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正弦定理和余弦定理应用


正弦定理和余弦定理应用
一、解答题 1、如图,一艘船以 32.2n mile/h 的速度向正北航行.在A处看灯塔S在船的北偏东 20 的
方向,30 min 后航行到B处,在B处看灯塔在船的北偏东 65 的方向,已知距离此灯塔 6.5n mile 以外的海区为航行安全区域,这艘船可以继续沿正北方向航行吗?

65

S



B

西



20

南 A

2、 如图,在山脚 A 测得出山顶 P 的仰角为 a ,沿倾斜角为 ? 的斜坡向上走 a 米到 B ,在 B
处 测 得 山 顶

P









?













h?

a sin a sin ?? ? ? ? sin ?? -a ?





γ
C Q B

a
β

α



3 、 测山上石油钻井的井架 BC 的高,从山脚 A 测得 AC ? 65.3m,塔顶 B 的仰角 ? 是
25 25? .
已知山坡的倾斜角是 17 38? ,求井架的高





BC .



β

α

D

4、(6739)第 4 题. 如图,货轮在海上以 35n mile / h 的速度沿着方位角(从指北方向顺时针
转到目标方向线的水平角)为 148 的方向航行.为了确定船位,在 B 点观察灯塔 A 的方位 角是 126 ,航行半小时后到达C点,观察灯塔 A 的方位角是 78 .求货轮到达C点时与灯塔

B

126

A
78
A 的距离(精确到1 n mile) .

C

5、轮船 A 和轮船 B 在中午 12 时离开海港 C,两艘轮船的航行方向之间的夹角为 120 ,轮
船 A 的航行速度是 25 n mile/h,轮船 B 的航行速度是 15 n mile/h,下午 2 时两船之间的距离 是多少?

6、如图,已知一艘船从 30 n mile/h 的速度往北偏东 10 的 A 岛行驶,计划到达 A 岛后停留
10 min 后继续驶往 B 岛,B 岛在 A 岛的北偏西 60 的方向上.船到达C处时是上午 10 时整, 此时测得 B 岛在北偏西 30 的方向,经过 20 min 到达D处,测得 B 岛在北偏西 45 的方向, 如果一切正常的话,此船何时能到达 B 岛?

B
60

45 30
30

A

20 min

C

7 、 一架飞机在海拔 8000m 的高度飞行,在空中测出前下方海岛两侧海岸俯角分别是
27 和 39 ,计算这个海岛的宽度.

27 8000m

39

P

Q

8、一架飞机从 A 地飞到 B 到,两地相距 700km.飞行员为了避开某一区域的雷雨云层,从
机场起飞后,就沿与原来的飞行方向成 21 角的方向飞行,飞行到中途,再沿与原来的飞行 方向成 35 夹角的方向继续飞行直到终点.这样飞机的飞行路程比原来路程 700km 远了多 少?

C
35
700km

A

21

B

9、为测量某塔的高度,在 A,B 两点进行测量的数据如图所示,求塔的高度.

10、A,B 两地相距 2558m,从 A,B 两处发出的
两束探照灯光照射在上方一架飞机的机身上(如图) ,飞机离

两个探照灯的距离是多少?飞机的高度是多少?

A

72.3

76.5

B

11、一架飞以 326km/h 的速度,沿北偏东 75 的航向从城市 A 出发向城市 B 飞行,18min
以后, 飞机由于天气原因按命令改飞另一个城市 C, 问收到命令时飞机应该沿什么航向飞行, 此时离城市 C 的距离是多少?

12 、 飞机的航线和山顶在同一个铅垂平面内,已知飞机的高度为海拔 20250m,速度为
1000km/h,飞行员先看到山顶的俯角为 18 30? ,经过 150s 后又看到山顶的俯角为 81 ,求 山顶的海拔高度(精确到 1m) .

18 ?30'

81 ?

13、一个人在建筑物的正西 A 点,测得建筑物顶的仰角是 ? ,这个人再从 A 点向南走到 B
点,再测得建筑物顶的仰角是 ? ,设 A , B 间的距离是 a .

D

h

A

?

C

a

?

