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江苏专用2018版高考数学大一轮复习第二章函数概念与基本初等函数I2.3函数的奇偶性与周期性教师用书文


2.3 函数的奇偶性与周期性

1.函数的奇偶性 奇偶性 偶函数 一般地, 设函 数 y=f(x) 的定义域为 定义 如果对于任意的 x∈A,都有 f(-x)= 图象特点 关于 y 轴对称

f(x),那么称函数 y=f(x)是偶函数
如果对于任意的 x∈A,都有 f(-x)= -f(x), 那么称函数 y=f(x)是奇函数

奇函数

A

关于原点对称

2.周期性 (1)周期函数:对于函数 y=f(x),如果存在一个非零常数 T,使得当 x 取定义域内的任何值 时,都有 f(x+T)=f(x),那么就称函数 y=f(x)为周期函数,称 T 为这个函数的周期. (2)最小正周期:如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正 数就叫做 f(x)的最小正周期. 【知识拓展】 1.函数奇偶性常用结论 (1)如果函数 f(x)是偶函数,那么 f(x)=f(|x|). (2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性; 偶函数在两个对称的区间上具有相反的单 调性. (3)在公共定义域内有:奇±奇=奇,偶±偶=偶,奇×奇=偶,偶×偶=偶,奇×偶=奇. 2.函数周期性常用结论 对 f(x)定义域内任一自变量的值 x: (1)若 f(x+a)=-f(x),则 T=2a(a>0). (2)若 f(x+a)= 1 1

f?x?

,则 T=2a(a>0). ,则 T=2a(a>0).

(3)若 f(x+a)=- 【思考辨析】

f?x?

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)偶函数图象不一定过原点,奇函数的图象一定过原点.( × )

1

(2)若函数 y=f(x+a)是偶函数,则函数 y=f(x)关于直线 x=a 对称.( √ ) (3) 函数 f(x) 在定义域上满足 f(x + a) =- f(x) ,则 f(x) 是周期为 2a(a>0) 的周期函 数.( √ ) (4)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件.( √ ) (5)若 T 是函数的一个周期,则 nT(n∈Z,n≠0)也是函数的周期.( √ )

1.(教材改编)对于定义域是 R 的任意奇函数 f(x),下列结论正确的有________.(填序号) ①f(x)-f(-x)>0; ③f(x)·f(-x)≤0; 答案 ③ 解析 ①②显然不正确 . 对任意奇函数 f(x) ,有 f( - x) =- f(x) ,∴f(x)·f( - x) =-
2

②f(x)-f(-x)≤0; ④f(x)·f(-x)>0.

[f(x)] ≤0,故③正确,④不正确. 2.(教材改编)函数 y=f(x)为(-∞, +∞)上的偶函数, 且 f(|a|)=3, 则 f(-a)=________. 答案 3 解析 若 a≥0,则 f(-a)=f(a)=f(|a|)=3;若 a<0,则 f(-a)=f(|a|)=3.故对 a∈R, 总有 f(-a)=3. 3.(教材改编)若函数 f(x)=(x+1)(x-a)为偶函数,则 a=________. 答案 1 解析 ∵f(x)=(x+1)(x-a)=x +(1-a)x-a 为偶函数,∴f(-x)=f(x)对任意 x∈R 恒 成立, ∴(1-a)x=(a-1)x 恒成立, ∴1-a=0,∴a=1. 4.(教材改编)设函数 y=f(x)是偶函数,它在[0,1]上的图象如图所示,则它在[-1,0]上的 解析式为________.
2

答案 f(x)=x+2 解析 由题意知 f(x)在[-1,0]上为一条线段, 且过(-1,1)、(0,2),设 f(x)=kx+b, 代入解得 k=1,b=2.所以 f(x)=x+2. 5.(2016·四川)若函数 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的奇函数,当 0<x<1 时,f(x)=4 ,则
x

2

f?- ?+f(2)=________. 2
答案 -2 解析 ∵f(x)为定义在 R 上的奇函数,∴f(0)=0, 1 又 0<x<1 时,f(x)=4 ,∴f( )= 4 2 =2, 2
x

? 5? ? ?

1

? 5? ∴f?- ?+f(2) ? 2? ?5? =-f? ?+f(2) ?2? ?1? =-f? ?+f(0) ?2?
=-2+0=-2.

题型一 判断函数的奇偶性 例 1 (1)下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是________. ①y= 1+x ; 1 x ③y=2 + x; 2 答案 ④ 解析 ①中的函数是偶函数;②中的函数是奇函数;③中的函数是偶函数;只有④中的函数 既不是奇函数也不是偶函数.
? ?x +x,x<0, (2)判断函数 f(x)=? 2 ?-x +x,x>0 ?
2 2 2

1 ②y=x+ ;

x

④y=x+e .

x

的奇偶性.

