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高二年级秋季学期期中考试理科数学试题附答案


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湖北省黄冈中学秋季高二数学期中考试试题(理)
命题:胡华川 审稿:曾建民 校对:冯小玮

一、选择题: 本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中, (
只有一项是符合题目要求的) . 1.直线 y ? 0 与直线 x ? y ? 2 ? 0 的夹角 A.

? 4

B.

? 3

C.

? 2

D.

3? 4

2.若图中的直线 l1、 l2、 l3 的斜率分别为 k1、 k 2、 k3 ,则有:

A. k1 ? k 2 ? k3 B. k3 ? k1 ? k 2 C. k3 ? k 2 ? k1
D. k1 ? k3 ? k 2

3.椭圆

x2 16

?

y2 12

? 1 上一点到其焦点 F1 的距离为 3,则该点到椭圆另一焦点 F2 的距离为
B.9 C.5 D. 1

A.13

4.若直线 ax ? y ? 1 ? 0 与直线 4 x ? (a ? 3) y ? 4 ? 0 平行,则实数 a 的值等于 A.4 B.4 或 ?1 C.
3 5

D. ?

3 2

5.若不等式 | ax ? 2 |? 6 的解集为(-1,2),则实数 a 等于 A.8
2 2

B.2

C.-4

D.-8

6.曲线 x ? y ? 4 与曲线 ? 程为 A. y ? x ? 2
2 2

? x ? ? 2 ? 2 cos ? ? y ? 2 ? 2 sin ?

( ? ? [0, 2? ) ) ,关于直线 l 对称,则直线 l 的方

B. x ? y ? 0

C. x ? y ? 2 ? 0

D. x ? y ? 2 ? 0

7.若圆 x ? y ? 6 x ? 2 y ? 6 ? 0 上有且仅有三个点到直线 ax ? y ? 1 ? 0 (a 是实数)的距离 为 1,则 a 等于 A.
2 4

B. ?

2 4

C. ? 2
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D. ?

3 2

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8.已知关于 x 的不等式 A. ?? ? ,2 ?

a?x x ? 5x ? 6
2

? 0 的解集是 ?2, a ? ? ?3,?? ? , 则 a 的取值范围是
C. ?3,?? ? D. ?2,3?

B. ?2,3?

9.如果椭圆

x2 a2

?

y2 b2

? 1( a ? b ? 0) 上存在一点 P ,使点 P 到左准线的距离与它到右焦点的距

离相等,那么椭圆的离心率的范围是 A. (0, 2 ? 1] B. [ 2 ? 1,1) C. (0, 3 ? 1] D. [ 3 ? 1,1)

10.经济学中的“蛛网理论”(如下图) ,假定某种商品的“需求—价格”函数的图像为直线 l1 ,“供 给—价格”函数的图像为直线 l 2 ,它们的斜率分别为 k 1 , k 2 , l1 与 l 2 的交点 P 为“供给—需求”平 衡点,在供求两种力量的相互作用下,该商品的价格和产销量,沿平行于坐标轴的“蛛网”路径, 箭头所指方向发展变化,最终能否达于均衡点 P ,与直线 l1 、 l 2 的斜率满足的条件有关,从下 列三个图中可知最终能达于均衡点 P 的条件为 A. k1 ? k 2 ? 0
价格

B. k1 ? k 2 ? 0

C. k1 ? k 2 ? 0

D. k 1 ? k 2 可取任意实数
价格

l1
P

价格

l1
P

l2
P

l1

l2
O
(图 1) 需求/供给量

l2
O
(图 2) 需求/供给量

O
(图 3)

需求/供给量

二、填空题: (本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在题中横线上) .
11.倾斜角为

2? 3

且在 y 轴上截距为 2 的直线方程是______

______. .

12. 中心在坐标原点, 离心率为
2 2

4 5

的椭圆的一个焦点为 (0, 4) , 则此椭圆的准线方程是____

13.已知圆 C: x ? y ? 1 ,点 A ? ? 2, 0 ? 及点 B (3, a ) ,从 A 点观察 B 点,要使视线不被圆 C 挡住,则实数 a 的取值范围是 __
2 2



14.过点(1, 2)的直线 l 将圆 ( x ? 2) ? y ? 4 分成两段弧,当劣弧所对的圆心角最小时, 直线 l 的斜率 k = __ .

