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江苏省梁丰高级中学2015届高三数学周日练习卷(14)


江苏省梁丰高级中学 2015 届高三数学周日练习卷(14) 命题:李晓艳 审核:王燕 姓名____________ 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分 1. ( A) 已知集合 A ? {x | x ? ?1}, B ? {x | x ? 2}, 那么 A ? B ? _________. 2. ( A) 函数 f ( x) ? 2 cos( ?2

x ? 3. ( A) 复数 z ? 1 ? i ,且 4. ( A) 已知双曲线 成绩____________

?
4

) 的最小正周期为_________.

1 ? ai (a ? R) 是纯虚数,则实数 a 的值为_________. z

1 x2 y2 ? ? 1(m ? 0) 的一条渐近线方程为 y ? x, 则 m 的值为_______. 2 m 3

5. ( A) 在 ?ABC 中, A ? 450 , C ? 1050 , BC ?

2, 则 AC =________.

6. ( A) “ M ? N ”是“ log2 M ? log2 N ”成立的________条件.(填“充分不必要” “必要不充分” “充要”或“既不充分也不必要”).

, 则 a5 与 a7 的等比中项为_______. 7. ( A) 若 S n 为等差数列 {an } 的前 n 项和, S9 ? ?36, S13 ? ?104
8. ( A) 若正四棱锥的底面边长为 2 2cm, 体积为 8cm3 , 则它的侧面积为_______.

?y ? 3 ? 0 ? 9. ( B ) 在平面直角坐标系 xoy 中,记不等式组 ?2 x ? y ? 7 ? 0 表示的平面区域为 D. 若对数函数 ?x ? 2 y ? 6 ? 0 ?

y ? loga x(a ? 1) 的图像与 D 有公共点,则 a 的取值范围是__________.
10. ( B ) 已知 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,且 f ( x ? 3) ? f ( x), 当 x ? (?2,0) 时, f ( x) ? 2 x , 则

f (2015 ) ? f (2014 ) ? f (2013 ) ? _________.
11. ( B ) 在边长为 1 的正 ?ABC 中,向量 BD ? x BA, CE ? yCA, x ? 0, y ? 0 ,且 x ? y ? 1, 则

CD ? BE 的最大值为________.
12. ( B ) 若在给定直线 y ? x ? t 上任取一点 P, 从点 P 向圆 x 2 ? ( y ? 2) 2 ? 8 引一条切线,切点为

Q. 若存在定点 M , 恒有 PM ? PQ, 则 t 的范围是_______.
13. (C ) 已知数列 {an } , {bn } 中, a1 ? a, {bn } 是公比为

an ? 2 2 (n ? N * ), 若不 的等比数列.记 bn ? an ? 1 3

等式 a n ? a n ?1 对一切 n ? N * 恒成立,则实数 a 的取值范围是________. 14. (C ) 已 知 a, b ? R, b ? 0 ,曲线

y ? x 3 ? ax2 ? bx

和直线

y ? ax ? b 有 交 点

Q? m , ? n ?m, n ? Z ? ,则 a , b 满足的等量关系式为______________. (不能含其它参量)
二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分 15. ( A) (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? m ? n, 其中向量 m ? (sin?x ? cos?x, 3 cos?x),

n ? (cos?x ? sin ?x,2 sin ?x), ? ? 0, 若 f ( x) 的图像上相邻两个对称中心的距离大于等于 ?.
(1)求 ? 的取值范围; (2)在 ?ABC 中, a, b, c 分别是角 A, B, C 的对边, a ? 3, 当 ? 最大时, f ( A) ? 1, 求 ?ABC 的 面积最大值.

16. ( A) (本小题满分 14 分) 如图, AB 为圆 O 的直径,点 E , F 在圆 O 上,且 AB // EF, 矩形 ABCD 所在的平面与圆 O 所在的 平面互相垂直,且 AB ? 2, AD ? EF ? 1. (1)设 FC 的中点为 M , 求证: OM // 面 DAF; (2)求证: AF ? 面 CBF .