B

二、填空题 2 2 2 2 2 2 14、 在△ABC 中, 若 a >b +c , 则△ABC 为________三角形; 若 a =b +c , 则△ABC 为________
三角形;若 a <b +c 且 b <a +c 且 c <a +b ,则△ABC 为______三角形.
2 2 2 2 2 2 2 2 2

15、在△ABC 中,sinA∶sinB∶sinC=3∶2∶4,则 cosC 的值为__________.

16、在△ABC 中,若 a2+b2<c2,且 sinC=

3 ,则 C=________. 2

17、在△ABC 中,A、B、C 所对边分别为 a、b、c,且(a+b+c)?(b+c-a)=3bc,则角 A
等于__________.

18、△ABC 中,

abc cosA cosB cosC ( + + )=__________. a2+b2+c2 a b c

19 、 设 a 、 b、 c 是△ABC 的三边长,对任意实数 x , f(x) = b2x2 + (b2+ c2 - a2)x+ c2 有
f(x)________0.

三、解答题 20、在△ABC 中,D 为边 BC 上一点,BD= DC,∠ADB=120°,AD=2.若△ADC 的面积为 3
- 3,求∠BAC. 1 2

21、已知在△ABC 中,A=45°,AB= 6,BC=2,解此三角形.

四、选择题 22、若点 P 在点 Q 的北偏西 45° 10′方向上,则点 Q 在点 P 的(
A.南偏西 45° 10′ C.南偏东 45° 10′ B.南偏西 44° 50′ D.南偏东 44° 50′

)

23、已知两灯塔 A 和 B 与海洋观测站 C 的距离都等于 a km,灯塔 A 在观测站 C 的北
偏东 20° 方向上, 灯塔 B 在观测站 C 的南偏东 40° 方向上, 则灯塔 A 与灯塔 B 的距离为( A.a km B. 3a km C. 2a km D.2a km )

24、海上有 A、B 两个小岛相距 10 n mile,从 A 岛望 C 岛和 B 岛成 60° 的视角,从 B 岛望 C 岛和 A 岛成 75° 的视角,则 B、C 间的距离是( ) 10 6 A.10 3 n mile B. n mile 3 C.5 2 n mile D.5 6 n mile

25、如图所示,设 A、B 两点在河的两岸,一测量者在 A 的同侧,在 A 所在的河岸边
选定一点 C,测出 AC 的距离为 50 m,∠ACB=45° ,∠CAB=105° 后,就可以计算 A、B 两 点的距离为( )

A.50 2 m C.25 2 m

B.50 3 m 25 2 D. m 2

26、如图,一货轮航行到 M 处,测得灯塔 S 在货轮的北偏东 15° ,与灯塔 S 相距 20 海里,随后货轮按北偏西 30° 的方向航行 30 分钟后到达 N 处,又测得灯塔在货轮的东北方 向,则货轮的速度为( )

A.20( B.20( C.20( D.20(

6+ 6- 6+ 6-

2) 2) 3) 3)

海里/小时 海里/小时 海里/小时 海里/小时

27、甲船在岛 B 的正南 A 处,AB=10 千米,甲船以每小时 4 千米的速度向正北航行, 同时,乙船自 B 出发以每小时 6 千米的速度向北偏东 60° 的方向驶去.当甲、乙两船相距最 近时,它们所航行的时间是( ) 150 15 A. 分钟 B. 小时 7 7 C.21.5 分钟 D.2.15 分钟

五、填空题 28、如图,A、B 两点间的距离为________.

29、如图,A、N 两点之间的距离为________.

30、如图所示,为了测定河的宽度,在一岸边选定两点 A、B,望对岸标记物 C,测得 ∠CAB=30° ,∠CBA=75° ,AB=120 m,则河的宽度为______.

31、太湖中有一小岛,沿太湖有一条正南方向的公路,一辆汽车测得小岛在公路的南 偏西 15° 的方向上,汽车行驶 1 km 后,又测得小岛在南偏西 75° 的方向上,则小岛到公路的 距离是________ km.

六、解答题 32、如图,某货轮在 A 处看灯塔 B 在货轮的北偏东 75° ,距离为 12 6 n mile,在 A
处看灯塔 C 在货轮的北偏西 30° ,距离为 8 3 n mile,货轮由 A 处向正北航行到 D 处时, 再看灯塔 B 在北偏东 120° 方向上,求:

(1)A 处与 D 处的距离; (2)灯塔 C 与 D 处的距离.

