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惠州市第三中学2010-2011年高三第三次测试数学试卷(理)


惠州市第三中学 2010-2011 学年第一学期第三次测试

高三数学
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 20 题。满分 150 分。考试用时 120 分钟。 注意事项: 1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题纸上。 2.选择题每小题选出答案后,答在答题纸上 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题纸各题目指定区域内相应位置上;如需改 动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 4.考试结束后,将答题纸交回。

第Ⅰ卷(选择题,共 40 分)
一、选择题:(本大题共 8 小题,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)
1.设 P、Q 是两个非空集合,定义集合间的一种运算“⊙” :P⊙Q= { x | x ? 如果 P ? { x | y ? A
4 ? x }, Q ? { y | y ? 4 , x ? 0 } ,则 P⊙Q=
2 x

P ? Q ,且 x ? P ? Q }.

( ) D

2 (2,+ ? ) , ? x ? 0, 4 x? 2y ?3 ? 2.设 x,y 满足约束条件 ? y ? x , 则 的取值范围为( , ) x ?1 ?4 x ? 3 y ? 12. 6 ? B C [1,2] A. ?1, 5 ? B. ? 2 , 6 ? C. ? 2 ,1 0 ? D. ? 3,1 1 ? ) )

[ ? 2 ,1] ? ( 2 , ?? )

[ ? 2 ,1] ? [ 2 , ?? )

3.在等比数列 ? a n ? 中, a 1 ? 2 ,前 n 项和为 S n ,若数列 ? a n ? 1? 也是等比数列,则 S n 等于( (A)
2
n ?1

?2

(B) 3 n

(C) 2 n

(D)

3 ?1
n

4.不等式 f ( x ) ? a x 2 ? x ? c ? 0 的解集为 { x | ? 2 ? x ? 1} ,则函数 y ? f ( ? x ) 的图象为(

5.已知 OA ? x ? OB ? x ? OC ? 0 ( x ? R ) ,其中 A、B、C 三点共线,则满足条件的 x(
2



A.不存在 6. 已知直线
x? y ? a

B.有一个 与圆 ) (B) ? 2
x ? y ? 4
2 2

C.有两个

D.以上情况均有可能

??? ? ??? ? ??? ??? ? ? ??? ? ??? ? O A 、O B 满足 | O A ? O B | ? | O A ? O B | , 交于A、 两点, 是坐标原点, B O 向量

则实数a的值是( (A)2

(C) 6 或 ? 6

(D)2或 ? 2

7.如图,△PAB 所在的平面α 和四边形 ABCD 所在的平面β 互相垂直,且 AD ? ? , BC ? ? ,AD=4, BC=8,AB=6,若 tan ? ADP ? 2 tan ? BCP ? 10 ,则点 P 在平面 ? 内的轨迹是 A.圆的一部分 B.椭圆的一部分 C.双曲线的一部分 D.抛物线的一部分 ( )

8. 若函数 f ( x ) ? log a ( 2 x ? x )( a ? 0 , a ? 1) 在区间( 0, )内恒有 f ( x ) ? 0 , 则 f (x) 的单调递增区间是 (
2

1



2

A. ( ?? , ?

1 4

)

B. ( ?

1 4

, ?? )

C. ( ?? , ?

1 2

)

D. (0,+∞)

第Ⅱ卷(非选择题,共 110 分)
二、填空题:本大题共 6 小题,共 30 分.
9.酒杯的形状为倒立的圆锥,杯深 8cm,上口宽 6cm,水以 20 cm 2 s 的流量倒入杯中,当水深为 4cm 时,则水面升 高的瞬时变化率是 10.已知 a>b>0,则 a +
2

. 16

b(a-b)

的最小值是_________。
7 18

11 . 在 △ A B C 中 , A B ? B C , c o s B ? ?

.若以 A , B 为焦点的椭圆经过点 C ,则该椭圆的离心率

e?


an bn

12.已知数列 { a n } 的通项公式为 a n ? n ? ( ? 2 ) n ,则数列{ 条件(对充分性和必要性都要作出判断) .

}成等比数列是数列 { b n } 的通项公式为 b n ? n 的

13.棱长为 2 的正四面体的四个顶点都在同一个球面上,若过该球球心的一个截面如图 1,则图中三角形(正 四面体的截面)的面积是 14.给出下列四个结论: ① 函数 y ? sin x 在第一象限是增函数;② 函数 y
? co s x ? 1 2

的最小正周期是 ?

③若 a m ? b m , 则 a ? b ;④函数 f ( x ) ? x ? sin x (x ? R )有 3 个零点;
2 2

图 11

⑤对于任意实数 x,有 f ( ? x ) ? ? f ( x ), g ( ? x ) ? g ( x ), 且 x>0 时, f ? ( x ) ? 0, g ? ( x ) ? 0, 则 x<0 时 f ? ( x ) ? g ? ( x ). 其中正确结论的序号是 .(填上所有正确结论的序号)

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15(12 分)已知函数 f ( x ) ? sin ( x ? (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最小正周期; (Ⅱ)若函数 f ( x ) 在[?
2

?
6

) ? sin ( x ?

