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浙江省温州市十校联合体2016届高三下学期期初联考 数学理


2015 学年第二学期十校联合体高三期初联考 理科数学试卷
一、选择题(本大题有 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一个选项是符合题目要求的. ) 1.已知集合 M ? x x 2 ? 1 ? 0 , N ? ? x A、 ?1? B、 ??1,0?

?

?

? 1 ? ? 2 x ?1 ? 4, x ? Z ? ,则 M ? N ? ( ? 2 ?



C、 ??1,0,1?

D、 ?


2.抛物线 y 2 ? 4 x 的准线与双曲线
A、

x2 y2 ? ? 1 渐近线围成三角形的面积为( 4 3
D、

3 2

B、

1 2

C、 3

2 3 3

3. a ? ? 是直线 ax ? ? y ? ?a ? ? 和 ?x ? (a ? ?) y ? a ? ? 平行且不重合的 A、充分非必要条件 B、必要非充分条件 C、充要条件 D、既不充分又不必要条件 4.已知某几何体的三视图,如图所示,则该几何体的体积为( A.
3 3






2 _

B.

2 3 3

C.

4 3 3

D

5 3 3
1 _

2 _ 2 _ _ 正视图

3 _ _ 侧视图

5.将函数 y ? sin( 2 x ? ? ) 的图象经怎样平移后
3 所得的图象关于点 (? ? ,0) 中心对称 12


?


_ 俯视图

A.向右平移

?

12 C.向右平移 ?
6

B.向左平移

12 D.向左平移 ?
6

?x ? y ? 0 ? 6.已知实数 x, y 满足: ? x ? y ? 4 ? 0 ,则使等式 (t ? 2) x ? (t ? 1) y ? 2t ? 4 ? 0 成立的取值范 ?x ?1 ? 0 ?

围为(
? A . ? - , 1? ? ? 2 ? 1


? B . ? - , 1? ? ? 4 ? 5
5 1? C. ? - ? ?- , ? 4 2?
5? ? 1 ? D? - ? ??- , +? ? ? -?, 4? ? 2 ? ?

7.如图,已知点 E 是正方形 ABCD 的边 AD 上一动点(端点除外) ,现将△ABE 沿 BE 所在
·1·

直线翻折成△ A' BE ,并连结 A ' C , A' D .记二面角 A'? BE ? C 的大小为 ? (0 ? ? ? ? ) .则下 列结论正确的是( )
A E E B D (第 7 题图) B D
A'

A.存在 ? ,使得 BA' ? 面 A' DE C C.存在 ? ,使得 EA' ? 面 A ?CD

B.存在 ? C ,使得 BA' ? 面 A ?CD D.存在 ? ,使得 EA' ? 面 A' BC

8. 已知函数 f (x) (x ? R) 是以 4 为周期的奇函数, 当 x ?(0, 2) 时, f ? x ? ? ln ? x 2 ? x ? b ? 若函数 f(x)在区间[-2,2]内有 5 个零点,则实数 b 的取值范围是( ) 1 5 5 1 5 A ?1 ? b ? 1 B ?b? C ?1 ? b ? 1 或 b= D ? b ? 1 或 b= 4 4 4 4 4 二、填空题(本大题共 7 小题,多空每小题 6 分,一空每小题 4 分,共 36 分) 9.已知命题 p: “ ?x ? R , 有 x 2 ? mx ? m ? 0 ” 则 ? p : 若命题 p 是假命题,则实数 m 的取值范围是 . .

10.已知等差数列 ?an ? , S n 是 ?an ? 数列的前 n 项和,且满足 a4 ? 10, S6 ? S3 ? 39 ,则 a1 = an = .
[]

11 . 若函数 f ( x) ? log2 (? x2 ? ax )的图象过点 (1, 2) , a=
___________.

函数 f ( x ) 的值域为

12.已知过点 P(t,0)(t>0)的直线 l 被圆 C:x2+y2-2x+4y-4=0 截得弦 AB 长为 4. 若直线 l 唯一,则该直线的方程为 . 2 2 x y 13. 设双曲线 2 ? 2 ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的左右焦点是 F1 , F2 双曲线上存在点 P 使离心率 a b sin ?PF2 F1 则离心率 e 的取值范围是 . e? sin ?PF1 F2
1 14.已知两个非零平面向量 a, b 满足:对任意 ? ? R 恒有 a ? ? b ? a ? b ,则: 2

①若 b ? 4 ,则 a ? b ?

;②若 a, b 的夹角为

2a ? t ? b ? ,则 的最小值为 3 b

.

