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【家教资料】高中数学必修一


基本初等函数( 第二章 基本初等函数(Ⅰ)

基本初等函数(Ⅰ 必修 1 第二章 基本初等函数 Ⅰ) 〖2.1〗指数函数 2.1〗
【2.1.1】指数与指数幂的运算 2.1.1】
(1)根式的概念 ①如果 x = a, a ∈ R, x ∈ R, n > 1 ,且 n ∈ N + ,那么 x 叫做 a 的 n 次方根.当 n 是奇数时, a 的 n 次
n

方根用符号 n a 表示;当 n 是偶数时,正数 a 的正的 n 次方根用符号 n a 表示,负的 n 次方根用符号 ? n a 表示;0 的 n 次方根是 0;负数 a 没有 n 次方根. ②式子 n a 叫做根式,这里 n 叫做根指数, a 叫做被开方数.当 n 为奇数时, a 为任意实数;当 n 为 偶数时, a ≥ 0 . ③根式的性质:( n a ) n = a ; n 为奇数时, a = a ; n 为偶数时, 当 当
n n n

(a ≥ 0) ?a a n =| a |= ? . ?? a (a < 0)

(2)分数指数幂的概念 ①正数的正分数指数幂的意义是: a n = ②正数的负分数指数幂的意义是: a
? m n

m

n

a m (a > 0, m, n ∈ N + , 且 n > 1) .0 的正分数指数幂等于 0.

1 m 1 = ( ) n = n ( )m (a > 0, m, n ∈ N + , 且 n > 1) .0 的负分数指 a a

数幂没有意义.注意口诀:底数取倒数,指数取相反数. 注意口诀: 注意口诀 (3)分数指数幂的运算性质 ① a r ? a s = a r + s ( a > 0, r , s ∈ R ) ③ ( ab) r = a r b r ( a > 0, b > 0, r ∈ R ) ② ( a r ) s = a rs ( a > 0, r , s ∈ R )

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基本初等函数( 第二章 基本初等函数(Ⅰ)

【2.1.2】指数函数及其性质 2.1.2】
(4)指数函数 函数 名称 定义
x

指数函数 函数 y = a ( a > 0 且 a ≠ 1) 叫做指数函数

a >1

0 < a <1
y = ax

y

y = ax

y

图象

y =1
(0, 1)

y =1

(0, 1)

O
定义 域 值域 过定 点 奇偶 性 单调 性 函数 值的 变化 情况

x
R
(0, +∞ )

O

x

图象过定点 (0,1) ,即当 x = 0 时, y = 1 . 非奇非偶 在 R 上是增函数 在 R 上是减函数

a x > 1 ( x > 0) a x = 1 ( x = 0) a x < 1 ( x < 0)

a x < 1 ( x > 0) a x = 1 ( x = 0) a x > 1 ( x < 0)

a 变
化对 图 在第一象限内, a 越大图象越高;在第二象限内, a 越大图象越低. 象的影响

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基本初等函数( 第二章 基本初等函数(Ⅰ)

〖2.2〗对数函数 2.2〗
【2.2.1】对数与对数运算 2.2.1】
(1)对数的定义 ①若 a = N ( a > 0, 且a ≠ 1) ,则 x 叫做以 a 为底 N 的对数,记作 x = log a N ,其中 a 叫做底数, N
x

叫做真数. ②负数和零没有对数. ③对数式与指数式的互化: x = log a N ? a = N ( a > 0, a ≠ 1, N > 0) .
x

(2)几个重要的对数恒等式

log a 1 = 0 , log a a = 1 , log a a b = b .
(3)常用对数与自然对数 . 常用对数: lg N ,即 log10 N ;自然对数: ln N ,即 log e N (其中 e = 2.71828 …)

(4)对数的运算性质 如果 a > 0, a ≠ 1, M > 0, N > 0 ,那么 ①加法: log a M + log a N = log a ( MN ) ②减法: log a M ? log a N = log a
n

M N

③数乘: n log a M = log a M ( n ∈ R ) ④a
log a N

=N
n

⑤ log ab M =

n log a M (b ≠ 0, n ∈ R ) b

⑥换底公式: log a N =

log b N (b > 0, 且b ≠ 1) log b a

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基本初等函数( 第二章 基本初等函数(Ⅰ)

【2.2.2】对数函数及其性质 2.2.2】
(5)对数函数 函数 名称 定义 对数函数 函数 y = log a x( a > 0 且 a ≠ 1) 叫做对数函数

a >1

0 < a <1

y

x =1

y = log a x

y

x =1

y = log a x

图象

(1, 0)

O

(1, 0)

x

O

x

定义 域 值域 过定 点 奇偶 性 单调 性 函数 值的 变化 情况 在 (0, +∞ ) 上是增函数

(0, +∞ )

R
图象过定点 (1, 0) ,即当 x = 1 时, y = 0 . 非奇非偶 在 (0, +∞ ) 上是减函数

log a x > 0 ( x > 1) log a x = 0 ( x = 1) log a x < 0 (0 < x < 1)

log a x < 0 ( x > 1) log a x = 0 ( x = 1) log a x > 0 (0 < x < 1)

a 变
化 影响 (6)反函数的概念 设函数 y = f ( x) 的定义域为 A ,值域为 C ,从式子 y = f ( x) 中解出 x ,得式子 x = ? ( y ) .如果对于 对 图象的 在第一象限内, a 越大图象越靠低;在第四象限内, a 越大图象越靠高.

y 在 C 中的任何一个值, 通过式子 x = ? ( y ) ,x 在 A 中都有唯一确定的值和它对应, 那么式子 x = ? ( y ) 表

示 x 是 y 的函数, 函数 x = ? ( y ) 叫做函数 y = f ( x) 的反函数, 记作 x = f ?1 ( y ) , 习惯上改写成 y = f ?1 ( x ) . (7)反函数的求法 ①确定反函数的定义域,即原函数的值域;
?1 ②从原函数式 y = f ( x) 中反解出 x = f ( y ) ;

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基本初等函数( 第二章 基本初等函数(Ⅰ)

③将 x = f ?1 ( y ) 改写成 y = f ?1 ( x) ,并注明反函数的定义域. (8)反函数的性质 ①原函数 y = f ( x) 与反函数 y = f ?1 ( x ) 的图象关于直线 y = x 对称. ②函数 y = f ( x) 的定义域、值域分别是其反函数 y = f ?1 ( x ) 的值域、定义域. ③若 P ( a, b) 在原函数 y = f ( x) 的图象上,则 P ' (b, a ) 在反函数 y = f ?1 ( x ) 的图象上. ④一般地,函数 y = f ( x) 要有反函数则它必须为单调函数.

