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江苏省淮安市涟水一中2014-2015学年高二下学期期末数学试卷(文科)


江苏省淮安市涟水一中 2014-2015 学年高二下学期期末数学试卷 (文科)
一.填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.只要求写出结果,不必写出计算 和推理过程.请把答案写在答题卡相应位置上. 1.已知集合 A= ,则 A∩B=.

2.已知命题 p:?x∈R,sinx≤1,则?p 为. 3.已知 为实数,其中 i 是虚数单位

,则实数 m 的值为.

4.已知直线 l1:ax+(a+2)y+1=0,l2:x+ay+2=0.若 l1⊥l2,则实数 a 的值是. 5.已知 cos(α+ )=﹣ ,则 sin(α﹣ )=.

6.已知函数

,则

的值为.

7.已知函数

的图象关于原点对称,则实数 a 值是.

8.用火柴棒摆“金鱼”,如图所示:按照上面的规律,第 n 个“金鱼”图需要火柴棒的根数

为.

9.已知抛物线 y =4x 与双曲线 则该双曲线的离心率为. 10.已知过点 值范围是.

2

的一个交点为 M,F 为抛物线的焦点,若 MF=3,

的直线 l 与圆 O:x +y =4 有公共点,则直线 l 斜率的取

2

2

11.将函数 y=g(x)的图象,若 y=g(x)在

的图象向右平移

个单位,得到函数

上为增函数,则 ω 的最大值为.

12.已知 a+1]上恒成立,则实数 a 的最大值是.

,若关于 x 的不等式 f(x+a)≥f(2a﹣x)在[a,

13.对于数列{an},定义数列{an+1﹣an}为数列{an}的“差数列”,若 a1=2,{an}的“差数列”的 n 通项为 2 ,则数列{an}的前 n 项和 Sn=.

14.数 f(x)=a|log2x|+1(a≠0) ,定义函数 F(x)=

,给出下列命题:

①F(x)=|f(x)|;②函数 F(x)是偶函数;③当 a<0 时,若 0<m<n<1,则有 F(m) ﹣F(n)<0 成立;④当 a>0 时,函数 y=F(x)﹣2 有 4 个零点.其中正确命题的个数为.

二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤. 15.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,以 Ox 轴为始边作角 α 和 β, ,其终边分别交单位圆于 A,B 两点.若 A,B 两 点的横坐标分别是 ,﹣ (1)tanα,tanβ 的值; (2)∠AOB 的值. . 试求

16.如图,已知多面体 ABCDFEF 中,平面 ADEF⊥平面 ABCD,若四边形 ADEF 为矩形, AB∥CD, ,BC⊥BD,M 为 EC 中点.

(1)求证:BC⊥平面 BDE; (2)求证:BM∥平面 ADEF.

17.某校拟调研学生的身高与运动量之间的关系,从 2014-2015 学年高二男生中随机抽取 100 名学生的身高数据,得到如下频率分布表: 组号 分组 频数 频率 第1组 [160,165) 10 0.100 第2组 [165,170) ① 0.150 第3组 [170,175) 30 ② 第4组 [175,180) 25 0.250 第5组 [180,185) 20 0.200 合计 100 1.00 (Ⅰ)求频率分布表汇总①、②位置相应的数据,并完成频率分布直方图; (Ⅱ)为了对比研究学生运动量与身高的关系,学校计划采用分层抽样的方法从第 2、5 组 中随机抽取 7 名学生进行跟踪调研,求第 2、5 组每组抽取的学生数; (Ⅲ)在(Ⅱ)的前提下,学校决定从这 7 名学生中随机抽取 2 名学生接受调研访谈,求至 少有 1 名学生来自第 5 组的概率. 18. (16 分)已知函数 f(x)=loga(x+1)﹣loga(1﹣x) ,a>0 且 a≠1. (1)求 f(x)的定义域; (2)判断 f(x)的奇偶性并予以证明; (3)当 a>1 时,求使 f(x)>0 的 x 的取值范围.

