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2015高考数学(人教版A版)一轮配套题库:2-9函数与方程


第九节

函数与方程

时间:45 分钟 分值:75 分 一、选择题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) 2 1.函数 f(x)=ln(x+1)-x 的零点所在的大致区间是( A.(0,1) C.(2,e) B.(1,2) D.(3,4) )

解析 ∵f(1)=ln2-2<0,f(2)=ln3-1

>0, ∴f(1)· f(2)<0.故选 B. 答案 B

2.函数 y=f(x)在区间(-1,1)上的图象是连续的,且方程 f(x)=0 在(-1,1)上仅有一个实根 0,则 f(-1)· f(1)的值( A.大于 0 C.等于 0 B.小于 0 D.无法确定 )

解析 由题意知 f(x)在(-1,1)上有零点 0,该零点可能是变号零 点,也可能是不变号零点, ∴f(-1)· f(1)符号不定,如 f(x)=x2,f(x)=x. 答案 D )

3.(2013· 天津卷)函数 f(x)=2x|log0.5x|-1 的零点个数为( A.1 C.3 解析 B.2 D.4

1 1 f(x)=2x|log0.5x|-1=0,得 |log0.5x|=2x,即|log0.5x|=(2)x,

1 所以问题转化为 y=|log0.5x|与 y=(2)x 图象的交点个数. 在同一坐标系 1 中作出函数 y=|log0.5x|与 y=(2)x 的图象,易知交点个数为 2.

答案

B
-x

x≥0, ?2 , 4.(2014· 厦门市质检)设函数 f(x)=? 1 ?log2?-x?,x<0. =f(x)-(x2+1)的零点个数为( A.1 ) B.2

则函数 y

C.3 解析

D.4 y=f(x)-(x2+1)的零点个数等于 y=f(x)与 y=x2+1 的交

点个数,由图可知,选 B. 答案 B

5.(2014· 河北质监)若 f(x)是奇函数,且 x0 是 y=f(x)+ex 的一个 零点,则-x0 一定是下列哪个函数的零点( A.y=f(-x)ex-1 C.y=exf(x)-1 解析 )

B.y=f(x)e-x+1 D.y=exf(x)+1

答案

C

? ?0,x≤0, 6.(2014· 乌鲁木齐第一次诊断)已知函数 f(x)=? x 则使 ?e ,x>0, ?

函数 g(x)=f(x)+x-m 有零点的实数 m 的取值范围是( A.[0,1) B.(-∞,1) C.(-∞,1]∪(2,+∞) D.(-∞,0]∪(1,+∞)

)

解析 函数 g(x)=f(x)+x-m 的零点就是方程 f(x)+x=m 的根,
?x,x≤0, ? 作出 h(x)=f(x)+x=? x 的大致图象(图略), 观察它与直线 y ? ?e +x,x>0

=m 的交点,得知当 m≤0 或 m>1 时有交点,即函数 g(x)=f(x)+x- m 有零点,选 D. 答案 D

二、填空题(本大题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分) 7.如果函数 f(x)=ax+b(a≠0)有一个零点是 2,那么函数 g(x) =bx2-ax 的零点是________. 解析 由已知条件 2a+b=0,即 b=-2a. 1 g(x)=-2ax2-ax=-2ax(x+2), 1 则 g(x)的零点是 0,-2 1 答案 0,-2 8.函数 f(x)=3x-7+lnx 的零点位于区间(n,n+1)(n∈N)内,则 n=________. 解析 求函数 f(x)=3x-7+lnx 的零点,可以大致估算两个相邻 自然数的函数值,如 f(2)=-1+ln2,由于 ln2<lne=1,所以 f(2)<0,

f(3)=2+ln3,由于 ln3>1,所以 f(3)>0,所以函数 f(x)的零点位于区 间(2,3)内,故 n=2. 答案 2 9. (2014· 长春调研)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)+f(x+5)=16, 当 x∈(-1,4]时,f(x)=x2-2x,则函数 f(x)在[0,2 013]上的零点个数是 ________. 解析 由 f(x)+f(x+5)=16,可知 f(x-5)+f(x)=16,则 f(x+5) -f(x-5)=0, 所以 f(x)是以 10 为周期的周期函数, 在一个周期(-1,9] 上,函数 f(x)=x2-2x 在(-1,4]区间内有 3 个零点,在(4,9]区间内无 零点,故 f(x)在一个周期内仅有 3 个零点,由于区间(3,2 013]中包含 201 个周期, 且在区间[0,3]内也存在一个零点 x=2, 故 f(x)在[0, 2 013] 上的零点个数为 3×201+1=604. 答案 604 三、解答题(本大题共 3 小题,每小题 10 分,共 30 分) x 1 10.已知函数 f(x)=x3-x2+2+4. 1? ? 证明:存在 x0∈?0,2?,使 f(x0)=x0.
? ?

证明 令 g(x)=f(x)-x. 1 ?1? ?1? 1 1 ∵g(0)=4,g?2?=f?2?-2=-8,
? ? ? ? ?1? ∴g(0)· g?2?<0. ? ?

1? ? 又函数 g(x)在?0,2?上连续,
? ?

1? ? ∴存在 x0∈?0,2?,使 g(x0)=0,即 f(x0)=x0.
? ?

11.若函数 f(x)=ax2-x-1 有且仅有一个零点, 求实数 a 的取值

范围. 解 (1)当 a=0 时,函数 f(x)=-x-1 为一次函数,则-1 是函

数的零点,即函数仅有一个零点. (2)当 a≠0 时,函数 f(x)=ax2-x-1 为二次函数,并且仅有一个 零点,则一元二次方程 ax2-x-1=0 有两个相等实根.则 Δ=1+4a 1 =0,解得 a=-4. 1 综上,当 a=0 或 a=-4时,函数仅有一个零点. 12.(2013· 江西七校联考)已知函数 f(x)=log4(4x+1)+kx(k∈R)为 偶函数. (1)求 k 的值; (2)若方程 f(x)=log4(a· 2x-a)有且只有一个根, 求实数 a 的取值范 围. 解 (1)∵f(x)为偶函数,∴f(-x)=f(x),

即 log4(4-x+1)-kx=log4(4x+1)+kx, 1 即(2k+1)x=0,∴k=-2. 1 (2)依题意有 log4(4x+1)-2x =log4(a· 2x-a),
x ? 2x-a?· 2x, ?4 +1=?a· 即? x ?a· 2 -a>0, ?

令 t=2x,则(1-a)t2+at+1=0(*), 只需其有一正根即可满足题意. ①当 a=1,t=-1 时,不合题意. ②(*)式有一正一负根 t1,t2,即

?Δ=a -4?1-a?>0, ?t t = 1 <0, ? 1 2 1-a
a , 2?a-1?

2

得 a>1, 经验证正根满足 at-a>0, ∴a>1.

③(*)式有相等两根,即 Δ=0?a=± 2 2-2, 此时 t=

若 a=2( 2-1),则有 t=

a <0,此时方程(1-a)t2+at+1 2?a-1?

=0 无正根,故 a=2( 2-1)舍去; 若 a=-2( 2+1),则有 t= a?2-a? a a[ -1]= >0, 2?a-1? 2?a-1? 因此 a=-2( 2+1). 综上所述,a>1 或 a=-2-2 2. a >0,且 a· 2x-a=a(t-1)= 2?a-1?


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