〖2.3〗幂函数 2.3〗
(1)幂函数的定义 一般地,函数 y = xα 叫做幂函数,其中 x 为自变量, α 是常数. (2)幂函数的图象

(3)幂函数的性质 ①图象分布:幂函数图象分布在第一、二、三象限,第四象限无图象.幂函数是偶函数时,图象分布 在第一、二象限(图象关于 y 轴对称);是奇函数时,图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称);是非奇 非偶函数时,图象只分布在第一象限. ②过定点:所有的幂函数在 (0, +∞ ) 都有定义,并且图象都通过点 (1,1) . ③单调性:如果 α > 0 ,则幂函数的图象过原点,并且在 [0, +∞ ) 上为增函数.如果 α < 0 ,则幂函数 的图象在 (0, +∞ ) 上为减函数,在第一象限内,图象无限接近 x 轴与 y 轴. ④奇偶性:当 α 为奇数时,幂函数为奇函数,当 α 为偶数时,幂函数为偶函数.当 α =
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q (其中 p, q p

基本初等函数( 第二章 基本初等函数(Ⅰ)
q p q p

互质, p 和 q ∈ Z ) ,若 p 为奇数 q 为奇数时,则 y = x 是奇函数,若 p 为奇数 q 为偶数时,则 y = x 是 偶函数,若 p 为偶数 q 为奇数时,则 y = x 是非奇非偶函数. ⑤图象特征: 幂函数 y = xα , x ∈ (0, +∞) , α > 1 时, 0 < x < 1 , 当 若 其图象在直线 y = x 下方, x > 1 , 若 其图象在直线 y = x 上方, α < 1 时, 0 < x < 1 , 当 若 其图象在直线 y = x 上方, x > 1 , 若 其图象在直线 y = x 下方.
q p

〖补充知识〗二次函数 补充知识〗
(1)二次函数解析式的三种形式 ①一般式: f ( x ) = ax 2 + bx + c ( a ≠ 0) ③两根式: f ( x ) = a ( x ? x1 )( x ? x2 )( a ≠ 0) (2)求二次函数解析式的方法 ①已知三个点坐标时,宜用一般式. ②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关时,常使用顶点式. ③若已知抛物线与 x 轴有两个交点,且横线坐标已知时,选用两根式求 f ( x ) 更方便. (3)二次函数图象的性质 ①二次函数 f ( x ) = ax 2 + bx + c ( a ≠ 0) 的图象是一条抛物线,对称轴方程为 x = ? ②顶点式: f ( x ) = a ( x ? h) 2 + k ( a ≠ 0)

b , 顶点坐标是 2a

(?

b 4ac ? b 2 , ). 2a 4a
②当 a > 0 时,抛物线开口向上,函数在 ( ?∞, ?

b b b ] 上递减,在 [? , +∞) 上递增,当 x = ? 时, 2a 2a 2a

f min ( x) =

4ac ? b 2 b b ;当 a < 0 时,抛物线开口向下,函数在 ( ?∞, ? ] 上递增,在 [? , +∞) 上递减, 4a 2a 2a

当x=?

b 4ac ? b 2 时, f max ( x ) = . 2a 4a
2

③二次函数 f ( x ) = ax 2 + bx + c ( a ≠ 0) 当 ? = b ? 4ac > 0 时,图象与 x 轴有两个交点

M 1 ( x1 , 0), M 2 ( x2 , 0),| M 1M 2 |=| x1 ? x2 |=

? . |a|

(4)一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0( a ≠ 0) 根的分布 一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容,这部分知识在初中代数中虽有所涉及,但尚不够 系统和完整,且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理(韦达定理)的运用,下面 结合二次函数图象的性质,系统地来分析一元二次方程实根的分布.
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基本初等函数( 第二章 基本初等函数(Ⅰ)

设一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0( a ≠ 0) 的两实根为 x1 , x2 ,且 x1 ≤ x2 .令 f ( x) = ax 2 + bx + c ,从以下 四个方面来分析此类问题: ①开口方向:a ②对称轴位置:x = ?

b ③判别式:? ④端点函数值符号. 2a

①k<x1≤x2

?

? ? ?

△=b -4ac≥0 af(k)>0 b - >k 2a

2

y
f (k ) > 0
?

y
a>0 x=?

b 2a

O

k x1
x=?

k
x2
b 2a

O x1 x2 a<0

x
?

x

f (k ) < 0

②x1≤x2<k

?

? ? ?

△=b -4ac≥0 af(k)>0 b - <k 2a

2

y
a>0 O x1 f (k ) > 0
?

y
x=? O

b 2a

x2

k x
x=? b 2a

x1 a<0

x2

k
x
?

f (k ) < 0

③x1<k<x2

?
y

af(k)<0

y
a>0
?

f (k ) > 0 x2 a<0

O x1

k
x2
? f (k ) < 0

x

x1

O

k

x

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基本初等函数( 第二章 基本初等函数(Ⅰ)

④k1<x1≤x2<k2

?

? ? ? ? ?

△=b -4ac≥0 a>0 f(k1)>0 f(k2)>0 b k1<- <k2 2a
a>0

2

? ? 或? ? ?

△=b -4ac≥0 a<0 f(k1)<0 f(k2)<0 b k1<- <k2 2a
x=? b 2a k2

2

y
? f ( k1 ) > 0

y

f (k 2 ) > 0
?

x1
O k1

x2
k2

k1

x

O
?

x1 f (k 1 ) < 0 a<0

x2
?

x

x=?

b 2a

f (k 2 ) < 0

⑤有且仅有一个根 x1(或 x2)满足 k1<x1(或 x2)<k2 或 f(k2)=0 这两种情况是否也符合

?

f(k1)f(k2) < 0,并同时考虑 f(k1)=0

y
? f ( k1 ) > 0

a>0

y
f ( k1 ) > 0
?

x1 O k1

k2
?

x2

x

O

x1

k1

x2
?

k2

x

f (k 2 ) < 0

a<0

f (k 2 ) < 0

⑥k1<x1<k2≤p1<x2<p2

?