19. (16 分)已知椭圆 M:

(a>b>0) ,点 F1(﹣1,0) 、C(﹣2,0)分别是椭

圆 M 的左焦点、左顶点,过点 F1 的直线 l(不与 x 轴重合)交 M 于 A,B 两点. (1)求椭圆 M 的标准方程; (2)若 ,求△ AOB 的面积; (3)是否存在直线 l,使得点 B 在以线段 AC 为直径的圆上,若存在,求出直线 l 的方程; 若不存在,说明理由. 20. (16 分)已知函数 f(x)= (其中 k∈R,e=2.71828…是自然数的底数) ,f′(x)为

f(x)的导函数. (1)当 k=2 时,求曲线 y=f(x)在点(1,f(1) )处的切线方程; (2)若 x∈(0,1]时,f′(x)=0 都有解,求 k 的取值范围; (3)若 f′(1)=0,试证明:对任意 x>0,f′(x)< 恒成立.

江苏省淮安市涟水一中 2014-2015 学年高二下学期期末 数学试卷(文科)

一.填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.只要求写出结果,不必写出计算 和推理过程.请把答案写在答题卡相应位置上. 1.已知集合 A= ,则 A∩B={0,1}.

考点: 交集及其运算. 专题: 集合. 分析: 求出 B 中 x 的范围确定出 B,找出 A 与 B 的交集即可. 解答: 解:由 B 中 y= ,得到 1﹣x≥0,即 x≤1,

∴B=(﹣∞,1], ∵A={0,1,2}, ∴A∩B={0,1}, 故答案为:{0,1} 点评: 此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键. 2.已知命题 p:?x∈R,sinx≤1,则?p 为?x∈R,sinx>1. 考点: 命题的否定. 分析: 根据命题 p:?x∈R,sinx≤1 是全称命题,其否定为特称命题,将“任意的”改为“存 在”,“≤“改为“>”可得答案. 解答: 解:∵命题 p:?x∈R,sinx≤1 是全称命题 ∴?p:?x∈R,sinx>1 故答案为:?x∈R,sinx>1. 点评: 本题主要考查全称命题与特称命题的相互转化问题. 这里注意全称命题的否定为特 称命题,反过来特称命题的否定是全称命题. 3.已知 为实数,其中 i 是虚数单位,则实数 m 的值为﹣2.

考点: 复数代数形式的乘除运算. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 化简复数为 a+bi 的形式,然后利用复数的概念,求解即可. 解答: 解: = = ,

已知

为实数,

可得 3m+6=0,解得 m=﹣2. 故答案为:﹣2. 点评: 本题考查复数的除法的运算法则的应用,复数的基本概念的应用,考查计算能力.

4.已知直线 l1:ax+(a+2)y+1=0,l2:x+ay+2=0.若 l1⊥l2,则实数 a 的值是 0 或﹣3. 考点: 直线的一般式方程与直线的垂直关系. 专题: 直线与圆. 分析: 根据直线垂直的等价条件进行求解即可. 解答: 解:l1⊥l2,则 a+a(a+2)=0, 即 a(a+3)=0,解得 a=0 或 a=﹣3, 故答案为:0 或﹣3 点评: 本题主要考查直线垂直的应用,比较基础.

5.已知 cos(α+

)=﹣ ,则 sin(α﹣

)= .

考点: 运用诱导公式化简求值. 专题: 三角函数的求值. 分析: 原式中的角度变形后,利用诱导公式化简即可得到结果. 解答: 解:∵cos(α+ ∴sin(α﹣ 故答案为: 点评: 此题考查了运用诱导公式化简求值,熟练掌握诱导公式是解本题的关键. )=sin[(α+ )=﹣ , )﹣ ]=﹣sin[ ﹣(α+ )]=﹣cos(α+ )= .