?
6

) ? c o s x ? a ( a ? R , a为 常 数 ) .



?
2

]上的最大值与最小值之和为 3 ,求实数 a 的值.

16. (本小题满分 12 分) 如图,三棱柱 ABC—A1B1C1 中,AA1⊥面 ABC,BC⊥AC,BC=AC=2,AA1=3,D 为 AC 的中点. (Ⅰ)求证:AB1//面 BDC1; (Ⅱ)求二面角 C1—BD—C 的余弦值;

(Ⅲ)在侧棱 AA1 上是否存在点 P,使得 CP⊥面 BDC1?并证明你的结论.

17、 (本小题满分 14 分)如图,已知椭圆的中心在原点,焦点在 x 轴上,长轴长是短轴长的 2 倍且经过点 M(2,1) , 平行于 OM 的直线 l 在 y 轴上的截距为 m(m≠0) l 交椭圆于 A、B 两个不同点。 , (1)求椭圆的方程; (2)求 m 的取值范围; (3)求证直线 MA、MB 与 x 轴始终围成一个等腰三角形。 错误!未找到引用源。

18.已知函数 f(x)=ax +bx -3x 在 x=±1 处取得极值. (Ⅰ)求函数 f(x)的解析式; (Ⅱ)求证:对于区间[-1,1]上任意两个自变量的值 x1,x2,都有|f(x1)-f(x2)|≤4; (Ⅲ)若过点 A(1,m) (m≠-2)可作曲线 y=f(x)的三条切线,求实数 m 的取值范围.
log
*

3

2

19 已知曲线 f ( x ) ?

2

( x ? 1)

x ?1

( x ? 0 ) 上有一点列 Pn ( x n , y n )( n ? N ) ,点 P n 在 x 轴上的射影是 Q n ( x n , 0 ) ,且
*

x n ? 2 x n ? 1 ? 1( n ? N ) , x 1 ? 1 .

(1)求数列 { x n } 的通项公式; (2)设四边形 Pn Q n Q n ? 1 Pn ? 1 的面积是 S n ,求证:
1 S1 ? 1 2S 2 ?? ? 1 nS
n

? 4

20 定义 F ( x , y ) ? (1 ? x ) , x , y ? ( 0 , ?? )
y

(1)令函数 f ( x ) ? F (1, log 2 ( x ? 4 x ? 9 )) 的图象为曲线 c1,曲线 c1 与 y 轴交于点 A(0,m) ,过坐标原点 O
2

作曲线 c1 的切线,切点为 B(n,t) (n>0)设曲线 c1 在点 A、B 之间的曲线段与 OA、OB 所围成图形的面 积为 S,求 S 的值; (2)当 x , y ? N 且 x ? y 时 , 证明 F ( x , y ) ? F ( y , x ).
*

惠州市第三中学 2010-2011 学年第一学期第三次测试

高三数学答案
一、选择题 二、填空题 9. 13.
80 9? cm s

ADCC

CDBC
c a 3 8

10.16

11. e ?

?

12. 必要不充分

2

14. ③⑤
?
6

三、解答题: 15.解: (Ⅰ)∵ f ( x ) ? 2 s in x c o s
? cos x ? a ?

3 sin x ? co s x ? a

? ? ? ? 2 s in ? x ? ??a 6 ? ?

????????4 分

∴函数 f ( x ) 的最小正周期 T ? 2 ?
? ?

?????????6 分
?
6 2? 3
? ?

(Ⅱ)∵ x ? ? ?
?
6

?
2

,

? ?
2? ?

,∴ ?

?
3

? x?

?

∴当 x ?

? ?

?
3

,即 x ? ?

?
2

时, f m in ? x ? ? f ? ?

? ?

?? ? 2 ?

3 ? a ??8 分

当x ?

?
6

?

?
2

,即 x ?

?
3

时, f m a x ? x ? ? f ?

?? ? ?? 2?a ? 3 ?

??10 分

由题意,有 ( ? 3 ? a ) ? ( 2 ? a ) ? ∴a ?
3 ?1

3

??12 分

16. (I)证明: 连接 B1C,与 BC1 相交于 O,连接 OD ∵BCC1B1 是矩形, ∴O 是 B1C 的中点. 又 D 是 AC 的中点, ∴OD//AB1.??????????????????2 分 ∵AB1 ? 面 BDC1,OD ? 面 BDC1, ∴AB1//面 BDC1.????????????????4 分 (II)解:如力,建立空间直角坐标系,则 C1(0,0,0) ,B(0,3,2) ,C(0,3,0) ,A(2,3,0) , D(1,3,0)????????5 分
设 n =(x1,y1,z1)是面 BDC1 的一个法向量,则
?n ? C B ? 0 ? 1 , ? ?n ? C1D ? 0 ?