?a>0 ?f(k )>0 ?f(k )<0 ?f(p )<0 ?f(p )>0
1 2 1 2

?a<0 ?f(k )<0 或?f(k )>0 f(p ?f(p )>0 ? )<0
1 2 1 2

此结论可直接由⑤推出.

(5)二次函数 f ( x) = ax 2 + bx + c( a ≠ 0) 在闭区间 [ p, q ] 上的最值 设 f ( x ) 在区间 [ p, q ] 上的最大值为 M ,最小值为 m ,令 x0 = (Ⅰ)当 a > 0 时(开口向上)

1 ( p + q) . 2

最小值
① 若?

b < p ,则 m = f ( p ) 2a

②若 p ≤ ?

b b ≤ q ,则 m = f (? ) 2a 2a

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基本初等函数( 第二章 基本初等函数(Ⅰ)

③若 ?

b > q ,则 m = f (q ) 2a

f (?

b ) 2a

最大值
① 若?

b ≤ x0 ,则 M = f (q ) 2a

②?

b > x0 ,则 M = f ( p ) 2a

x0 i
b f (? ) 2a

x0 i
f (? b ) 2a

(Ⅱ)当 a < 0 时(开口向下)

最大值
①若 ?

b < p ,则 M = f ( p ) 2a

②若 p ≤ ?

b b ≤ q ,则 M = f (? ) 2a 2a

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基本初等函数( 第二章 基本初等函数(Ⅰ)

f (?

b ) 2a

f (?

b ) 2a

③若 ?

b > q ,则 M = f (q ) 2a

f (?

b ) 2a

最小值
①若 ?

b ≤ x0 ,则 m = f (q ) 2a

②?

b > x0 ,则 m = f ( p ) . 2a

f (?

b ) 2a

f (?

b ) 2a

x0 i

x0 i

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ·~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

第 1 讲 §2.1.1 指数与指数幂的运算
¤学习目标:理解有理指数幂的含义,通过具体实例了解实数指数幂的意义,掌握根式与分数指数幂的互化, 掌握有理数指数幂的运算. ¤知识要点: 1. 若 x n = a ,则 x 叫做 a 的 n 次方根,记为 n a ,其中 n>1,且 n ∈ N ? . n 次方根具有如下性质: (1)在实数范围内,正数的奇次方根是一个正数,负数的奇次方根是一个负数;正数的偶次方根是两个绝对 值相等、符号相反的数,负数的偶次方根没有意义;零的任何次方根都是零. (2)n 次方根( n > 1, 且n ∈ N * )有如下恒等式:
np ?a, n为奇数 ( n a )n = a ; n a n = ? ; a mp = n a m , ≥ 0). (a | a |, n为偶数 ?

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基本初等函数( 第二章 基本初等函数(Ⅰ)
m

2. 规定正数的分数指数幂: a n = n a m ( a > 0, m, n ∈ N ? , 且n > 1 ) a ; ¤例题精讲: 【例 1】求下列各式的值:
n (1) n 3 ? π) ( n > 1, 且n ∈ N * ) ( ;

?

m n

=

1 a
m n

=

1
n

am

.

(2) ( x ? y ) 2 .

n (1)当 n 为奇数时, n 3 ? π) = 3 ? π ; ( 解:
n 当 n 为偶数时, n 3 ? π) =| 3 ? π |= π ? 3 . (

(2) ( x ? y ) 2 =| x ? y | . 当 x ≥ y 时, ( x ? y ) 2 = x ? y ;当 x < y 时, ( x ? y ) 2 = y ? x . 【例 2】已知 a 2 n = 2 + 1 ,求 解:

a 3 n + a ?3 n an + a?n

a 3 n + a ?3 n 的值. an + a?n ( a n + a ? n )(a 2 n ? 1 + a ?2 n ) 1 = = a 2 n ? 1 + a ?2 n = 2 + 1 ? 1 + = 2 2 ?1 . n ?n a +a 2 +1
2 1 1 1 1 5

【例 3】化简: (1) (2a 3 b 2 )(?6a 2 b 3 ) ÷ ( ?3a 6 b 6 ) ; (2)

a 3b 2 3 ab 2 (a 4 b 2 ) 4 ? 3
1 1

(a>0,b>0) ;

b a

(3) 81 × 9 3 .

4

2

(1)原式= [2 × (?6) ÷ (?3)]a 3 解: (2)原式=

2 1 1 + ? 2 6

b2
1

1 1 5 + ? 3 6

= 4ab0 = 4a .
4

a 2 b ? [(ab 2 ) 3 ]2 ab 2 ? (b / a)
4
1 3

3

1 1

=

a 2b ? a 6b3 a b
4 2 3 7 3

3

1

10

=

a 6 b3 a b
4 2 3 7 3

=

a . b
2 2 1 1 2 1 1

(3)原式= 34 × [(3 ) ] = 34 × 3 = 34 × 3 3 = (34 × 33 ) 4 = (34 ) 4 × (33 ) 4 = 3 × 36 = 3 6 3 . 点评:根式化分数指数幂时,切记不能混淆,注意将根指数化为分母,幂指数化为分子,根号的嵌套,化为 点评 幂的幂. 正确转化和运用幂的运算性质,是复杂根式化简的关键. 【例 4】化简与求值: (1) 6 + 4 2 + 6 ? 4 2 ; (2)

2 1 2 3 2

2 1 × 2× 3 2

1 1+ 3

+

1 3+ 5

+

1 5+ 7

+ ??? +

1 2n ? 1 + 2n + 1

.

(1)原式= 22 + 2 × 2 × 2 + ( 2) 2 + 22 ? 2 × 2 × 2 + ( 2)2 解: = (2 + 2) 2 + (2 ? 2) 2 = 2 + 2 + 2 ? 2 =4. (2)原式=

3 ?1 5? 3 7? 5 2n + 1 ? 2n ? 1 + + + ??? + 3 ?1 5?3 7?5 (2n + 1) ? (2n ? 1) 1 1 = ( 3 ? 1 + 5 ? 3 + 7 ? 5 + ? ? ? + 2n + 1 ? 2n ? 1) = ( 2n + 1 ? 1) . 2 2 2 点评:形如 A ± B 的双重根式,当 A ? B 是一个平方数时,则能通过配方法去掉双重根号,这也是双重根 点评

号能否开方的判别技巧. 而分母有理化中, 常常用到的是平方差公式, 2 小题也体现了一种消去法的思想. 第 第 (1) 小题还可用平方法,即先算得原式的平方,再开方而得.

