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2014年全国高中数学联赛安徽省初赛试卷word


2014 年全国高中数学联赛安徽省初赛试卷
一、填空题(每题8分,共64分)

x2 ? 2 x ? 3 ( x ? R) 的值域是_______________. 1. 函数 y ? 2 x ? 4x ? 5
2. 函数 y ? tan(2013 x) ? tan(2014 x) ?tan(2015 x ) 在 [0, ? ] 中的零点个数是__________. 3. 设定点 A(2,1) , 动点 B 在 x 轴上, 动点 C 在直线 y ? x 上, 则 ?ABC 的周长的最小值是________. 4. 设 P 若 2k ?2 是 P 1, P 2 是平面上两点,P 2 k ?1 是 P 2 k 关于 P 1 的对称点,P 2 k ?1 关于 P 2 的对称点, k ? N .
*

| PP 1 2 |? 1 ,则 | P 2013 P 2014 |? __________.
5. 已知四面体 ABCD 的侧面展开图如下图所示,则其体积是__________.

6. 设复数 z 满足 | z ?

1 |? 2 ,则 | z | 的取值范围是_______________. z

7. 设动点 P(t ,0), Q(1, t ) , 其中参数 t ?[0,1] , 则线段 PQ 扫过的平面区域的面积是_____________. 8. 从正12边形的顶点中取出4个顶点,它们两两不相邻的概率是___________.

二、解答题(第9—10题每题21分,第11—12题22分,共86分) 9. 已知正实数 x, y, z 满足 x ? y ? z ? 1 .求证:

z?y x?z y?x ? ? ? 0. x ? 2 y y ? 2z z ? 2x

10. 设数列 {an } 满足 a1 ? 1, an ?1 ?

2 an ?3 , n ? 1 .求证: 2an

(1) 当 n ? 2 时,an 严格单调递减. (2) 当 n ? 1 时,| an?1 ? 3 |? 2 3

r2

n

1? r2

n

, 这里 r ? 2 ? 3 .

11. 已知平面凸四边形 ABCD 的面积为1.求证:

| AB | ? | AC | ? | AD | ? | BC | ? | BD | ? | CD |? 4 ? 2 2 .

12. 求证:(1)方程 x ? x ? 1 ? 0 恰有一个实根 ? ,并且 ? 是无理数;
3

(2) ? 不是任何整数系数二次方程 ax ? bx ? c ? 0 (a, b, c ? Z , a ? 0) 的根.
2

2014 年全国高中数学联赛安徽省初赛试卷答案



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