即?

?3 y1 ? 2 z1 ? 0 ? x1 ? 3 y1 ? 0 ,

取 n ? (1, ?

1 1 , ) .????6 分 3 2

易知 C 1 C =(0,3,0)是面 ABC 的一个法向量.
? cos ? n , C 1 C ?? n ? C 1C | n | ? | C 1C | ? ?1 7 6 ?3 ? ? 2 7

.??????????8 分

∴二面角 C1—BD—C 的余弦值为

2 7

.????????????9 分

(III)假设侧棱 AA1 上存在一点 P(2,y,0) (0≤y≤3) ,使得 CP⊥面 BDC1.
? CP ? C B ? 0 ?3( y ? 3) ? 0 ? 1 ,即 ? ,? 则? ? 2 ? 3( y ? 3) ? 0 ? CP ? C 1 D ? 0 ? ?y ? 3 ? 7 ? ?y ? . 3 ?

∴方程组无解. ∴假设不成立. ∴侧棱 AA1 上不存在点 P,使 CP⊥面 BDC1.?????14 分

17. 解: (1)设椭圆方程为

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 ) ???????????1 分

?a ? 2b ? 2 ? ?a ? 8 解得 ? 则? 4 ????????????????3 分 1 ?b 2 ? 2 ? 2 ? 2 ?1 ? b ?a

∴椭圆方程为

x

2

?

y

2

? 1 ??????????????????4 分

8

2

(2)∵直线 l 平行于 OM,且在 y 轴上的截距为 m 又 KOM=
1 2

? l 的方程为:

y ?

1 2

x ? m ????????????????????5 分

1 ? y ? x? m ? ? 2 2 2 由? 2 ? x ? 2 mx ? 2 m ? 4 ? 0 ??????????????6 分 2 x y ? ? ?1 ? 8 2 ?

∵直线 l 与椭圆交于 A、B 两个不同点,
? ? ? (2m ) ? 4(2m
2 2

? 4) ? 0,

解得 ? 2 ? m ? 2 , 且 m ? 0 .......... .......... .......... .......... .......... ......... 8 分

(3)设直线 MA、MB 的斜率分别为 k1,k2,只需证明 k1+k2=0 即可????9 分 设 A ( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 ) 则 k1 ?
y1 ? 1 x1 ? 2

,k2 ?

y2 ? 1 x2 ? 2

由 x ? 2mx ? 2m ? 4 ? 0
2 2

x1 ? x 2 ? ? 2 m , x1 x 2 ? 2 m ? 4 ????????????????????10 分
2

而 k1 ? k 2 ?
1 2

y1 ? 1 x1 ? 2

?

y2 ? 1 x2 ? 2

?

( y 1 ? 1) ? ( x 2 ? 2 ) ? ( y 2 ? 1)( x1 ? 2 ) ( x1 ? 2 )( x 2 ? 2 )

( ?

x 1 ? m ? 1 )( x 2 ? 2 ) ? (

1 2

x 2 ? m ? 1 )( x 1 ? 2 )

( x 1 ? 2 )( x 2 ? 2 ) x 1 x 2 ? ( m ? 2 )( x 1 ? x 2 ) ? 4 ( m ? 1 ) ( x 1 ? 2 )( x 2 ? 2 ) 2m
2

?

?

? 4 ? ( m ? 2 )( ? 2 m ) ? 4 ( m ? 1 ) ( x 1 ? 2 )( x 2 ? 2 )

?

2m

2

? 4 ? 2m

2

? 4m ? 4m ? 4

( x 1 ? 2 )( x 2 ? 2 )

? 0 .......... .......... .......... .......... .......... .... 13 分

? k1 ? k 2 ? 0

故直线 MA、MB 与 x 轴始终围成一个等腰三角形.??????????14 分 18. 解: (I)f′(x)=3ax2+2bx-3,依题意,f′(1)=f′(-1)=0, 即?
?3a ? 2b ? 3 ? 0 ?3a ? 2b ? 3 ? 0 , ????????????????2 分

解得 a=1,b=0. ∴f(x)=x3-3x.????????????????????4 分 (II)∵f(x)=x3-3x,∴f′(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1), 当-1<x<1 时,f′(x)<0,故 f(x)在区间[-1,1]上为减函数, fmax(x)=f(-1)=2,fmin(x)=f(1)=-2??????????????6 分 ∵对于区间[-1,1]上任意两个自变量的值 x1,x2, 都有|f(x1)-f(x2)|≤|fmax(x) -fmin(x)| |f(x1)-f(x2)|≤|fmax(x)-fmin(x)|=2-(-2)=4????????????8 分 (III)f′(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1), ∵曲线方程为 y=x3-3x,∴点 A(1,m)不在曲线上. 设切点为 M(x0,y0) ,则点 M 的坐标满足 y 0 ? x 0 ? 3 x 0 .
3 2 因 f ? ( x 0 ) ? 3 ( x 0 ? 1) ,故切线的斜率为

