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新课标2016年高二数学寒假作业3


【KS5U】新课标 2016 年高二数学寒假作业 3

一、选择题. 1.已知在等比数列{an}中,a1+a3=10,a4+a6= ,则该数列的公比等于( A. B. C.2 D. ) )

2.数列 1,2,4,8,16,32,…的一个通项公式是( A.an=2n﹣1 B.an=2
n﹣1

C.an=2 D

.an=2

n

n+1

3.在等差数列{an}中,已知 a4+a8=16,则该数列前 11 项和 S11=( A.58 B.88 C.143 D.176 4.等差数列{an}中 an>0,且 a1+a2+…+a10=30,则 a5+a6=( A.3 B.6 C.9 D.36 ,则 a6+a7+a8+a9=( ) )

).

5.已知数列{an}满足 A.729 B.367 C.604 D.854

6.设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,若 A.1 B.﹣1 C.2 D.

=(

)

7.某人要制作一个三角形,要求它的三边的长度分别为 3,4,6,则此人( A.不能作出这样的三角形 B.能作出一个锐角三角形 C.能作出一个直角三角形 D.能作出一个钝角三角形



8.已知△ ABC 内角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c,若 cosB= ,b=2,sinC=2sinA,则△ ABC 的面积为 ( A. ) B. C. D. )

9.已知△ ABC 的两边长分别为 2, 3, 这两边的夹角的余弦值为 , 则△ ABC 的外接圆的直径为 ( A. B. C. D.8

10.设 x,y 满足约束条件

,若目标函数

的最大值为 2,则

的图象向右平移 A. 二.填空题. B.

后的表达式为(



C.y=sin2x D.

11.已知 a , b 都是正实数, 函数 y ? 2ae x ? b 的图象过 (0,1) 点,则 12.△ABC 中,AC= ,BC= ,∠B=60°,则∠A= .

1 1 ? 的最小值是 a b

.

13.设 ?ABC 的内角 A, B, C 所对的边为 a, b, c ,则下列命题正确的是 号).
2 ①若 ab ? c ,则 C ?

(写出所有正确命题的序

?
3

.

②若 a ? b ? 2c ,则 C ?

?
3

.

4 4 4 ③若 a ? b ? c ,则 C ?

?
2

.

④若 (a ? b)c ? 2ab ,则 C ?

?
2

.

2 2 2 2 2 ⑤若 (a ? b )c ? 2a b ,则 C ?

?
3

.

14.在 ?ABC 中, A= 三、解答题.

?
3

,BC = 3,AB = 6 ,则 C ? _____________.

2 2 2 15.已知 a , b, c 分别是 ?ABC 中角 A, B, C 的对边,且 sin A ? sin C ? sin B ? sin A sin C

(1) (2)

求角 B 的大小; 若 ?ABC 的面积为

3 3 ,且 b ? 3 ,求 a ? c 的值. 4

16.(13 分)已知 x,y 是正实数,且 2x+5y=20, (1)求 u=lgx+lgy 的最大值; (2)求 的最小值.

17.(本小题 12 分)数列 {an } 是等差数列、数列 {bn } 是等比数列。已知 a1 ? b1 ? 1 ,点 (an , an?1 ) 在 直线 y ? x ? 1 上。 bn 满足 n ? log2 bn ? 1 。 (1)求通项公式 an 、 bn ; (2)若 Tn ? an ? bn ,求 An ? T1 ? T2 ? ? ? Tn 的值。

【KS5U】新课标 2016 年高二数学寒假作业 3 参考答案 1.A 【考点】等比数列的通项公式. 【专题】等差数列与等比数列.

【分析】由已知得

,由此能求出该数列的公比.

【解答】解:∵在等比数列{an}中, a1+a3=10,a4+a6= ,


3



∴10q = ,解得 q= . 故选:A. 【点评】本题考查等比数列的公式的求法,是基础题,解题时要注意等比数列的性质的合理运用. 2.B 【考点】等比数列的通项公式. 【专题】计算题. 【分析】 观察此数列是首项是 1, 且是公比为 2 的等比数列, 根据等比数列的通项公式求出此数列 的 一个通项公式. 【解答】解:由于数列 1,2,4,8,16,32,…的第一项是 1,且是公比为 2 的等比数列, 故通项公式是 an=1×q 故选 B. 【点评】本题主要考查求等比数列的通项公式,求出公比 q=2 是解题的关键,属于基础题. 3.B 4.B 【考点】等差数列的性质. 【专题】计算题;转化思想;数学模型法;等差数列与等比数列. 【分析】由已知结合等差数列的性质可得 5(a5+a6)=30,则答案可求. 【解答】解:在等差数列{an}中,由 an>0,且 a1+a2+…+a10=30,得
n﹣1

=2

n﹣1

,故此数列的一个通项公式 an=2

n﹣1



(a1+a10)+(a2+a9)+(a3+a8)+(a4+a7)+(a5+a6)=30, 即 5(a5+a6)=30,∴a5+a6=6. 故选:B. 【点评】本题考查等差数列的性质,是基础的计算题. 5.C 【考点】数列的函数特性. 【专题】整体思想;数学模型法;等差数列与等比数列. 【分析】利用 a6+a7+a8+a9=S9﹣S5 即可得出. 【解答】解:∵ 则 a6+a7+a8+a9=S9﹣S5=9 ﹣5 =604. 故选:C. 【点评】本题考查了数列的前 n 项和公式、递推关系,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 6.A 【考点】等差数列的性质. 【专题】计算题. 【分析】充分利用等差数列前 n 项和与某些特殊项之间的关系解题. 【解答】解:设等差数列{an}的首项为 a1,由等差数列的性质可得 a1+a9=2a5,a1+a5=2a3,
3 3

=Sn,



=

=

=

=1,

故选 A. 【点评】本题主要考查等差数列的性质、等差数列的前 n 项和公式以及等差中项的综合应用, 已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,则有如下关系 S2n﹣1=(2n﹣1)an. 7.D 【考点】三角形的形状判断. 【专题】解三角形.

