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山东省文登市2014届高三上学期期中统考数学(文)试题 Word版含答案


高三阶段测试 文倾向数学
2013.11

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分. 共 4 页.满分 150 分,考试 时间 120 分钟. 考试结束,将试卷答题卡交上,试题不交回.

第Ⅰ卷

选择题(共 60 分)

注意事项: 1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、

座号涂写在答题卡上. 2.选择题每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用 橡皮擦干净后,再选涂其他答案,不能答在试题卷上. 3.第Ⅱ卷试题解答要作在答题卡各题规定的矩形区域内,超出该区域的答案无效. 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合要求的. 1.若 ?=

11? ,则 tan? cos? = 3
B. ?

A.

1 2

1 2

C. ?

3 2

D.

3 2

2.已知集合 A ? {x | log 4 x ? 1} , B ? {x | x ? 2} ,则 A ? CR B ? A. (??, 2) B. (0, 2) C. (??, 2] D. [2, 4)

3.已知向量 a ? (3, 4) , b ? (2, ?1) ,如果向量 a ? xb 与 b 垂直,则 x 的值为 A. ?

?

?

?

?

?

2 3
| x| 2

B.

2 3

C.

2 5

D. ?

2 5

4.函数 f ( x) ? 2 ? x 的图像为

5.如果若干个函数的图象经过平移后能够重合,则称这些函数为“同簇函数” 给出下列 . 函数: ① f ( x) ? sin x cos x ; ② f ( x) ?

2 sin 2 x ? 1 ;

1

③ f ( x) ? 2sin( x ?

?
4

);

④ f ( x) ? sin x ? 3 cos x . C.②③ D.③④

其中“同簇函数”的是 A.①② B.①④ 6.若数列 ?an ? 的前 n 项和 S n ? A. ( )(?2) n?1

2 1 an ? ,则数列 ?an ? 的通项公式 an ? 3 3
C. (?2)
n? 2

1 2

B. ( )(?2) n
x x

1 2

D. (?2)
3 2

n?1

7.已知命题 p : ?x ? R , 2 ? 3 ;命题 q : ?x ? R , x ? 1 ? x ,则下列命题中为真命题的 是 A. p ? q B. p ? ?q C. ?p ? q D. ?p ? ?q

?x ? 1 3 ? 8.已知 a ? 0 , x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 3 ,若 z ? 2 x ? y 的最小值为 ,则 a ? 2 ? y ? a ( x ? 3) ?
A.

1 4

B.

1 2

C. 1
2

D. 2

9.在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,且 2cos

A? B cos B ? sin( A ? B)sin B 2

4 ? cos( A ? C ) ? ? .则 cos A ? 5 4 4 A. ? B. 5 5
f (1 ? x) ? 0 的解集是
A . (??,0) B. (0,??)

C.

3 5

D. ?

3 5

10.函数 f ( x ? 1) 是 R 上的奇函数, ?x1 , x2 ? R, ( x1 ? x2 )[ f ( x1 ) ? f ( x2 )] ? 0 ,则 C. (??, 2) D. (2, ??)

11.定义在 R 上的偶函数 f ( x) 满足 f ( x) ? ? B. ?2
x

1 且 f (4) ? ?2 ,则 f (2018) 的值为 f ( x ? 3)
D.

A. 4

C. 2
2

1 4

12.设函数 f (x ) ? e ? x ? 2, g (x ) ? ln x ? x ? 3 ,若实数 a, b 满足 f (a) ? 0, g (b ) ? 0 则 A. 0 ? g (a) ? f (b ) C. f (b ) ? 0 ? g (a) B. f (b ) ? g (a) ? 0 D. g (a) ? 0 ? f (b )

2

第Ⅱ卷

非选择题(共 90 分)
x

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案填在答题卡中相应题的横线上. 13.已知一元二次不等式 f (x)<0 的解集为 ? x |x <-2或x >2} ,则 f (10 )>0 的解集为 . 14. 3 ? 3
n n ?1


n ?1



?4?3

n?2

? 4 ??? 3? 4
2

?4 ?
n



1 a 15.设正数 a, b 满足 a ? b ? 2 , 则当 a ? ______时, ? 取得最小值. 2a b ???? ? ???? ???? ???? ???? 16.在 ?ABC 中, BC ? 3 BD , AD ? AB , A D ? 1 ,则 AC ? AD ?



三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分. 把解答写在答题卡中.解答应写出文字说明,证 明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分)

b 已知 a=(2cos ? , 2sin ? ),? (cos ? ,sin ? ) , 0 ? ? ? ? ? 2? .
(Ⅰ)若 a ? b ,求 | a ? 2b | 的值; (Ⅱ)设 c ? (2, 0) ,若 a ? 2b ? c ,求 ? , ? 的值.

