ?

π 2、(2016?上海卷)设 a, b,? R , c ? [0, 2 π) ,若对任意实数 x 都有 2sin(3x ? ) ? a sin(bx ? c) ,则满足 3 条件的有序实数组 (a, b, c) 的组数为______________ 【答案】 4 5π 4π 【解析】(i)若 a ? 2 若 b ? 3 ,则 c ? ; 若 b ? ?3 ,则 c ? 3 3 π 2π (ii)若 a ? ?2 ,若 b ? ?3 ,则 c ? ;若 b ? 3 ,则 c ? 3 3

考点二、 三角函数的性质
【解题技巧】 近几年高考降低了对三角变换的考查要求,而加强了对三角函数的图象与性质的考查.在众多的性 质中,三角函数的图象的对称性、周期性仍是一个高考的热点.在复习时要充分运用数形结合的思想, 把图象与性质结合起来,即利用图象的直观性得出函数的性质,同时也要能利用函数的性质来描绘函数 的图象. 1、(2016?山东卷)函数 f(x)=( 3 sin x+cos x)( 3 cos x –sin x)的最小正周期是( (A) )

π 2

(B)π

(C)

3π 2

(D)2π

【答案】B f ? x ? ? 2sin ? x ?

? ?

??

?? ?? 2? ? ? ? ? 2cos ? x ? ? ? 2sin ? 2 x ? ? ,故最小正周期 T ? 2 ? ? ,故选 B. 6? 6? 3? ? ?
) B.与 b 有关,但与 c 无关 D.与 b 无关,但与 c 有关

2、(2016?浙江卷)设函数 f ( x) ? sin 2 x ? b sin x ? c ,则 f ( x ) 的最小正周期( A.与 b 有关,且与 c 有关 C.与 b 无关,且与 c 无关

1

? ? 3 、 (2016?全国新课标卷一)已知函数 f ( x) ? sin(? x+ ? )(? ? 0,
x?

π π ), x ? ? 为 f ( x) 的零点, 2 4


π π 5π 为 y ? f ( x) 图像的对称轴,且 f ( x ) 在 ( , ) 单调,则 ? 的最大值为( 18 36 4
(A)11 (B)9 (C)7 (D)5

? ? ? ? ? 【解析】由 ? ? (? ) ? ? ? k1? , ? ? ? ? ? k 2? ? ,两式相减得 ? ? ? (k 2 ? k1 )? ? ,即 ? ? 2k ? 1 4 4 2 2 2
5? ? 1 1 2? 又 ∴k≤5.5 ? ? T? ? 36 18 2 2 2k ? 1

? 当 k=5 时ω =11∴当 k1=-3 时 ?= ? 此时 f ( x ) 在 18 36 不单 4

(

π 5π , )

? 调;当 k=4 时ω =9∴当 k1=-2 时 ?= 此时 f ( x ) 在 18 36 单调;因此ω 最大为 9 4

(

π 5π , )

4、(2016?天津卷)已知函数 f(x)=4tanxsin( (Ⅰ)求 f(x)的定义域与最小正周期; (Ⅱ)讨论 f(x)在区间[ ? 【答案】(Ⅰ) ? x x ?

?
2

? x )cos( x ?

?
3

)—

3.

? ? , ]上的单调性. 4 4

? ?

?

?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? k? , k ? Z ? , ?. (Ⅱ)在区间 ? ? , ? 上单调递增, 在区间 ? ? , 2 ? 12 4 ? ? 4 12 ? ?

上单调递减.

2

? ?? ? 解:令 z ? 2 x ? 3 , 函数 y ? 2sin z 的单调递增区间是 ? ??
由?

?

?

? 2

? 2k? ,

?

? ? 2k? ? , k ? Z . 2 ?

?
2

? 2 k? ? 2 x ?

?
3

?

?
2

? 2 k ? ,得 ?

?
12

? k? ? x ?

5? ? k? , k ? Z . 12

设 A ? ??

? ? 5? ? ? ? ?? ? ? ?? , ? , B ? ? x ? ? k? ? x ? ? k? , k ? Z ? ,易知 A ? B ? ? ? , ? . 12 ? 12 4 ? ? 4 4? ? 12 ?

所以, 当 x ? ? ?

?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? , ? 时, f ? x ? 在区间 ? ? , ? 上单调递增, 在区间 ? ? , ? ? 上单调递减. ? 4 4? ? 12 4 ? ? 4 12 ?