33、 如图, 为测量河对岸 A、 B 两点的距离, 在河的这边测出 CD 的长为 km, ∠ADB 2
=∠CDB=30° ,∠ACD=60° ,∠ACB=45° ,求 A、B 两点间的距离.

3

七、选择题 34、台风中心从 A 地以每小时 20 千米的速度向东北方向移动,离台风中心 30 千米内
的地区为危险区,城市 B 在 A 的正东 40 千米处,B 城市处于危险区内的持续时间为( A.0.5 小时 B.1 小时 C.1.5 小时 D.2 小时 )

八、解答题 35、如图所示,甲船以每小时 30 2海里的速度向正北方向航行,乙船按固定方向匀速
直线航行.当甲船位于 A1 处时,乙船位于甲船的北偏西 105° 方向的 B1 处,此时两船相距 20 海里.当甲船航行 20 分钟到达 A2 处时,乙船航行到甲船的北偏西 120° 方向的 B2 处,此 时两船相距 10 2海里.问乙船每小时航行多少海里?

九、选择题 36、从 A 处望 B 处的仰角为 α,从 B 处望 A 处的俯角为 β,则 α 与 β 的关系为(
A.α>β C.α<β B.α=β D.α+β=90°

)

37、设甲、乙两楼相距 20 m,从乙楼底望甲楼顶的仰角为 60° ,从甲楼顶望乙楼顶的
俯角为 30° ,则甲、乙两楼的高分别是( 40 A.20 3 m, 3 m 3 B.10 3 m,20 3 m C.10( 3- 2) m,20 3 m 15 20 D. 3 m, 3 m 2 3 )

38、如图,为测一树的高度,在地面上选取 A、B 两点,从 A、B 两点分别测得望树尖
的仰角为 30° ,45° ,且 A、B 两点之间的距离为 60 m,则树的高度为( )

A.30+30 3 m C.15+30 3m

B.30+15 3m D.15+3 3m

39、从高出海平面 h 米的小岛看正东方向有一只船俯角为 30° ,看正南方向一只船俯
角为 45° ,则此时两船间的距离为( A.2h 米 C. 3h 米 ) B. 2h 米 D.2 2h 米

40、在某个位置测得某山峰仰角为 θ,对着山峰在平行地面上前进 600 m 后测仰角为 原来的 2 倍,继续在平行地面上前进 200 3 m 后,测得山峰的仰角为原来的 4 倍,则该山 峰的高度是( ) A.200 m B.300 m C.400 m D.100 3 m

41、平行四边形中,AC= 65,BD= 17,周长为 18,则平行四边形面积是(
A.16 B.17.5 C.18 D.18.53

)

十、填空题 42、甲船在 A 处观察乙船,乙船在它的北偏东 60° 的方向,两船相距 a 海里,乙船正
向北行驶,若甲船是乙船速度的 3倍,则甲船应取方向__________才能追上乙船;追上时 甲船行驶了________海里.

43、△ABC 中,已知 A=60° ,AB∶AC=8∶5,面积为 10 3,则其周长为________.

44、已知等腰三角形的底边长为 6,一腰长为 12,则它的内切圆面积为________.

45、某舰艇在 A 处测得遇险渔船在北偏东 45° ,距离为 10 n mile 的 C 处,此时得知, 该渔船沿北偏东 105° 方向,以每小时 9 n mile 的速度向一小岛靠近,舰艇时速 21 n mile,则 舰艇到达渔船的最短时间是______小时.

十一、解答题 46、如图所示,在山顶铁塔上 B 处测得地面上一点 A 的俯角为 α,在塔底 C 处测得 A
处的俯角为 β.已知铁塔 BC 部分的高为 h,求山高 CD.

47、已知圆内接四边形 ABCD 的边长 AB=2,BC=6,CD=DA=4,求圆内接四边形
ABCD 的面积.

48、如图所示,为了解某海域海底构造,在海平面内一条直线上的 A、B、C 三点进行
测量.已知 AB=50 m,BC=120 m,于 A 处测得水深 AD=80 m,于 B 处测得水深 BE=200 m,于 C 处测得水深 CF=110 m,求∠DEF 的余弦值.

