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2014高二数学下学期期中考试试题及答案


2014 高二数学下学期期中考试试题及答案
1. 某班新年联欢会原定的 5 个节目已排成节目单, 开演前又增加了两个新节目. 如果将这两个新节目插 入原节目单中, 那么不同插法的种数为 ( ) A.42 B.48 C. 96 D. 124 2.从正方体的 6 个面中选取 3 个面,其中有 2 个面不相邻的选法共有( ) A.20 种 B.16 种 C.12 种 D.8 种 3. 从 4 名男生和 3 名女生中选出 4 人参加某个座谈会,若这 4 人中必须既有男生又有女生,则不同的选 法共有 ( ) A.34 种 B.35 种 C.120 种 D.140 种 4 某地奥运火炬接力传递路线共分 6 段,传递活动分别由 6 名火炬手完成.如果第一棒火炬手只能从甲、 乙、丙三人中产生,最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生,则不同的传递方案共有 种. (用 数字作答) A.32 种 B.96 C.48 种 D.140 种 5.如图,一环形花坛分成 A、B、C、D 四块,现有 4 种不同的花供选种,要求在每块 里种一种花,且相邻的 2 块种不同的花,则不同的种法种数为 (A)96 (B) 84 (C) 60 (D) 48 6.某校高三年级共有六个班,现从外校转入 4 名学生,要安排到该年级的两个班级且 每班安排 2 名,则不同的安排方案种数为( ) A.
2 2 A6 C4 2 2 B. A6 A4 2 C. 2 A6

D.

1 2 2 A6 C 4 2
( D. 10 )

7. 在 (1 ? x) A. -5

5

? (1 ? x)6 的展开式中,含 x3 的项的系数是
B. 5 C. -10

8. 设直线的方程是 Ax ? By ? 0 ,从 1,2,3,4,5 这五个数中每次取两个不同的数作为 A、B 的值,则 所得不同直线的条数是 A.20 ( B.19 ) C.18 D.16

9.2006 年世界杯参赛球队共 32 支,现分成 8 个小组进行单循环赛,决出 16 强(各组的前 2 名小组出线),这 16 个队按照确定的程序进行淘汰赛,决出 8 强,再决出 4 强,直到决出冠、亚军和第三名、第四名,则比赛 进行的总场数为( ) A.64 B.72 C.60 D.56
10 .已知 e 为自然对数的底数,设函数

f ( x) ? (e x ?1)(x ?1)k (k ? 1,2) ,则





A.当 k ? 1 时, f ( x) 在 x ? 1 处取得极小值 C.当 k ? 2 时, f ( x) 在 x ? 1 处取得极小值

B.当 k ? 1 时, f ( x) 在 x ? 1 处取得极大值 D. 当 k ? 2 时, f ( x) 在 x ? 1 处取得极大值

第1页

二、填空题: 11 12 设 (1 ? x)8 ? a0 ? a1x ? 若(x+

? a8 x8 , 则 a0, a1 ,

, a8 中奇数的个数为

1 n ) 的展开式中前三项的系数成等差数,则展开式中 x4 项的系数为 2x

三、解答题: n n+1 16 求证:4× 6 +5 -9 能被 20 整除.

17.从 1 到 9 的九个数字中取三个偶数四个奇数,试问: ①能组成多少个没有重复数字的七位数? ②上述七位数中三个偶数排在一起的有几个? ③在①中的七位数中,偶数排在一起、奇数也排在一起的有几个? ④在①中任意两偶然都不相邻的七位数有几个?

18.把 1、2、3、4、5 这五个数字组成无重复数字的五位数,并把它们按由小到大的顺序排列成一个数列。 (1) 43251 是这个数列的第几项? (2) 这个数列的第 96 项是多少? (3) 求这个数列的各项和。

19.设函数

f ? x ? ? ? x ?1? ex ? kx2 (其中 k ? R ).

第2页

(Ⅰ) 当 k ? 1 时,求函数 f ? x ? 的单调区间; (Ⅱ) 当 k ? ? ,1? 时,求函数 f ? x ? 在 ? 0, k ? 上的最大值 M .

?1 ? ?2 ?

第3页

参考答案 一、选择题: 1.B 2.C 3.A 4.B 5.B 6.D 7.C 8.C 9.A 10.C 二、填空题: 11、2 12. 7 三、解答题: 16 【解析】 4× 6 +5 +(4
n-1 n n+1

13

9 3 + ln 2 2

14、1006015

15

? 2

-9=4(6 -1)+5(5 -1)=4[(5+1)n-1]+5[(4+1)n-1]=20[(5
n n n-1 n n+1

n-1

+Cn5

1 n-2

+?+Cn )

n-1

+Cn4

1 n-2

+?+Cn )],是 20 的倍数,所以 4× 6 +5

-9 能被 20 整除.