第 2 讲 §2.1.2 指数函数及其性质(一)
¤学习目标:理解指数函数的概念和意义,能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图像,探索并理解指 数函数的单调性与特殊点,掌握指数函数的性质. ¤知识要点: 1. 定义:一般地,函数 y = a x ( a > 0, 且a ≠ 1) 叫做指数函数(exponential function) ,其中 x 是自变量,函数的 定义域为 R. 2. 以函数 y = 2 x 与 y = ( ) x 的图象为例,观察这一对函数的图象,可总结出如下
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1 2

基本初等函数( 第二章 基本初等函数(Ⅰ)

性质: 定义域为 R,值域为 (0, +∞) ;当 x = 0 时, y = 1 ,即图象过定点 (0,1) ;当 0 < a < 1 时,在 R 上是减函数,当

a > 1 时,在 R 上是增函数.
¤例题精讲: 【例 1】求下列函数的定义域: (1) y = 2 3? x ;
1

1

(2) y = ( )

1 3

5? x



(3) y =

10 x + 100 . 10 x ? 100

∴ 其定义域为 {x | x ≠ 3} . 1 5? x (2)要使 y = ( ) 有意义,其中自变量 x 需满足 5 ? x ≥ 0 ,即 x ≤ 5 . ∴ 其定义域为 {x | x ≤ 5} . 3 10 x + 100 (3)要使 y = x 有意义,其中自变量 x 需满足 10 x ? 100 ≠ 0 ,即 x ≠ 2 . ∴其定义域为 {x | x ≠ 2} . 10 ? 100 【例 2】求下列函数的值域: (1) y = ( ) 3 x ?1 ; (1)观察易知 解:

(1)要使 y = 2 3? x 有意义,其中自变量 x 需满足 3 ? x ≠ 0 ,即 x ≠ 3 . 解:

1 3

2

(2) y = 4 x + 2 x + 1

2 1 2 1 ≠ 0 , 则有 y = ( ) 3 x ?1 ≠ ( )0 = 1 . 3x ? 1 3 3

∴ 原函数的值域为 { y | y > 0, 且y ≠ 1} .

(2) y = 4 x + 2 x + 1 = (2 x ) 2 + 2 x + 1 .

令 t = 2 x ,易知 t > 0 . 则 y = t 2 + t + 1 = (t + ) 2 +

1 2

3 . 4

结合二次函数的图象,由其对称轴观察得到 y = (t + ) 2 + 所以 y = (t + ) 2 +

1 2

3 在 t > 0 上为增函数, 4

1 3 1 3 > (0 + ) 2 + = 1 . ∴ 原函数的值域为 { y | y > 1} . 2 4 2 4 【例 3】 年福建卷.理 5 文 6) (05 函数 f ( x) = a x ?b 的图象如图, 其中 a、 为常数, b 则下列结论正确的是 ( ) . B. a > 1, b > 0 A. a > 1, b < 0 C. 0 < a < 1, b > 0 D. 0 < a < 1, b < 0 线 位 解:从曲线的变化趋势,可以得到函数 f ( x) 为减函数,从而 0<a<1;从曲
即 得 到 x=1

置看,是由函数 y = a x (0 < a < 1) 的图象向左平移|-b|个单位而得,所以-b>0, b<0. 所以选 D. 点评:观察图象变化趋势,得到函数的单调性,结合指数函数的单调性, 点评 参数 a 的范围. 根据所给函数式的平移变换规律, 得到参数 b 的范围. 也可以取 时的特殊点,得到 a ?b < 1 = a 0 ,从而 b<0. 【例 4】已知函数 f ( x) = a 2 ?3 x (a > 0, 且a ≠ 1) . (1)求该函数的图象恒过的定点坐标; (2)指出该函数的单调性. (1)当 2 ? 3x = 0 ,即 x = 解:

2 时, a 2 ?3 x = a 0 = 1 . 3 2 所以,该函数的图象恒过定点 ( ,1) . 3 (2)∵ u = 2 ? 3x 是减函数, ∴ 当 0 < a < 1 时, f ( x) 在 R 上是增函数;当 a > 1 时, f ( x) 在 R 上是减函数. 点评:底数两种情况的辨析,实质就是分类讨论思想的运用. 而含参指数型函数的研究,要求正确处理与参数 点评 相关的变与不变.

第 3 讲 §2.1.2 指数函数及其性质(二)
¤学习目标: 在解决简单实际问题的过程中, 体会指数函数是一类重要的函数模型. 指数函数的性质及应用. ¤知识要点: 以函数 y = 2 x 与 y = ( ) x 的图象为例,得出这以下结论:
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掌 握

1 2

基本初等函数( 第二章 基本初等函数(Ⅰ)

(1)函数 y = f ( x) 的图象与 y = f (? x) 的图象关于 y 轴对称. (2)指数函数 y = a x ( a > 0, 且a ≠ 1) 的图象在第一象限内,图象由下至上,底数由下到大. ¤例题精讲: 【例 1】按从小到大的顺序排列下列各数: 3 2 , 0.3 2 , 2
x x x
2

, 0.2

2

.

解:构造四个指数函数,分别为 y = 3 , y = 0.3 , y = 2 , y = 0.2 ,它们在第一
x

象限内,图象由下至上,依次是 y = 0.2 x , y = 0.3x , y = 2 x , y = 3x . 如右图所示. 由于 x = 2 > 0 ,所以从小到大依次排列是:

0.2 2 , 0.3 2 , 2 2 , 3 2 . 点评:利用指数函数图象的分步规律,巧妙地解决了同指数的幂的大小比较问题. 点评 当然,我们在后面的学习中,可以直接利用幂函数的单调性来比较此类大小. 2x ? 1 【例 2】已知 f ( x) = x . (1)讨论 f ( x) 的奇偶性; (2)讨论 f ( x) 的单调性. 2 +1 (1) f ( x) 的定义域为 R. 解:
∵ f (? x) =

2? x ? 1 (2? x ? 1)i2 x 1 ? 2 x 2x ? 1 = ?x = =? x = ? f ( x) . 2? x + 1 (2 + 1)i2 x 1 + 2 x 2 +1

∴ f ( x) 为奇函数. (2)设任意 x1 , x2 ∈ R ,且 x1 < x2 ,则

f ( x1 ) ? f ( x2 ) =

2 x1 ? 1 2 x2 ? 1 2(2 x1 ? 2 x2 ) ? x2 = x1 . 2 x1 + 1 2 + 1 (2 + 1)(2 x2 + 1)
∴ f ( x) 为增函数.