49、江岸边有一炮台高 30 m,江中有两条船,由炮台顶部测得俯角分别为 45° 和 30° , 而且两条船与炮台底部连成 30° 角,求两条船之间的距离.

以下是答案 一、解答题 ?, 1、答案:在 △ ABS 中, AB ? 32.2 ? 0.5 ? 16.1n mile, ?ABS ? 115
根据正弦定理,

AS AB , ? sin ?ABS sin ? 65 ? 20 ?

AS ?

AB ? sin B sin ? 65 ? 20

?

? AB ? sin ?ABS ? 2 ? 16.1? sin115 ? 2 ,

S 到直线 AB 的距离是

d ? AS ? sin 20 ? 16.1? sin115 ? 2 ? sin 20 ? 7.06 (cm) .
所以这艘船可以继续沿正北方向航行.

2、 在 △ ABP 中,

?ABP ? 180 ? ? +? ,
?BPA ? 180 ? ?? -? ? ? ?ABP =? -?
在 △ ABP 中,根据正弦定理,

? 180 ? ?? -? ? ? ?180 ? ? +? ? .

AP AB ? sin ?ABP sin ?APB AP ? ? sin ?180 ? ? +? ? sin ? ? -? ? AP ? α ? sin ? ? -? ? sin ? ? -? ?

所以山高为 h ? AP sin ? ?

? sin ? sin ?? -? ? . sin ?? -? ?

3、在 △ ABC 中, AC ? 65.3 m,

?BAC ? ? ? ? =25 25? ?17 38? ? 7 47? ,

?ABC ? 90 ? ? =90 ?17 38? ? 72 22? ,
根据正弦定理,

AC BC ? sin ?ABC sin ?BAC

BC ?

AC sin ?BAC 65.3sin 7 47? ? ? 9.3 ? m ? sin ?ABC sin 72 22?

井架的高约为 9.3m.

4、在 △ ABC 中, BC = 35 ? 0.5 ? 17.5 n mile , ?ABC ? 148 ? 126 ? 12 ,
?ACB ? 78 ? ?180 ? 148 ? ? 110 , ?BAC ? 180 ? 110 ? 12 ? 58 ,
根据正弦定理,

AC BC ? , sin ?ABC sin ?BAC

AC ?

BC sin ?ABC 17.5 sin12 ? ? 4.29 (nmile) . sin ?BAC sin 58

货轮到达C点时与灯塔的距离是约 4.29n mile.

5、70 n mile.

6、在 △BCD 中,

?BCD ? 30 ? 10 ? 40 ,
?BDC ? 180 ? ?ADB ? 180 ? 45 ? 10 ? 125 ,

1 CD ? 30 ? ? 10 (n mile) , 3
根据正弦定理,

CD BD 10 ? , sin ?CBD sin ?BCD sin ? 180 ? 40 ? 125

?

?

?

BD , sin 40

BD ?

10 ? sin 40 . sin15

在 △ ABD 中,

?ADB ? 45 ? 10 ? 55 , ?BAD ? 180 ? 60 ? 10 ? 110 , ?ABD ? 180 ? 110 ? 55 ? 15 .
根据正弦定理,

AD BD AB ? ? , sin ?ABD sin ?BAD sin ?ADB
就是

AD BD AB ? ? , sin15 sin110 sin 55

AD ?

BD sin15 sin110

?

10 sin 40 . ? 6.84 (n mile) sin 70

AB ?

BD sin 55 10 sin 40 sin 55 ? ? 21.65 (n mile). sin110 sin15 sin 70

如果这一切正常,此船从C开始到B所需要的时间为:

20 ?

AD ? AB 6.84 ? 21.65 ? 60 ? 10 ? 30 ? ? 60 ? 86.98 (min) 30 30

即约1小时 26 分 59 秒.所以此船约在 11 时 27 分到达B岛.

7、约 5821.71m. 8、在 △ ABC 中, AB ? 700 km, ?ACB ? 180 ? 21 ? 35 ? 124 ,

根据正弦定理,

700 AC BC ? ? , sin124 sin 35 sin 21

AC ?