17. 解:①分步完成:第一步在 4 个偶数中取 3 个,可有 第二步在 5 个奇数中取 4 个,可有

种情况; 种情况;

7 第三步 3 个偶数,4 个奇数进行排列,可有 A7 种情况, 3 4 7 所以符合题意的七位数有 C4 C5 A7 ? 100800 个. 3 4 5 3 ②上述七位数中,三个偶数排在一起的有个. C4 C5 A5 A3 ? 14400

③上述七位数中,3 个偶数排在一起,4 个奇数也排在一起的有
3 5 3 4 2 C4 C5 A3 A4 A2 ? 5760 个.

④上述七位数中,偶数都不相邻,可先把 4 个奇数排好,再将 3 个偶数分别插入 5 个空档,共有
4 3 3 A5 C4 A5 ? 28800 个。

18.解:⑴先考虑大于 43251 的数,分为以下三类
4 第一类:以 5 打头的有: A4 =24 3 第二类:以 45 打头的有: A3 =6

第三类:以 435 打头的有: A2 =2 故不大于 43251 的五位数有: A5 ? ( A4 ? A3 ? A2 ) =88(个)
5 4 3 2

2

即 43251 是第 88 项。 ⑵数列共有 A=120 项,96 项以后还有 120-96=24 项,即比 96 项所表示的五位数大的五位数有 24 个,所以 小于以 5 打头的五位数中最大的一个就是该数列的第 96 项。即为 45321。 ⑶因为 1,2,3,4,5 各在万位上时都有 A 个五位数,所以万位上数字的和为: (1+2+3+4+5) ·A·10000 同理它们在千位、十位、个位上也都有 A 个五位数,所以这个数列各项和为:

第4页

(1+2+3+4+5) ·A· (1+10+100+1000+10000) =15×24×11111=3999960

第5页

20(Ⅰ) 当 k ? 1 时,

f ? x ? ? ? x ?1? ex ? x2 , f ? ? x ? ? e x ? ? x ? 1? e x ? 2 x ? xe x ? 2 x ? x ? e x ? 2 ?

令 f ? ? x ? ? 0 ,得 x1 ? 0 , x2 ? ln 2 当 x 变化时, f ? ? x ? , f ? x ? 的变化如下表:

x
f ? ? x?

? ??,0?
?

0 0

? 0,ln 2?
?

ln 2

? ln 2, ???
?

0

第6页

f ? x?

极 大 值

极小 值

右表可知,函数 f ? x ? 的递减区间为 ? 0,ln 2? ,递增区间为 ? ??,0? , ? ln 2, ??? .
x x x x (Ⅱ) f ? ? x ? ? e ? ? x ? 1? e ? 2kx ? xe ? 2kx ? x e ? 2k ,令 f ? ? x ? ? 0 ,得 x1 ? 0 , x2 ? ln ? 2k ? ,

?

?

令 g ? k ? ? ln ? 2k ? ? k ,则 g ? ? k ? ?

1 1? k ?1 ? ?1 ? ? 0 ,所以 g ? k ? 在 ? ,1? 上递增, k k ?2 ?

所以 g ? k ? ? ln 2 ?1 ? ln 2 ? ln e ? 0 ,从而 ln ? 2k ? ? k ,所以 ln ? 2k ? ??0, k ? 所以当 x ? 0,ln ? 2k ? 时, f ? ? x ? ? 0 ;当 x ? ln ? 2k ? , ?? 时, f ? ? x ? ? 0 ;
k 3 所以 M ? max f ? 0 ? , f ? k ? ? max ?1, ? k ? 1? e ? k

?

?

?

?

?

?

?

?

k 令 h ? k ? ? ? k ?1? ek ? k 3 ? 1 ,则 h? ? k ? ? k e ? 3k ,令 ? ? k ? ? ek ? 3k ,则 ?? ? k ? ? ek ? 3 ? e ? 3 ? 0

?

?

所以 ? ? k ? 在 ? ,1? 上递减,而 ? ?

?1 ? ?2 ?

3? ?1? ? ? ? ? ?1? ? ? e ? ? ? e ? 3? ? 0 2? ?2? ?

所以存在 x0 ? ?

?1 ? ?1 ? ,1? 使得 ? ? x0 ? ? 0 ,且当 k ? ? , x0 ? 时, ? ? k ? ? 0 ,当 k ? ? x0 ,1? 时, ? ? k ? ? 0 , ?2 ? ?2 ? ? ?

所以 ? ? k ? 在 ? , x0 ? 上单调递增,在 ? x0 ,1? 上单调递减.

?1 ?2

因为 h ? “ ? ”.

1 7 ?1? ?1 ? e ? ? 0 , h ?1? ? 0 , 所以 h ? k ? ? 0 在 ? ,1? 上恒成立 , 当且仅当 k ? 1 时取得 ??? 2 8 ?2? ?2 ?
k 3

综上,函数 f ? x ? 在 ? 0, k ? 上的最大值 M ? ? k ?1? e ? k .

第7页


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