考点三、 三角函数的图像
【解题技巧】 1.根据三角函数的图象求解函数的解析式时,要注意从图象提供的信息确定三角函数的性质,如 最小正周期、最值,首先确定函数解析式中的部分系数,再根据函数图象上的特殊点的坐标适合函数的 解析式确定解析式中剩余的字母的值,同时要注意解析式中各个字母的范围. 2.进行三角函数的图象变换时,要注意无论进行的什么样的变换都是变换的变量本身,特别在平 ? 移变换中,如果这个变量的系数不是 1,在进行变换时变量的系数也参与其中,如把函数 y=sin (2 x ? ) 4 π 5π ? ? 的图象向左平移 个单位时,得到的是函数 y=sin [2( x ? ) ? ] =sin2x+ 的图象. 12 12 12 4 3.解答三角函数的图象与性质类的试题,变换是其中的核心,把三角函数的解析式通过变换,化 为正弦型、余弦型、正切型函数,然后再根据正弦函数、余弦函数和正切函数的性质进行研究. 1、(2016?北京卷)将函数错误!未找到引用源。图像上的点 P(错误!未找到引用源。




t

) 向左平移 ( s s﹥0)个单位长度得到点 P′.若 P′位于函数错误! 未找到引用源。 的图像上, 则 (

(A)t=错误!未找到引用源。 ,s 的最小值为错误!未找到引用源。 到引用源。 ,s 的最小值为错误!未找到引用源。 (C)t=错误!未找到引用源。 ,s 的最小值为错误!未找到引用源。 引用源。 ,s 的最小值为错误!未找到引用源。
?π 【解析】点 P ? , ?4

(B)t=错误!未找

(D)t=错误!未找到

π? π π? ? ? ? ?π? 1 t ? 在函数 y ? sin ? 2 x ? ? 上,所以 t ? sin ? 2 ? ? ? ? sin ? ? ? ,然后 3? 4 3? ? ? ? ?6? 2 π? π? π ? ? y ? sin ? 2 x ? ? 向左平移 s 个单位,即 y ? sin ? 2( x ? s ) ? ? ? sin 2 x ,所以 s ? +kπ , k ? Z ,所 3? 3? 6 ? ? π 以 s 的最小值为 . 6

2、 (2016?江苏卷) 定义在区间[0,3π]上的函数 y=sin2x 的图象与 y=cosx 的图象的交点个数是 【解析】由 sin 2 x ? cos x ? cos x ? 0或sin x ? 共7个

.

1 ? 3? 5? ? 5? 13? 17? ,因为 x ?[0,3? ] ,所以 x ? , , , , , , , 2 2 2 2 6 6 6 6

3、(2016?全国新课标卷三)函数 y ? sin x ? 3 cos x 的图像可由函数 y ? sin x ? 3 cos x 的图像
3

至少向右平移_____________个单位长度得到. 【 答 案 】

?? 因 为 y ? s i nx ? 3

3 cx o? s

? ? 2 xs?i n ) x ? 3 cos x ? 2sin( x ? ) = ,( y ? sin 3 3

? ?? 2sin[( x ? ) ? ] ,所以函数 y ? sin x ? 3 cos x 的图像可由函数 y ? sin x ? 3 cos x 的图像至 3 3
少向右平移

?? 个单位长度得到. 3

考点四:三角恒等变换
【解题技巧】 三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路:一角二名三结构.即首先观察角与角之间的 关系, 注意角的一些常用变式, 角的变换是三角函数变换的核心! 第二看函数名称之间的关系, 通常 “切 化弦”;第三观察代数式的结构特点.基本的技巧有: (1)巧变角:已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差 角的变换. 如 ? ? (? ? ? ) ? ? ? (? ? ? ) ? ? , 2? ? (? ? ? ) ? (? ? ? ) , 2? ? ( ? ? ? ) ? ( ? ? ? ) ,

? ? ? ? 2?

? ?? ? ? ? ? 等. 2 2 2 2 (2)三角函数名互化:切割化弦,弦的齐次结构化成切. (3)公式变形使用:如 cos ?? ? ? ? cos ? ? sin ?? ? ? ? sin ? ? cos?, tan ?? ? ? ??1? tan ? tan ? ? ? tan ? ? tan ?.
, (4)三角函数次数的降升:降幂公式有 cos ? ?
2

? ??

???

?

?

??

?

1 ? cos 2? 1 ? cos 2? 2 , sin ? ? 与升幂公式有 2 2

1 ? cos 2? ? 2cos2 ? , 1 ? cos 2? ? 2sin 2 ? .
2

[来源:Z*xx*k.Com]

(5)式子结构的转化:对角、函数名、式子结构化同. (6) 常值变换主要指 “1” 的变换 1 ? sin x ? cos x ? sec x ? tan x ? tan x ? cot x ? tan ? ? sin ? ? ?
2 2 2

4

2

等. (7)辅助角公式: a sin x ? b cos x ? 定, ? 角的值由 tan ? ?

a 2 ? b 2 sin ? x ? ? ? (其中 ? 角所在的象限由 a、 b 的符号确

b 确定)在求最值、化简时起着重要作,这里只要掌握辅助角 ? 为特殊角的情况 a

即可.实际上是两角和与差的三角函数公式的逆用.如

sin x ? cos x ? 2 sin( x ? ),sin x ? 3 cos x ? 2sin( x ? ), 3 sin x ? cos x ? 2sin( x ? ) 等 4 3 6
(2016?江苏卷) 在锐角三角形 ABC 中, 若 sinA=2sinBsinC, 则 tanA tanB tanC 的最小值是 【解析】 sin A ? sin(B? C) ? 2sin B sin C ? tan B ? tan C ? 2 tan B tan C ,因此 .