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?y ? 2 ? 15. 由实数 x, y 满足不等式组 ? x ? 1 所确定的可行域内, 若目标函数 z ? ? x ? y 仅在 ? y ? kx ? 3k ? 2 ?
点 (3, 2) 取得最小值,则正实数 k 的取值范围是 .

答题卡
题号 答案 题号 答案 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

三、解答题:(

本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明或演算步骤.)

16.(本小题 12 分) 若 | a |? 1 , | b |? 1 ,试比较 | a ? b | ? | a ? b | 与 2 的大小关系.

17.(本小题 12 分) 已知 ?ABC 的顶点 B ( ?1,?3) , AB 边上高线 CE 所在直线的方程为 x ? 3 y ? 1 ? 0 , BC 边上中线 AD 所在的直线方程为 8 x ? 9 y ? 3 ? 0 . (Ⅰ)求直线 AC 的方程; (Ⅱ)求直线 AB 到直线 BC 的角的正切值.

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18.(本小题 12 分) 已知圆 C : x ? y ? 2 x ? 4 y ? 3 ? 0 .圆 C 外有一动点 P,点 P 到圆 C 的
2 2

切线长等于它到原点 O 的距离. (Ⅰ)求点 P 的轨迹方程; (Ⅱ)当点 P 到圆 C 的切线长最小时,切点为 M,求∠MPC 的值.

19. (本小题 12 分) 某研究所计划利用“神七”宇宙飞船进行新产品搭载实验, 计划搭载新产品 A 、 B ,该所要根据该产品的研制成本、产品重量、搭载实验费用、和预计产生收益来决定具体安 排.通过调查,有关数据如下表: 产品 A (件) 产品 B (件) 研制成本、搭载 费用之和 (万元) 产品重量 (千克) 预计收益 (万元) 20 10 80 30 5 60 计划最大资金额 300 万元 最大搭载重量 110 千克

试问:如何安排这两种产品的件数进行搭载,才能使总预计收益达到最大,最大收益是多少?

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20.(本小题 13 分) 已知椭圆的中心在原点,一个焦点为 F1 ( 0, ?2 2 ) ,对应的准线为

y??

9 2 4

,离心率 e 满足

2 3

, e,

4 3

成等比数列.

(Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ) 是否存在直线 l , l 与椭圆交于不同的两点 A, B , 使 且线段 AB 恰好被直线 x ? ? 若存在,求出直线 l 的倾斜角 ? 的取值范围;若不存在,说明理由.

1 2

平分?

21.(本小题 14 分) 已知点 F (0 , 1) ,一动圆过点 F 且与圆 x ? ( y ? 1) ? 8 内切.
2 2

(Ⅰ)求动圆圆心的轨迹 C 的方程; (Ⅱ)设点 A(a , 0) ,点 P 为曲线 C 上任一点,求点 A 到点 P 距离的最大值 d (a ) ; (Ⅲ)在 0 ? a ? 1 的条件下,设△ POA 的面积为 S 1( O 是坐标原点, P 是曲线 C 上横坐标为 ,以 a 的点) d (a ) 为边长的正方形的面积为 S 2 .若正数 m 满足 S1 ? mS 2 ,问 m 是否存在最小 值,若存在,请求出此最小值,若不存在,请说明理由.