由于 x1 < x2 ,从而 2 x1 < 2 x2 ,即 2 x1 ? 2 x2 < 0 . ∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) < 0 ,即 f ( x1 ) < f ( x2 ) . 点评:在这里,奇偶性与单调性的判别,都是直接利用知识的定义来解决. 需要我们理解两个定义,掌握其 点评 运用的基本模式,并能熟练的进行代数变形,得到理想中的结果. 【例 3】求下列函数的单调区间: (1) y = a x (1)设 y = a u , u = x 2 + 2 x ? 3 . 解: 由 u = x 2 + 2 x ? 3 = ( x + 1)2 ? 4 知, u 在 (?∞, ?1] 上为减函数,在 [?1, +∞ ) 上为增函数. 根据 y = a u 的单调性,当 a > 1 时,y 关于 u 为增函数;当 0 < a < 1 时,y 关于 u 为减函数. ∴ 当 a > 1 时,原函数的增区间为 [?1, +∞ ) ,减区间为 (?∞, ?1] ; 当 0 < a < 1 时,原函数的增区间为 (?∞, ?1] ,减区间为 [?1, +∞ ) . (2)函数的定义域为 {x | x ≠ 0} . 设 y = 而根据 y =
2

+ 2 x ?3



(2) y =

1 . 0.2 x ? 1

1 , u = 0.2 x . 易知 u = 0.2 x 为减函数. u ?1

1 的图象可以得到,在区间 (?∞,1) 与 (1, +∞) 上,y 关于 u 均为减函数. u ?1 ∴在 (?∞, 0) 上,原函数为增函数;在 (0, +∞) 上,原函数也为增函数.
点评:研究形如 y = a f ( x ) ( a > 0,且a ≠ 1) 的函数的单调性,可以有如下结论:当 a > 1 时,函数 y = a f ( x ) 的单 点评

调 性 与 f ( x) 的 单 调 性 相 同 ; 当 0 < a < 1 时 , 函 数 y = a f ( x ) 的 单 调 性 与 f ( x) 的 单 调 性 相 反 . 而 对 于 形 如

y = ? (a x ) ( a > 0,且a ≠ 1) 的函数单调性的研究,也需结合 a x 的单调性及 ? (t ) 的单调性进行研究. 复合函数 y = f (? ( x)) 的单调性研究,遵循一般步骤和结论,即:分别求出 y = f (u ) 与 u = ? ( x) 两个函数的单 调性,再按口诀“同增异减”得出复合后的单调性,即两个函数同为增函数或者同为减函数,则复合后结果为增 函数;若两个函数一增一减,则复合后结果为减函数. 为何有“同增异减”?我们可以抓住 “x 的变化→ u = ? ( x) 的变化→ y = f (u ) 的变化”这样一条思路进行分析.

第 4 讲 §2.2.1 对数与对数运算(一)
¤学习目标:理解对数的概念;能够说明对数与指数的关系;掌握对数式与指数式的相互转化,并能运用指 对互化关系研究一些问题. ¤知识要点:
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基本初等函数( 第二章 基本初等函数(Ⅰ)

1. 定义: 一般地,如果 a x = N (a > 0, a ≠ 1) ,那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数(logarithm).记作 x = log a N , 其中 a 叫做对数的底数,N 叫做真数 2. 我们通常将以 10 为底的对数叫做常用对数(common logarithm) ,并把常用对数 log10 N 简记为 lgN
新疆 王新敞
奎屯

新疆 王新敞 奎屯

在科
新疆 王新敞 奎屯

学技术中常使用以无理数 e=2.71828……为底的对数, e 为底的对数叫自然对数, 以 并把自然对数 log e N 简记作 lnN 3. 根据对数的定义,得到对数与指数间的互化关系:当 a > 0, a ≠ 1 时, log a N = b ? a b = N . 4. 负数与零没有对数; log a 1 = 0 , log a a = 1 ¤例题精讲: 【例 1】将下列指数式化为对数式,对数式化为指数式:

1 ; (2) 3a = 27 ; (3) 10?1 = 0.1 ; 128 (4) log 1 32 = ?5 ; (5) lg 0.001 = ?3 ; (6)ln100=4.606.
(1) 2?7 =
2

(1) log 2 解:

1 = ?7 ; 128

(2) log 3 27 = a ; (5) 10?3 = 0.001 ;

(3) lg 0.1 = ?1 ; (6) e4.606 = 100 . (3) ln e .

(4) ( )?5 = 32 ;

1 2

【例 2】计算下列各式的值: (1) lg 0.001 ; (2) log 4 8 ;
x x
?3

解: (1)设 lg 0.001 = x ,则 10 = 0.001 ,即 10 = 10 ,解得 x = ?3 . 所以, lg 0.001 = ?3 . (2)设 log 4 8 = x ,则 4 x = 8 ,即 2 2 x = 23 ,解得 x =

3 3 . 所以, log 4 8 = . 2 2 1 1 1 (3)设 ln e = x ,则 e x = e ,即 e x = e 2 ,解得 x = . 所以, ln e = . 2 2 M n 【例 3】求证: (1) log a a = n ; (2) log a M ? log a N = log a . N 证明: 证明 (1)设 log a a n = x ,则 a n = a x ,解得 x = n .
所以 log a a n = n . (2)设 log a M = p , log a N = q ,则 a p = M , a q = N .

M ap M = q = a p ? q ,则 log a = p ? q = log a M ? log a N . N a N M 所以, log a M ? log a N = log a . N
因为 点评:对数运算性质是对数运算的灵魂,其推导以对数定义得到的指对互化关系为桥梁,结合指数运算的性 点评 质而得到. 我们需熟知各种运算性质的推导. 【例 4】试推导出换底公式: log a b =

log c b log c a

( a > 0 ,且 a ≠ 1 ; c > 0 ,且 c ≠ 1 ; b > 0 ).

证明:设 log c b = m , log c a = n , log a b = p , 证明 则 cm = b , cn = a , a p = b . 从而 (c n ) p = b = c m ,即 np = m . 由于 n = log c a ≠ log c 1 = 0 ,则 p = 所以, log a b =

m . n

log c b . log c a

点评: 牢牢扣住指对 点评 换底公式是解决对数运算中底数不相同时的核心工具. 其推导也密切联系指数运算性质, 互化关系.