15. 已知实数 x, y 满足: x 2 ? 2 3xy ? y 2 ? 1 ,则 x 2 + y 2 的最小值是
·2·

.

[]

三、解答题(本大题有 5 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) [ 16.(本题满分 15 分) ?? ? 3 ?? 1 ? ? 已 知 , f ( x) ? m?n ? m ? (sinx , ), n ? (cos x , cos( x? 2 )) 2 2 6 (1)试求函数 f ( x) 的单调递增区间 (2) 在锐角△ABC 中, △ABC 的三个角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c , 且 f (C ) ? 3 , 且c ? 3,
2

1 求 a ? b 的取值范围. 2

17. (本题满分 15 分) 如图, 四棱锥 P ? ABCD 中, 底面 ABCD 为矩形,PA ? 平面 ABCD , PE PA ? AB ? 2, AD ? 4 , E 为线段 PD 上一动点(不含端点) ,记 ?? . PD 1 (1)当 ? = 时,求证直线 PB∥平面 ACE 2 (2) 当平面 PAC 与平面 ACE 所成二面角的余 弦 值 1 为 时,求 ? 的值. 3

·3·

18. (本题满分 14 分)已知二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? 1 和 g ( x) ? (1) f ( x) 为偶函数,试判断 g ( x) 的奇偶性;

bx ? 1 ; a 2 x ? 2b

(2)若方程 g ( x) ? x 有两个不相等的实根,当 a ? 0 时判断 f ( x) 在 (?1,1) 上的单调性; (3)若方程 g ( x) ? x 的两实根为 x1 , x2 , f ( x) ? 0 的两根为 x3 , x4 ,求使 x3 ? x1 ? x2 ? x4 成 立的 a 的取值范围;

x2 y2 1 3 19.(本题满分 15 分)已知椭圆 C: 2+ 2 =1(a>b>0)过点( 3, ),且离心率为 ,O 为坐 a b 2 2
标原点. (1) 求椭圆 C 的标准方程; (2)已知斜率存在的动直线 l 与椭圆 C 交于不同两点 A、 B,记△OAB 的面积为 1,若 P 为线 段 AB 的中点,问:在 x 轴上是否存在两个定点 M,N,使得直线 PM 与直线 PN 的斜率之和为 定值,若存在,求出 M,N 的坐标,若不存在,说明理由.

20. (本题满分 15 分) 已知数列 {an } 满足 a1a 2 ? a n ? 1 ? a n , n ? N ? . (1)证明: { (2)记 Tn
1 } 是等差数列,并求数列 {an } 的通项公式; 1 ? an

?

?

1 ? n ?1? a1a2 ?an?1 ? n ? 2 ?

( n? N? ) , Sn ? T1 ? T2 ? ?? Tn ,证明:

1 3 ? S2 n ? Sn ? . 2 4

2015 学年第二学期十校联合体高三期初联考 理科数学参考答案
一、选择题(本大题有 8 小题,每小题 5 分,共 40 分
1 B 2 A 3 C 4 B 5 A 6 C 7 D 8 D

二、填空题(本大题共 7 小题,多空每小题 6 分,一空每小题 4 分,共 36 分) 9、?x ? R , 都有 x 2 ? mx ? m ? 0 ” ? ?4, 0 ? 10、 1 3n-2 11、 5
(??, log 2 25 ] 4

12、

·4·

x ? 2y ? 2 ? 0

13、 1, 2 ? 1

?

?

14、8

3

15、

1 2

三、解答题(本大题有 5 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) [
[]

16. 【答案】 1) m ? (sin x, ), n ? (cos x, cos(2 x ?

??

?? ? 3 1 ? 3 1 ? 3 f ( x) ? m?n ? ? (sin x, )?(cos x, cos(2 x ? )) ? ? sin x cos x ? cos(2 x ? ) ? 2 分 2 2 6 2 2 6 2 3 1 ? ? ? sin(2 x ? ) 4 分 2 2 3 ? ? ? 5? ? 函数的单调递增区间 2k? ? ? 2 x ? ? 2k? ? , k? ? ? x ? k? ? , k ? z ,6 分 2 3 2 12 12 5? ? 所以单调递增区间为 [k? ? , k? ? ], k ? z 7 分 12 12 3 3 1 ? 3 ? ? (2) f (C ) ? 可得 f (C ) ? ? sin(2C ? ) ? ,? sin(2C ? ) ? 0,? 2C ? ? ? 或 2 2 2 3 2 3 3 ? ? 5? (舍去) 9 分 2C ? ? 2? ,可得 C ? 或 C ? 3 3 6

1 ? 2

?
6

))

?C ?