6.已知函数

,则

的值为



考点: 函数的值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 首先判断 >1,得到 解答: 解:因为 >1,所以 所以 f( )=sin(π× )= 故答案为: . ; 的值为 f( ﹣1)=f( ) ,由 ≤1,代入 sinπx 计算. =f( ﹣1)=f( ) ,由 ≤1,

点评: 本题考查了分段函数的函数值求法; 关键是明确自变量所属的范围, 代入对应的解 析式计算求值.

7.已知函数

的图象关于原点对称,则实数 a 值是 .

考点: 指数型复合函数的性质及应用;函数奇偶性的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据函数奇偶性和图象的对称关系进行求解即可. 解答: 解:∵函数 ∴函数 f(x)是奇函数, 则 f(﹣x)=﹣f(x) , 即 a+ =﹣(a+ )=﹣a﹣ , 的图象关于原点对称,

即 2a=﹣



=



=

=1,

解得 a= , 故答案为: 点评: 本题主要考查函数奇偶性的性质的应用,根据奇函数的关系式 f(﹣x)=﹣f(x) 建立方程关系是解决本题的关键. 8.用火柴棒摆“金鱼”,如图所示:按照上面的规律,第 n 个“金鱼”图需要火柴棒的根数为

6n+2. 考点: 归纳推理. 专题: 规律型. 分析: 观察给出的 3 个例图,注意火柴棒根数的变化是图②的火柴棒比图①的多 6 根, 图③的火柴棒比图②的多 6 根,而图①的火柴棒的根数为 2+6. 解答: 解:由题意知:图②的火柴棒比图①的多 6 根,图③的火柴棒比图②的多 6 根, 而图①的火柴棒的根数为 2+6, ∴第 n 条小鱼需要(2+6n)根, 故答案为:6n+2. 点评: 本题考查了规律型中的图形变化问题, 本题的解答体现了由特殊到一般的数学方法 (归纳法) ,先观察特例,找到火柴棒根数的变化规律,然后猜想第 n 条小鱼所需要的火柴 棒的根数.

9.已知抛物线 y =4x 与双曲线 则该双曲线的离心率为 .

2

的一个交点为 M,F 为抛物线的焦点,若 MF=3,

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 求得抛物线的焦点和准线方程,设 M(m,n) ,则由抛物线的定义可得 m=3,进而 得到 M 的坐标,代入双曲线的方程,可得 a,即可求出双曲线的离心率. 2 解答: 解:抛物线 y =4x 的焦点 F(1,0) ,准线方程为 x=﹣1, 设 M(m,n) ,则由抛物线的定义可得|MF|=m+2=3,解得 m=1, 由 n =4,可得 n=±2. 将 M(1,±2)代入双曲线
2 2



解得 a = , 所以 a= ,c=

即有双曲线的离心率为 . 故答案为: . 点评: 本题考查抛物线和双曲线的定义、 方程和性质, 主要考查抛物线的定义和双曲线的 渐近线方程,考查运算能力,属于基础题. 10.已知过点 值范围是 考点: 专题: 分析: 解答: 的直线 l 与圆 O:x +y =4 有公共点,则直线 l 斜率的取 .
2 2

直线与圆的位置关系. 计算题;直线与圆. 设直线的斜率是 k,利用直线和圆的位置关系即可得到结论. 解:设直线的斜率是 k,则直线方程为 y+2=k(x+2 ) ,即 kx﹣y+2 =2,

k﹣2=0,

当直线和圆相切时,满足圆心到直线的距离 d= 解得 k=0 或 ,

则直线 l 的斜率的取值范围为 . 故答案为: . 点评: 本题主要考查直线斜率的求解,根据直线和圆的位置关系是解决本题的关键.

11.将函数 y=g(x)的图象,若 y=g(x)在

的图象向右平移

个单位,得到函数

上为增函数,则 ω 的最大值为 2.

考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 计算题;三角函数的图像与性质.