700 sin 35 , sin124 700 sin 21 , sin124

BC ?

AC ? BC ?

700 sin 35 700 sin 21 ? ? 786.89 (km) , sin124 sin124

所以路程比原来远了约 86.89 km.

9、在 △ABT中,?ATB ? 21.4 ?18.6 ? 2.8 , ?ABT ? 90 ? 18.6 , AB ? 15 (m) .
根据正弦定理,

15 ? cos18.6 AB AT ? , AT ? . sin 2.8 cos18.6 sin 2.8 15 cos18.6 tan 21.4 ? 114.05 (m) . sin 2.8

塔的高度为 AT tan 21.4 ?

10、飞机离 A 处控照灯的距离是 4801.53m,
飞机离 B 处探照灯的距离是 4704.21m, 飞机的高度是约 4574.23m.

11、 AE =

326 ? 18 ? 97.8 km, 60

在 △ ACD 中,根据余弦定理:

AC ? AD2 ? CD2 ? 2 AD CD cos66 ? 572 ?1102 ? 2 ? 57 ?110 cos66
? 101.235
根据正弦定理:

AD AC ? , sin ?ACD sin ?ADC

sin ?ACD ?

AD sin ?ADC 57 sin 66 ? ? 0.5144 , AC 101.235

?ACD ? 30.96 , ?ACB ? 133 ? 30.96 ? 102.04 .

在 △ ABC 中,根据余弦定理:

AB ? AC2 ? BC2 ? 2 AC BC cos ?ACB ? 101.2352 ? 2042 ? 2 ?101.235? 204 cos102.04
? 245.93 ,

cos ?BAC ?

AB 2 ? AC 2 ? BC 2 2 AB AC

245.932 ? 101.2352 ? 2042 ? 2 ? 245.93 ?101.235
? 0.5847 ,
?BAC ? 54.21 .
在 △ ACE 中,根据余弦定理:

CE ? AC 2 ? AE 2 ? 2 AC AE cos ?EAC ? 101.2352 ? 97.82 ? 2 ?101.235? 97.8? 0.5487
? 90.75 ,

cos ?AEC ?

AE 2 ? EC 2 ? AC 2 . 2 AE EC

?

97.82 ? 90.752 ? 101.2352 ? 0.4254 , 2 ? 97.8 ? 90.75

?AEC ? 64.82 ,
180 ? ?AEC ? ?180 ? 75 ? ? 75 ? 64.82 ? 10.18 .
所以,飞机应该以南偏西 10.18 的方向飞行,飞行距离约 90.75 km.

B E A

D C

12、飞行在 150 秒内飞行的距离是 d ? 1000 ?1000 ?
根据正弦定理,

150 m, 3600

d x ,这里 x 是飞机看到山顶的俯角为 81 时飞机 ? sin ? 81 ? 18.5 ? sin18.5

与山顶的距离.飞机与山顶的海拔的差是:

x tan 81 ?

d sin18.5 sin ? 81 ? 18.5

?

tan 81 ? 14721.64 (m),

山顶的海拔是 20250 ? 14721.64 ? 5528 m.

13、证明:建筑物的高是

a sin ? sin ? sin ?? ? ? ? sin ?? ? ? ?



答案:设建筑物的同度是 h ,建筑物的底部是 C , 则 AC ?

h h ,BC ? . tan ? tan ?

△ ABC 是直角三角形, BC 是斜边,
? b ? ? h ? 所以 a ? ? ? ?? ? , ? tan ? ? ? tan ? ?
2 2 2

?? 1 ?2 ? 1 ?2 ? a ? h ?? ? ?, ? ?? ?? tan ? ? ? tan ? ? ? ? ?
2 2

h2 ?

a 2 tan 2 ? tan 2 ? tan 2 ? ? tan 2 ?

?

a 2 sin 2 ? sin 2 ? sin 2 ? cos 2 ? ? cos 2 ? sin 2 ?

a 2 sin 2 ? sin 2 ? . ? sin ?? ? ? ? sin ?? ? ? ?
所以, h ?

a sin ? sin ? sin ?? ? ? ? sin ?? ? ? ?