17. ( B ) (本小题满分 14 分) 如图①,有一个长方形状的敞口玻璃容器,底面是边长为 20cm 的正方形,高为 30cm ,内有 20cm 深的溶液,现将此容器倾斜一定角度 ? (图②) ,且倾斜时底面的一条棱始终在桌面上(图①,② 均为容器的纵截面). (1)当 ? ? 300 时,通过计算说明此溶液是否会溢出; (2)现需要倒出不少于 3000cm3 的溶液,当 ? 等于 600 时,能实现要求吗?通过计算说明理由.

18. ( B ) (本小题满分 16 分)

如图所示,已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 的左、右焦点分别为 F1 ? ?1,0? , F2 ?1,0? , P 为椭圆上 a 2 b2

一点, Q 为上顶点, F , PO ? F2 M ? 0 . 1 M ? 2MP ( 1 )当椭圆离心率 e ?

1 3 时,若直线过点 (0 , ? ) 且与椭圆交于 A, B (不同于 Q )两点,求 2 7

?AQB ;
(2)求椭圆离心率 e 的取值范围.

19. (本小题满分 16 分) 设函数 f ( x) ?

1? a 2 x ? ax ? ln x(a ? R). 2

(1) ( A) 当 a ? 1 时,求函数 f ( x ) 的极值; (2) ( B ) 当 a ? 1 时,讨论函数 f ( x ) 的单调性. (3) (C ) 若对任意 a ? (3, 4) 及任意 x1 , x2 ?[1, 2] ,恒有 求实数 m 的取值范围.

(a 2 ? 1) m ? ln 2 ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) 成立, 2

20. (本小题满分 16 分)
2 k 已知数列 {an } 的各项都是正数,且对任意 n ? N , an 。 ?1 ? an an ? 2 ? k ( 为常数)
*

(1) ( A) 若 k ? (a2 ? a1 )2 ,求证: a1 , a2 , a3 成等差数列; (2) ( B ) 若 k ? 0 ,且 a2 , a4 , a5 成等差数列,求

a2 的值; a1
*

(3)(C ) 已知 a1 ? a, a2 ? b( a , b 为常数) , 是否存在常数 ? , 使得 an ? an?2 ? ? an?1 对任意 n ? N 都成立?若存在,求 ? 的值;若不存在,请说明理由.

江苏省梁丰高级中学 2015 届高三数学周日练习卷(附加)(14) 命题:李晓艳 审核:王燕 班级___________ 1. 成绩___________

?2 1 ? ( A) 已知矩阵 M ? ? ? 的一个特征值是 3 ,求直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 在 M 作用下的直线方程. ?1 a ?

2.

? x ? cos? ( A) 在平面直角坐标系 xoy 中,曲线 C 的参数方程是 ? (?是 参 数 ).若以 O 为极点, ? y ? sin ? ? 1

x 轴的正半轴为极轴,取与直角坐标系中相同的单位长度,建立极坐标系,求曲线 C 的极坐标
方程.

3. ( B ) 如图,在正四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? AB ? 2 ,点 M , N 分别在线段 PA 和 BD 上,

BN ?

1 BD . 3
1 PA ,求证: MN ? AD ; 3

(1)若 PM ?

(2)若二面角 M ? BD ? A 的大小为

? ,求线段 MN 的长度. 4

4. (C ) 已知 (1 ?

1 n x) 展开式的各项依次记为 a1 ( x), a2 ( x),...,an ( x), an?1 ( x). 设函数 2

F ( x) ? a1 ( x) ? 2a2 ( x) ? 3a3 ( x) ? ... ? nan ( x) ? (n ? 1)an?1 ( x).
(1)若 a1 ( x), a2 ( x),..., an?1 ( x) 的系数依次成等差数列,求正整数 n 的值; (2)求证: ?x1 , x2 ? [0,2], 恒有 | F ( x1 ) ? F ( x2 ) |? 2 n?1 (n ? 2) ? 1.

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分 1.已知集合 A ? {x | x ? ?1}, B ? {x | x ? 2}, 那么 A ? B ? _________. R 2.函数 f ( x) ? 2 cos( ?2 x ? 3.复数 z ? 1 ? i ,且

?
4

) 的最小正周期为_________. ?