分析: 函数的图象向左平移 上为增函数,说明

个单位,得到函数 y=g(x)的表达式,然后利用在 ,利用周期公式,求出 ω 的不等式,得到 ω 的最大值. ) (ω>0)的图象向左平移 ]=2sinωx,y=g(x)在 个单位, 上为增函数,

解答: 解:函数 f(x)=2sin(ωx+ 得到函数 y=g(x)=2sin[ω(x﹣ 所以: ,即: )+

,ω≤2,

所以 ω 的最大值为:2. 故答案为:2. 点评: 本题主要考查由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式,注意函数的周期与单 调增区间的关系,考查计算能力,常考题型,题目新颖,属于基本知识的考查.

12.已知 a+1]上恒成立,则实数 a 的最大值是﹣2.

,若关于 x 的不等式 f(x+a)≥f(2a﹣x)在[a,

考点: 函数恒成立问题. 专题: 函数的性质及应用;不等式的解法及应用. 分析: 讨论分段函数各段的单调性,再由函数的连续性和单调性的定义,可得 f(x)在 R 上递减,由条件可得 x+a≤2a﹣x 在[a,a+1]上恒成立,运用参数分离,求得右边函数的最大 值,解 a 的不等式,即可得到 a 的最大值. 解答: 解:当 x≤0 时,f(x)=(x﹣2) ﹣1 在(﹣∞,0]递减, 2 当 x>0 时,f(x)=﹣(x+1) +4 在(0,+∞)递减, 且 f(0)=3,即 x>0 和 x≤0 的两段图象连续, 则 f(x)在 R 上递减. 关于 x 的不等式 f(x+a)≥f(2a﹣x)在[a,a+1]上恒成立, 即为 x+a≤2a﹣x 在[a,a+1]上恒成立, 即有 a≥2x 在[a,a+1]上恒成立, 即 a≥2(a+1) , 解得 a≤﹣2. 则 a 的最大值为﹣2. 故答案为:﹣2. 点评: 本题主要考查分段函数的单调性的运用, 同时考查不等式的恒成立问题, 注意运用 参数分离,属于中档题和易错题. 13.对于数列{an},定义数列{an+1﹣an}为数列{an}的“差数列”,若 a1=2,{an}的“差数列”的 n n+1 通项为 2 ,则数列{an}的前 n 项和 Sn=2 ﹣2. 考点: 数列的求和. 专题: 计算题.
2

分析: 先根据 an+1﹣an=2 ,对数列进行叠加,最后求得 an=2 .进而根据等比数列的求和 公式答案可得. 解答: 解:∵an+1﹣an=2 , ∴an=(an﹣an﹣1)+(an﹣1﹣an﹣2)++(a2﹣a1)+a1 n﹣1 n﹣2 2 =2 +2 ++2 +2+2 = +2=2 ﹣2+2=2 .
n n n

n

n

∴Sn=
n+1

=2

n+1

﹣2.

故答案为 2 ﹣2 点评: 本题主要考查了数列的求和. 对于 an+1﹣an=p 的形式常可用叠加法求得数列通项公 式.

14.数 f(x)=a|log2x|+1(a≠0) ,定义函数 F(x)=

,给出下列命题:

①F(x)=|f(x)|;②函数 F(x)是偶函数;③当 a<0 时,若 0<m<n<1,则有 F(m) ﹣F(n)<0 成立;④当 a>0 时,函数 y=F(x)﹣2 有 4 个零点.其中正确命题的个数为 3 个. 考点: 函数零点的判定定理. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: ①F(x)=f(|x|) ,从而判断; ②易知函数 F(x)是偶函数; ③由对数函数的单调性及绝对值可判断 F(m)﹣F(n)=﹣alog2m+1﹣(﹣alog2n+1)=a (log2n﹣log2m)<0; ④由函数的零点与方程的根的关系可得|x|= 或|x|= ;从而判断出函数 y=F(x)﹣2

有 4 个零点. 解答: 解:①F(x)=f(|x|) ,故 F(x)=|f(x)|不正确; ②∵F(x)=f(|x|) ,∴F(﹣x)=F(x) ; ∴函数 F(x)是偶函数; ③当 a<0 时,若 0<m<n<1, 则 F(m)﹣F(n)=﹣alog2m+1﹣(﹣alog2n+1) =a(log2n﹣log2m)<0; ④当 a>0 时,F(x)=2 可化为 f(|x|)=2, 即 a|log2|x||+1=2, 即|log2|x||= ; 故|x|= 或|x|= ;

