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广东省东莞市2014-2015学年高二(下)期末数学试卷(理科) Word版含解析


广东省东莞市 2014-2015 学年高二(下)期末数学试卷(理科)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1. (2012?潼南县校级模拟)复数 A. 的共轭复数是( B. ) C. 1﹣i D. 1+i

考点:复数代数形式的乘除运算. 专题:计算题. 分析:先对已

知复数进行化简, 然后根据共扼复数的定义可知 Z=a+bi 的共扼复数 可求其共扼复数. 解答: 解:∵Z= = = =

∴复数 Z 的共扼复数 故选 B 点评:本题主要考查了复数的代数形式的乘除运算, 考查了复数的共扼复数的概念, 属于基 础试题. 2. (2015 春?东莞期末)①已知 a 是三角形一边的边长,h 是该边上的高,则三角形的面积 是 ah,如果把扇形的弧长 l,半径 r 分别看成三角形的底边长和高,可得到扇形的面积 lr; ②由 1=1 ,1+3=2 ,1+3+5=3 ,可得到 1+3+5+…+2n﹣1=n ,则①﹑②两个推理依次是 ( ) A. 类比推理﹑归纳推理 B. 类比推理﹑ 演绎推理 C. 归纳推理﹑类比推理 D. 归纳推理﹑ 演绎推理 考点:归纳推理;类比推理. 专题:探究型;推理和证明. 分析:根据类比推理、归纳推理的定义及特征,即可得出结论. 解答: 解:①由三角形性质得到圆的性质有相似之处,故推理为类比推理; ②由特殊到一般,故推理为归纳推理. 故选:A. 点评:本题考查的知识点是类比推理, 归纳推理和演绎推理, 熟练掌握三种推理方式的定义 及特征是解答本题的关键.
2 2 2 2 2

3. (2015 春?东莞期末)曲线 y= x ﹣2x 在点(2,﹣2)处切线的斜率为(



A.

1

B.

﹣1 C.

0

D. ﹣2

考点:利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题:计算题;导数的概念及应用. 分析:求出函数的导数,将 x=2 代入,计算即可得到结论. 解答: 解:y= x ﹣2x 的导数为 y′=x﹣2, 则曲线在点(2,﹣2)处切线的斜率为: k=2﹣2=0. 故选:C. 点评:本题考查导数的运用: 求切线的斜率, 掌握导数的几何意义和正确求导是解题的关键. 4. (2015 春?东莞期末)函数 y=x +4x 的递增区间是( ) A. (0,+∞) B.(﹣∞,﹣2) D.(﹣∞,+∞)
3 2

C. (2,+∞)

考点:利用导数研究函数的单调性;函数的单调性及单调区间. 专题:导数的综合应用. 分析:求函数的导数,利用 f′(x)>0 即可求出函数的递增区间. 2 解答: 解:函数的导数为 f′(x)=3x +4, 则 f′(x)>0 恒成立, 3 即函数 y=x +4x 为增函数,即函数的递增区间为(﹣∞,+∞) , 故选:D. 点评:本题主要考查函数单调区间的求解,求函数的导数,利用导数是解决本题的关键. 5. (2015 春?东莞期末)某班有 50 名学生,一次考试后数学成绩 ξ~N(110,10 ) ,若 P (100≤ξ≤110)=0.34,则估计该班学生数学成绩在 120 分以上的人数为( ) A. 10 B. 9 C. 8 D. 7 考点:正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义. 专题:计算题;概率与统计. 2 分析:根据考试的成绩 ξ 服从正态分布 N(110,10 ) .得到考试的成绩 ξ 关于 ξ=110 对称, 根据 P(100≤ξ≤110)=0.34,得到 P(ξ≥120)=0.16,根据频率乘以样本容量得到这个分数段 上的人数. 2 解答: 解:∵考试的成绩 ξ 服从正态分布 N(110,10 ) . ∴考试的成绩 ξ 关于 ξ=110 对称, ∵P(100≤ξ≤110)=0.34, ∴P(ξ≥120)=P(ξ≤100)= (1﹣0.34×2)=0.16, ∴该班数学成绩在 120 分以上的人数为 0.16×50=8. 故选:C. 点评:本题考查正态曲线的特点及曲线所表示的意义, 是一个基础题, 解题的关键是考试的 成绩 ξ 关于 ξ=110 对称,利用对称写出要用的一段分数的频数,题目得解.
2