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湖北省黄冈中学 2008 年秋季高二数学期中考试(理)参考答案
1.A 题意即求直线 x ? y ? 2 ? 0 与 x 的夹角,易知倾斜角为 2.D 有图像观察易知 k1 ? k3 ? k 2 . 3.C 由椭圆的定义知椭圆上一点到两焦点距离之和为 8,一个为 3 时,另一个为 5. 4.A 两直线平行,则 a ( a ? 3) ? 4 ,解得 a ? ?1 或 4,但当 a ? ?1 时,两直线重合. 5.C 由 | ax ? 2 |? 6 得 ?8 ? ax ? 4 ,要解集为(-1,2) ,则 a ? ?4 . 6.D 两圆圆心 (0, 0) 、 ( ?2, 2) 关于直线 l 对称,易求直线为 x ? y ? 2 ? 0 .

3? 4

,所以夹角为

? . 4

7.B 由题意:圆心(3,1)到直线的距离是 1, 8.D 由根轴法易知 a ? ? 2, 3 ? .

| 3a ? 1 ? 1 | a ?1
2

? 1 ,解得 a ? ?

2 4



9.B 由题意得:

2a ,又 a ? c ?| PF1 |? a ? c ,所以 1 e 1? e 2a 2 1 1 a?c ? ? a ? c ? 1? e ? ? 1 ? e ? (1 ? e )(1 ? ) ? 2 ? (1 ? e )(1 ? ) 1 1 e e 1? 1? e e ? 2 a ? | PF1 |?| PF1 |?
2 ? 1 ,结合椭圆中 e 的范围得: e ? [ 2 ? 1,1) .

| PF1 |

解得 e ?

10.A 图 1 中最终能达到均衡点 P ,当 k1 ? k 2 ? 0 时,就得到图 2 所示,要得到图 1 , 则满足 k1 ? ? k 2 ,即 k1 ? k 2 ? 0 . 11. y ? ? 3 x ? 2 直线斜率为 ? 3 且过点 (0, 2) ,所以直线为 y ? ? 3 x ? 2 .

12.由题意知焦点在 y 轴上, c ? 4 且 13. ( ?? , ?

c a

?

4 5

解得 a ? 5 ,所以得准线方程为 y ? ?

25 4



5 3

3) ? (

5 3

3, ?? ) 过点 A ? ? 2, 0 ? 作圆 x 2 ? y 2 ? 1 的切线得: y ? ?
5 3 3
,要视线不被挡住,则实数 a 的取值范围是

3 3

( x ? 2) ,

当 x ? 3 时, y ? ?

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( ?? , ?

5 3

3) ? (

5 3

3, ?? )

14.

2 2

由题意知点在圆内,所以当过点的弦垂直于过此点的直径时,弦所对的劣弧所对的
'

圆心角最小,过此点的直径的斜率为 k ?

2 ?0 1? 2

? ? 2 ,所以直线 L 的斜率

k??

1 k'

?

2 2

. y 2

15. (0,1)

?y ? 2 ? 当恰有 k ? 1 时,不等式组 ? x ? 1 ? y ? k ( x ? 3) ? 2 ?
因 为 直 线 y ? k ( x ? 3) ? 2 恒 过 点

(3, 2)

确定的可行域如下: 的斜 率 k ? (0,1) .

(3, 2) ,要仅在点 (3, 2) 取得最小值,则直线 y ? k ( x ? 3) ? 2

o

1

x

16.解: (法 1) :若 ( a ? b)( a ? b) ? 0 ,则 | a ? b | ? | a ? b |?| ( a ? b) ? ( a ? b) |? 2 | a |? 2 , 若 ( a ? b)( a ? b) ? 0 ,则 | a ? b | ? | a ? b |?| ( a ? b) ? ( a ? b) |? 2 | b |? 2 所以综上得 | a ? b | ? | a ? b |? 2 . (法 2) :显然 | a ? b | ? | a ? b | 与 2 都为正,所以可以先比较 (| a ? b | ? | a ? b |) 与 2 的大小,
2

? 4a 2 ? 4 ? (| a ? b | ? | a ? b |) ? 2 a ? 2b ? 2 | a ? b |? ? 2 ? 4b ? 4 ?
2 2 2 2 2

(| a |?| b |) (| a |?| b |)

,即有同上结论.