1 ? ai (a ? R) 是纯虚数,则实数 a 的值为_________.1 z

1 x2 y2 4.已知双曲线 ? ? 1(m ? 0) 的一条渐近线方程为 y ? x, 则 m 的值为_______.12 2 m 3
5.在 ?ABC 中, A ? 450 , C ? 1050 , BC ?

2, 则 AC =________.1

6.“ M ? N ”是“ log2 M ? log2 N ”成立的________条件.(填“充分不必要” “必要不充分” “充 要”或“既不充分也不必要”). 必要不充分

, 则 a5 与 a7 的 等 比 中 项 为 7. 若 S n 为 等 差 数 列 {an } 的 前 n 项 和 , S9 ? ?36, S13 ? ?104
_______. ? 4 2 8.若正四棱锥的底面边长为 2 2cm, 体积为 8cm3 , 则它的侧面积为_______. 4 22

?y ? 3 ? 0 ? 9. 在 平 面 直 角 坐 标 系 xoy 中 , 记 不 等 式 组 ?2 x ? y ? 7 ? 0 表 示 的 平 面 区 域 为 D. 若 对 数 函 数 ?x ? 2 y ? 6 ? 0 ?

y ? loga x(a ? 1) 的图像与 D 有公共点,则 a 的取值范围是__________. (1, 3 2]
10. 已 知 f ( x) 是 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 , 且 f ( x ? 3) ? f ( x), 当 x ? (?2,0) 时 , f ( x) ? 2 x , 则

f (2015 ) ? f (2014 ) ? f (2013 ) ? _________.0
11.在边长为 1 的正 ?ABC 中, 向量 BD ? x BA, CE ? yCA, x ? 0, y ? 0 , 且 x ? y ? 1, 则 CD ? BE 的最大值为________. -

3 8

12.若在给定直线 y ? x ? t 上任取一点 P, 从点 P 向圆 x 2 ? ( y ? 2) 2 ? 8 引一条切线, 切点为 Q. 若存 在定点 M , 恒有 PM ? PQ, 则 t 的范围是_______. 13.已知数列 {an } , {bn } 中, a1 ? a, {bn } 是公比为

t ? (??,?2] ? [6,??) .

an ? 2 2 (n ? N * ), 若不等式 的等比数列.记 bn ? a ? 1 3 n

an ? an?1 对一切 n ? N * 恒成立,则实数 a 的取值范围是________. a > 2

14.已知 a, b ? R, b ? 0 , 曲线 y ? x 3 ? ax2 ? bx 和直线 y ? ax ? b 有交点 Q ?m, n? ?m, n ? Z ? , 则 a , b 满足的等量关系式为______________. (不能含其它参量)

2a ? b ? 8 ? 0
二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分 15.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? m ? n, 其中向量 m ? (sin?x ? cos?x, 3 cos?x),

n ? (cos?x ? sin ?x,2 sin ?x), ? ? 0, 若 f ( x) 的图像上相邻两个对称中心的距离大于等于 ?.
(1)求 ? 的取值范围; (2)在 ?ABC 中, a, b, c 分别是角 A, B, C 的对边, a ? 3, 当 ? 最大时, f ( A) ? 1, 求 ?ABC 的 面积最大值. 【答案】 【解析】 (1) 0 ? ? ?

1 3 .; (2) 2 4

解析: (1)由题意知 f ( x) ? m ? n ? cos2 ?x ? sin 2 ?x ? 3 sin 2?x = cos 2?x ? 3 sin 2?x ? 2 sin( 2?x ?

?
6

).

T 1 2? ? ? ? ? ? ? , ? ? 0, 2 2 2? 2?

1 解得 0 ? ? ? . 2

1 ? ? 1 , f ( A) ? 2 sin( A ? ) ? 1, 即 sin( A ? ) ? . 2 6 6 2 ? ? 7? ? 5? 2? ,∴ A? ? ,得A ? . 又∵ 0 ? A ? ? , ∴ ? A ? ? 6 6 6 6 6 3 1 2 2 2 由余弦定理得 a ? 3 ? b ? c ? 2bc ? ? bc , 即 bc ? 1. 2
(2)由(1)知 ? max ? ∴ S ?ABC ?