第 5 讲 §2.2.1 对数与对数运算(二)
¤学习目标:通过阅读材料,了解对数的发现历史以及对简化运算的作用;理解对数的概念及其运算性质, 知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数;理解推导这些运算性质的依据和过程;能较熟练地运
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基本初等函数( 第二章 基本初等函数(Ⅰ)

用运算性质解决问题. ¤知识要点: 1. 对数的运算法则: log a ( M i N ) = log a M + log a N , log a

M = log a M ? log a N , log a M n = n log a M ,其中 N

a > 0, 且a ≠ 1 , M > 0, N > 0, n ∈ R . 三条法则是有力的解题工具,能化简与求值复杂的对数式. log b N 1 . 如果令 b=N,则得到了对数的倒数公式 log a b = . 同样,也可以推 2. 对数的换底公式 log a N = log b a log b a
导出一些对数恒等式,如 log a n N n = log a N , log a m N n = ¤例题精讲:

n log a N , log a bilogb cilog c a = 1 等. m

1 lg 2ilg 5 + (lg 2)2 ? lg 2 + 1 ; (2) log 2 ( 4 + 7 + 4 ? 7 ) . 2 1 1 1 1 (1)原式= ( lg 2) 2 + lg 2ilg 5 + (lg 2 ? 1) 2 = lg 2 2 + lg 2ilg 5 ? (lg 2 ? 1) 解: 2 2 4 2 1 1 1 1 = lg 2 2 + lg 2ilg 5 ? lg 2 + 1 = lg 2(lg 2 + 2lg 5 ? 2) + 1 4 2 2 4 1 = lg 2(lg100 ? 2) + 1 = 0 + 1 = 1 . 4 1 2× 1 (2)原式= log 2 ( 4 + 7 + 4 ? 7 ) 2 = log 2 ( 4 + 7 + 4 ? 7 ) 2 2 1 1 = log 2 (4 + 7 + 4 ? 7 + 2 42 ? 7) = log 2 14 . 2 2 1 1 【例 2】若 2a = 5b = 10 ,则 + = . (教材 P83 B 组 2 题) a b
【例 1】化简与求值: (1) (lg 2) 2 + 解:由 2a = 5b = 10 ,得 a = log 2 10 , b = log5 10 . 则

1 1 1 1 + = + = lg 2 + g 5 = lg10 = 1 . a b log 2 10 log 5 10
【例 3】 (1)方程 lg x + lg( x + 3) = 1 的解 x=________; (2)设 x1 , x2 是方程 lg 2 x + a lg x + b = 0 的两个根,则 x1 i x2 的值是 (1)由 lg x + lg( x + 3) = 1 ,得 lg[ x( x + 3)] = lg10 , 解: 即 x( x + 3) = 10 ,整理为 x 2 + 3x ? 10 = 0 . 解得 x=-5 或 x=2. ∵ x>0, ∴ x=2. (2)设 lg x = t ,则原方程化为 t 2 + at + b = 0 ,其两根为 t1 = lg x1 , t2 = lg x2 . 由 t1 + t2 = lg x1 + lg x2 = lg( x1 i x2 ) = b = lg10b ,得到 x1 i x2 = 10b . 点评: 化同底的过程中需要结合对数的运算性质. 第 2 小题巧妙利用了换元 点评 同底法是解简单对数方程的法宝, 思想和一元二次方程根与系数的关系. 【例 4】 (1)化简: .

1 1 1 ; + + log5 7 log 3 7 log 2 7

(2)设 log 2 3ilog 3 4ilog 4 5i? ? ?ilog 2005 2006ilog 2006 m = 4 ,求实数 m 的值. (1)原式= log 7 5 + log 7 3 + log 7 2 = log 7 (5 × 3 × 2) = log 7 30 . 解: (2)原式左边= log 2 3i

log 2 4 log 2 5 log 2006 log 2 m i i? ? ?i 2 i = log 2 m , log 2 3 log 2 4 log 2 2005 log 2 2006
解得 m = 16 .

∴ log 2 m = 4 = log 2 24 ,

点评:换底时,一般情况下可以换为任意的底数,但习惯于化为常用对数. 换底之后,注意结合对数的运算性 质完成后阶段的运算.

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基本初等函数( 第二章 基本初等函数(Ⅰ)

第 6 讲 §2.2.2 对数函数及其性质(一)
¤学习目标:通过具体实例,直观了解对数函数模型所刻画的数量关系,初步理解对数函数的概念,体会对 数函数是一类重要的函数模型;能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图像,探索并了解对数函数的单调性 与特殊点. ¤知识要点: 1. 定义:一般地,当 a>0 且 a≠1 时,函数 y=log a x 叫做对数函数(logarithmic function). 自变量是 x; 函数 的定义域是(0,+∞). 2. 由 y = log 2 x 与 y = log 1 x 的图象,可以归纳出对数函数的性质:定义域为 (0, +∞) ,值域为 R;当 x = 1 时,
2

y = 0 ,即图象过定点 (1, 0) ;当 0 < a < 1 时,在 (0, +∞) 上递减,当 a > 1 时,在 (0, +∞) 上递增.
¤例题精讲: 【例 1】比较大小: (1) log 0.9 0.8 , log 0.9 0.7 , log 0.8 0.9 ; (2) log3 2 , log 2 3 , log 4 又 log 0.8 0.9 < log 0.8 0.8 = 1 , 又 log 2 3 > log 2 2 = 1 , log 4 所以 log 4 所以 log 0.8 0.9 < log 0.9 0.8 < log 0.9 0.7 .

1 . 3 (1)∵ y = log 0.9 x 在 (0, +∞) 上是减函数,且 0.9 > 0.8 > 0.7 , ∴ 1 < log 0.9 0.8 < log 0.9 0.7 . 解:

(2)由 log 3 1 < log 3 2 < log3 3 ,得 0 < log 3 2 < 1 .