?8 x ? 9 y ? 3 ? 0 ? 17. (Ⅰ)设点 A( x, y ) ,则 ? y ? 3 1 ,解得 x ? ?3, y ? 3 ,故点 A 的坐标为 (?3,3) . ? x ? 1 ? 3 ? ?1 ? ? m ? 3n ? 1 ? 0 ? 设点 C ( m, n) ,则 ? m ? 1 解得 m ? 4, n ? 1 ,故 C ( 4,1) , n?3 ?8 ? 2 ? 9 ? 2 ? 3 ? 0 ? 又因为 A(?3,3) ,所以直线 AC 的方程为 2 x ? 7 y ? 15 ? 0 . 4 (Ⅱ)因为 A(?3,3) , B ( ?1,?3) , C ( 4,1) ,所以 k BC ? , k AB ? ?3 , 5 4 ?3 k BC ? k AB 19 5 ? ?? 故直线 AB 到直线 BC 的角的正切值 tan ? ? . 12 1 ? k BC ? k AB 7 1? 5

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18. (Ⅰ)设 P ( x, y ) ,圆 C : ( x ? 1) ? ( y ? 2) ? 2 ,依题意有
2 2

[ (x ? 12) ? y ? 2 ) ?] ( 2

? x( 2 2

2 ?y 2 ,化简得: 2 x ? 4 y ? 3 ? 0 )

(Ⅱ)设切线长为 | PM | ,点 P 到圆心的距离为 | PC | ,则有: | PM |? 此可知要切线长 | PM | 最小,则点 P 到圆心的距离 | PC | 最小,

| PC |2 ? ( 2 ) 2 ,由

而点 P 到圆心的距离 | PC | 最小值即为圆心 C 到(Ⅰ)中的直线 2 x ? 4 y ? 3 ? 0 的距离, 即 | PC |min ?

| 2 ? ( ?1) ? 4 ? 2 ? 3 | 20

?

7 20

,所以 sin ? MPC ?

2 2 10 ? 7 7 20

又∠MPC 为锐角,所以 ? MPC ? arc sin 19.解:设搭载产品 A x 件,产品 B y 件, 预计收益 z ? 80 x ? 60 y . 20x+30y≤300, 10x+5y≤110, 则 作出可行域,如图; x≥0, y≥0, 作出直线 lo : 4 x ? 3 y ? 0 并平移

2 10 7



y 20 0 10 0 M 2x+3y=30

2x+y=22

? ? ?

o

10

20

x

由图象得,当直线经过 M 点时能 z 取得最大值,
?2x+3y=30, ?x=9, ? 解得? 即 M (9, 4) , ?2x+y=22, ?y=4,

所以 z=80× 9+60× 4=960(万元) 答:应供应产品 A 9 件,产品 B 4 件,可使得利润最多达到 960 万元.

2 2 2 4 8 . ? ? ,所以 e ? 3 3 3 9 设椭圆上任意一点 P 的坐标为 ( x , y ) ,则由椭圆的第二定义得,
20.解 : (Ⅰ)由题意知, e ?
2

x2 ? ( y ? 2 2)2 y? 9 2 4

?

2 2 3

,化简得 x ?
2

y2 9

? 1 ,故所求椭圆方程为 x 2 ?

y2 9

? 1.

(Ⅱ)设 A( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 ) , AB 中点 M ( x 0 , y 0 ) ,依题意有

x1 ? x 2 1 ? ?? ? x0 ? ? x1 ? x 2 ? ? 1 ? 2 2 ,可得 ? . ? y1 ? y 2 ? y1 ? y 2 ? 2 y 0 ?y ? ? 0 2 ?
若直线 l 存在,则点 M 必在椭圆内,故 ( ? ) ?
2

1

y0 9

2

2

? 1 ,解得 0 ? y 0 ?

3 3 2

或?

3 3 2

? y0 ? 0 .