?
3

,c ? 3?

a b c ? ? ? sin A sin B sin C

3 ? 2 ? a ? 2sin A, b ? 2sin B 3 2

11 分

1 2? 2? 2? a ? b ? 2sin A ? sin B ? 2sin A ? sin( ? A) ? 2sin A ? sin cos A ? cos sin A 2 3 3 3

3 3 ? ? sin A ? cos A ? 3 sin( A ? ) 13 分 2 2 6

?{

0? A?

?

2 2? ? 0? ? A? 3 2

?

?
6

? A?
6 )?

?
2,

0 ? A?

?
6

?

?
3

14 分,

故 0 ? 3 sin( A ?

?

3 15 分 2
1

则 E 为 PD 连接 BD 交 AC 于点 O、连接 OE, 2 则 OE 是?PBD 中位线∴ OE∥PB ∴PB//平面 ACE??????????????????????6 分 (Ⅱ) 建立直角坐标系如图所示,A(0,0,0) ,P(0,0,2),C(2,4,0),D(0,4,0), 由于

17. (Ⅰ)证明:若 ? =

??? ? ? PE ? ? ,E (0, 4? , 2 ? 2? ) , AP ? (0, 0, 2) , AC ? (2, 4, 0) ,???9 分 PD

·5·

??? ? ?? ?? ? ? AP ? n1 ? 0 ? ?? 设平面 PAC 的法向量为 n1 ? ( x, y, z) ,则有 ? ??? ,即 2 z ?0 , n1 ? (2, ?1, 0) . 2 x?4 y ?0 ? ? AC ? n1 ? 0 ?? ? 2? ) 同理可得:平面 AEC 的法向量为 n2 ? (2, ?1, 1? ? ?? ?? ? ?? ??? ? n1 ? n2 1 10 ? 10 ∴ cos ? n1 ,n2 = ?? ?? ,.????????15 分 ? ? ,? ? ? 3 9 n1 ? n2

??

?

其他解法相应给分 18 解:若 f(x)为偶函数,有 f(-x)= f(x)得 b=0

·6·

·7·

20.解: (Ⅰ)当 n ? 1 时, a1 ?

1 , 2 当 n ? 2 时,由 a1 ? a2 ?an ? 1 ? an 与 a1 ? a2 ? an?1 ? 1 ? an?1 相除得,

1 ? an ,即 2a n ? a n a n?1 ? 1 , 1 ? an ?1 1 1 所以 ? ?1, 1 ? an 1 ? an?1 an ?
1 } 是公差为 1,首项为 2 的等差数列, 即{ 1 ? an

???????? 3 分

1 n . ? n ? 1 , an ? n ?1 1 ? an 1 (Ⅱ)由已知得 Tn ? ,??? 8 分 n


???????? 7 分

1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? , S2 n ? 1 ? ? ? ? ? ? ??? , 2 3 n 2 3 n n ?1 2n 1 1 1 1 1 1 1 ? S2n ? Sn ? ? ?? ? ? ? ??? ? . n ?1 n ? 2 2n n ? n n ? n n?n 2 又令cn ? S 2 n ? S n , 则 ? Sn ? 1 ?

10 分

1 1 1 ? ? , 2n ? 1 2n (2n ? 1)2n ? cn ? (cn ? cn ?1 ) ? (cn ?1 ? cn ?2 ) ? (cn ?2 ? cn ?3 ) ? ? ? (c2 ? c1 ) ? c1 1 1 1 1 ? ? ? ??? , 1? 2 3 ? 4 5 ? 6 (2n ? 1)2n 1 1 1 1 ? cn ? ? ? ??? , 1? 2 2 ? 3 4 ? 5 (2n ? 2)(2n ? 1) cn ? cn ?1 ? ( S2 n ? Sn ) ? ( S2 n ?2 ? Sn ?1 ) ?
?
上两式相加得

1 1 1 1 1 1 1 3 ?( ? ? ??? ) ? ? (1 ? ) ? , 2 1? 2 2 ? 3 3 ? 4 (2n ? 1)2n 2 2n 2 3 ? cn ? . 4 1 3 综上可知 ? S 2 n ? S n ? . ??15 分 2 4 2cn ?
出卷人:泰顺中学 审题人:瑞安十中 欢迎访问“高中试卷网”——http://sj.fjjy.org

·8·


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