【分析】若三角形两边分别为 3,4,设第三边为 x,则根据三角形三边故选可得:1<x<7,由余弦 定理可得 <0,即开判定此三角形为钝角三角形.

【解答】解:若三角形两边分别为 3,4,设第三边为 x,则根据三角形三边故选可得:1<x<7,故 可做出这样的三角形. 由余弦定理可得最大边所对的角的余弦值为: 故选:D. 【点评】本题主要考查了三角形三边关系余弦定理的应用,属于基础题. 8.B 【考点】正弦定理. 【专题】解三角形. 【分析】由题意和正余弦定理可得 a,c 的值,由同角三角函数的基本关系可得 sinB,代入三角形 的面积公式计算可得. 【解答】解:∵sinC=2sinA, ∴由正弦定理可得 c=2a, 又 cosB= ,b=2, 由余弦定理可得 2 =a +(2a) ﹣2a?2a× , 解得 a=1,∴c=2, 又 cosB= ,∴sinB= ∴△ABC 的面积 S= acsinB= × 故选:B 【点评】本题考查三角形的面积,涉及正余弦定理的应用,属基础题. 9.B 【考点】正弦定理;余弦定理. 【专题】解三角形. 【分析】利用同角三角函数的基本关系求得三角形边长分别为 2、3 的夹角的正弦值为 定理可求第三边的长,根据正弦定理即可求得外接圆的直径. ,由余弦 = , =
2 2 2

<0,此三角形为钝角三角形.

【解答】解:△ABC 的两边长分别为 2、3,其夹角的余弦为 ,故其夹角的正弦值为 由余弦定理可得第三边的长为: 则利用正弦定理可得:△ABC 的外接圆的直径为 = =3, .



故选:B. 【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用,三角形的面积公式,属于基础题. 10.C 【考点】简单线性规划;函数 y=Asin(ω x+φ )的图象变换. 【专题】三角函数的图像与性质;不等式的解法及应用. 【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用线性规划的知识求出 m 的值,利用三角函数的图象关 系进行平移即可. 【解答】解:作出不等式组对应的平面区域如图, ∵m>0, ∴平移直线 则由图象知,直线 此时 z 最大为 2, 由 ,解得 ,即 B(1,1) , , 经过点 B 时,直线截距最大,

则 1+ =2, 解得 m=2, 则 则 得到 y=sin[2(x﹣ 故选:C. =sin(2x+ ) , 后,

的图象向右平移 )+ ]=sin2x,

【点评】本题主要考查三角函数解析式的求解以及线性规划的应用,根据条件求出 m 的取值是解决 本题的关键. 11. 12. 考点: 正弦定理. 专题: 计算题;解三角形. 分析: 由已知及正弦定理可得 sinA= 解答: 解:∵由正弦定理可得:sinA= 又∵AC= >BC= , ,又 AC= = >BC= ,由大边对大角即可求∠A. = ,

∴∠B=60°>∠A, ∴∠A= . .

故答案为:

点评: 本题主要考查了正弦定理、大边对大角等知识的应用,属于基础题 . 13.①②③ 14. 15. (1) B ?

? 4
π . 3
3 3 1 3 3 ,所以 ac sin B ? ,所以 ac ? 3 . 4 2 4

⑵ 因为△ ABC 的面积为

因为 b= 3 , b2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B ,所以 a 2 ? c 2 ? ac =3,即 (a ? c) 2 ? 3ac =3.

所以 (a ? c)2 =12,所以 a+c= 2 3 . 16.【考点】基本不等式在最值问题中的应用. 【专题】计算题. 【分析】 (1)直接使用均值定理 a+b≥2 最大值; (2)将 【解答】解: (1)∵ 所以 u=lgx+lgy=lgxy≤lg10=1 ∴u=lgx+lgy 的最大值为 1 (2)∵2x+5y=20,∴ ∴ (当且仅当 乘以 1= = ,即可求得 xy 的最大值,进而求得 u=lgx+lgy=lgxy 的 ,再利用均值定理即可求得 的最小值

,∴xy≤10, (当且仅当 x=5 且 y=2 时等号成立) .

时等号成立)



的最小值为

【点评】本题考查了利用均值定理求函数最值的方法,利用均值定理求函数最值时,特别注意等号 成立的条件,恰当的使用均值定理求最值是解决本题的关键 17.(1)把点 (an , an?1 ) 代入直线 y ? x ? 1 得: an?1 ? an ? 1 即: an?1 ? an ? 1 ,所以, d ? 1 ,又 a1 ? 1 ,所以 an ? n . 又因为 n ? log2 bn ? 1 ,所以 bn ? 2n?1 . (2)因为 Tn ? anbn ? n ? 2n?1 , 所以, An ? 1? 20 ? 2 ? 21 ? 3? 22 ? ? ? ? ? n ? 2n?1 又, ? ……………………7 分 ② …………………9 分[来源:学 …………………11 分 ……………………12 分 …………………3 分 …………………5 分

2 An ? 0 ?1? 21 ? 2 ? 22 ? ? ? ? ? (n ?1) ? 2n?1 ? n ? 2n

?— ②得: ? An ? 1 ? 21 ? 22 ? ? ? ? ? 2n?1 ? n ? 2n 所以, An ? 1 ? (n ?1)2n


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