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2015杭州学军中学高三期中考试数学试卷+(文)


杭州学军中学 2015 学年第一学期期中考试 高三数学(文科)试卷
命题人:刘武林 审题人:顾侠

第Ⅰ卷(选择题部分 共 40 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分在.每小题给出的四个选项中,恰有 一项是符合题目要求的. 1.设 a, b ? R ,则“ a ? b ”是“ a a ? b b ”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 2. ?? ? ? A. x ? y ( ▲ ) D.既不充分也不必要条件

log cos ? log? sin ? ?? ? ? , y ? ? cos ? ? ,则 x 与 y 的关系为(▲ ) , ? , x ? ? sin ? ? ? ?4 2?

[源:

k.Com

B. x ? y

C. x ? y

D.不确定

3.使函数 f ( x) ? sin(2x ? ? ) ? 3 cos(2x ? ? ) 是奇函数,且在区间 [0, 的一个值是 A.

?
4

] 上是减函数的 ?
(▲ )

? 3

B.

2? 3

C.

4? 3

D.

5? 3

2 4. 已知各项不为 0 的等差数列 {an } 满足 a4 - 2a7 +3a8 = 0 ,数列 {bn } 是等比数列,且

b7 = a7 ,则 b2b8b11 等于
A.1 B.2 C.4 D.8

(▲ )

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 5.已知向量 a, b, c 满足 a ? 4, b ? 2 2, a 与 b 的夹角为 , (c ? a ) ? (c ? b) ? ?1 , 则 4 ? ? ( ▲ ) c ? a 的最大值为
A. 2 ?

1 2

B.

2 ?1 2

C. 2 ? 1

D.

2 ?1 2

6.设集合 A ? X ,定义函数 f A ( x) ? ? 下列命题中不正确的是

?1, x ? A ?0, x ? C X A

,则对于集合 M ? X , N ? X , (▲ )

A. M ? N ? f M ( x) ? f N ( x),?x ? X C. f M ?N ( x) ? f M ( x) f N ( x), ?x ? X

B. f C

XM

( x) ? 1 ? f M ( x), ?x ? X

D. f M ?N ( x) ? f M ( x) ? f N ( x),?x ? X
a1 a 2 a17

7.等差数列 ?a n ? 的前 n 项和为 S n 且 S17 ? 0, S18 ? 0 ,则 S1 , S 2 ,? , S17 中最大的项(▲ )

A.

S9 a9

B.

S8 a8

C.

S7 a7

D.

S6 a6

8.对于函数 f ? x ? ,若 ? a, b, c ? R , f ? a ? , f ?b? , f ? c ? 为某一三角形的三边长,则称

f ? x ? 为“可构造三角形函数”.已知函数 f ? x ? ?
数 t 的取值范围是 A.

ex ? t 是“可构造三角形函数”,则实 ex ? 1
( ▲ )

?0, ???

?1 ? ? , 2? B. ? 2 ?

C. ?1, 2?

D.

?0,1?

第Ⅱ卷(非选择题部分

共 110 分)


二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分. 9.若偶函数 f(x)和奇函数 g(x)满足 f(x)+g(x)=ex,则 g(x)= 为__________;
x 5 ? x ? 4x 5 ? x ? 4 11. 已知函数 f ( x) ? ,则 f ( x ) 的递增区间为_________; ? 2 2

10.设等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若 S5 ? S6 ?S4 ,则满足 Sn Sn?1 ? 0 的正整数 n 的值

函数 g ( x) ? f ( x) ? 5 的零点个数为 _

__个

? ? ? ? 12. 已知 a ? ( x,2 x), b ? (?3x,2), 如果 a 与 b 的夹角是钝角, 则 x 的取值范围是____________;
13.在直角 ?ABC 中,两条直角边分别为 a、 b ,斜边和斜边上的高分别为 c、h ,则 的取值范围是 ;

c?h a?b

来源:学

14.已知 ?ABC 是边长为 2 3 的正三角形, EF 为 ?ABC 的外接圆 O 的一条直径, M 为

?ABC 的边上的动点,则 ME ? FM 的最大值为



15. 已知定义在 R 上的函数 f ( x) 满足:① f ( x) ? f (2 ? x) ? 0 ;② f ( x ? 2) ? f (? x) ;

? 1 ? x 2 ?????? x ? [?1, 0] ? ③当 x ? [?1,1] 时, f ( x) ? ? ; ? cos( x ) ?????? x ? (0,1] ? ? 2
则函数 y ? f ( x) ? ( ) 在区间 [ ?3,3] 上的零点个数为

1 2

x

个.

三、解答题:本大题共 5 小题,共 82 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16. (本题满分 16 分)已知函数

在区间 中, , , 为

上单调递增,在区间 的内角

上单调递减;如图,四边形 的对边,且满足

C

. (1)证明: (2)若 求四边形 , , 面积的最大值. , ,
O

B

?

A

17. (本题满分 16 分)已知 a ? (cos

?

3? 3? ? ? ? ? ?? ,sin ), b ? (cos , ? sin ), 且? ? ?0, ? 2 2 2 2 ? 3?

? ? a ?b (1)求 ? ? 的最大值; a?b
(2)是否存在正数 k 的值使 k a ? b ? 3 a ? k b 成立?若存在求 k,不存在请说明理由。 18. (本题满分 16 分)已知数列 ?an ? 满足 a1 =1, an?1 ? 3an ? 1. (1)证明 an ? 1 是等比数列,并求 ?an ? 的通项公式;

?

2

?