1 < log 4 1 = 0 , 3

1 < log 3 2 < log 2 3 . 3

【例 2】求下列函数的定义域: (1) y = log 2 (3x ? 5) ; (2) y = log 0.5 (4 x) ? 3 . (1)由 log 2 (3x ? 5) ≥ 0 = log 2 1 ,得 3x ? 5 ≥ 1 ,解得 x ≥ 2 . 解: 所以原函数的定义域为 [2, +∞) . (2)由 log 0.5 (4 x) ? 3 ≥ 0 ,即 log 0.5 (4 x) ≥ 3 = log 0.5 0.53 , 所以 0 < 4 x ≤ 0.53 ,解得 0 < x ≤

1 1 . 所以,原函数的定义域为 (0, ] . 32 32 【例 3】已知函数 f ( x) = log a ( x + 3) 的区间 [?2, ?1] 上总有 | f ( x) |< 2 ,求实数 a 的取值范围. ∴ 1≤ x + 3 ≤ 2 解:∵ x ∈ [ ?2, ?1] ,
当 a > 1 时, log a 1 ≤ log a ( x + 3) ≤ log a 2 ,即 0 ≤ f ( x) ≤ log a 2 . ∵ | f ( x) |< 2 , ∴

{

a >1 , 解得 a > 2 . log a 2 < 2

当 0 < a < 1 时, log a 2 ≤ log a ( x + 3) ≤ log a 1 ,即 log a 2 ≤ f ( x) ≤ 0 . ∵ | f ( x) |< 2 , ∴

{

2 0 < a <1 , 解得 0 < a < . log a 2 > ?2 2 2 ) ∪ ( 2, +∞) . 2

综上可得,实数 a 的取值范围是 (0,

点评:先对底数 a 分两种情况讨论,再利用函数的单调性及已知条件,列出关于参数 a 的不等式组,解不等 点评 式(组)而得到参数的范围. 解决此类问题的关键是合理转化与分类讨论,不等式法求参数范围. 【例 4】求不等式 log a (2 x + 7) > log a (4 x ? 1) (a > 0, 且a ≠ 1) 中 x 的取值范围. 解:当 a > 1 时,原不等式化为 ? 4 x ? 1 > 0

?2 x + 7 > 0 ?

?2 x + 7 > 4 x ? 1 ? ?2 x + 7 > 0 ? 当 0 < a < 1 时,原不等式化为 ? 4 x ? 1 > 0 ,解得 x > 4 . ?2 x + 7 < 4 x ? 1 ? 1 所以,当 a > 1 时,x 的取值范围为 ( , 4) ;当 0 < a < 1 时,x 的取值范围为 (4, +∞) . 4
点评:结合单调性,将对数不等式转化为熟悉的不等式组,注意对数式有意义时真数大于 0 的要求. 当底数 a 点评
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,解得

1 < x < 4. 4

基本初等函数( 第二章 基本初等函数(Ⅰ)

不确定时,需要对底数 a 分两种情况进行讨论.

第 7 讲 §2.2.2 对数函数及其性质(二)
¤学习目标:掌握对数函数的性质,并能应用对数函数解决实际中的问题. 知道指数函数 y=ax 与对数函数 y=loga x 互为反函数. (a > 0, a≠1) ¤知识要点: 1. 当一个函数是一一映射时, 可以把这个函数的因变量作为一个新函数的自变量, 而把这个函数的自变量新 的函数的因变量. 我们称这两个函数为反函数(inverse function). 互为反函数的两个函数的图象关于直线 y = x 对 称. 2. 函数 y = a x (a > 0, a ≠ 1) 与对数函数 y = log a x ( a > 0, a ≠ 1) 互为反函数. 3. 复合函数 y = f (? ( x)) 的单调性研究,口诀是“同增异减” ,即两个函数同增或同减,复合后结果为增函数;

若两个函数一增一减,则复合后结果为减函数. 研究复合函数单调性的具体步骤是: (i)求定义域; (ii)拆分函数; (iii)分别求 y = f (u ), u = ? ( x) 的单调性; (iv)按“同增异减”得出复合函数的单调性. ¤例题精讲: 【例 1】讨论函数 y = log 0.3 (3 ? 2 x) 的单调性.

3 3 . 设 t = 3 ? 2 x, x ∈ (?∞, ) ,易知为减函数. 2 2 3 又∵ 函数 y = log 0.3 t 是减函数,故函数 y = log 0.3 (3 ? 2 x) 在 (?∞, ) 上单调递增. 2
解:先求定义域,由 3 ? 2 x > 0 , 解得 x < 【例 2】 (05 年山东卷.文 2)下列大小关系正确的是( A. 0.43 < 30.4 < log 4 0.3 B. 0.43 < log 4 0.3 < 30.4 C. log 4 0.3 < 0.43 < 30.4 D. log 4 0.3 < 30.4 < 0.43 变量 x ).

解:在同一坐标系中分别画出 y = 0.4 x , y = 3x , y = log 4 x 的图象,分别作出当自 取 3,0.4,0.3 时的函数值. 观察图象容易得到: log 4 0.3 < 0.43 < 30.4 . 故选 C. 【例 3】指数函数 y = a x (a > 0, a ≠ 1) 的图象与对数函数 y = log a x ( a > 0, a ≠ 1) 的图象有何关系?
x 解:在指数函数 y = a x 的图象上任取一点 M ( x0 , y0 ) ,则 y0 = a 0 .

由指对互化关系,有 log a y0 = x0 . 所以,点 M '( y0 , x0 ) 在对数函数 y = log a x 的图象上. 因为点 M ( x0 , y0 ) 与点 M '( y0 , x0 ) 关于直线 y = x 对称, 所以指数函数 y = a x (a > 0, a ≠ 1) 的图象与对数函数 y = log a x ( a > 0, a ≠ 1) 的图象关于直线 y = x 对称. 点评:两个函数的对称性,由任意点的对称而推证出来. 这种对称性实质是反函数的图象特征,即函数 y = a x 点评 与 y = log a x ( a > 0, a ≠ 1) 互为反函数,而互为反函数的两个函数图象关于直线 y = x 对称.