6. (2015 春?东莞期末)在三位正整数中,若十位数字小于个位和百位数字,则称该数为“驼 峰数”.比如:“102”,“546”为“驼峰数”,由数字 1,2,3,4 可构成无重复数字的“驼峰数” 有( )个. A. 24 B. 8 C. 6 D. 20 考点:计数原理的应用. 专题:排列组合. 分析:十位上的数为 1,2,分别求出无重复数字的“驼峰数”,即可得出结论. 2 解答: 解:十位上的数为 1 时,有 A3 =6 个 2 十位上的数为 2 时,有 A2 =2 个 共有 6+2=8 个, 故选:B. 点评:本题考查分类计数问题,考查分步计数问题,本题是一个数字问题,比较基础
2 6

7. (2015 春?东莞期末)二项式(x ﹣ ) 展开式中的常数项为( A. 15 考点:二项式定理. 专题:二项式定理. 分析:首先写出通项,化简后令字母 x 的指数为 0,得到常数项. 解答: 解:二项式(x ﹣ ) 展开式的通项为 = 所以展开式的常数项为 =15;
2 6

) C. 15 D. ﹣

120 B.

﹣30

,令 12﹣3r=0,得到 r=4,

故选:C. 点评:本题考查了二项展开式中特征项的求法; 关键是正确写出通项化简后, 按照要求去取 字母的指数,得到所求. 8. (2015 春?东莞期末)下列说法错误的是( )

A. 设有一个回归方程为 =3﹣5x,则变量 x 每增加一个单位,y 平均增加 5 个单位 B. 回归直线 = x+ 必过点( , ) C. 在一个 2×2 列联表中,由计算得随机变量 K 的观测值 k=13.079,则可以在犯错误 的概率不超过 0.001 的前提下,认为这两个变量间有关系 D. 将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后,方差恒不变 考点:命题的真假判断与应用. 专题:概率与统计.
2

分析:根据回归系数的几何意义, 可判断 A; 根据回归直线必要样本数据中心点, 可判断 B; 根据独立性检验,可判断 C;根据方差的意义,可判断 D. 解答: 解:若回归方程为 =3﹣5x,则变量 x 每增加一个单位,y 平均减少 5 个单位,故 A 错误; 回归直线 = x+ 必过点( , ) ,故 B 正确; 在一个 2×2 列联表中,由计算得随机变量 K 的观测值 k=13.079>10.828,则可以在犯错误 的概率不超过 0.001 的前提下,认为这两个变量间有关系,故 C 正确; 将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后, 数据的离散程度不变, 故方差恒不变, 故 D 正确; 故选:A. 点评:本题以命题的真假判断为载体,考查了回归分析,独立性检验,方差等统计知识,难 度不大,属于基础题. 9. (2013?崂山区校级三模)如图是导函数 y=f′(x)的图象,则下列命题错误的是( )
2

A. B. C. D.

导函数 y=f′(x)在 x=x1 处有极小值 导函数 y=f′(x)在 x=x2 处有极大值 函数 y=f(x)在 x=x3 处有极小值 函数 y=f(x)在 x=x4 处有极小值

考点:函数的单调性与导数的关系. 专题:应用题. 分析: 根据如图所示的导函数的图象可知函数 f(x)在(﹣∞,x3)单调递增,在(x3, x4)单调递减, (x4,+∞)单调递增 函数在处 x3 有极大值,在 x4 处有极小值 解答: 解:根据如图所示的导函数的图象可知 函数 f(x)在(﹣∞,x3)单调递增,在(x3,x4)单调递减, (x4,+∞)单调递增 函数在处 x3 有极大值,在 x4 处有极小值 故选 C 点评:本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系, 考查了识别函数图形的能 力,属基础题. 10. (2015 春?东莞期末)对于函数 y=f(x) ,当 x∈(0,+∞)时,总有 f(x)<xf′(x) , 若 m>n>0,则下列不等式中,恒成立的是( )

A. D.



B. >



C.



考点:导数的运算. 专题:导数的概念及应用. 分析:构造函数 F(x)= ,F′(x)= ,当 x∈(0,+∞)时,

总有 f(x)<xf′(x) ,可判断函数单调性,解决比较大小. 解答: 解:构造函数 F(x)= ,F′(x)=

∵当 x∈(0,+∞)时,总有 f(x)<xf′(x) , ∴F′(x)>0, 所以函数 F(x)在(0,+∞)单调递增, ∵m>n>0,∴F(m)>F(n) , ∴ >