1 1 3 3 bc sin A ? ? 1 ? ? . 2 2 2 4

16.(本小题满分 14 分) 如图, AB 为圆 O 的直径,点 E , F 在圆 O 上,且 AB // EF, 矩形 ABCD 所在的平面与圆 O 所在的 平面互相垂直,且 AB ? 2, AD ? EF ? 1. (1)设 FC 的中点为 M , 求证: OM // 面 DAF; (2)求证: AF ? 面 CBF .

解析: ( 1 ) 设 DF 的 中 点 为 N , 连 接 MN , 则 MN ∥

1 1 CD , MN = CD , 又 ∵ AO ∥ 2 2

1 1 CD , AO = CD , ∴ MN ∥ AO , MN = AO ,∴ MNAO 为平行四边形,∴ OM ∥ AN . 2 2
又∵ AN ? 面 DAF, OM ? 面 DAF, ∴ OM ∥面 DAF . (2)∵面 ABCD ? 面 ABEF , CB ? AB, CB ? 面 ABCD ,面 ABCD ? 面 ABEF ? AB, ∴ CB ? 面 ABEF .∵ AF ? 面 ABEF ,∴ AF ? CB. 又∵ AB 为圆 O 的直径, ∴ AF ? BF . 又∵ CB ? BF ? B, CB, BF ? 面 CBF . ∴ AF ? 面 CBF . 17.(本小题满分 14 分) 如图①, 有一个长方形状的敞口玻璃容器, 底面是边长为 20 cm 的正方形, 高为 30 cm , 内有 20 cm 深的溶液,现将此容器倾斜一定角度 ? (图②) ,且倾斜时底面的一条棱始终在桌面上(图①,② 均为容器的纵截面). (1)当 ? ? 300 时,通过计算说明此溶液是否会溢出; (2)现需要倒出不少于 3000 cm3 的溶液,当 ? 等于 600 时,能实现要求吗?通过计算说明理由.

解析:

18.(本小题满分 16 分) 如图所示,已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 的左、右焦点分别为 F1 ? ?1,0? , F2 ?1,0? , P 为椭圆上 a 2 b2

一点, Q 为上顶点, F , PO ? F2 M ? 0 . 1 M ? 2MP 当椭圆离心率 e ?

1 3 时,若直线过点(0,? )且与椭圆交于 A, B (不同于 Q )两点,求 ?AQB ; 2 7

(2)求椭圆离心率 e 的取值范围.

解析: (1) c ? 1, e ?

c 1 ? , 得 a ? 2,? b2 ? a2 ? c2 ? 3 , a 2

x2 y 2 3 所以椭圆的方程为 ,代入椭圆方程, ? ? 1 . 依题意可设 AB 所在的直线方程为 y ? kx ? 4 3 7
得 3+4k 2 x 2 ?

?

?

8 3 576 kx ? ? 0 .设 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? , 7 49

则 x1 ? x2 ?

7 ? 3 ? 4k

8 3k

2

?

, x1 x2 ?

49 ? 3 ? 4k 2 ?

?576

.

因为 Q 0, 3 ,? QA ? QB ? x1 , y1 ? 3 ? x2 , y2 ? 3 ? ? ? x1 , kx1 ? 7 ? ??? ? x2 , kx2 ? 7 ? ? ? ? ? ?

?

?

?

??

?

?

8 3? ?

8 3?

? ?1 ? k 2 ? x1 x2 ?
?

8 3 192 ?576 8 3 8 3k 192 k ? x1 ? x2 ? ? ? ?1 ? k 2 ? ? k ? 2 2 7 49 7 49 ? 3 ? 4k ? 7 ? 3 ? 4k ? 49
2

?576 ? 576k 2 ? 192k 2 ? 576 ? 768k 2 49 ? 3 ? 4k

?

? 0 ,所以 ?AQB ? ? . 2

(2)因为 PO ?

1 1 PF1 ? PF2 , F2 M ? PM ? PF2 ? PF1 ? PF2 , 2 3

?

?

因为 PO ? F2 M ? 0 ,所以
2 2

1 ?1 ? PF1 ? PF2 ? ? PF1 ? PF2 ? ? 0 ,化简得 2 ?3 ?
2 2

?

?