第 8 讲 §2.3 幂函数
¤学习目标:通过实例,了解幂函数的概念;结合函数 y=x, y=x2, y=x3, y=1/x, y=x1/2 的图像,了解它们的变化 情况. 知识要点: 1. 幂函数的基本形式是 y = xα ,其中 x 是自变量, α 是常数. 要求掌握 y = x ,

y = x 2 , y = x 3 , y = x1/ 2 , y = x ?1 这五个常用幂函数的图象. 2. 观察出幂函数的共性,总结如下: (1)当 α > 0 时,图象过定点 (0, 0), (1,1) ; 在 (0, +∞) 上是增函数.(2)当 α < 0 时,图象过定点 (1,1) ;在 (0, +∞) 上是减函数; 在第一象限内,图象向上及向右都与坐标轴无限趋近. 的右侧,图象由下至上, 3. 幂函数 y = xα 的图象,在第一象限内,直线 x = 1 的右侧,图象由下至上, 直线 由小到大. 指数 α 由小到大 y 轴和直线 x = 1 之间,图象由上至下,指数 α 由小到大. ¤例题精讲: 【例 1】已知幂函数 y = f ( x) 的图象过点 (27,3) ,试讨论其单调性.
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基本初等函数( 第二章 基本初等函数(Ⅰ)

解:设 y = xα ,代入点 (27,3) ,得 3 = 27α ,解得 α = 所以 y = x 3 ,在 R 上单调递增.
1

1 , 3

【例 2】已知幂函数 y = x m ? 6 (m ∈ Z ) 与 y = x 2 ? m (m ∈ Z ) 的图象都与 x 、 y 轴都没有公共点,且

y = x m ? 2 (m ∈ Z ) 的图象关于 y 轴对称,求 m 的值.
解:∵ 幂函数图象与 x 、 y 轴都没有公共点,∴ 又 ∵ y = x m ? 2 (m ∈ Z ) 的图象关于 y 轴对称, ∴
m n

{m??m6 < 00 2 <

,解得 2 < m < 6 .

m ? 2 为偶数,即得 m = 4 .
).

【例 3】幂函数 y = x 与 y = x 在第一象限内的图象如图所示,则( A. ?1 < n < 0 < m < 1 B. n < ?1,0 < m < 1 C. ?1 < n < 0, m > 1 D. n < ?1, m > 1 解:由幂函数图象在第一象限内的分布规律,观察第一象限内直线 x = 1

的 右 以 有 比 较

侧,图象由下至上,依次是 y = x , y = x , y = x , y = x , y = x ,所
n 0 m 1

?1

n < ?1 < 0 < m < 1 . 选 B. 点评:观察第一象限内直线 x = 1 的右侧,结合所记忆的分布规律. 注意 点评 两个隐含的图象 y = x1 与 y = x 0 .

第 9 讲 第二章 基本初等函数(Ⅰ) 复习
¤学习目标: 理解掌握指数函数、 对数函数和幂函数的性质、 图象及运算性质. 突出联系与转化、 分类与讨论、 数与形结合等重要的数学思想、能力. 通过对指数函数、对数函数等具体函数的研究,加深对函数概念的理解. ¤例题精讲: 【例 1】若 f ( x) = a x (a > 0, 且a ≠ 1) ,则 f ( 证明: 证明

x1 + x2 f ( x1 ) + f ( x2 ) )≤ . 2 2

x1 + x2 f ( x1 ) + f ( x2 ) x + x2 a x1 + a x2 a x1 + a x2 ? 2 a x1 a x2 ( a x1 ? a x2 )2 ? f( 1 )= ?a 2 = = ≥0. 2 2 2 2 2 x + x2 f ( x1 ) + f ( x2 ) ∴ f( 1 )≤ . (注:此性质为函数的凹凸性) 注 2 2 bx 【例 2】已知函数 f ( x) = 2 (b ≠ 0, a > 0) . ax + 1 1 1 (1)判断 f ( x) 的奇偶性; (2)若 f (1) = , log 3 (4a ? b) = log 2 4 ,求 a,b 的值. 2 2 ?bx (1) f ( x) 定义域为 R, f (? x) = 2 = ? f ( x) ,故 f ( x) 是奇函数. 解: ax + 1 b 1 (2)由 f (1) = = ,则 a ? 2b + 1 = 0 .又 log3(4a-b)=1,即 4a-b=3. a +1 2 a ? 2b + 1 = 0 由 得 a=1,b=1. 4a ? b = 3

{

【例 3】 (01 天津卷.19)设 a>0, f ( x) =

ex a + 是 R 上的偶函数. a ex (1)求 a 的值; (2)证明 f ( x) 在 (0, +∞) 上是增函数.
(1)∵ f ( x) = 解:

ex a + 是 R 上的偶函数,∴ f ( x) ? f (? x) = 0 . a ex e x a e? x a 1 1 1 ∴ + x? ? ? x = 0 ? ( ? a)e x + (a ? )e ? x = 0 ? ( ? a )(e x ? e ? x ) = 0 . a e a e a a a 1 x -x e -e 不可能恒为“0” ∴ 当 -a=0 时等式恒成立, ∴a=1. , a (2)在 (0, +∞) 上任取 x1<x2,
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基本初等函数( 第二章 基本初等函数(Ⅰ)

e x1 1 1 1 1 + ? e x2 ? x2 = (e x1 ? e x2 ) + ( x1 ) = (e x1 ? e x2 )(1 ? x1 x2 ) a e x1 e e ? e x2 e e (e x1 ? e x2 )(e x1 e x2 ? 1) ∵ e>1,x1<x2, ∴ e x1 > e x2 > 1 , ∴ e x1 e x2 >1, <0, e x1 e x2 ∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) < 0 , ∴ f ( x) 是在 (0, +∞) 上的增函数. f ( x1 ) ? f ( x2 ) =
点评:本题主要考查了函数的奇偶性以及单调性的基础知识.此题中的函数,也可以看成指数函数 y = a x 与 点评

y=

x a x a + 的复合,可以进一步变式探讨 y = + 的单调性. a x a x

【例 4】已知 1992 年底世界人口达到 54.8 亿. (1)若人口的平均增长率为 1.2%,写出经过 t 年后的世界人口数 y(亿)与 t 的函数解析式; (2)若人口的平均增长率为 x%,写出 2010 年底世界人口数为 y(亿)与 x 的函数解析式. 如果要使 2010 年 的人口数不超过 66.8 亿,试求人口的年平均增长率应控制在多少以内? (1)经过 t 年后的世界人口数为 y = 54.8 × (1 + 1.2%)t = 54.8 × 1.012t , t ∈ N * . 解: (2)2010 年底的世界人口数 y 与 x 的函数解析式为 y = 54.8 × (1 + x%)18 . 由 y = 54.8 × (1 + x%)18 ≤ 66.8, 解得 x ≤ 100 × (18 所以,人口的年平均增长率应控制在 1.1%以内.

66.8 ? 1) ≈ 1.1 . 54.8

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