3 ( x 0 ? 1) ?
2

x0 ? 3x0 ? m
3

x0 ? 1
2



整理得 2 x 0 ? 3 x 0 ? m ? 3 ? 0 .
3

∵过点 A(1,m)可作曲线的三条切线, ∴关于 x0 方程 2 x 0 ? 3 x 0 ? m ? 3 =0 有三个实根.????????10 分
3 2

设 g(x0)= 2 x 0 ? 3 x 0 ? m ? 3 ,则 g′(x0)=6 x 0 ? 6 x 0 ,
3 2 2

由 g′(x0)=0,得 x0=0 或 x0=1. ∴g(x0)在(-∞,0)(1,+∞)上单调递增,在(0,1)上单调递减. ,

∴函数 g(x0)= 2 x 0 ? 3 x 0 ? m ? 3 的极值点为 x0=0,x0=1??????12 分
3 2

∴关于 x0 方程 2 x 0 ? 3 x 0 ? m ? 3 =0 有三个实根的充要条件是
3 2

? g (0) ? 0 ,解得-3<m<-2. ? ? g (1 ) ? 0

故所求的实数 a 的取值范围是-3<m<-2.????????14 分
* 19. 解: (1)由 x n ? 2 x n ? 1 ? 1( n ? N ) 得 x n ? 1 ? 2 ( x n ? 1 ? 1) ∵ x 1 ? 1

, ∴ xn ? 1 ? 0 ,

故 { x n ? 1} 是公比为 2 的等比数列 ? x n ? 1 ? ( x 1 ? 1) ? 2
n *

n ?1

∴ x n ? 2 ? 1( n ? N ) .??????????????????????6 分 (2)∵ y n ? f ( x n ) ? ∴ | Q n Q n ? 1 |? ( 2
n ?1

log

2

(2
n

n

? 1 ? 1)

2

?1?1
n

?

n 2
n


n 2
n

? 1) ? ( 2

n

? 1) ? 2 , 而 | P n Q n | ?

, ???????9 分

∴四边形 Pn Q n Q n ? 1 Pn ? 1 的面积为:
Sn ? 1 2 (| Pn ? 1 Q n ? 1 | ? | Pn Q n |) ? | Q n Q n ? 1 | ? 1 n ?1 n 3n ? 1 n ( n ?1 ? n ) ? 2 ? 2 2 4 2

∴ 故

1 nS 1 S1
n

? ?

4 n ( 3 n ? 1) 1 ?? ?

? 1

12 3 n ( 3 n ? 1) ? 4 (1 ?

? 12 ( 1

1 3n

?

1 3n ? 1

) ? 12 (

1 3n

?

1 3n ? 3

) ? 4(

1 n

?

1 n ?1

),

2S2

nS n

n ?1

) ? 4 .?????????????????14 分

y 20. 解: (1)? F ( x , y ) ? (1 ? x )

? f ( x ) ? F (1, log

2

(x

2

? 4 x ? 9 )) ? 2

log

2

(x ?4 x?9)

2

? x

2

? 4 x ? 9 故 A(0,9)

????2 分
f ' ( x ) ? 2 x ? 4 ,过 O 作 C1 的切线,切点为 B ( n , t )( n ? 0 ) ,
?t ? n 2 ? 4 n ? 9 ? ??t 解得 B(3,6) ? ? 2n ? 4 ?n
?S ?

????4 分

?

3

(x

2

? 4 x ? 9 ? 2 x )dx ? (

1 3

x ? 3x
3

2

0

? 9 x ) |0 ? 9
3

????6 分

x

(2)令 h ( x ) ? 令 P (x) ?
? P '(x) ?
x

ln( 1 ? x ) x

( x ? 1)

h'(x) ?

1? x

? ln( 1 ? x ) x
2

????8 分

1? x

? ln( 1 ? x )( x ? 0 )

1 (1 ? x )
2

?

1 1? x

?

? x (1 ? x )
2

? 0

? P ( x ) 在 ?0 , ?? ? 单调递减。 ? 当 x ? 0时 , 有 P ( x ) ? P ( 0 ), ? 当 x ? 1时有 h ' ( x ) ? 0

? h ( x ) 在 ?1, ?? ? 上单调递减。
ln( 1 ? x ) x ln( 1 ? y ) y

????10 分

? 1 ? x ? y时 , 有

?

????12 分



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