二、填空题 14、钝角 直角 锐角 15、- 解析:由
= = ,得 a∶b∶c=3∶2∶4,设 a=3k,b=2k,c=4k.由 sinA sinB sinC 2 2 2 a2+b2-c2 9k +4k -16k 1 余弦定理的推论 cosC= ,得 cosC= ,即 cosC=- . 2ab 2?3k?2k 4 1 4

a

b

c

16、120°解析:由 a2+b2<c2,可知 C 为钝角.
又∵sinC= π 3 3 ,∴C=120°. 2

17、 解析:由(a+b+c)(b+c-a)=3bc,得 b2+c2-a2=bc.所以 cosA=
π 所以 A= . 3

b2+c2-a2 1 = . 2bc 2

18、 解析:原式=

1 2

abc b2+c2-a2 a2+c2-b2 a2+b2-c2 1 + + )= . 2 2( a +b +c 2abc 2abc 2abc 2
2

19、>解析:对方程 b2x2+(b2+c2-a2)x+c2=0,有 Δ =(b2+c2-a2)2-4b2c2=(2bccosA)2
-4b c =4b c (cos A-1)<0. 2 又 b >0,∴f(x)>0 对任意实数 x 恒成立.
2 2 2 2 2

三、解答题 20、解:

1 如图所示,由 S△ADC=3- 3和 S△ADC= AD?DCsin60°,得 2 1 3 3- 3= ?2?DC? , 2 2 ∴DC=2( 3-1).

1 ∴BD= DC= 3-1. 2

? 1? 2 2 2 2 在△ABD 中,AB =BD +AD -2BD?ADcos120°=( 3-1) +4-2( 3-1)?2??- ?=6, ? 2?
∴AB= 6. 2 2 2 在△ADC 中,AC =AD +DC -2AD?DCcos60° 1 2 2 =2 +[2( 3-1)] -2?2?2( 3-1)? 2 =24-12 3, ∴AC= 6( 3-1). 在△ABC 中,cos∠BAC=

AB2+AC2-BC2 2?AB?AC
2

6+24-12 3-9 3-1 1 π = = ,∴∠BAC= . 2 3 2? 6? 6 3-1

21、解:法一:设 AC=b,由余弦定理得
4=b +( 6) -2 6bcos45°, 2 即 b -2 3b+2=0,解得 b= 3±1. 2 4+ 3-1 -6 1 当 b= 3-1 时,cosC= =- , 2 2?2? 3-1 C=120°,B=15°; 2 4+ 3+1 -6 1 当 b= 3+1 时,cosC= = ,C=60°, 2?2? 3+1 2
2 2

B=75°.
综上可得:AC= 3+1,C=60°,B=75°或 AC= 3-1,C=120°,B=15°. 法二:∵ = = , sinC sinA sinB

AB

BC

AC

ABsinA 3 = = .∴C=60°或 120°. BC 2 2 当 C=60°时,B=75°, BCsinB AC= = 3+1. sinA 当 C=120°时,B=15°, BCsinB AC= = 3-1. sinA 综上可得:AC= 3+1,C=60°,B=75°或 AC= 3-1,C=120°,B=15°.
∴sinC=

6?

2 2

四、选择题 22、 C 23、B
解析 ∠ACB=120° ,AC=BC=a, ∴由余弦定理得 AB= 3a.

24、 D
在△ABC 中,∠C=180° -60° -75° =45° . BC AB 由正弦定理得: = sin A sin B BC 10 ∴ = sin 60° sin 45° 解得 BC=5 6. 解析

25、A
AC AB 由题意知∠ABC=30° ,由正弦定理 = , sin∠ABC sin∠ACB 2 50? 2 AC· sin∠ACB ∴AB= = =50 2 (m). 1 sin∠ABC 2 解析

26、答案 B 解析 由题意, ∠SMN=45° ,∠SNM=105° ,∠NSM=30° . MN MS 由正弦定理得 = . sin 30° sin 105° MSsin 30° 10 ∴MN= = =10( 6- 2). sin 105° 6+ 2 4
则 v 货=20( 6- 2) 海里/小时.