解 当 x>0 时,-x<0,f(x)=-x +x, ∴f(-x)=(-x) -x=x -x =-(-x +x)=-f(x); 当 x<0 时,-x>0,f(x)=x +x, ∴f(-x)=-(-x) -x=-x -x =-(x +x)=-f(x). ∴对于 x∈(-∞,0)∪(0,+∞),均有 f(-x)=-f(x). ∴函数 f(x)为奇函数. 思维升华 (1)利用定义判断函数奇偶性的步骤
3
2 2 2 2 2 2 2

(2)分段函数奇偶性的判断,要注意定义域内 x 取值的任意性,应分段讨论,讨论时可依据 x 的范围取相应的解析式化简, 判断 f(x)与 f(-x)的关系, 得出结论, 也可以利用图象作判断. (1)(2016·北京海淀区模拟)下列函数中为偶函数的是________. 1 ①y= ;

x

②y=lg|x|;
2

③y=(x-1) ;

④y=2 .

x

(2)已知 f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,且 f(-1)+g(1)=2,f(1)+g(-1)=4,则 g(1)= ________. 答案 (1)② (2)3 解析 (1)②中,函数 y=lg|x|的定义域为{x|x≠0}且 lg|-x|=lg|x|, ∴函数 y=lg|x|是偶函数. (2)∵f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,f(-1)+g(1)=2,f(1)+g(-1)=4,∴-f(1)+g(1) =2,f(1)+g(1)=4,得 g(1)=3. 题型二 函数的周期性 例 2 (1)(2016·淮安模拟)已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,g(x)是定义在 R 上的奇函数, 且 g(x)=f(x-1),则 f(2 017)+f(2 019)=________. (2)已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,并且 f(x+2)=- 则 f(105.5)=______. 答案 (1)0 (2)2.5 解析 (1)由题意,得 g(-x)=f(-x-1), 又∵f(x)是定义在 R 上的偶函数,g(x)是定义在 R 上的奇函数, ∴g(-x)=-g(x),f(-x)=f(x), ∴f(x-1)=-f(x+1), ∴f(x)=-f(x+2),∴f(x)=f(x+4), ∴f(x)的周期为 4, ∴f(2 017)=f(1),f(2 019)=f(3)=f(-1), 又∵f(1)=f(-1)=g(0)=0, ∴f(2 017)+f(2 019)=0.
4

1

f?x?

,当 2≤x≤3 时,f(x)=x,

(2)由已知,可得 f(x+4)=f[(x+2)+2] =- 1 1 =- =f(x). f?x+2? 1 - f?x?

故函数的周期为 4. ∴f(105.5)=f(4×27-2.5)=f(-2.5)=f(2.5). ∵2≤2.5≤3,由题意,得 f(2.5)=2.5.∴f(105.5)=2.5. 引申探究 例 2(2)中,若将 f(x+2)=- 值为________. 答案 2.5 解析 f(x+4)=f[(x+2)+2]=-f(x+2)=f(x), ∴函数的周期为 4(下同例题). 思维升华 函数的周期性反映了函数在整个定义域上的性质.对函数周期性的考查, 主要涉及 函数周期性的判断,利用函数周期性求值. 定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x+6)=f(x),当-3≤x<-1 时,f(x)=-(x+ 2) ;当-1≤x<3 时,f(x)=x.则 f(1)+f(2)+f(3)+?+f(2 018)=________. 答案 339 解析 ∵f(x+6)=f(x),∴T=6. ∵当-3≤x<-1 时,f(x)=-(x+2) ; 当-1≤x<3 时,f(x)=x, ∴f(1)=1,f(2)=2,f(3)=f(-3)=-1,
2 2

1 改为 f(x+2)=-f(x),其他条件不变,则 f(105.5)的 f?x?

f(4)=f(-2)=0,f(5)=f(-1)=-1, f(6)=f(0)=0,
∴f(1)+f(2)+?+f(6)=1, ∴f(1)+f(2)+f(3)+?+f(2 015)+f(2 016) 2 016 =1× =336. 6 又 f(2 017)=f(1)=1,f(2 018)=f(2)=2, ∴f(1)+f(2)+f(3)+?+f(2 018)=339. 题型三 函数性质的综合应用 命题点 1 解不等式问题 例 3 (1)(2016·南通模拟)已知偶函数 f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,则满足 f(2x-

