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一元二次方程的概念(1)


有一块矩形铁皮 , 长 100 ㎝ , 宽 50 ㎝ , 在它的
四角各切去一个正方形 , 然后将四周突出部分折 起,就能制作一个无盖方盒,如果要制作的方盒的 底面积为 3600 平方厘米 , 那么铁皮各角应切去多 大的正方形?

?

3600
x 100㎝

50㎝

要组

织一次排球邀请赛,参赛的每两队之间都 要比赛一场,根据场地和时间等条件,赛程计划安 排7天,每天安排4场比赛,比赛组织者应邀请多少 个队参加比赛?

?

一块四周镶有宽度相等的花边的地毯如下图,它的 长为8m,宽为5m.如果地毯中央长方形图案的面 积为18m2 ,则花边多宽?

你怎么解决这个问题?

解:如果设花边的宽为xm ,那么地毯中央长方形图案 的长为 m,宽为 m,根据题意,可得方程: 8
数学化

x

x
(8-2x)

x
18m2

5

x

一元二次方程的概念
? 像这样的等号两边都是整式, 只含有 一个未知数(一元),并且未知数的最 高次数是2(二次)的方程叫做一元二次 方程。 即:一元二次方程的共同特点: ① 只含一个未知数; ②未知数的最高次数是2. ③ 都是整式方程;

一元二次方程的一般形式 一般地,任何一个关于x 的一元二次方程都可以 化为 ax 2 ? bx 的形式 ,我们把 ?c ?0 ax 2 ? bx ? c ? 0 (a,b,c为常数,a≠0)称为一元二次方程的一般形式。 想一想
为什么要限制a≠0,b,c可以为零吗?

a x 2 + b x + c = 0 (a ≠ 0)

二次项系数

一次项系数

例1 :

判断下列方程是否为一元二次方程?
2

(1)x +x =36
(3)x+3y=36 (5) x+1=0
2

? ?

(2) x + x =36
3 2

?
?

1 2 (4) 2 ? ? 0 x x
2

?

(7)4 x ? 1 ? (2 x ? 3)
(8)( x ) ? 2 x ? 6 ? 0
2

x (6) ? 6 ? 3 2

? ?

练习巩固
1.关于x的方程(k-3)x2 + 2x-1=0,

当k ≠3 时,是一元二次方程. 2.关于x的方程(k2-1)x2 + 2 (k-1) x + 2k + 2=0 当k ≠±1 时,是一元二次方程. 当k =-1 时,是一元一次方程.
2+1 m 3.m为何值时,方程(m-1)x +3x+2=0

是关于x的一元二次方程?
4.若关于x的方程2mx(x-1)-nx(x+1)=1,化 成一般形式后为4x2-2x-1=0,求m、n的值。

例2.把下列方程化为一元二次方程的形式,并写出它的二次
项系数、一次项系数和常数项:
一般形式 二次项 系 数 一次项 系 数 常数项


2



3x =5x-1 (x+2)(x -1)=6

3 3x2-5 5x+1=0 1x2 +1 x-8=0

3 1

-5 1 0

1 -8 4

4-7x =0

2

-7x2 +4=0 0x+4=0 -7 或- -7x 7 2 +0 或7x2 - 4=0 7

0

-4

抢答:
一元二次方程 二次项 一次项 常数项 系数 系数

2x +x+4=0 -4y +2y=0 3x -x-1=0 4x -5=0
(m-3)x -(m-1)x-m=0(m≠3)
2

2

2 -4 3 4 m-3 3

1 2 -1

4 0 -1

2

2

2

0
1-m -8

-5
-m -10

3x(x-1)=5(x+2)

活动2

方程的根:使一元二次方程等号两边相等 的未知数的取值叫作一元二次方程的解(又叫 做根).

活动2
4.(1)下列哪些数是方程 x
2

? x?6 ? 0

的根?从中你能体会根的作用吗? -4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4 (2)若x=2是方程 ax
2

? 4x ? 5 ? 0

的一个

根,你能求出a的值吗?
根的作用: 可以使等号成立.

例题讲解
1)已知关于x的一元二次方程 则a的值为?B ?
A.1

(a ? 1) x ? x ? a ? 1 ? 0的一根是X ? 0
2 2

B.-1 C.1或-1 D.0

?

巩固练习

活动3

1.你能根据所学过的知识解出下列方程的解吗? 2 x ? 36 ? 0; ( 1) 2 ( 2) 4 x ? 9 ? 0 .

2.有人解这样一个方程 ( x ? 5)( x ? 1) ? 7
解:x+5=1或x-1=7,所以x1=-4,x2= 8,你的看 法如何?

例3.从前有一天,一个醉汉拿着竹竿进屋,横拿竖拿都进不
去,横着比门框宽4尺,竖着比门框高2尺,另一个醉汉教他 沿着门的两个对角斜着拿竿,这个醉汉一试,不多不少刚好进 去了.你知道竹竿有多长吗?请根据这一问题列出方程. 解:设竹竿的长 为x尺,则门的宽 度为(x-4) 尺,长 为 (x-2) 尺,依题 意得方程:

2尺 数学化

x

x-2

(x-4)2+ (x -2)2= x2


x2-12 x +20 = 0

x-4

4尺

练习巩固
1.根据题意,列出方程:

(1)有一面积为54m2的长方形,将它的一边剪短5m,另一边 剪短2m,恰好变成一个正方形,这个正方形的边长是多少?
解:设正方形的边长为xm,则原长方形的长为(x+5) m,宽 为(x+2) m,依题意得方程: 5 x (x+5) (x+2) =54


x2 + 7x-44 =0

x 2

54m2
X+5

2.三个连续整数两两相乘,再求和,结果为242,这三个数分别 是多少? 解:设第一个数为x,则另两个数分别为x+1, x+2,依题意得 方程: x (x+1) + x(x+2) + (x+1) (x+2) =242. 即 x2 +2x-8 0=0.

?
一元一次方程与一元二次 方程有什么联系与区别?
一元一次方程 一元二次方程

一般式
相同点 不同点

ax2+bx+c=0 (a≠0) 整式方程,只含有一个未知数 未知数最高次数是1 未知数最高次数是2

ax+b=0 (a≠0)

1.本节学习的数学知识是:
(1) 2、学习的数学思想方法是 转化、建模思想。
一元二次方程的概念 一元二次方程的一般形式 (2)

3、如何理解一元二次方程的一般形式 2 ax ? bx ? c ? 0 (a≠0)? (a≠0)是成为一元二次方程的必要条件 (1)
找一元二次方程的二次项、一次项 (2) 系数及常数项要先化为一般式

作业
m 1.当m为何值时,方程 (m ? 2) x ? 3mx? 1 ? 0
是关于x的一元二次方程. 2.下列方程中,无论a为何值,总是关于x的一元 二次方程的是( D ) A.(2x-1)(x2+3)=2x2-a B.ax2+2x+4=0 C.ax2+x=x2-1 D.(a2+1)x2=0 3、课本P28 1、2

练习巩固
下列方程哪些是一元二次方程? 为什么? (1)7x2-6x=0 (2)2x2-5xy+6y=0

1 -1 =0 (3)2x2- - 3x 2 y (4) - = 0 2
(5)x2+2x-3=1+x2 解: (1)、 (4)


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