27、答案 A 解析 设行驶 x 小时后甲到点 C,乙到点 D,两船相距 y km, 则∠DBC=180° -60° =120° . 2 2 2 ∴y =(10-4x) +(6x) -2(10-4x)· 6xcos 120° =28x2-20x+100 5 5 25 x- ?2- +100 =28(x2- x)+100=28? 14 ? ? 7 7 5 150 ∴当 x= (小时)= (分钟)时, 14 7 y2 有最小值.∴y 最小. 五、填空题 28、3 2- 2 29、40 3 30、60 m
解析 在△ABC 中,∠CAB=30° ,∠CBA=75° , ∴∠ACB=75° .∠ACB=∠ABC.∴AC=AB=120 m. 作 CD⊥AB,垂足为 D,则 CD 即为河的宽度. AC CD 由正弦定理得 = , sin∠ADC sin∠CAD

120 CD = , sin 90° sin 30° ∴CD=60(m) ∴河的宽度为 60 m. ∴

31、
解析

3 6

如图,∠CAB=15° ,∠CBA=180° -75° =105° , ∠ACB=180° -105° -15° =60° ,AB=1 km. 由正弦定理得 BC AB = sin∠CAB sin∠ACB 6- 2 1 ∴BC= · sin 15° = (km). sin 60° 2 3 设 C 到直线 AB 的距离为 d, 6- 2 6+ 2 3 则 d=BC· sin 75° = · = (km). 4 6 2 3

六、解答题 32、解 (1)在△ABD 中,∠ADB=60° ,∠B=45° ,由正弦定理得 AD=
12 6? 2 2 =24(n mile). ABsin B = sin ∠ADB

3 2 (2)在△ADC 中,由余弦定理得 CD2=AD2+AC2-2AD· AC· cos 30° , 解得 CD=8 3≈14(n mile). 即 A 处与 D 处的距离为 24 n mile, 灯塔 C 与 D 处的距离约为 14 n mile.

33、解 在△BDC 中,∠CBD=180° -30° -105° =45° ,
BC CD 由正弦定理得 = , sin 30° sin 45° CDsin 30° 6 则 BC= = (km). sin 45° 4 在△ACD 中,∠CAD=180° -60° -60° =60° , 3 ∴△ACD 为正三角形.∴AC=CD= (km). 2 在△ABC 中,由余弦定理得 AB2=AC2+BC2-2AC· BC· cos 45°

3 6 3 6 2 3 = + -2? ? ? = , 4 16 2 4 2 8 6 ∴AB= (km). 4 答 河对岸 A、B 两点间距离为 6 km. 4

七、选择题 34、 B
解析 设 t 小时时,B 市恰好处于危险区,则由余弦定理得: (20t)2+402-2?20t?40· cos 45° =302. 化简得:4t2-8 2t+7=0, 7 ∴t1+t2=2 2,t1· t2= . 4 从而|t1-t2|= ?t1+t2?2-4t1t2=1.

八、解答题 35、解 如图所示,连结 A1B2,
由已知 A2B2=10 2, 20 A1A2=30 2? =10 2,∴A1A2=A2B2, 60 又∠A1A2B2=180° -120° =60° , ∴△A1A2B2 是等边三角形, ∴A1B2=A1A2=10 2. 由已知,A1B1=20,∠B1A1B2=105° -60° =45° ,

在△A1B2B1 中,由余弦定理, 2 2 B1B2 A1B2· cos 45° 2=A1B1+A1B2-2A1B1· 2 =202+(10 2)2-2?20?10 2? 2 =200. ∴B1B2=10 2. 因此,乙船速度的大小为 10 2 ?60=30 2(海里/小时). 20 答 乙船每小时航行 30 2海里.

九、选择题 36、 B 37、A
解析 h 甲=20tan 60° =20 3(m).

h 乙=20tan 60° -20tan 30° =

40 3(m). 3

38、A
在△PAB 中,由正弦定理可得 60 PB = , sin?45° -30° ? sin 30° 1 60? 2 30 PB= = , sin 15° sin 15° h=PBsin 45° =(30+30 3)m. 解析

39、A 解析 如图所示, BC= 3h,AC=h, ∴AB= 3h2+h2=2h. 40、 B
解析 如图所示,600· sin 2θ=200 3· sin 4θ,

3 ,∴θ=15° , 2 ∴h=200 3· sin 4θ=300 (m). ∴cos 2θ=

41、A
解析 设两邻边 AD=b,AB=a,∠BAD=α, 则 a+b=9,a2+b2-2abcos α=17, a2+b2-2abcos(180° -α)=65. 3 3 解得:a=5,b=4,cos α= 或 a=4,b=5,cos α= , 5 5 ∴S?ABCD=ab sin α=16.