故函数 y=F(x)﹣2 有 4 个零点;

②③④正确; 故答案为:3 个. 点评: 本题考查了绝对值函数的应用及对数函数的性质的应用, 同时考查了函数的零点与 方程的根的关系应用,属于基础题. 二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤. 15.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,以 Ox 轴为始边作角 α 和 β, ,其终边分别交单位圆于 A,B 两点.若 A,B 两 点的横坐标分别是 ,﹣ (1)tanα,tanβ 的值; (2)∠AOB 的值. . 试求

考点: 任意角的三角函数的定义. 专题: 三角函数的求值. 分析: (1)根据三角函数的定义即可求 tanα,tanβ 的值; (2)∠AOB=β﹣α,利用两角和差的正切公式进行求解即可. 解答: 解: (1)由条件知 cosα= ,cosβ=﹣ ∵ ∴sinα= ,sinβ= = , , .

则 tanα= = ,tanβ=

=﹣7;

(2)∵∠AOB=β﹣α,

∴tan∠AOB=tan(β﹣α)=

=

=



∵ ∴0<β﹣α<π,



则 β﹣α=



点评: 本题主要考查三角函数的定义以及两角和差的正切公式的应用, 考查学生的运算能 力. 16.如图,已知多面体 ABCDFEF 中,平面 ADEF⊥平面 ABCD,若四边形 ADEF 为矩形, AB∥CD, ,BC⊥BD,M 为 EC 中点.

(1)求证:BC⊥平面 BDE; (2)求证:BM∥平面 ADEF.

考点: 直线与平面平行的判定;直线与平面垂直的判定. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: (1)只要证明 DE⊥平面 ABCD 即可; (2)取 DE 中点 N,连接 AN,MN,只要证明 BM∥AN,利用线面平行的判定定理可得. 解答: 证明: (1)因为四边形 ADEF 为矩形,所以 DE⊥AD,… 又因为平面 ADEF⊥平面 ABCD, 平面 ADEF∩平面 ABCD=AD, 所以 DE⊥平面 ABCD,… 又因为 BC?平面 ABCD, 所以 DE⊥BC,… 又因为 BC⊥BD,DE∩BD=D,所以 BC⊥平面 BDE; … (2)取 DE 中点 N,连接 AN,MN,因为 M,N 分别为 EC,DE 中点, 所以 MN∥CD, 又因为 AB∥CD, ,… ,所以 MN∥AB,MN=AB,

所以四边形 ABMN 为平行四边形,… 所以 BM∥AN,又 AN?平面 ADEF,BM?平面 ADEF, 所以 BM∥平面 ADEF.… 点评: 本题考查了线面垂直、 线面平行的判定定理和判定定理的运用; 关键是熟练掌握定 理性质. 17.某校拟调研学生的身高与运动量之间的关系,从 2014-2015 学年高二男生中随机抽取 100 名学生的身高数据,得到如下频率分布表: 组号 分组 频数 频率 第1组 [160,165) 10 0.100 第2组 [165,170) ① 0.150 第3组 [170,175) 30 ② 第4组 [175,180) 25 0.250 第5组 [180,185) 20 0.200 合计 100 1.00 (Ⅰ)求频率分布表汇总①、②位置相应的数据,并完成频率分布直方图;

(Ⅱ)为了对比研究学生运动量与身高的关系,学校计划采用分层抽样的方法从第 2、5 组 中随机抽取 7 名学生进行跟踪调研,求第 2、5 组每组抽取的学生数; (Ⅲ)在(Ⅱ)的前提下,学校决定从这 7 名学生中随机抽取 2 名学生接受调研访谈,求至 少有 1 名学生来自第 5 组的概率. 考点: 频率分布表. 专题: 概率与统计. 分析: (Ⅰ)根据频率、频数与样本容量的关系,求出①、②的数值,并画出频率分布 直方图; (Ⅱ)先求出第 2、5 组的人数,再根据分层抽样原理,求出第 2、5 组应抽取的人数; (Ⅲ)用列举法求出基本事件数,计算对应的概率即可. 解答: 解: (Ⅰ)根据题意,得; ①小组[165,170)内的频数是 100×0.150=15, ②小组[170,175)内的频率 =0.300,

