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2016绵阳一诊理科数学试题含答案


绵阳市高 2013 级第一次诊断性考试

数学(理工类)参考解答及评分标准
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. CDADD BACBC 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.

10? 12. 3 13.a≥2 11. ?0 ,
16.解 : (1)∵ m⊥n,



14.2

15.①③

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.

∴ m·n=(cosα,1-sinα)·(-cosα,sinα)=0, 即-cos2α+sinα-sin2α=0. ……………………………………………………3 分 由 sin2α+cos2α=1,解得 sinα=1, ∴ ? ? 2k? ?

?
2

,k∈Z.…………………………………………………………6 分

(2) ∵ m-n=(2cosα,1-2sinα), ∴ |m-n|= (2 cos? ) 2 ? (1 ? 2 sin? ) 2
? 4(cos2 ? ? sin2 ? ) ? 1 ? 4 sin?
? 5 ? 4 sin? ,

………………………………………………………9 分
1 , 2

∴ 5-4sinα=3,即得 sin? ? ∴ cos2? ? 1 ? 2 sin2 ? ?

1 .……………………………………………………12 分 2

17.解: (1)由已知 an+1=2an+λ,可得 an+1+λ=2(an+λ). ∵ a1=1, 当 a1+λ=0,即 λ=-1 时,an+λ=0,此时{an+λ}不是等比等列. …………3 分 当 a1+λ≠0,即 λ≠-1 时,

an?1 ? ? ? 2 (常数) . an ? ?

此时,数列 {an ? ?} 是以 a1 ? ? ? 1 ? ? 为首项,2 为公比的等比数列, ∴ an ? ? ? (1 ? ? ) ? 2n ?1 ,于是 an ? ? ? (1 ? ? ) ? 2n ?1 . (2)当 λ=1 时,an=2 -1,
n

………………………6 分

n . ……………………………………………………………………7 分 2n 1 2 3 n ∴ Sn ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n , 2 2 2 2 1 1 2 3 n 1 两边同乘以 ,得 Sn ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? n?1 , 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 n 两式相减得 Sn ? ? 2 ? ? ? n ? n?1 2 2 2 2 2 1 1 (1 ? n ) 2 ? n ? 2 1 2 n?1 1? 2
∴ bn ?

? 1?
∴ Sn ? 2 ?

1 n ? n?1 , n 2 2

1 n ? n .…………………………………………………………12 分 n?1 2 2

18.解: (1)设第 n 年的受捐贫困生的人数为 an,捐资总额为 bn. 则 an =80+(n-1)a,bn=50+(n-1)×10=40+10n. ……………………………2 分 ∴ 当 a=10 时,an=10n+70,



bn 40 ? 10n ? ? 0.8 , an 10n ? 70

解得:n>8. ……………………………………………………………………5 分 即从第 9 年起受捐大学生人均获得的奖学金才能超过 0.8 万元. …………6 分 (2)由题意: 即

bn ?1 bn ? , an ?1 an

40 ? 10(n ? 1) 40 ? 10n ? ,………………………………………………8 分 80 ? na 80 ? (n ? 1)a

整理得 (5+n)[80+(n-1)a]-(4+n)(80+na)>0, 即 400+5na-5a+80n+n2a-na-320-4na-80n-n2a>0, 化简得 80-5a>0, 解得 a<16,……………………………………………………………………11 分 ∴ 要使人均奖学金年年有增加,资助的大学生每年净增人数不超过 15 人. ……………………………………………12 分 19.解: (1)在 Rt△ABC 中,AC=ABcos60?= 6 ? ∵ CD ? CA ? AD , ∴ CD ? CA ? (CA ? AD) ? CA ? CA ? AD ? CA
2

1 1 ? 3 , AD ? AB ? 2 . 2 3

?| CA|2 ? | AD | ? | CA| ? cos ? AD , CA ?
=9+2×3×cos120? =6.…………………………………………………………………4 分 (2)在△ACD 中,∠ADC=180?-∠A-∠DCA=120?-θ,

3 3? CD AC 3 3 2 由正弦定理可得 ,即 CD ? . ? ? sin(120? ? ? ) 2 sin(120? ? ? ) sin A sin ?ADC
……………………… ………………5 分 在△AEC 中,∠ACE=θ+30?,∠AEC=180?-60?-(θ+30?)=90?-θ,

3 3? CE AC 3 3 2 由正弦定理可得: ,即 CE ? , ? ? sin(90? ? ? ) 2 cos ? sin A sin ?AEC


…6 分

1 1 3 3 3 3 S ?DCE ? CD ? CE ? sin 30? ? ? ? 2 4 2 sin(120? ? ? ) 2 cos ?
? 27 1 ? , 16 sin(120? ? ? ) ? c o ? s
…………………7 分

令 f(θ)=sin(120?-θ)cosθ,0?≤θ≤60?, ∵ f(θ)=(sin120?cosθ-cos120?sinθ)cosθ

?

3 1 cos 2 ? ? sin? cos ? 2 2

? ? ?