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? 2 ? x1 ? ? 将 A( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 ) 代入椭圆方程,有 ? ? 2 ?x2 ? ? ( y ? y1 )( y 2 ( 2) ? (1) 得, ( x 2 ? x1 )( x 2 ? x1 ) ? 2 9 y ? y1 9( x 2 ? x1 ) 9 ? ( ?1) ?? ?? 故 k AB ? 2 , x 2 ? x1 y 2 ? y1 2 y0
则有 0 ?

y1 9

2

? 1 (1)
2

? 1 ( 2) 9 ? y1 ) ? 0,
所以 y 0 ?

y2

9 2 k AB



9 2 k AB

?

3 3 2

或?

3 3 2

?

9 2 k AB

? 0,

解得 k AB ?

3或 k AB ? ? 3 ,

故存在直线 l 满足条件,其倾斜角 ? ? (

? ?
3 2 ,

)?(

? 2?
2 , 3

).

21.解(Ⅰ)设动圆圆心为 M ( x , y ) ,半径为 r ,已知圆圆心为 E (0,?1) , 由题意知 | MF |? r , | ME |? 2 2 ? r ,于是 | ME | ? | MF |? 2 2 , 所以点 M 的轨迹 C 是以 E 、 F 为焦点,长轴长为 2 2 的椭圆,其方程为 x ?
2

? 1. 2 2 2 2 2 2 2 2 (Ⅱ)设 P ( x, y ) ,则 | PA | ? ( x ? a ) ? y ? ( x ? a ) ? 2 ? 2 x ? ? x ? 2 ax ? a ? 2
? ? ( x ? a ) 2 ? 2 a 2 ? 2 ,令 f ( x ) ? ? ( x ? a ) 2 ? 2 a 2 ? 2 , x ? [?1 , 1] ,所以,
当 ? a ? ?1 ,即 a ? 1 时 f ( x ) 在 [? 1 , 1] 上是减函数, ? f ( x ) ?max ? f ( ?1) ? ( a ? 1) ;
2

y2

当 ? 1 ? ? a ? 1 ,即 ? 1 ? a ? 1 时, f ( x ) 在 [ ?1 ,? a ] 上是增函数,在 [ ? a , 1] 上是减函数,则 当 ? a ? 1 ,即 a ? ?1 时, f ( x ) 在 [?1,1] 上是增函数, ? f ( x ) ?max ? f (1) ? ( a ? 1) .
2

? f ( x )?max

? f (a ) ? 2a 2 ? 2 ;

a ? ?1 ?1 ? a , ? ? 所以, d ( a ) ? ? 2 a 2 ? 2 , ? 1 ? a ? 1 . ?1 ? a , a ?1 ? ?
(Ⅲ)当 0 ? a ? 1 时, P ( a , ? 2 ? 2 a ) ,于是 S 1 ?
2

1 2

a 2(1 ? a 2 ) , S 2 ? 2 a 2 ? 2 ,(12 分)
a 2 (1 ? a 2 ) 4 ( a 2 ? 1)
2

若正数 m 满足条件,则

1 2

a 2(1 ? a ) ? m ( 2 a ? 2) ,即 m ?
2 2



m2 ?

a 2 (1 ? a 2 ) 8( a 2 ? 1) 2

,令 f ( a ) ?

a 2 (1 ? a 2 ) 8( a 2 ? 1) 2

,设 t ? a ? 1 ,则 t ? (1 , 2) , a ? t ? 1 ,
2
2

1 ? ? t 2 ? 3t ? 2 ? 1 ? 2 3 1 ?1 3 ? 1 ? ? ? ? ? ? 2 ? ? 1? ? ? ? ? ? ? , 2 2 ? ? 8 8? t 4?t 4? 64 8t t ? t ? ? 1 3 4 1 所以,当 ? ,即 t ? ? (1 , 2) 时, [ f ( a )] max ? , t 4 3 64 1 1 1 2 即m ? , m ? .所以, m 存在最小值 . 64 8 8
于是 f ( a ) ?

(t ? 1)( 2 ? t )

?

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