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高中高一数学必修1各章知识点总结(3)


高中高一数学必修 1 各章知识点总结(3) 第一章 集合与函数(3) 一、函数表示法 1、三种表示方法 (1)解析法:必须注明函数的定义域; (2)列表法:选取的自变量的值要有代表性,应能反映定义域的特征. (3)图象法:函数图象既可以是连续的曲线,也可以是直线、折线、离散的点等等。注意 判断一个图形是否是函数图象的依据; 解析法便于算出函数的精确值。 列表法便于查出函数 值。图

象法便于了解函数的性质。 2、关于函数的解析式 (1).函数的解析式是函数的一种表示方法,要求两个变量之间的函数关系时,一是要求出 它们之间的对应法则,二是要求出函数的定义域. (2).求函数的解析式的主要方法有:待定系数法、换元法、消参法等,如果已知函数解析 式的构造时,可用待定系数法;已知复合函数 f[g(x)]的表达式时,可用换元法,这时要注意 元的取值范围;当已知表达式较简单时,也可用凑配法;若已知抽象函数表达式,则常用解 方程组消参的方法求出 f(x) 2、函数的图像 1、定义: 在平面直角坐标系中,以函数 y=f(x) (x∈A)中的 x 为横坐标,函数值 y 为纵坐标的点 P(x,y) 的集合 C,叫做函数 y=f(x),(x ∈A)的图象. C 上每一点的坐标(x,y)均满足函数关系 y=f(x),反过来,以满足 y=f(x)的每一组有序实数对 x、y 为坐标的点(x,y),均在 C 上,即记为 C={ P(x,y) | y= f(x) , x∈A }。图象 C 常常是一条光 滑的连续曲线(或直线),但也可能是由与任意平行与 Y 轴的直线最多只有一个交点的若干条 曲线或离散点组成。 2、画法: A、描点法:根据函数解析式和定义域,求出 x,y 的一些对应值并列表,以(x,y)为坐标在坐标 系内描出相应的点 P(x, y),最后用平滑的曲线将这些点连接起来. B、图象变换法:常用变换方法有三种,即平移变换、伸缩变换和对称变换。 3、常用的函数的图像 应熟悉并熟练地作出一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数及三个三角函数的 图像。 4、作用: 1、直观的看出函数的性质; 2、利用数形结合的方法分析解题的思路,提高解题的速度。 3、往往可由图像发现解题中的错误。 二、分段函数和复合函数 1、分段函数 在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。 在不同的范围里求函数值时必须把自变 量代入相应的表达式。 分段函数的解析式不能写成几个不同的方程, 而就写函数值几种不同 的表达式并用一个左大括号括起来,并分别注明各部分的自变量的取值情况. 注意:

(1)分段函数是一个函数,不要把它误认为是几个函数; (2)分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集。 2、复合函数 如果函数 y=f(u) (u∈M),u=g(x) (x∈A),则函数 y=f[g(x)]=F(x)(定义域为?) 称为 f、g 的复合函 数。 两个函数能复合成为一个复合函数的充要条件是: 外层函数的定义域与内层函数的值域之交 集非空。 三、函数的几何性质 1、函数的单调性 (1)概念 设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x1,x2, 当 x1<x2 时,都有 f(x1)<f(x2)(f(x1) >f(x2)) ,那么就说 f(x)在区间 D 上是增(减)函数,区间 D 称为 y=f(x)的单调增(减)区间。 注意: ① 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质; ② 必须是对于区间 D 内自变量的任意两个值 x1,x2;当 x1<x2 时,都有 f(x1)<f(x2) 。 (2)几何意义 如果函数 y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么说函数 y=f(x)在这一区间上具有(严格的) 单调性,在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的,减函数的图象从左到右是下降的. (3)函数单调区间与单调性的判定方法 (A) 定义法: 步骤: ①任取 x1、 x2∈D, 且 x1<x2; ②作差 f(x1)-f(x2); ③变形 (通常是因式分解和配方) ; ④ 定号 (即判断差 f(x1)-f(x2)的正负) ; ⑤定论 (指出函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性) . (B)图象法 从图象上看升降,从左到右上升者为增函数,下降者为减函数。 (C)复合函数的单调性 ?? 两个函数复合而成的复合函数 f[g(x)]的单调性与构成它的函数 u=g(x),y=f(u)的单调性之 间的关系是:同增异减。 注意: 函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间合在一起写成其并集.


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