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

18.(本小题满分 12 分) 已知函数 y ? f ( x) 和 y ? g ( x) 的图象关于 y 轴对称,且 f ( x) ? 2 x ? 4 x ? 2 .
2

(Ⅰ)求函数 y ? g ( x) 的解析式; (Ⅱ)当 k ?

4 k 1 时,解不等式 . ? f ( x) ? g ( x) x ? 1 2

19. (本小题满分 12 分) 设 {an } 是首项为 a ,公差为 d 的等差数列 (d ? 0) , S n 是其前 n 项和. (Ⅰ) 若 a2 ? a9 ? 130, a4 ? a7 ? 31 ,求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ) 记 bn ?

Sn 2 * * , n ? N ,且 b1,b2,b4 成等比数列,证明: Snk ? n Sk ( k , n ? N ). n

20.(本小题满分 12 分)

3

如图,游客在景点 A 处下山至 C 处有两条路径. 一条是从 A 沿直道步行到 C ,另一条是先从 A 沿索道 乘缆车到 B ,然后从 B 沿直道步行到 C .现有甲、 乙两 位游客从 A 处下山,甲沿 AC 匀速步行,速度为 C B A

50m / min .在甲出发 2 min 后,乙从 A 乘缆车到 B ,

在 B 处停留 1min 后,再从 B 匀速步行到 C .假设缆车匀速直线运动的速度为 130m / min , 索道 AB 长为 1040m ,经测量, cos A ? (Ⅰ) 求山路 AC 的长; (Ⅱ) 假设乙先到,为使乙在 C 处等待甲的时间不超过 3 分钟,乙步行的速度应控制在什 么范围内?

12 3 , cosC ? . 13 5

21. (本小题满分 12 分) 新晨投资公司拟投资开发某项新产品,市场评估能获得 10 ? 1000 万元的投资收益.现 公司准备制定一个对科研课题组的奖励方案:奖金 y (单位:万元)随投资收益 x (单位: 万元)的增加而增加,且奖金不低于 1 万元,同时不超过投资收益的 20% . (Ⅰ)设奖励方案的函数模型为 f ( x) ,试用数学语言表述公司对奖励方案的函数模型

f ( x) 的基本要求.
(Ⅱ)下面是公司预设的两个奖励方案的函数模型: ① f ( x) ?

x ?2; 150

② f ( x) ? 4 lg x ? 2.

试分别分析这两个函数模型是否符合公司要求.

22.(本小题满分14分) 设函数 f ( x) ? ln x ?

1 2 ax ? 2bx. 2

(Ⅰ)当 a ? ?3, b ? 1 时,求函数 f (x) 的最大值; (Ⅱ)令 F ( x) ? f ( x) ?

1 2 a 1 ,其图象上存在一点 P ( x0 , y0 ) , ax ? 2bx ? ( ? x ? 3 ) 2 x 2

4

使此处切线的斜率 k ?

1 ,求实数 a 的取值范围; 2

(Ⅲ)当 a ? 0 , b ? ?

1 , m ? 1 时,方程 f ( x) ? mx 有唯一实数解,求 m 的值. 2

5

201311 文倾向数学参考答案及评分标准
一、 CBCAD, DCAAC, BD
二、13. 三、 17 解: (Ⅰ)∵ a ? b ∴ a ? b ? 0
2 2 2 2 2 2 又 ∵ a ?| a | ? 4 cos ? ? 4sin ? ? 4 , b ?| b | ? cos ? ? sin ? ? 1 ? ? 3 分

? x |x < l g 2 }

14. 4n?1 ? 3n?1

15.

2 3

16.

3

? ?

?2

?

2

∴ | a ? 2b |

?

?

2

? ? ? a ? 2b

?

?

2

?2 ?? ? 2 ? a ? 4ab ? 4b ? 4 ? 4 ? 8 , ??????5 分

∴ | a ? 2b |? 2 2 .???????6 分 (Ⅱ)∵ a ? 2b ? (2cos ? ? 2cos ? , 2sin ? ? 2sin ? ) ? (2, 0)

?

?

?

?

∴?

?cos ? ? cos ? ? 1 即 ?sin ? ? sin ? ? 0

?cos ? ? 1 ? cos ? ? ?sin ? ? ? sin ?

???????8 分 ∴ cos ? ?

两 边 分 别 平 方 再 相 加 得 : 1 ? 2 ? 2cos ?