故选:D. 点评:本题考察了复合函数求导问题,导数应用判断单调性,比较大小,关键是构造函数, 属于中档题. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请把答案填在答题卡的相应位置上. 11. (2015 春?东莞期末)一物体在力 F(x)=2x+1(力的单位:N)的作用下,沿着与力 F 相同的方向,从 x=0 处运动到 x=3 处(单位:m) ,则力 F(x)所作的功为 12 J. 考点:平面向量数量积的运算. 专题:导数的综合应用. 分析:由定积分的物理意义,变力 F(x)所作的功等于力在位移上的定积分,进而计算可 得答案. 解答: 解: 根据定积分的物理意义, 力F (x) 所作的功为 = (x +x) |
2

=12;

故答案为:12. 点评:本题主要考查了定积分在物理中的应用,同时考查了定积分的计算,属于基础题 12. (2015 春?东莞期末)某同学在研究性学习中,收集到某制药厂今年 2﹣6 月甲胶囊产量 (单位:千盒)的数据如下表所示: 月份 2 3 4 5 6 y(千盒) 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 若该同学用最小二乘法求得线性回归方程为 =1.23x+a,则实数 a= 0.08 .

考点:线性回归方程. 专题:概率与统计. 分析:由样本数据可得 = (2+3+4+5+6)=4, ═ (2.2+3.8+5.5+6.5+7.0)=5,代入 =1, 23x+a,可求实数 a. 解答: 解:由题意, = (2+3+4+5+6)=4, = (2.2+3.8+5.5+6.5+7.0)=5, ∵回归直线方程为 =1.23x+a, ∴5=1.23×4+a, ∴a=0.08. 故答案为:0.08. 点评:本题考查数据的回归直线方程,利用回归直线方程恒过样本中心点是关键.

13. (2013?临洮县校级模拟)如果随机变量 ξ~B(n,p) ,且 Eξ=7,Dξ=6,则 P 等于



考点:二项分布与 n 次独立重复试验的模型;离散型随机变量的期望与方差. 专题:计算题. 分析:由随机变量 ξ~B(n,p) ,且 Eξ=7,Dξ=6,知 解答: 解:∵随机变量 ξ~B(n,p) ,且 Eξ=7,Dξ=6, ∴ ∴7(1﹣p)=6, 1﹣p= 解得 p= . 故答案为: . 点评:本题考查二项分布的数学期望和方差的应用,是基础题.解题时要认真审题,仔细解 答,注意合理地进行等价转化. 14. (2015 春?东莞期末)观察下列等式 , ,由此能求出 P 的值.

照此规律,第 100 个等式 1 ﹣2 +3 ﹣4 +…﹣100 = ﹣5050 .

2

2

2

2

2

考点:归纳推理. 专题:推理和证明. 分析:观察可得:等式的左边是连续正整数的平方差相加的形式,根据这一规律得第 100 2 2 2 2 2 2 个等式左边为 1 ﹣2 +3 ﹣4 +…+99 ﹣100 ,利用分组求和法、等差数列的前 n 项和公式求 出左边式子的和. 解答: 解:观察下列等式: 1 =1 2 2 1 ﹣2 =﹣3 2 2 2 1 ﹣2 +3 =6 2 2 2 2 1 ﹣2 +3 ﹣4 =﹣10 … 2 2 2 2 2 2 当 n=100 时,左边=(1 ﹣2 )+(3 ﹣4 )+…+[(99) ﹣100 ] =﹣(3+7+11+199)=﹣ =﹣5050,
2

故答案为:﹣5050. 点评:本题考查了归纳推理,以及分组求和法、等差数列的前 n 项和公式的应用,归纳推理 的一般步骤是: (1)通过观察个别情况发现某些相同性质; (2)从已知的相同性质中推出一 个明确表达的一般性命题(猜想) . 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.必 须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内,超出指定区域的答案无效. 15. (2015 春?东莞期末)已知复数 z=(3m﹣2)+(m﹣1)i,m∈R,i 为虚数单位. (1)当 m=2 时,求复数 z 的模|z|; (2)若 z 表示纯虚数,求 m 的值; (3)在复平面内,若 z 对应的点位于第三象限,求实数 m 的取值范围. 考点:复数求模;复数的代数表示法及其几何意义. 专题:数系的扩充和复数. 分析: (1)将 m 代入,利用模的公式求 z 的模; (2)由于发生为纯虚数,得到实部为 0,虚部不为 0,求出 m. (3)利用第三象限的点的特征得到复数的实部和虚部都小于 0,解不等式. 解答: 解: (1)当 m=2 时,z=(m﹣1)i+3m﹣2=4+i,…(2 分) 所以 …(4 分) (2)复数为纯虚数,则由 3m﹣2=0,且 m﹣1≠0 得 m= …(8 分) (3)3m﹣2<0,m﹣1<0…(10 分) 得 …(12 分)