画出频率分布直方图如下; (Ⅱ)第 2 组有 15 人,第 5 组有 20 人, 分层抽样方法从第 2、5 组中随机抽取 7 名学生, 第 2 组中应抽取 7× =3 人,

第 5 组中应抽取 7﹣3=4 人; (Ⅲ)第 2 组的学生记为 a、b、c,第 5 组的学生记为 1、2、3、4, 从这 7 名学生中随机抽取 2 名学生,基本事件数是 ab,ac,a1,a2,a3,a4, bc,b1,b2,b3,b4, c1,c2,c3,c4, 12,13,14, 23,24,34 共 21 种不同取法; 至少有 1 名学生来自第 5 组的基本事件数是: a1,a2,a3,a4, b1,b2,b3,b4, c1,c2,c3,c4, 12,13,14, 23,24,34 共 18 种不同取法; 对应的概率为 P= = .

点评: 不同考查了频率分布直方图的应用问题,也考查了用列举法求古典概型的概率问 题,是基础题目. 18. (16 分)已知函数 f(x)=loga(x+1)﹣loga(1﹣x) ,a>0 且 a≠1. (1)求 f(x)的定义域; (2)判断 f(x)的奇偶性并予以证明; (3)当 a>1 时,求使 f(x)>0 的 x 的取值范围.

考点: 函数奇偶性的判断;对数的运算性质;对数函数的定义域;对数函数的单调性与特 殊点. 专题: 计算题. 分析: (1)根据对数的性质可知真数大于零,进而确定 x 的范围,求得函数的定义域. (2)利用函数解析式可求得 f(﹣x)=﹣f(x) ,进而判断出函数为奇函数. (3)根据当 a>1 时,f(x)在定义域{x|﹣1<x<1}内是增函数,可推断出 f(x)>0,进 而可知 进而求得 x 的范围.

解答: 解: (1)f(x)=loga(x+1)﹣loga(1﹣x) ,则

解得﹣1<x<1.

故所求定义域为{x|﹣1<x<1}. (2)f(x)为奇函数 由(1)知 f(x)的定义域为{x|﹣1<x<1}, 且 f(﹣x)=loga(﹣x+1)﹣loga(1+x)=﹣[loga(x+1)﹣loga(1﹣x)]=﹣f(x) , 故 f(x)为奇函数. (3)因为当 a>1 时,f(x)在定义域{x|﹣1<x<1}内是增函数, 所以 .

解得 0<x<1. 所以使 f(x)>0 的 x 的取值范围是{x|0<x<1}. 点评: 本题主要考查了函数的定义域, 奇偶性的判断和单调性的应用. 要求考生对函数的 基本性质熟练掌握.

19. (16 分)已知椭圆 M:

(a>b>0) ,点 F1(﹣1,0) 、C(﹣2,0)分别是椭

圆 M 的左焦点、左顶点,过点 F1 的直线 l(不与 x 轴重合)交 M 于 A,B 两点. (1)求椭圆 M 的标准方程; (2)若 ,求△ AOB 的面积; (3)是否存在直线 l,使得点 B 在以线段 AC 为直径的圆上,若存在,求出直线 l 的方程; 若不存在,说明理由. 考点: 直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)通过左焦点、左顶点的坐标可知 (2)通过两点式可知直线 l 的方程为: 标,进而利用三角形面积公式计算即得结论; (2)通过设 B(x0,y0) (﹣2<x0<2) ,利用 ,进而可得结论; ,并与椭圆方程联立可得 B 点纵坐 =0 即 =0,化简即可. .…

解答: 解: (1)由 F1(﹣1,0) 、C(﹣2,0)得: ∴椭圆 M 的标准方程为: ; …

(2)因为

,F1(﹣1,0) , ,

所以过 A、F1 的直线 l 的方程为: 即 ,…

解方程组

,得

,…



;…

(2)结论:不存在直线 l 使得点 B 在以 AC 为直径的圆上. 理由如下: 设 B(x0,y0) (﹣2<x0<2) ,则 假设点 B 在以线段 AC 为直径的圆上, 则 =0,即 =0, .