1 2

∴ cos ? ?

1 ? ? 10 分 2

∵ 0 ? ? ? ? ? 2? , 且 sin ? ? sin ? ? 0 ∴ ? ? ? , ? ?

1 3

5 ? ???????12 分 3

18. 解 : (Ⅰ) 设 函 数 y ? g ( x) 图 象上 任 意 一 点 P( x, y ) , 由 已 知点 p 关 于 y 轴 对 称 点

P '(? x, y) 一定在函数 y ? f ( x) 图象上???????2 分
代入 y ? 2 x ? 4 x ? 2 ,得 g ( x) ? 2 x ? 4 x ? 2 ???????4 分
2

2

(Ⅱ)由

1 ? k ( x ? 1) 4 k 整理得不等式为 ? ?0 x2 ?1 f ( x) ? g ( x) x ? 1

等价 ( x ? 1)( x ? 1)(k ( x ? 1) ? 1) ? 0. ????????6 分 当 k ? 0 ,不等式为 ( x ? 1) ? 0 ,解为 ?1 ? x ? 1 ??????7 分
2

当0 ? k ?

1 1 ,整理为 ( x ? 1)( x ? 1)( x ? 1 ? ) ? 0 ,解为 2 k

1 x ? (?1,1) ? ( ? 1, ??). ????????9 分 k

6

当 k ? 0 ,不等式整理为 ( x ? 1)( x ? 1)( x ? 1 ? ) ? 0 解为 x ? (?1,1) ? ( ??,

1 k

1 ? 1) .????????11 分 k

综上所述,当 k ? 0 ,解集为 {x | ?1 ? x ? 1} ;当 0 ? k ?

1 ,解集为 2

1 1 x ? (?1,1) ? ( ? 1, ??) ;当 k ? 0 ,解集为 x ? (?1,1) ? (??, ? 1) .????12 分 k k
19 解(Ⅰ)因为 {an } 是等差数列,由性质知 a2 ? a9 ? a4 ? a7 ? 31 ,????2 分
2 所以 a2 , a9 是方程 x ? 31x ? 130 ? 0 的两个实数根,解得 x1 ? 5, x2 ? 26 ,???4 分

∴ a2 ? 5, a9 ? 26,? d ? 3,? an ? 3n ? 1 或 a2 ? 26, a9 ? 5, d ? ?3, an ? ?3n ? 32 即 an ? 3n ? 1 或 an ? ?3n ? 32 .?????6 分 (Ⅱ)证明:由题意知∴ S n ? na ? ∴ bn ?

n(n ? 1) d 2
????7分

Sn n ?1 ?a? d n 2
2

∵ b1,b2,b4 成等比数列,∴ b2 ? b1b4 ∴ (a ? ∴

1 1 ad ? d 2 ? 0 2 4



1 1 d (a ? d ) ? 0 2 2

1 2 3 d ) ? a(a ? d ) ????8分 2 2 1 ∵d ? 0 ∴ a ? d ∴ d ? 2a ?10分 2

∴ S n ? na ?

n(n ? 1) n(n ? 1) d ? na ? 2a ? n 2 a 2 2
2 2 2

∴左边= S nk ? (nk ) a ? n k a
2

右边= n S k ? n k a
2 2 2

∴左边=右边∴ Snk ? n Sk ( k , n ? N )成立. ?????12分
*

12 3 , cosC ? 13 5 ? 5 4 ∴ A、C ? 0, ) sinA ? ∴ , sinC ? ???????2 分 ( 2 13 5
20 解: (Ⅰ) ∵ cos A ?

? ∴ sinB ? sin?? ? A ? C)? sin(A ? C) sinAcosC ? cosAsinC ? ( ?

63 ????4 分 65

7

根据

AB AC AB 1040 63 得 AC ? ? sin B ? ? ? 1260m 4 65 sinC sinB sinC 5

所以山路 AC 的长为 1260 米. ???????6分 (Ⅱ)由正弦定理

AC 1260 5 BC AC sin A ? ? 500 ( m ) ????8 分 得 BC ? ? 63 13 sinB sinA sinB 65

1260 126 1040 ,乙索道所用时间: ? ?8, 50 5 130 126 500 设乙的步行速度为 v m / min ,由题意得 0 ? ? (2 ? 1 ? 8 ? ) ? 3 ,???10 分 5 v 71 500 2500 625 整理得 0 ? ? ? 3,? ?v? 5 v 71 14 2500 625 ∴为使乙在 C 处等待甲的时间不超过 3 分钟,乙步行的速度应控制在 ( , ] 71 14
甲共用时间:

m / min 内.