5

1 1)<f( )的 x 的取值范围是____________. 3 2a-3 (2)已知 f(x)是定义在 R 上的以 3 为周期的偶函数,若 f(1)<1,f(5)= ,则实数 a 的 a+1 取值范围为______. 1 2 答案 (1)( , ) 3 3 (2)(-1,4)

解析 (1)因为 f(x)是偶函数,所以其图象关于 y 轴对称,又 f(x)在[0,+∞)上单调递增,

f(2x-1)<f( ),
1 1 2 所以|2x-1|< ,所以 <x< . 3 3 3 (2)∵f(x)是定义在 R 上的周期为 3 的偶函数, ∴f(5)=f(5-6)=f(-1)=f(1), 2a-3 2a-3 a-4 ∵f(1)<1,f(5)= ,∴ <1,即 <0, a+1 a+1 a+1 解得-1<a<4. 命题点 2 求参数问题 例 4 (1)函数 f(x)=lg(a+ 2 )为奇函数,则实数 a=________. 1+x

1 3

(2) 设 f(x) 是 定 义 在 R 上 且 周 期 为 2 的 函 数 , 在 区 间 [ - 1 , 1] 上 , f(x) =

ax+1,-1≤x<0, ? ? ?bx+2 ,0≤x≤1, ? ? x+1
答案 (1)-1 (2)-10

?1? ?3? 其中 a,b∈R.若 f? ? =f? ?,则 a+3b 的值为________. ?2? ?2?

解析 (1)根据题意得,使得函数有意义的条件为 a+ 得 f(0)=0.

2 >0 且 1+x≠0,由奇函数的性质可 1+x

所以 lg(a+2)=0,即 a=-1,经检验 a=-1 满足函数的定义域. (2)因为 f(x)是定义在 R 上且周期为 2 的函数,

?3? ? 1? 所以 f? ?=f?- ?且 f(-1)=f(1), ?2? ? 2? ?1? ? 1? 故 f? ?=f?- ?, ?2? ? 2?
1 b+2 2 1 从而 =- a+1, 1 2 +1 2
6

即 3a+2b=-2. 由 f(-1)=f(1),得-a+1= 即 b=-2a. 由①②得 a=2,b=-4,从而 a+3b=-10.



b+2
2

, ②

思维升华 (1)关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题,关键是利用奇偶性和周期性将未 知区间上的问题转化为已知区间上的问题. (2)掌握以下两个结论,会给解题带来方便: ①f(x)为偶函数?f(x)=f(|x|).②若奇函数在 x=0 处有意义,则 f(0)=0. (1)若 f(x)=ln(e +1)+ax 是偶函数,则 a=________. (2)奇函数 f(x)的定义域为 R.若 f(x+2)为偶函数,且 f(1)=1,则 f(8)+f(9)=________. 3 答案 (1)- 2 (2)1
3x -3x 3x

解析 (1)函数 f(x)=ln(e +1)+ax 是偶函数,故 f(-x)=f(x),即 ln(e ln(e +1)+ax,化简得 ln 即 1+e 2ax 3x 6x=e , e +e
3x 2ax+3x 3x 3x

+1)-ax=

1+e 2ax 3x 6x=2ax=ln e , e +e

3x

整理得 e +1=e 3 解得 a=- . 2

(e +1),所以 2ax+3x=0,

3x

(2)由 f(x+2)是偶函数可得 f(-x+2)=f(x+2), 又由 f(x)是奇函数得 f(-x+2)=-f(x-2), 所以 f(x+2)=-f(x-2),f(x+4)=-f(x),

f(x+8)=f(x),
故 f(x)是以 8 为周期的周期函数, 所以 f(9)=f(8+1)=f(1)=1, 又因为 f(x)是定义在 R 上的奇函数, 所以 f(0)=0,所以 f(8)=f(0)=0,故 f(8)+f(9)=1.

2.抽象函数问题

考点分析 抽象函数问题在高考中也时常遇到,常常涉及求函数的定义域,由函数的周期性 求函数值或判断函数的奇偶性等.一般以填空题来呈现,有时在解答题中也有所体现.此类题

7

目较为抽象,易失分,应引起足够重视. 一、抽象函数的定义域 典例 1 已知函数 y=f(x)的定义域是[0,8],则函数 g(x)=

f?x2-1? 的定义域为 2-log2?x+1?