因为 C(﹣2,0) ,F1(﹣1,0) , 所以 = = ,…

解得:x0=﹣2 或﹣6,… 又因为﹣2<x0<﹣6,所以点 B 不在以 AC 为直径的圆上, 即不存在直线 l,使得点 B 在以 AC 为直径的圆上. …(16 分) 点评: 本题是一道直线与圆锥曲线的综合题,考查运算求解能力,注意解题方法的积累, 属于中档题. 20. (16 分)已知函数 f(x)= (其中 k∈R,e=2.71828…是自然数的底数) ,f′(x)为

f(x)的导函数. (1)当 k=2 时,求曲线 y=f(x)在点(1,f(1) )处的切线方程; (2)若 x∈(0,1]时,f′(x)=0 都有解,求 k 的取值范围; (3)若 f′(1)=0,试证明:对任意 x>0,f′(x)< 恒成立.

考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程;导数在最大值、最小值问题中的应用. 专题: 导数的概念及应用;导数的综合应用;不等式的解法及应用. 分析: (1)求出当 k=2 时,f(x)的导数,求得切线的斜率和切点,由点斜式方程即可 得到切线方程;

(2)由 f′(x)=0 可得 k=

,运用导数求得右边函数的最大值,即可得到 k 的范围;
﹣2

(3)由 f′(1)=0,可得 k=1,对任意 x>0,g(x)<e +1 等价为 1﹣x﹣xlnx<
2

(e



+1) ,先证 1﹣x﹣xlnx≤e +1,可由导数求得,再证 恒成立.

﹣2

>1.即可证得对任意 x>0,f′(x)



解答: 解: (1)当 k=2 时,f(x)=

的导数为 f′(x)=

(x>0) ,

f′(1)=﹣ ,f(1)= ,在点(1,f(1) )处的切线方程为 y﹣ =﹣ (x﹣1) , 即为 y=﹣ x+ ;

(2)f′(x)=0,即

=0,即有 k=



令 F(x)=

,由 0<x≤1,F′(x)=﹣

<0,

F(x)在(0,1)递减,x→0,F(x)→+∞,F(x)≥1, 即 k≥1; (3)证明:由 f′(1)=0,可得 k=1,g(x)=(x +x)f′(x) ,即 g(x)= 对任意 x>0,g(x)<e +1 等价为 1﹣x﹣xlnx< 由 h(x)=1﹣x﹣xlnx 得 h′(x)=﹣2﹣lnx, 当 0<x<e 时,h′(x)>0,h(x)递增,当 x>e 时,h′(x)<0,h(x)递减, ﹣2 ﹣2 ﹣2 则 h(x)的最大值为 h(e )=1+e ,故 1﹣x﹣xlnx≤e +1, x x 设 φ(x)=e ﹣(x+1) ,φ′(x)=e ﹣1,x>0 时,φ′(x)>0,φ(x)>0, φ(x)>φ(0)=0,则 x>0 时,φ(x)=e ﹣(x+1)>0 即 即 1﹣x﹣xlnx≤e +1<
﹣2 ﹣2 ﹣2 ﹣2

2

(1﹣x﹣xlnx) ,

(e +1) ,

﹣2

x

>1.

(e +1) ,

﹣2

故有对任意 x>0,f′(x)<

恒成立.

点评: 本题考查导数的运用:求切线方程和单调区间及极值、最值,运用分离参数和不等 式恒成立问题转化为不等式的传递性是解题的关键.


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