PF1 ? 2 PF1 · PF2 - 3PF2 ? 0 ,即 PF1 ? 2 PF1 PF2 cos ?F1 PF2 ? 3 PF2
在 ?F1 PF2 中,由余弦定理,有 PF1 所以 4 PF2 即e ?
2 2 2

? 0,

? PF2 ? 2 PF1 PF2 cos ?F1 PF2 ? 4c 2 ,

? 4c2 , PF2 ? c , 又因为 a ? c ? PF2 ? a ? c,? a ? 2c ,

c 1 ?1 ? ? , 0 ? e ? 1? e ? ? ,1? . a 2 ?2 ?
1? a 2 x ? ax ? ln x(a ? R). 2

19. (本小题满分 16 分) 设函数 f ( x) ?

(1)当 a ? 1 时,求函数 f ( x ) 的极值; (2)当 a ? 1 时,讨论函数 f ( x ) 的单调性. (3)若对任意 a ? (3, 4) 及任意 x1 , x2 ?[1, 2] ,恒有 数 m 的取值范围. 【答案】 【解析】 (1)当 0 ? x ? 1 时, f ' ( x) ? 0; f ( x) 单调递减;当 x ? 1 时, f ' ( x) ? 0. f ( x) 单 调递增,? f ( x)极小值 =f (1) ? 1 ,无极大值.(2)当 a ? 2 时, f ( x ) 在 (0, ??) 上是减函数;当 a ? 2

(a 2 ? 1) m ? ln 2 ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) 成立,求实 2

1 1 ) 和 (1, ??) 单调递减,在 ( ,1) 上单调递增;当1 ? a ? 2 时, f ( x) 在 (0,1) a ?1 a ?1 1 1 1 , ??) 单调递减,在 (1, ) 上单调递增; 和( (3) m ? . a ?1 a ?1 15
时, f ( x ) 在 (0,

' 解析: (1)函数的定义域为 (0, ??) .当 a ? 1 时, f ( x) ? x ? ln x, f ( x) ? 1 ?

1 x ?1 ? , 当0 ? x ?1 x x

时, f ' ( x) ? 0; f ( x) 单调递减;当 x ? 1 时, f ' ( x) ? 0. f ( x) 单调递增

? f ( x)极小值 =f (1) ? 1 ,无极大值.

1 1 (1 ? a)( x ? )( x ? 1) (1 ? a) x 2 ? ax ? 1 (2) f ( x) ? (1 ? a ) x ? a ? ? a ?1 ? x x x
'



1 (1 ? x)2 ? 1 ,即 a ? 2 时, f ' ( x) ? ? ? 0, a ?1 x

f ( x) 在定义域上是减函数;

当0 ? 得

1 1 ? 1 ,即 a ? 2 时,令 f ' ( x) ? 0, 得 0 ? x ? 或 x ? 1; 令 f ' ( x) ? 0, a ?1 a ?1

1 ? x ? 1. a ?1 1 1 ? 1 ,即 1 ? a ? 2 时,令 f ' ( x) ? 0, 得 0 ? x ? 1 或 x ? ; 令 f ' ( x) ? 0, 当 a ?1 a ?1 1 1 . 综上,当 a ? 2 时, f ( x) 在 (0, ??) 上是减函数;当 a ? 2 时, f ( x) 在 (0, )和 得1 ? x ? a ?1 a ?1 1 1 (1, ??) 单调递减,在 ( ,1) 上单调递增;当 1 ? a ? 2 时, f ( x) 在 (0,1) 和 ( , ??) 单调递减, a ?1 a ?1 1 ) 上单调递增; 在 (1, a ?1
( 3 ) 由( Ⅱ) 知, 当 a ? (3, 4) 时, f ( x ) 在 [1, 2] 上 单减 , f (1) 是 最大 值, f (2) 是 最 小值 .

? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f (1) ? f (2) ?
理得 m ?

a 3 ? ? ln 2 2 2

?

a 3 (a 2 ? 1 ) , 而 a ? 0 经整 m?l n 2 ? ? ?l n 2 2 2 2

a ?3 a ?3 1 1 ? ,所以 m ? . ,由 3 ? a ? 4 得 0 ? 2 2 a ?1 a ? 1 15 15

20(本小题满分 16 分) 已知数列 {a } 的各项都是正数,且对任意 n ? N * , 2 。 an?1 ? an an?2 ? k ( k 为常数) n (1) 若

k ? (a2 ? a1 )2 ,求证: a1 , a2 , a3 成等差数列;

(2) 若 k ? 0 ,且 a , a , a 成等差数列,求 a2 的值; 2 4 5

a1
(3) 已知 a ? a, a ? b ( a , b 为常数) ,是否存在常数 ? ,使得 a ? a ? ? a 对任意 n ? N * 1 2 n n?2 n ?1 都成立?若存在,求 ? 的值;若不存在,请说明理由。

解析: (1)证明:∵ ∴ 令 n=1,则 ∵a1>0,∴2a2=a1+a3, 故 a1,a2,a3 成等差数列; (2)当 k=0 时, , , ,



∵数列{an}的各项都为正数, ∴数列{an}是等比数列,设公比为 q>0, ∵a2,a4,a5 成等差数列, ∴a2+a5=2a4,∴ ,∵a1>0,q>0,∴q3﹣2q2+1=0, .

化为(q﹣1) (q2﹣q﹣1)=0,解得 q=1 或







(3)存在常数 λ=

,使得 an+an+2=λan+1 对任意 n∈N*都成立.

证明如下:∵ ∴

,∴ ,即 ,

, ,

由于 an>0,两边同除以 anan+1,得到



=…=

,即当 n∈N*时,都有



∵a1=a,a2=b,

,∴a3=

.∴

=



∴存在常数 λ=

,使得 an+an+2=λan+1 对任意 n∈N*都成立.

(附加题) 1.已知矩阵 M ? ?

?2 1 ? ? 的一个特征值是 3,求直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 在 M 作用下的直线方程. ?1 a ?

解析:∵矩阵 M ? ?

? ? 2 ?1 ?2 1 ? 的一个特征值是 3,设 f (? ) ? ? ?1 ? ? a ?1 a ?

?2 1 ? ? (? ? 2)(? ? a) ? 1 ? 0, 则 (3 ? 2)(3 ? a) ? 1 ? 0, 解得 a ? 2, ∴ M ? ? ?. ?1 2 ?
设直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 上任一点 ( x, y ) 在 M 作用下对应的点为 ( x' , y' ), 则有

2 1 ? x ? x'? y ' ? ? 2 1 ? ? x ? ? x' ? ?2 x ? y ? x' ? 3 3 ,代入 x ? 2 y ? 3 ? 0 ,整理得 ?1 2? ? y ? ? ? y'?, 整理得 ? x ? 2 y ? y ' ,则 ? ? ?? ? ? ? ? ? y ? 2 y '? 1 x' ? 3 3 ?
4 x'?5 y'?9 ? 0 .∴所求直线方程为 4 x ? 5 y ? 9 ? 0 .
2.在平面直角坐标系 xoy 中, 曲线 C 的参数方程是 ?

? x ? cos? (?是 参 数 ).若以 O 为极点,x 轴的 ? y ? sin ? ? 1

正半轴为极轴,取与直角坐标系中相同的单位长度,建立极坐标系,求曲线 C 的极坐标方程. 【知识点】圆的参数方程;简单曲线的极坐标方程.N3 解析:由 ?

? x ? cos? 消去 ? , 得 x 2 ? ( y ? 1) 2 ? 1. 曲线 C 是以点 (0,1) 为圆心,1 为半径的圆,∴ y ? sin ? ? 1 ?

在极坐标系中,曲线 C 是以点 (1,

?
2

) 为圆心,1 为半径的圆,∴曲线 C 的极坐标方程是 ? ? 2 sin ? .

3. 如 图 , 在 正 四 棱 锥 P ? ABCD 中 , PA ? AB? 2 , 点 M , N 分 别 在 线 段 PA 和 BD 上 ,

BN ?

1 B D. 3 1 PA ,求证: MN ? AD ; 3

(1)若 PM ?