________. 解析 要使函数有意义, 0≤x -1≤8, ? ? 需使?x+1>0, ? ?2-log2?x+1?≠0,
2

1≤x ≤9, ? ? 即?x>-1, ? ?x≠3,

2

解得 1≤x<3,所以函数 g(x)的定义域为[1,3). 答案 [1,3) 二、抽象函数的函数值 典例 2 若定义在实数集 R 上的偶函数 f(x)满足 f(x)>0,f(x+2)= 成立,则 f(2 019)=________. 解析 因为 f(x)>0,f(x+2)= 所以 f(x+4)=f[(x+2)+2]= 1 , f?x? 1 1 ,对任意 x∈R 恒 f?x?

f?x+2?



1 =f(x), 1 f?x?

即函数 f(x)的周期是 4, 所以 f(2 019)=f(505×4-1)=f(-1). 因为函数 f(x)为偶函数, 所以 f(2 019)=f(-1)=f(1). 当 x=-1 时,f(-1+2)= 1

f?-1?

,得 f(1)=

1

f?1?

.

即 f(1)=1,所以 f(2 019)=f(1)=1. 答案 1 三、抽象函数的单调性与不等式 典例 3 设函数 f(x)是定义在(0, +∞)上的增函数, 且满足 f(xy)=f(x)+f(y).若 f(3)=1, 且 f(a)>f(a-1)+2,求实数 a 的取值范围. 规范解答 解 因为 f(xy)=f(x)+f(y)且 f(3)=1, 所以 2=2f(3)=f(3)+f(3)=f(9). 又 f(a)>f(a-1)+2,所以 f(a)>f(a-1)+f(9). 再由 f(xy)=f(x)+f(y),可知 f(a)>f[9(a-1)],
8

因为 f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,

a>0, ? ? 从而有?9?a-1?>0, ? ?a>9?a-1?,

9 解得 1<a< . 8

9 故所求实数 a 的取值范围是(1, ). 8

1.(教材改编)已知 f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,且 f(x)+g(x)=x +x-2,则 f(x)= ____________. 答案 x -2 解析 f(-x)+g(-x)=x -x-2, 由 f(x)是偶函数,g(x)是奇函数, 得 f(x)-g(x)=x -x-2, 又 f(x)+g(x)=x +x-2, 两式联立得 f(x)=x -2. 2.(2016·苏州模拟)设 f(x)是 R 上的任意函数,则下列叙述正确的有________.(填序号) ①f(x)f(-x)是奇函数; ②f(x)|f(-x)|是奇函数; ③f(x)-f(-x)是奇函数; ④f(x)+f(-x)是偶函数. 答案 ③④ 解析 对于①,设 g(x)=f(x)f(-x),
2 2 2 2 2

2

g(-x)=f(-x)f(x)=g(x),∴f(-x)f(x)是偶函数;
对于②,设 g(x)=f(x)|f(-x)|,

g(-x)=f(-x)|f(x)|≠g(x),g(-x)≠-g(x),
∴f(x)|f(-x)|是非奇非偶函数; 对于③,设 g(x)=f(x)-f(-x),

g(-x)=f(-x)-f(x)=-[f(x)-f(-x)]=-g(x),
∴f(x)-f(-x)是奇函数; 对于④,设 g(x)=f(x)+f(-x),

g(-x)=f(-x)+f(x)=g(x),
∴f(x)+f(-x)是偶函数. 3.已知 f(x)在 R 上是奇函数,且满足 f(x+4)=f(x),当 x∈(-2,0)时,f(x)=2x ,则 f(2
9
2

019)=________. 答案 2 解析 由 f(x+4)=f(x)知,f(x)是周期为 4 的周期函数,f(2 019)=f(504×4+3)=f(3), 又 f(x+4)=f(x),∴f(3)=f(-1), 由-1∈(-2,0)得 f(-1)=2, ∴f(2 019)=2. 2 -k·2 4.(2016·南京模拟)若函数 f(x)= x -x(k 为常数)在定义域内为奇函数,则 k 的值为 2 +k·2 ________. 答案 ±1 2 -k·2 解析 依题意,得 f(-x)= -x x 2 +k·2 2 -k·2 2 =- x -x,整理得 k =1,k=±1. 2 +k·2 π ? ?cos x?0<x≤8?, 6 5.已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且当 x>0 时,f(x)=? ? ?log2x?x>8?,
x
-x -x

x

-x

x



f(f(-16))=________.
答案 1 2

解析 由题意 f(-16)=-f(16)=-log216=-4, 故 f(f(-16))=f(-4)=-f(4)=-cos
2

4π 1 = . 6 2

6.(2016·盐城模拟)已知 f(x)=ax +bx 是定义在[a-1,2a]上的偶函数,那么 a+b 的值是 ________. 答案 1 3

解析 依题意得 f(-x)=f(x), ∴b=0,又 a-1=-2a, 1 1 ∴a= ,∴a+b= . 3 3
? ?log2x,x>0, 7.(2017·苏北四市联考)已知函数 f(x)=? ?g?x?,x<0, ?