(2)证明: 1 ? 1 ? …+ 1 ? 3 .

a1

a2

an

2

19. (本题满分 17 分)已知函数 f ( x) ? x ? | x ? a |, a ? R.
2

(1)判断函数 f ( x ) 的奇偶性; ( 2 ) 若 a ? 1 , 设 g ( x )?

l2 o? g x? (m ? 4

, 若 1 ) 对 任 意 x1 , x2 ? (0, 2) , 都 有

g ( x1 ) ? f ( x2 ) ? m ?

5 ,求实数 m 的取值范围。 4
2

20. (本题满分 17 分)已知函数 f ( x) ? x ? 2ax ? a ? 2 , (1)若 f ( x) ? 0 的解集 A ? [0,3] ,求实数 a 的取值范围;
2 (2)若 g ( x) ? f ( x) ? x ? 1 在区间 (0,3) 内有两个零点 x1 , x2 ( x1 ? x2 ), 求实数 a 的取值范

围。

杭州学军中学 2015 学年第一学期期中考试 高三数学(理科)答卷

一、选择题:答案请涂在答题卡上 二、填空题: 本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分. 9 . 12. ; 10 . ; 13. ; 14. ; 11 . ; 15. ; . ;

三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 16.

17.

18.

19.

20.

杭州学军中学 2015 学年第一学期期中考试 高三数学(文科)试卷

参考答案与评分标准
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,恰有 一项是符合题目要求的. C A B D C D A B 二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分. 4 1 1 - 9. (ex-e x) 10. 10 11. ?? ?,1? 2 12. x ? 或x ? 0, 且x ? ? 2 3 3 13.

? 3 2? ?1, ? 4 ? ? ?

14. 3

15. 5

三、解答题:本大题共 5 小题,共 82 分解.答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. 解:(1)由题意知: ,解得: ,

(2)因为

,所以

,所以

为等边三角形

,

,

,

当且仅当



时取最大值,

的最大值为

? ? 1 a ?b 17.解: (1) ? ? = cos ? ? 2 cos ? a?b

令 cos? ? t ? ? ,1? 2

?1 ? ? ?

?(

a ?b a?b

) max ?

1 2

(2)不存在

18. 解: (1)由 an?1 ? 3an ? 1得 an ?1 ? 又 a1 ?

1 1 ? 3(an ? ) 。 2 2

1? 1 3 3 ? ? ,所以 ? an ? ? 是首项为 ,公比为 3 的等比数列。 2 2 2 2? ?

an ?

1 3n 3n ? 1 ? ,因此 ?an ? 的通项公式为 an ? . 2 2 2
1 2 ? n an 3 ? 1
1 1 ? 。 3 ? 1 2 ? 3n ?1
n

(2)由(I)知

因为当 n ? 1 时, 3n ? 1 ? 2 ? 3n ?1 ,所以 于是

1 1 1 1 1 3 1 3 ? ? ... ? ? 1 ? ? ... ? n?1 ? (1 ? n ) ? 。 a1 a2 an 3 3 2 3 2

所以

1 1 1 3 ? ? ... ? ? a1 a2 an 2

2 19.解: (1)当 a ? 0 时, f ( x) ? x ? | x |, f ( x ) 为偶函数; 2 2 2 当 a ? 0 时, f (a) ? a , f (?a) ? a ? 2 | a |, 因为 f (?a) ? f (a) ? 2a ? 2 | a |? 0, 所以

f ( x) 不是奇函数,因为 f (?a) ? f (a) ? 2 | a |? 0, 所以 f ( x) 不是偶函数,综合得 f ( x) 既
不是奇函数也不是偶函数。 (2)设 h( x) ? f ( x) ? m ?

5 (0 ? x ? 2). 4

9 ? 2 x ? x ? m ? (0 ? x ? 1), ? 1 ? 4 则 h( x ) ? ? 可得 h( x) min ? h( ) ? m ? 2. 2 ? x 2 ? x ? m ? 1 (1 ? x ? 2). ? ? 4
由 0 ? x ? 2 得 ?4m? 2 ? 1 ? ?4 x ? m ? 1 ? ?4m ? 1. 一方面, g ( x) 在 x ? (0, 2) 上有意义,得 ?4 一方面, g ( x) ? log2 (?4 ? 1).
m

m? 2

? 1 ? 0, 于是 m ? ?2.

由题设条件,得 log2 (?4 ? 1) ? m? 2.
m

化为 ?4m ? 1 ? 2m? 2. 设 2 ? t , 则 t ? 4t ? 1 ? 0, 解得 t ? 5 ? 2(t ? ? 5 ? 2 舍去)
m 2

所以 2 ? 5 ? 2, m ? log2 ( 5 ? 2).
m

综上得 log2 ( 5 ? 2) ? m ? ?2. 20.解: (1)若 A ? ? ,则 ?=4a ? 4(a ? 2) ? 4(a ? 2)(a ? 1) ? 0 ? ?1 ? a ? 2
2

(1 分)

? ??0 ? a ? ?1或a ? 2 ?0 ? a ? 3 ? 0?a?3 11 ? ? 若 A ? ?, 则 ? ?? ?2?a? . a?2?0 5 ? f (0) ? 0 ? ? ? f (3) ? 0 ? ?9 ? 6a ? a ? 2 ? 0 11 综合得: ?1 ? a ? 5
2 ? ?2 x ? 2ax ? a ? 1 ( x ? 1) . (2) g ( x) ? x ? 2ax ? a ? 2 ? x ? 1 ? ? ( x ? 1) ? ? ?2ax ? a ? 3 2 2

(4 分)

(5 分)

(6 分)


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