(2)若二面角 M ? BD ? A 的大小为

? ,求线段 MN 的长度. 4

解析:连接 AC , BD 交于点 O ,以 OA 为 x 轴正方向,以 OB 为 y 轴正方向, OP 为 z 轴建立空间 直角坐标系.因为 PA ? AB ? 2 ,则 A(1, 0, 0) , B(0,1, 0) , D(0, ?1, 0) , P(0, 0,1) . (1)由 BN ?

1 1 1 1 2 1 1 2 BD ,得 N (0, ,0) ,由 PM ? PA ,得 M ( , 0, ) ,所以 MN ? (? , , ? ) , 3 3 3 3 3 3 3 3

AD ? (?1, ?1,0) .因为 MN ? AD ? 0 .所以 MN ? AD .
?? . ) 所 以 BM ? (? ,? 1, 1 ( 2 ) 因 为 M 在 PA 上 , 可 设 P M ? ? P A, 得 M (? , 0 , 1 ?? , )

BD ? (0, ?2,0) .设平面 MBD 的法向量 n ? ( x, y, z) ,
由?

? ?n ? BD ? 0 ? ?n ? BM ? 0

得?

??2 y ? 0 其 中 一 组 解 为 x ? ? ?1 , y ? 0 , z ? ? , 所 以 可 取 ?? x ? y ? (1 ? ? ) z ? 0

n ? (? ?1,0, ?) .因为平面 ABD 的法向量为 OP ? (0,0,1) ,

所以 cos

?
4

?

n ? OP n OP

,即

2 ? 1 1 1 1 ? ,解得 ? ? , 从而 M ( , 0, ) , N (0, , 0) , 2 2 2 2 2 2 3 (? ? 1) ? ?

所以 MN ? 4.已知 (1 ?

22 . 6

1 n x) 展开式的各项依次记为 a1 ( x), a2 ( x),...,an ( x), an?1 ( x). 设函数 2

F ( x) ? a1 ( x) ? 2a2 ( x) ? 3a3 ( x) ? ... ? nan ( x) ? (n ? 1)an?1 ( x).
若 a1 ( x), a2 ( x),..., an?1 ( x) 的系数依次成等差数列,求正整数 n 的值; 求证: ?x1 , x2 ? [0,2], 恒有 | F ( x1 ) ? F ( x2 ) |? 2 n?1 (n ? 2) ? 1. 解析: (1)由题意知 a k ( x) ? C n ( x)
k ?1

1 2

k ?1

, k ? 1,2,3...,n ? 1.

0 ∵ a1 ( x), a2 ( x), a3 ( x) 的系数依次为 C n ? 1, C n ?
1

∴ 2?

n n(n ? 1) ? 1? , 解得 n ? 8. 2 8

1 n 2 1 2 n(n ? 1) ? , Cn ? ( ) ? , 2 2 2 8

(2) F ( x) ? a1 ( x) ? 2a2 ( x) ? 3a3 ( x) ? ... ? nan ( x) ? (n ? 1)an?1 ( x) = C n ? 2C n ( x) ? 3C n ( x) ? .... ? nC n ( x)
0 1 2 2

1 2

1 2

n ?1

1 2

n ?1

n 1 ? (n ? 1)C n ( x) n . 2

0 1 2 n?1 n 令 x ? 2, F ( 2) ? Cn ? 2Cn ? 3Cn ? ....? nCn ? (n ? 1)Cn .

令 x ? 0, F (0) ? 1 设 S n ? Cn ? 2Cn ? 3Cn ? ....? nCn
0 1 2 n?1 n ? (n ? 1)Cn .

则 S n ? (n ? 1)Cn ? nCn
n

n?1

2 1 0 k n ?k ? ....? 3Cn ? 2Cn ? Cn . 考 虑 到 Cn ? Cn , 将以上两式相加得

0 1 2 n?1 n 2S n ? (n ? 2)(Cn ? Cn ? Cn ....? Cn ? Cn ). ∴ S n ? (n ? 2)2n?1.

又当 x ? [0,2] 时, F ' ( x) ? 0 恒成立,从而 F ( x ) 是 [0,2] 上的单调增函数, ∴ ?x1 , x2 ? [0,2], | F ( x1 ) ? F ( x2 ) |? F (2) ? F (0) ? 2 n?1 (n ? 2) ? 1.


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