点评:本题考查了复数的基本概念以及复数的模、几何意义;属于基础题. 16. (2015 春?东莞期末)某市为调查外来务工人员春节买票回家是否需要交通部门提供帮 助的情况,用简单随机抽样方法从该市调查了 1000 位外来务工人员,结果如表:





需要 80 60 不需要 320 540 (1)估计该市外来务工人员中春节买票回家需要交通部门帮助的比例; (2)能否在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下,认为该市外来务工人员春节买票回家是 否需要交通部门提供帮助与性别有关? 考点:独立性检验的应用. 专题:应用题;概率与统计. 分析: (1)先计算出 1000 位工人中有 140 位工人需要交通部门提供帮助, ;即可得出结 论 (2)根据列联表所给的数据,代入随机变量的观测值公式,得到观测值的结果,把观测值 的结果与临界值进行比较, 得出该市外来务工人员春节买票回家是否需要交通部门提供帮助 与性别有关程度. 解答: 解: (1)调查的 1000 位工人中有 140 位工人需要交通部门提供帮助, 因此需要帮助的比例估计值为 =14%

(2)
2

≈19.93…(6 分)

因为 K =19.93>10.828 所以 p=0.001…(10 分) 所以能在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下,认为该市外来务工人员春节买票回家是否需 要交通部门提供帮助与性别有关…(12 分) 点评:本题考查独立性检验的应用,考查数据处理能力、运算求解能力和应用意识,本题解 题的关键是正确运算出观测值, 理解临界值对应的概率的意义, 要想知道两个变量之间的有 关或无关的精确的可信程度,只有利用独立性检验的有关计算,才能做出判断,本题是一个 基础题. 17. (2015 春?东莞期末)甲、乙两人为了响应政府“节能减排”的号召,决定购置某品牌空 调各一台.经了解,目前市场上销售此品牌空调有 A,B,C 三种型号,甲从 A,B,C 三 类型号中挑选,乙从 B,C 两种型号中挑选,甲、乙二人选择各类车型的概率如下表:

A 甲

B p

C q

乙 若甲、乙都选 C 型号的概率为 .

(1)求 p,q 的值; (2)某市对购买此品牌空调进行补贴,补贴标准如下表:

型号 A B C 补贴金额(百元/台) 3 4 5 记甲、乙两人购空调所获得财政补贴的和为 X,求 X 的分布列和期望. 考点:离散型随机变量的期望与方差;离散型随机变量及其分布列. 专题:概率与统计.

分析: (1)仔细阅读表格得出方程组

,求解即可.

(2)确定随机变量 X 可能取值为 7,8,9,10.求解相应的概率,列出分布列,再运用数 学期望公式求解即可.

解答: 解: (1)由题意得

所以



(2)X 可能取值为 7,8,9,10. , . 所以 X 的分布列为: X 7 P 所以 . , ;

8

9

10

点评:考察了图表格的运用,分析能力,计算化简能力,属于难题,关键是掌握好随机变量 的概率的关系,列出方程组. 18. (2015 春?东莞期末)已知函数 f(x)= (1)求函数的解析式; (2)求 f(x)的单调区间和极值; (3)求函数在区间[﹣3,6]上的最小值. 考点:利用导数研究函数的单调性; 利用导数研究函数的极值; 利用导数求闭区间上函数的 最值. 专题:导数的综合应用. 分析: (1)先求出函数 f(x)的导数,得到方程组,求出 a,b 的值,从而求出函数的解 析式; (2)先求出函数的单调区间,从而求出函数的极值; (3)先求出函数 f(x)在[﹣3,6]上的单调性,从而求出函数的最小值. (a,b∈R)在 x=1 处取得极值为 2.

