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《创新设计 高考总复习》2014届高考数学( 全国专用)一轮复习:第八篇 第2讲 空间几何体的表面积与体积


第2讲

空间几何体的表面积与体积

A级

基础演练

(时间:30 分钟 满分:55 分)
一、选择题(每小题 5 分,共 20 分) 1. (2013· 东北三校一模)一个几何体的三视图如图所示, 则侧视图的面积为( ).

A.2+ 3 C.2+2 3


B.1+ 3 D.4+ 3

1 解析 依题意得,该几何体的侧视图的面积等于 22+2×2× 3=4+ 3. 答案 D 2.(2011· 湖南)设右图是某几何体的三视图,则该几 何体的体积为 9 A.2π+12 9 B.2π+18 C.9π+42 D.36π+18 ( ).

解析 该几何体是由一个球与一个长方体组成的组合体, 球的直径为 3, 长方 4 ?3? 9 体的底面是边长为 3 的正方形,高为 2,故所求体积为 2×32+3π?2?3=2π+ ? ? 18. 答案 B 3. 一个几何体的三视图如图所示, 那么此几何体的侧面积(单位: 2)为 cm ( ).

A.48 解析

B.64

C.80

D.120

据三视图知,该几何体是一个正四棱

锥(底面边长为 8),直观图如图,PE 为侧面 △PAB 的边 AB 上的高,且 PE=5.∴此几何 1 体 的 侧 面 积 是 S = 4S △ PAB = 4× ×8×5 = 2 80(cm2). 答案 C 4. (2012· 新课标全国)已知三棱锥 S-ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上, △ABC 是边长为 1 的正三角形,SC 为球 O 的直径,且 SC=2,则此棱锥的体积为 ( 2 A. 6 3 B. 6 2 C. 3 2 D. 2 ).

解析 在直角三角形 ASC 中,AC=1,∠SAC=90° ,SC=2,∴SA= 4-1= 3;同理 SB= 3.过 A 点作 SC 的垂线交 SC 于 D 点,连接 DB,因△SAC≌ △SBC, BD⊥SC, SC⊥平面 ABD, 故 故 且平面 ABD 为等腰三角形, 因∠ASC 1 3 1 =30° ,故 AD=2SA= 2 ,则△ABD 的面积为2×1× 2 1 2 2 = 4 ,则三棱锥的体积为3× 4 ×2= 6 . 答案 A ?1? AD2-?2?2 ? ?

二、填空题(每小题 5 分,共 10 分) 5.已知 S、A、B、C 是球 O 表面上的点,SA⊥平面 ABC,AB⊥BC,SA=AB= 1,BC= 2,则球 O 的表面积等于________. 解析 将三棱锥 S-ABC 补形成以 SA、AB、BC 为棱的长方体,其对角线 SC 为球 O 的直径,所以 2R=SC=2,R=1,∴表面积为 4πR2=4π. 答案 4π 6.(2012· 天津)一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为 ________ m3.

解析 由三视图可知,该几何体是组合体,上面是长、宽、高分别是 6,3,1 的 3 4 ?3? 长方体,下面是两个半径均为 的球,其体积为 6×3×1+2× ×π×?2?3=18 2 3 ? ? +9π(m3). 答案 18+9π 三、解答题(共 25 分) 7.(12 分)如图,已知某几何体的三视图如下(单位:cm):

(1)画出这个几何体的直观图(不要求写画法); (2)求这个几何体的表面积及体积.

解 (1)这个几何体的直观图如图所示. (2)这个几何体可看成是正方体 AC1 及直三棱柱 B1C1Q -A1D1P 的组合体.由 PA1=PD1= 2,A1D1=AD=2, 可得 PA1 ⊥PD1.故所求几何体的表面积 S=5×22 + 1 2×2× 2+2×2×( 2)2=22+4 2(cm2), 1 体积 V=23+2×( 2)2×2=10 (cm3). 8.(13 分)在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,底面为直角三角 形,∠ACB=90° ,AC=6,BC=CC1= 2,P 是 BC1 上一动点,如图所示,求 CP+PA1 的最小值. 解 PA1 在平面 A1BC1 内,PC 在平面 BCC1 内,将其 铺平后转化为平面上的问题解决.铺平平面 A1BC1、 平面 BCC1, 如图所示. 计算 A1B=AB1= 40, 1=2, A1C1=6, BC 又 故△A1BC1 是∠A1C1B=90° 的直角三角形.