?

?

?

tan A tan B tan C ? tan A ? tan B ? tan C ? tan A ? 2tan B tan C ? 2 2tan A tan B tan C ? tan A tan B tan C ? 8

考点五、 三角化简和解三角形相结合
【解题技巧】 1.使用正弦定理能够解的三角形有两类,一类是已知两边及其中一边的对角,一类已知一边和两 个内角(实际就是已知三个内角 ),其中第一个类型也可以根据余弦定理列出方程求出第三边,再求内 角.在使用正弦定理求三角形内角时,要注意解的可能情况,判断解的情况的基本依据是三角形中大边 对大角.

4

2.当已知三角形 的两边和其中一个边的对角求解第三边时,可以使用正弦定理、也可以使用余 弦定理,使用余弦定理就是根据余弦定理本身是一个方程,这个方程联系着三角形的三个边和其中的一 个内角. 3.利用正弦定理与余弦定理解题,经常利用转化思想,一个是边转化为角,另一个是角转化为边. 具体情况应根据题目给定的表达式进行确定,不管哪个途径,最终转化为角的统一或边的统一,也是我 们利用正余弦定理化简式子的最终目的.对于两个定理都能用的题目,应优先考虑利用正弦定理,会给 计算带来相对的简便.根据已知条件中边的大小来确定角的大小,此时利用正弦定理去计算较小边所对 的角,可避免分类讨论;利用余弦定理的推论,可根据角的余弦值的正负直接确定所求角是锐角还是钝 角,但是计算麻烦. 1、(2016?江苏卷)在 △ABC 中,AC=6, cos B = (1)求 AB 的长; (2)求 cos( A 4 π ,C = . 5 4

π )的值. 6

△ABC 的内角 A, 2、 (2016?新课标卷一) B, C 的对边分别为 a, b, c, 已知 2cos C (a cos B+b cos A) ? c.
(I)求 C; (II)若 c ? 7, △ABC 的面积为

3 3 ,求 △ABC 的周长. 2

【解析】(I)由已知及正弦定理得, 2cosC ?sin ? cos ?? sin ? cos ?? ? sin C ,

2cosCsin ? ?? ?? ? sin C .故 2sin C cos C ? sin C .
可得 cos C ?

? 1 ,所以 C ? . 3 2

5

3、 (2016?山东卷) 在△ABC 中, 角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, 已知 2(tan A ? tan B) ? (Ⅰ)证明:a+b=2c (Ⅱ)求 cosC 的最小值.

tan A tan B ? . cos B cos A

[来

(?) 由 (?) 知 c ?

a?b , 2
2 2 2

? a?b? a ?b ?? ? 2 2 2 a ?b ?c ? 2 ? ? 3? b ? a ?? 1 ? 1 , 所以 cos C ? ? ? ? 2ab 2ab 8? a b ? 4 2
当且仅当 a ? b 时,等号成立.故 cos C 的最小值为
3 3 3

1 . 2

4、(2016?北京卷)在 ? ABC 中, a ? c ? b ? 2ac (I)求 ? B 的大小 (II)求 2 cos A ? cos C 的最大值 【解析】⑴ ∵ a 2 ? c2 ? b2 ? 2ac ∴ a 2 ? c2 ? b2 ? 2ac ∴ cos B ?
π a2 ? c2 ? b2 2ac 2 ? ? ∴ ?B ? 4 2ac 2ac 2

3 2 2 cos A) ? sin A ⑵∵ A ? B ? C ? π ∴ A ? C ? π ∴ 2 cos A ? cos C ? 2 cos A ? (? 4 2 2 π 2 2 ? cos A ? sin A ? sin( A ? ) 4 2 2
6

∵ A?C ?

3 3 π π π π ∴ A ? (0, π) ∴ A ? ? ( , π) ∴ sin( A ? ) 最大值为 1 4 4 4 4 4

上式最大值为 1

5、(2016?四川卷)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,且 (I)证明: sin A sin B ? sin C ; (II)若 b ? c ? a ?
2 2 2

cos A cos B sin C ? ? . a b c

6 bc ,求 tan B . 5

【答案】(1)证明详见解析;(2)4.

7


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