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2010年27届全国中学生物理竞赛复赛真题附答案


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第 27 届全国中学生物理竞赛复赛试卷
本卷共九题,满分 160 分.计算题的解答应写出必要的文字说明、方程式和重要的演算 步骤.只写出最后结果的不能得分.有数字计算的题.答案中必须明确写出数值和单位.填 空题把答案填在题中的横线上,只要给出结果,不需写出求解的过程. 一、 15

分)蛇形摆是一个用于演示单摆周期与摆长关系的实验仪器(见图) ( .若干个 摆球位于同一高度并等间距地排成一条直线,它 们的悬挂点在不同的高度上,摆长依次减小.设 重力加速度 g = 9 . 80 m/ s2 , 1 .试设计一个包含十个单摆的蛇形摆(即求 出每个摆的摆长) ,要求满足: ( a )每个摆的摆 长不小于 0 . 450m , 不大于 1.00m ; (b ) 初始 时将所有摆球由平衡点沿 x 轴正方向移动相同 的一个小位移 xo ( xo <<0.45m ) , 然后同时释放, 经过 40s 后,所有的摆能够同时回到初始状态. 2 .在上述情形中,从所有的摆球开始摆动起,到它们的速率首次全部为零所经过的时 间为________________________________________. 二、 20 分)距离我们为 L 处有一恒星,其质量为 M ,观测发现其位置呈周期性摆 ( 动,周期为 T ,摆动范围的最大张角为 △θ.假设该星体的周期性摆动是由于有一颗围 绕它作圆周运动的行星引起的,试给出这颗行星的质量 m 所满足的方程. 若 L=10 光年, T =10 年, △θ = 3 毫角秒, M = Ms (Ms 为太阳质量) ,则此行 星的质量和它运动的轨道半径 r 各为多少?分别用太阳质量 Ms 和国际单位 AU (平均日 1 1 地距离)作为单位,只保留一位有效数字.已知 1 毫角秒=1000 角秒,1 角秒=3600 度, 1AU=1.5×10 km,光速 c = 3.0 ×105km/s.
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三、 22 分)如图,一质量均匀分布的刚性螺旋环质量为 m,半径为 R ,螺距 H =π ( R ,可绕竖直的对称轴 OO′,无摩擦地转动,连接螺旋环与转轴的两支撑杆的质量可忽略 不计. 一质量也为 m 的小球穿在螺旋环上并可沿螺旋环无摩擦地滑动,首先扶住小球使其静 止于螺旋环上的某一点 A ,这时螺旋环也处于静止状态.然后放开小球,让小球沿螺旋环 下滑,螺旋环便绕转轴 OO′,转动.求当小球下滑到离其初始位置沿竖直方向的距离为 h 时,螺旋环转动的角速度和小球对螺旋环作用力的大小.

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四、 12 分)如图所示,一质量为 m、电荷量为 q ( q > 0 )的粒子作角速度为ω、 ( 半径为 R 的匀速圆周运动.一长直细导线位于圆周所在的平面内,离圆心的距离为 d ( d > R ) ,在导线上通有随时间变化的电流 I, t= 0 时刻,粒子速度的方向与导线平行,离导 线的距离为 d+ R .若粒子做圆周运动的向心力等于电流 i ,的磁场对粒子的作用力,试求 出电流 i 随时间的变化规律.不考虑变化的磁场产生的感生电场及重力的影响.长直导线 电流产生的磁感应强度表示式中的比例系数 k 已知.

五、 (20 分)如图所示,两个固定的均匀带电球面,所带电荷量分别为 +Q 和-Q (Q >0) ,半径分别为 R 和 R/2,小球面与大球面内切于 C 点, 两球面球心 O 和 O’的连线 MN 沿竖直方在 MN 与两球面的交点 B、0 和 C 处各开有足够小的孔因小孔损失的电荷量忽略不计,有一质量为 m,带 电荷为 q(q>0 的质点自 MN 线上离 B 点距离为 R 的 A 点竖直上抛。设静 电力常量为 k,重力加度为 g. 1. 要使质点从 A 点上抛后能够到达 B 点, 所需的最小初动能为多少? 2.要使质点从 A 点上抛后能够到达 O 点,在不同条件下所需的最小 初动能各为多少? 六、 20 分)由单位长度电阻为 r 的导线组成如图所示的正方形网 ( 络系列.n=1 时,正方形网络边长为 L,n= 2 时,小正方形网络的边长为 L/3;n=3 时,最小正方形网络的边长为 L/9.当 n=1、2、3 时,各网 络上 A、B 两点间的电阻分别为多少?

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七、 (15 分)地球上的能量从源头上说来自太阳辐射到达地面的太阳辐射(假定不计大气 对太阳辐射的吸收)一部分被地球表面反射到太空,其余部分被地球吸收.被吸收的部分最 终转换成为地球热辐射(红外波段的电磁波) .热辐射在向外传播过程中,其中一部分会被 温室气体反射回地面,地球以此方式保持了总能量平衡。作为一个简单的理想模型,假定地 球表面的温度处处相同, 且太阳和地球的辐射都遵从斯忒蕃一玻尔兹曼定律: 单位面积的辐 4 射功率 J 与表面的热力学温度 T 的四次方成正比,即 J=σT ,其中 σ 是一个常量.已知太 3 5 阳表面温度 Ts=5.78×10 K ,太阳半径 Rs=6.69×10 km ,地球到太阳的平均距离 d=1.50 8 ×10 km .假设温室气体在大气层中集中形成一个均匀的薄层,并设它对热辐射能量的反 射率为ρ=0.38 . 1.如果地球表面对太阳辐射的平均反射率α=0.30 ,试问考虑了温室气体对热辐射的反 射作用后,地球表面的温度是多少? 2.如果地球表面一部分被冰雪覆盖,覆盖部分对太阳辐射的反射率为α1=0.85 ,其余部 分的反射率处α2=0.25 .间冰雪被盖面占总面积多少时地球表面温度为 273K . 八、 (20 分)正午时太阳的入射光与水平面的夹角θ=45 .有一座房子朝南的墙上有一个 直径 W =10cm 的圆窗,窗口中心距地面的高度为 H .试设计一套采光装置,使得正午时刻 太阳光能进人窗口, 并要求进入的光为充满窗口、 垂直墙面、 且光强是进人采光装置前 2 倍 的平行光.可供选用的光学器件如下:一个平面镜,两个凸透镜,两个凹透镜;平面镜的反 射率为 80 % ,透镜的透射率为 70 % ,忽略透镜表面对光的反射.要求从这些器件中选用 最少的器件组成采光装置.试画出你所设计的采光装置中所选器件的位置及该装置的光路 图,并求出所选器件的最小尺寸和透镜焦距应满足的条件.
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九、 16 分)已知粒子 1 和粒子 2 的静止质量都是 m0 ,粒子 1 静止,粒子 2 以速 ( 度 v0 与粒子 1 发生弹性碰撞. 1.若碰撞是斜碰,考虑相对论效.试论证:碰后两粒子速度方向的夹角是锐角、直角还是 钝角.若不考虑相对论效应结果又如何? 2.若碰撞是正碰,考虑相对论效应,试求碰后两粒子的速度.

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