3 1 ? cos 2? 1 1 ? ? ? sin 2? 2 2 2 2 3 1 3 1 ? ( cos 2? ? sin 2? ) 4 2 2 2 3 1 ? sin(2? ? 60?) ,………………………………………………10 分 4 2

由 0?≤θ≤60?,知 60?≤2θ+60?≤180?, ∴ 0≤sin(2θ+60?)≤1, ∴

3 3 1 ? , ≤f(θ)≤ 4 4 2 1 4 3 ≤ , f (? ) 3

∴ 4(2 ? 3 ) ≤ ∴

27 3 27 .……………………………………………12 分 (2 ? 3 ) ≤ S ?DCE ≤ 12 4

20.解: (1) f ?( x) ? 3ax 2 ? bx ? c , 由题意得 3ax2+bx+c≥0 的解集为{x|-2≤x≤1}, ∴ a<0,且方程 3ax2+bx+c=0 的两根为-2,1. 于是 ?

b c ? ?1 , ? ?2 , 3a 3a

得 b=3a,c=-6a. ………………………………………………………………2 分 ∵ 3ax2+bx+c<0 的解集为{x|x<-2 或 x>1}, ∴ f(x)在(-∞,-2)上是减函数,在[-2,1]上是增函数,在(1,+∞)上是减函数. ∴ 当 x=-2 时 f(x)取极小值,即-8a+2b-2c-1=-11, 把 b=3a,c=-6a 代入得-8a+6a+12a-1=-11, 解得 a=-1.………………………………………………………………………5 分 (2)由方程 f(x)-ma+1=0,可整理得 ax3 ? bx2 ? cx ? 1 ? ma ? 1 ? 0 ,

1 2

3 2 ax ? 6ax ? ma . 2 3 ∴ m ? x3 ? x 2 ? 6 x .…………………………………………………………7 分 2 3 令 g ( x) ? x3 ? x 2 ? 6x , 2
即 ax3 ? ∴ g ?( x) ? 3x 2 ? 3x ? b ? 3( x ? 2)( x ? 1) . 列表如下: x (-∞,-2) + ↗ -2 0 极大值 (-2,1) ↘ 1 0 极小值 (1,+∞) + ↗

g ?( x)
g(x) ∴

g(x)在[-3,-2]是增函数,在[-2,0]上是减函数.……………………11 分

又∵ g (?3) ?

9 ,g(-2)=10,g(0)=0, 2 3 2 x ? 6x 仅有一个交点, 2

由题意,知直线 y=m 与曲线 g ( x) ? x3 ? 于是 m=10 或 0<m< 21.解: (1) f ?( x) ?
9 . 2

………………………………………………………13 分

1 x , ?1 ? x ?1 x ?1 ∴当 x∈(-1,0)时, f ?( x) ? 0 ,即 f(x)在(-1,0)上是增函数,
当 x∈(0,+∞)时, f ?( x) ? 0 ,即 f(x)在(0,+∞)上是减函数. ∴ f(x)的单调递增区间为(-1,0),单调递减函数区间为(0,+∞).………3 分

3 3 (2)由 f(x-1)+x>k (1 ? ) 变形得 ln x ? ( x ? 1) ? x ? k (1 ? ) , x x
整理得 xlnx+x-kx+3k>0, 令 g(x)=xlnx+x-kx+3k,则 g ?( x) ? ln x ? 2 ? k. ∵ x>1, ∴ lnx>0 若 k≤2 时, g ?( x) ? 0 恒成立,即 g(x)在(1,+∞)上递增, ∴ 由 g(1)>0 即 1+2k>0 解得 k ? ? ∴ ?

1 , 2

1 ? k ? 2. 2

又∵ k∈Z, ∴ k 的最大值为 2. 若 k>2 时,由 lnx+2-k>0 解得 x> e k ? 2 ,由 lnx+2-k<0,解得 1<x< e k ? 2 . 即 g(x)在(1, e k ? 2 )上单调递减,在( e k ? 2 ,+∞)上单调递增. ∴ g(x)在(1,+∞)上有最小值 g( e k ? 2 )=3k- e k ? 2 , 于是转化为 3k- e k ? 2 >0(k>2)恒成立,求 k 的最大值. 令 h(x)=3x- e x ? 2 ,于是 h?( x) ? 3 ? e x?2 . ∵ 当 x>2+ln3 时, h?( x) ? 0 ,h(x)单调递减,当 x<2+ln3 时 h?( x) ? 0 ,h(x)单调递增. ∴ h(x)在 x=2+ln3 处取得最大值. ∵ 1<ln3<2, ∴ 3<2+ln3<4, ∵ h(1) ? 3 ? ∴ k≤4. ∴ k 的最大取值为 4. ∴ 综上所述,k 的最大值为 4.…………………………………………………9 分 (3)假设存在这样的 x0 满足题意,则

1 ? 0 ,h(2+ln3)=3+3ln3>0,h(4)=12-e2>0,h(5)=15-e3<0, e

由 e f ( x0 ) ? 1 ?

a 2 x ?1 a 2 . x0 等价于 x0 ? 0 x0 ? 1 ? 0 (*) 2 e 2

要找一个 x0>0,使(*)式成立,只需找到当 x>0 时,函数 h(x)= h(x)min 满足 h(x)min<0 即可. ∵ h?( x ) ? x ( a ?

a 2 x ?1 x ? x ? 1 的最小值 2 e

1 ), ex

1 ,则 x=-lna,取 x0=-lna, a 在 0<x<x0 时, h?( x) <0,在 x>x0 时, h?( x) >0,
令 h?( x) =0,得 ex=

a (ln a) 2 ? a ln a ? a ? 1 , 2 a 下面只需证明:在 0<a<1 时, (ln a) 2 ? a ln a ? a ? 1 <0 成立即可. 2 a 又令 p(a)= (ln a) 2 ? a ln a ? a ? 1 ,a∈(0,1), 2 1 则 p?(a) ? (ln a)2 ≥0,从而 p(a)在 a∈(0,1)时为增函数. 2
∴ h(x)min=h(x0)=h(-lna)= ∴ p(a)<p(1)=0,因此 x0=-lna 符合条件,即存在正数 x0 满足条件. …………………………………………………14 分


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