???????12 分

21.解: (Ⅰ)由题意知,公司对奖励方案的函数模型 f ( x) 的基本要求是: 当 x ? ?10,1000? 时, ① f ? x ? 是增函数;② f ? x ? ? 1 恒成立;③ f ? x ? ? (Ⅱ)①对于函数模型 f ? x ? ? 则 f ? x ? ? 1 显然恒成立 而若使函数 f ( x) ?

x 恒成立???3 分 5

x ? 2 :当 x ? ?10,1000? 时, f ? x ? 是增函数, 150
??4 分

(29 x)min
求.

x x ? 2 ? 在 ?10,1000? 上恒成立,整理即 29x ? 300 恒成立,而 150 5 x ? 290 , ∴ f ? x ? ? 不 恒 成 立 . 故 该 函 数 模 型 不 符 合 公 司 要 5
??7 分

②对于函数模型 f ? x ? ? 4 lg x ? 2 : 当 x ? ?10,1000? 时, f ? x ? 是增函数,则 f ? x ? min ? f ?10 ? ? 4 lg10 ? 2 ? 2 ? 1 . ∴ f ? x ? ? 1 恒成立. 设 g ? x ? ? 4 lg x ? 2 ? ???8 分

x 4 lg e 1 ? . ,则 g ? ? x ? ? 5 x 5

8

当 x ? 10 时, g ? ? x ? ? 是减函数,

4 lg e 1 2 lg e ? 1 lg e 2 ? 1 ? ? ? ? 0 ,所以 g ? x ? 在 ?10,1000? 上 x 5 5 5
??10 分

从而 g ? x ? ? g ?10 ? ? 4 lg10 ? 2 ? 2 ? 0 . ∴ 4 lg x ? 2 ?

x x x ? 0 ,即 4 lg x ? 2 ? ,∴ f ? x ? ? 恒成立. 5 5 5
??12 分

故该函数模型符合公司要求. 22.解:(Ⅰ)依题意, f ( x) 的定义域为 (0, ??) , 当 a ? ?3, b ? 1 时, f ( x) ? ln x ?

3 2 x ? 2x , 2

f ?( x) ?

1 1 ? 3x 2 ? 2 x ????????2 分 ? 3x ? 2 ? x x
2

1 2 ;由 f ?( x) ? 0 ,得 3x ? 2 x ? 1 ? 0 , 3 1 1 1 解得 x ? 或 x ? ?1 .? x ? 0 ,? f ( x) 在 (0, ) 单调递增,在 ( , ??) 单调递减; 3 3 3 1 5 所以 f ( x) 的极大值为 f ( ) ? ? ln 3 ? ,此即为最大值????????4 分 3 6
由 f ?( x) ? 0 ,得 3x ? 2 x ? 1 ? 0 ,解得 ?1 ? x ? (Ⅱ) F ( x) ? ln x ? ∴ a ≥ (?

x ?a 1 a 1 1 , x ? [ ,3] ,则有 k ? F ?( x0 ) ? 0 2 ? , 在 x0 ? [ ,3] 上有解, x0 2 x 2 2

1 1 2 ???6 分 x0 ? x0 ) min , x0 ? [ ,3] 2 2 1 1 1 ? ? x0 2 ? x0 ? ? ( x0 ? 1)2 ? 2 2 2 1 2 9 3 3 所以 当 x0 ? 3 时, ? x 0 ? x 0 取得最小值 ? ? 3 ? ? ,? a ? ? ?????8 分 2 2 2 2 (Ⅲ)因为方程 f ( x) ? mx 有唯一实数解,所以 ln x ? x ? mx ? 0 有唯一实数解,??9 分 1 ? (1 ? m) x 设 g ( x) ? ln x ? x(1 ? m) ,则 g ?( x) ? . ,? x ? 0, m ? 1 ,所以由 g ?( x) ? 0 得 x 1 1 1 ,由 g ?( x) ? 0 得 x ? ,所以 g ( x) 在 (0, x? ) 上单调递增, m ?1 m ?1 m ?1 1 1 ?????11 分 g ( x) 在 ( , ??) 上单调递减, g ( x)max ? g ( ). m ?1 m ?1
若 ln x ? x ? mx ? 0 有唯一实数解,则必有

g(

1 1 1? m 1 1 ) ? ln ? ?0? ? e ? m ? 1? m ?1 m ?1 m ?1 m ?1 e

9

所以当 m ? 1 ? 时,方程 f ( x) ? mx 有唯一实数解.

1 e

???14 分

10


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