十、填空题 42、北偏东 30°
解析

3a

如图所示,设到 C 点甲船追上乙船, 乙到 C 地用的时间为 t,乙船速度为 v, 则 BC=tv,AC= 3tv,B=120° , BC AC 由正弦定理知 = , sin∠CAB sin B

1 3 = , sin∠CAB sin 120° 1 ∴sin∠CAB= ,∴∠CAB=30° ,∴∠ACB=30° , 2 ∴BC=AB=a, ∴AC2=AB2+BC2-2AB· BCcos 120° 1 ?- ?=3a2,∴AC= 3a. =a2+a2-2a2· ? 2? ∴

43、20 解析 设 AB=8k,AC=5k,k>0,则 1 S= AB· AC· sin A=10 3k2=10 3. 2 ∴k=1,AB=8,AC=5,由余弦定理: BC2=AB2+AC2-2AB· AC· cos A 1 2 2 =8 +5 -2?8?5? =49. 2 ∴BC=7,∴周长为:AB+BC+CA=20. 44、 5
27π

解析 不妨设三角形三边为 a,b,c 且 a=6,b=c=12, 由余弦定理得: b2+c2-a2 122+122-62 7 cos A= = = , 2bc 2?12?12 8 7?2 15 ∴sin A= 1-? ?8? = 8 . 1 1 3 15 由 (a+b+c)· r= bcsin A 得 r= . 2 2 5 27π ∴S 内切圆=πr2= . 5

45、3
解析 设舰艇和渔船在 B 处相遇,则在△ABC 中,由已知可得:∠ACB=120° ,设舰 艇到达渔船的最短时间为 t,则 AB=21t,BC=9t,AC=10,则(21t)2=(9t)2+100-2?10? 9tcos 120° , 2 5 解得 t= 或 t=- (舍). 3 12

2

十一、解答题 46、解 在△ABC 中,∠BCA=90° +β,
∠ABC=90° -α, ∠BAC=α-β,∠CAD=β. AC BC 根据正弦定理得: = , sin∠ABC sin∠BAC AC BC 即 = , sin?90° -α? sin?α-β? BCcos α ∴AC= sin?α-β?

hcos α . sin?α-β? 在 Rt△ACD 中,CD=ACsin∠CAD=ACsin β hcos αsin β = . sin?α-β? hcos αsin β 即山高 CD 为 . sin?α-β? =

47、解

连接 BD,则四边形面积 1 1 S=S△ABD+S△CBD= AB· AD· sin A+ BC· CD· sin C. 2 2 ∵A+C=180° ,∴sin A=sin C. 1 ∴S= (AB· AD+BC· CD)· sin A=16sin A. 2 由余弦定理:在△ABD 中,BD2=22+42-2?2?4cos A=20-16cos A, 在△CDB 中,BD2=42+62-2?4?6cos C=52-48cos C, ∴20-16cos A=52-48cos C. 1 又 cos C=-cos A,∴cos A=- .∴A=120° . 2 ∴四边形 ABCD 的面积 S=16sin A=8 3.

48、解 作 DM∥AC 交 BE 于 N,交 CF 于 M.
DF= MF2+DM2= 302+1702=10 298(m), DE= DN2+EN2= 502+1202=130(m), EF= ?BE-FC?2+BC2= 902+1202=150(m). 在△DEF 中,由余弦定理的变形公式,得 DE2+EF2-DF2 cos∠DEF= 2DE· EF 2 2 2 130 +150 -10 ?298 16 = = . 65 2?130?150 16 即∠DEF 的余弦值为 . 65

49、解 如图所示:

∠CBD=30° ,∠ADB=30° ,∠ACB=45° ∵AB=30,

∴BC=30, 30 BD= tan 30° =30 3. 在△BCD 中, CD2=BC2+BD2-2BC· BD· cos 30° =900, ∴CD=30,即两船相距 30 m.


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