1 若 f(x)为奇函数,则 g(- )= 4

________. 答案 2

10

1 1 1 解析 g(- )=f(- )=-f( ) 4 4 4 1 -2 =-log2 =-log22 =2. 4 8.(2016·常州模拟)已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,f(x+1)是偶函数,则 f(1)+f(2)+

f(3)+f(4)=________.
答案 0 解析 由 f(x+1)是偶函数得 f(-x+1)=f(x+1),又 f(x)是定义在 R 上的奇函数,所以

f(-x+1)=-f(x-1),即-f(x-1)=f(x+1),所以 f(x+2)=-f(x),即 f(x)+f(x+2)
=0,所以 f(1)+f(3)=0,f(2)+f(4)=0,因此 f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0. 9.函数 f(x)在 R 上为奇函数,且当 x>0 时,f(x)= x+1,则当 x<0 时,f(x)=________. 答案 - -x-1 解析 ∵f(x)为奇函数,当 x>0 时,f(x)= x+1, ∴当 x<0 时,-x>0,

f(-x)= -x+1=-f(x),
即 x<0 时,f(x)=-( -x+1)=- -x-1. 10.(2016·南京模拟)若函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且在区间[0,+∞)上是单调递增 1 函数.如果实数 t 满足 f(ln t)+f(ln )≤2f(1),那么 t 的取值范围是________.

t

1 答案 [ ,e] e 解析 由于函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数, 1 所以 f(ln t)=f(ln ),

t

1 由 f(ln t)+f(ln )≤2f(1),

t

得 f(ln t)≤f(1). 又函数 f(x)在区间[0,+∞)上是单调递增函数, 1 所以|ln t|≤1,即-1≤ln t≤1,故 ≤t≤e. e 11.(2016·江苏苏北四市二调)定义在 R 上的奇函数 f(x)满足当 x≥0 时,f(x)=log2(x+2) +(a-1)x+b(a,b 为常数),若 f(2)=-1,则 f(-6)的值为________. 答案 4 解析 由已知得 f(0)=0=1+b, ∴b=-1, 又 f(2)=2+2(a-1)-1=-1, ∴a=0, ∴f(x) =log2(x+2)-x-1(x≥0),∴f(-6)=-f(6)=-3+6+1=4. 12.(2016·江苏扬州中学开学考试)已知 f(x)是定义在[-2,2]上的奇函数,且当 x∈(0,2]
11

时,f(x)=2 -1,函数 g(x)=x -2x+m,如果? x1∈[-2,2],? x2∈[-2,2],使得 g(x2) =f(x1),则实数 m 的取值范围是____________. 答案 [-5,-2] 解析 ∵f(x)是定义在[-2,2]上的奇函数, ∴f(0)=0, 当 x∈(0,2]时,f(x)=2 -1 的值域为(0,3], ∴当 x∈[-2,2]时,f(x)的值域为[-3,3], 若? x1∈[-2,2],? x2∈[-2,2],使得 g(x2)=f(x1), 则 g(x)max≥3 且 g(x)min≤-3, ∵g(x)=x -2x+m=(x-1) +m-1, ∴当 x∈[-2,2]时,
2 2

x

2

x

g(x)max=g(-2)=8+m,g(x)min=g(1)=m-1,
故 8+m≥3 且 m-1≤-3, 解得 m≥-5 且 m≤-2, 故-5≤m≤-2. 13.设 f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,f(x+2)=-f(x),当 0≤x≤1 时,f(x)=x. (1)求 f(π )的值; (2)当-4≤x≤4 时,求 f(x)的图象与 x 轴所围成图形的面积. 解 (1)由 f(x+2)=-f(x),得

f(x+4)=f[(x+2)+2]=-f(x+2)=f(x),
∴f(x)是以 4 为周期的周期函数. ∴f(π )=f(-1×4+π )=f(π -4) =-f(4-π )=-(4-π )=π -4. (2)由 f(x)是奇函数与 f(x+2)=-f(x), 得 f[(x-1)+2]=-f(x-1)=f[-(x-1)], 即 f(1+x)=f(1-x). 从而可知函数 y=f(x)的图象关于直线 x=1 对称. 又当 0≤x≤1 时,f(x)=x,且 f(x)的图象关于原点成中心对称, 则 f(x)的图象如图所示.

1 设当-4≤x≤4 时,f(x)的图象与 x 轴围成的图形面积为 S,则 S=4S△OAB=4×( ×2×1)=4 2
12



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