CP+PA1≥A1C.在△AC1C 中,由余弦定理,得 A1C= 62+? 2?2-2· 2· 135° 50=5 2, 6· cos = 故(CP+PA1)min=5 2.

B级

能力突破

(时间:30 分钟 满分:45 分)
一、选择题(每小题 5 分,共 10 分) 1.(2012· 哈尔滨模拟)某品牌香水瓶的三视图如下(单位:cm),则该几何体的表 面积为 ( ).

π? ? A.?95-2?cm2 ? ? π? ? C.?94+2?cm2 ? ?

π? ? B.?94-2?cm2 ? ? π? ? D.?95+2?cm2 ? ?

解析 该几何体的上下为长方体,中间为圆柱. S
表面积

=S

下长方体

+S

上长方体

+S

圆柱侧

-2S

圆柱底

=2×4×4+4×4×2+2×3×3+

1 π ?1? 4×3×1+2π×2×1-2×π?2?2=94+2. ? ? 答案 C 2. (2013· 福州模拟)如图所示, 已知三棱柱 ABC-A1B1C1 的所有棱长均为 1,且 AA1⊥底面 ABC,则三棱锥 B1-ABC1 的体积为 3 A. 12 6 C. 12 解析 3 B. 4 6 D. 4 三棱锥 B1-ABC1 的体积等于三棱锥 A-B1BC1 的体积,三棱锥 A- ( ).

3 1 1 1 3 3 B1BC1 的高为 2 ,底面积为2,故其体积为3×2× 2 = 12 . 答案 A

二、填空题(每小题 5 分,共 10 分) 3.(2013· 江西盟校二联)已知某几何体的直观图及三 视图如图所示, 三视图的轮廓均为正方形, 则该几 何体的表面积为________.

解析 借助常见的正方体模型解决.由三视图 知,该几何体由正方体沿面 AB1D1 与面 CB1D1 截去两个角所得,其表面由两个等边三角形、 四个直角三角形和一个正方形组成.计算得其 表面积为 12+4 3. 答案 12+4 3 4.(2012· 长春二模)如图所示,正方体 ABCD- A1B1C1D1 的棱长为 6,则以正方体 ABCD- A1B1C1D1 的中心为顶点,以平面 AB1D1 截正方 体外接球所得的圆为底面的 圆锥的全面积为 ________. 解析 设 O 为正方体外接球的球心,则 O 也是 正方体的中心, 到平面 AB1D1 的距离是体对角 O 1 线长的6,即为 3.又球的半径是正方体对角线长的一半,即为 3 3,由勾股 定理可知,截面圆的半径为 ?3 3?2-? 3?2 =2 6,圆锥底面面积为 S1 = π·(2 6)2=24π,圆锥的母线即为球的半径 3 3,圆锥的侧面积为 S2=π×2 6 ×3 3=18 2π.因此圆锥的全面积为 S=S2+S1=18 2π+24π=(18 2+24)π. 答案 (18 2+24)π

三、解答题(共 25 分) 5.(12 分)(2013· 杭州模拟)如图,在四边形 ABCD 中, ∠DAB=90° ,∠ADC=135° ,AB=5,CD=2 2, AD=2,求四边形 ABCD 绕 AD 旋转一周所成几何 体的表面积及体积. 解 由已知得:CE=2,DE=2,CB=5, S 表面=S 圆台侧+S 圆台下底+S 圆锥侧=π(2+5)×5+π×25+π×2×2 2=(60+4 2)π, 1 1 148 V=V 圆台-V 圆锥=3(π·22+π·52+ 22·2π2)×4-3π×22×2= 3 π. 5 6.(13 分)如图(a),在直角梯形 ABCD 中,∠ADC=90° ,CD∥AB,AB=4,AD =CD=2,将△ADC 沿 AC 折起,使平面 ADC⊥平面 ABC,得到几何体 D- ABC,如图(b)所示.

(1)求证:BC⊥平面 ACD; (2)求几何体 D-ABC 的体积. (1)证明 在图中,可得 AC=BC=2 2,

从而 AC2+BC2=AB2, 故 AC⊥BC, 又平面 ADC⊥平面 ABC,平面 ADC∩平面 ABC=AC,BC?平面 ABC,∴BC ⊥平面 ACD. (2)解 由(1)可知,BC 为三棱锥 B-ACD 的高,BC=2 2,S△ACD=2,

1 1 4 2 ∴VB-ACD= S△ACD· BC= ×2×2 2= , 3 3 3 4 2 由等体积性可知,几何体 D-ABC 的体积为 3 .


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