解答: 解: (1)



根据题意得 所以 ;

,解得 a=4,b=1,

(2)由(1)得:f(x)=

,∴f′(x)=



令 f′(x)>0,解得:﹣1<x<1,令 f′(x)<0,解得:x<﹣1 或 x>1, ∴函数 f(x)的增区间(﹣1,1) ,减区间(﹣∞,﹣1) , (1,+∞) , ∴f(x)极小值=f(﹣1)= =﹣2,f(x)极大值=f(1)= =2;

(3)由(2)知,f(x)在(﹣3,﹣1) , (1,6)上递减,在(﹣1,1)上递增, ∴f(x)的极小值是 f(﹣1) , 又 f(6)= ,f(﹣1)=﹣2,

∴f(x)的最小值是﹣2. 点评:本题考查了函数的单调性,极值问题,考查导数的应用,是一道中档题. 19. (2015 春?东莞期末)已知数列{an},{bn},且 a1=1,an+1+2an?an+1﹣an=0,2an+bn=1, * (n∈N ) . (1)计算 a2,a3,a4,由此推测{an}的通项并给出证明; (2)证明: (1﹣b1) (1﹣b2)+(1﹣b2) (1﹣b3)+…+(1﹣bn) (1﹣bn+1)<2. 考点:数学归纳法;归纳推理. 专题:点列、递归数列与数学归纳法. 分析: (1)分别根据 a1=1,an+1+2an?an+1﹣an=0,即可求出 a2,a3,a4 的值,根据值可 以猜想 ,并用数学归纳法证明.

(2)由(1)求出{1﹣bn}的通项,求出(1﹣bn) (1﹣bn+1)再根据裂项求和以及放缩法即 可证明. 解答: 解(1)当 n=1 时,a2+2a1?a2﹣a1=0,∴ 同理 推测 下面用数学归纳法证明: ①当 n=2 时, ,∴等式成立.…(5 分) ,…(2 分) …(4 分) ,

②假设 n=k 时等式成立,即 那么,ak+1+2ak?ak+1﹣ak=0, , , 即当 n=k+1 时,

,…(6 分)

也成立,…(8 分) 都成立.…(9 分) ,…(10 分) ,…(12 分)

由①、②知对任意正整数 n, (2)证明:∵2an+bn=1,∴ ∴

∴(1﹣b1) (1﹣b2)+(1﹣b2) (1﹣b3)+…+(1﹣bn) (1﹣bn+1) , = = = …(14 分) , ,…(13 分) ,

点评:本题主要考查数列的通项公式的求法、前 n 项和公式的求法,考查抽象概括能力,推 理论证能力,运算求解能力,考查化归与转化思想、裂项求和,属于中档题.

20. (2015 春?东莞期末)已知函数 f(x)=

,m 为实数.

(1)若 m=﹣ ,证明:函数 f(x)是(0,+∞)上的减函数; (2)若 m< ,曲线 y=f(x)在点(1,f(1) )处的切线与直线 x﹣y=0 平行,求 m 的值;

(3)若 x>0,证明:

(其中 e=2.71828…是自然对数的底数) .

考点:利用导数求闭区间上函数的最值; 利用导数研究函数的单调性; 利用导数研究曲线上 某点切线方程. 专题:导数的综合应用. 分析: (1)将 m 的值代入函数的表达式,求出函数的导数,通过构造新函数得到 f′(x) <0,从而证出函数的单调性; (2)根据 f′(1)=1,得到关于 m 的函数,通过求导得到函数的单调性,从而求出 m 的值; x x (3)故要证原不等式成立,只需证明:当 x>0 时,x<e ﹣1,令 h(x)=e ﹣x﹣1,通过 求导得到函数 h(x)的单调性,从而证出结论.

解答: 解: (1)当

时,函数 f(x)的定义域是(﹣1,0)∪(0,+∞) ,…(1 分)

对 f(x)求导得 令

,…(2 分) ,只需证:x>0 时,g(x)≤0. ,…(3 分)



故 g(x)是(0,+∞)上的减函数,所以 g(x)<g(0)=﹣ln1=0…(5 分) 所以 f′(x)<0,函数 f(x)是(0,+∞)上的减函数.…(6 分) (2)由题意知,f′(x)|x=1=1,…(7 分) 即 , …(8 分) ,则 ,…

令 (9 分) 故 t(m)是 即方程

上的增函数,又 t(0)=0,因此 0 是 t(m)的唯一零点, 有唯一实根 0,所以 m=0,…(10 分) ;

(3)因为



故原不等式等价于

,…(11 分)

由(1)知,当

时,

是(0,+∞)上的减函数,…(12 分)
x

故要证原不等式成立,只需证明:当 x>0 时,x<e ﹣1, x x 令 h(x)=e ﹣x﹣1,则 h′(x)=e ﹣1>0,h(x)是(0,+∞)上的增函数,…(13 分) x x 所以 h(x)>h(0)=0,即 x<e ﹣1,故 f(x)>f(e ﹣1) , 即 …(14 分) .

点评:本题考查了函数的单调性、函数的最值问题,考查导数的应用,不等式的证明,是一 道难题.


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