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定积分在几何中应用


1.7.1 定积分在几何中的应用

复习:
1、平面图形的面积
y

y ? f ( x)

y

y ? f2 ( x) y ? f1 ( x )

o

a

b x

o

a

b x

曲边梯形的面积

曲边梯形的面积

A ? ?a f ( x )dx

b

A ? ?a [ f 2 ( x ) ? f1 ( x )]dx

b

1、平面图形的面积
a
b

y ? f2 ( x)
a

y ? f ( x)
曲边梯形的面积
b

b

y ? f1 ( x )
面积 A ? ? f 2 ( x )dx ? ? f1 ( x )dx
a a b

A ? ?? f ( x )dx
a

b

? ? [ f 2 ( x ) ? f1 ( x )]dx
a

b

2.微积分基本定理---------牛顿-莱布尼茨公式

?

b

a

f ( x)dx ? ? F ' ( x)dx ? F ( x) |b ? F (b) ? F (a ) a
a

b

牛顿-莱布尼茨公式沟通了导数与定积分之间的关系. 3.利用牛顿-莱布尼茨公式求定积分的关键是

确定f ( x)的原函数F ( x)

例题
例 1 计算由两条抛物线 y 2 ? x 和 y ? x 2 所围成的 图形的面积.
?y ? x 解 ? ? x ? 0及x ? 1 ? 2 ?y ? x ? 两曲线的交点 O(0,0) B(1,1)
y ?x
C

y2

B

D

y ? x2
A

S ? S曲梯形OABC - S曲梯形OABD
??
1 1

o

x

xdx ? ? x 2dx 0 0 3 1 2 2 1 3 1 1 2 S ? ? ( x - x )dx ? ( x ? x ) |0 ? . 0 3 3 3

例 2 计算由曲线 y ? 2 x ,直线 y ? x ? 4以及 x 轴所 围成的图形的面积.
y ? 2x

解:

两曲线的交点
? (8, 4).
S1

? y ? 2x ? ? ?y ? x ? 4 ?

S2 y ? x?4

直线与x轴交点为(4,0)
S ? S1 ? S2 ? ?
4 0

2 xdx ? [ ?
8

8

4

2 xdx ? ? ( x ? 4)dx]
4

8

? (?

4

0

2 xdx ? ?
3 2 8 0

4

2 xdx) ? ? ( x ? 4)dx ? ?
4

8

8

0

2 xdx ? ? ( x ? 4)dx
4

8

2 2 1 2 40 8 ? x | ?( x ? 4 x) |4 ? 3 2 3

练习1

练习2

练习
练习 1(课本变式题) : 计算由曲线 y 2 ? 2 x 和直线 y ? x ? 4所围成的图形的面积.

解: 两曲线的交点

? y2 ? 2x ? ? ( 2,?2), (8,4). ?y ? x?4
S ? 2S1 ? S2 ? 2?
2 0 2 0 8

4 2

y ? 2x

S1 8 S 2 xdx ? ( 2 x ? x ? 4)dx 1

S2

y ? x?4
8

?

2

? ? 2 2 xdx ? ? ( 2 x ? x ? 4)dx
2

y2 ? 2 x

4 2 3 2 2 2 3 1 2 16 64 26 8 2 2 ? x |0 ?( x ? x ? 4 x) |2 ? ? ? ? 18 3 3 2 3 3 3

练习 3 2 练习 2: 计算由曲线 y ? x ? 6 x 和 y ? x 所围成的图形的面积.
解: 两曲线的交点

? y ? x3 ? 6x ? (0,0), ( ?2,4), ( 3,9). ? 2 ?y ? x 0

y ? x2

A1 ? ?

A2 ? ? ( x ? x ? 6 x)dx
2 3 0

?2 3

(x ? 6 x ? x )dx
3 2

A1
A2
y ? x3 ? 6x
3

于是所求面积
0 3

A ? A1 ? A2
2 3

253 A ? ?? 2 ( x ? 6 x ? x )dx? ?0 ( x ? x ? 6 x )dx ? . 12 说明:注意各积分区间上被积函数的形式.
2

小结
求在直角坐标系下平面图形的面积步骤: 1. 作图象;

2. 求交点的横坐标,定出积分上、下限;
3. 确定被积函数,用定积分表示所求的面积, 特别注意分清被积函数的上、下位置;

4. 用牛顿-莱布尼茨公式求定积分.

练习 1:P 58 求由下列各曲线所围成的图形的面积:

(1) y ? x 2 , y ? 2 x ? 3 (2) y ? e , y ? e, x ? 0
x

练习 2:求由下列各曲线所围成的图形的面积: 1 1、 y ? 与直线 y ? x 及 x ? 2 。 、 x
y ? ? x 2 ? 4 及其在点 ( ? 2 , 0) 和 ( 2 , 0 ) 处 2. 求抛物线 的切线所围成的图形的面积 .


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