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浙江省杭州市余杭区普通高中第二共同体2015届高三上学期期中考试数学试卷(理科)


2014-2015 学年浙江省杭州市余杭区普通高中第二共同体高三(上)期中数学试卷(理科)

一、选择题: (本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. ) 1.已知集合 A={x|x+3>0},则?RA=( )

A. (﹣∞,﹣3) B. (﹣∞,﹣3] C. (﹣3,+∞

) D. 表示不大于 x 的最大整数, 则对任意实数 x,y,有( )

A. =﹣ B. =2 C. ≤+ D. ≤﹣

7.函数 f(x)=sin(ω x+φ ) (ω >0,|φ |<

)的最小正周期为π ,若其图象向右平移 ) ) D. y=sin(2x+ )

个单位后关于 y 轴对称,则 y=f(x)对应的解析式为 ( A. y=sin(2x﹣ ) B. y=cos(2x+

) C. y=cos(2x﹣

8.已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且在区间 B. 2]

C.

D. (0,

9.已知不等式﹣2xy≤ax +2y ,若对任意 x∈及 y∈不等式恒成立,则实数 a 的范围是( A. B. a≥0 C. D.

2

2



10.已知函数 f(x)=|

﹣1|,若关于 x 的方程 f (x)+bf(x)+c=0 恰有 6 个不同的实数 )

2

解,则 b,c 的取值情况不可能的是(

A. ﹣1<b<0,c=0 B. 1+b+c>0,c>0 C. 1+b+c<0,c>0 D. 1+b+c=0,0<c<1

二、填空题: (本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分. )

11.设等比数列{an}的公比

,前 n 项和为 Sn,则

=



12.在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、C、若( cosA= .

b﹣c)cosA=acosC,则

13.已知 z=x﹣2y,其中 x,y 满足不等式组

,则 z 的最小值为



14. 定义在 R 上的函数 f(x)满足 f (x)=

,f (3)=



15.设 0≤α ≤π ,不等式 8x ﹣(8sinα )x+cos2α ≥0 对 x∈R 恒成立,则α 的取值范围 为 . = . ,λ ∈

2

16.在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A 的坐标为(3,a) ,a∈R,点 P 满足 R,| | =72,则线段 OP 在 x 轴上的投影长度的最大值为

17.对于正整数 n,若 n=pq(p≥q,p,q∈N ) ,当 p﹣q 最小时,则称 pq 为 n 的“最佳分解” , 规定 f(n)= .关于 f(n)有下列四个判断:①f(9)=1;②f(12)= ;③f(17)= ④f(2014)= 确的序号是
2 *

*



;⑤若 f(n)=1,则 n=k ,k∈N ;⑥若 f(n)= ,则 n 为质数.其中正 .

三、解答题: (本大题共 5 小题,共 72 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ) 18.已知向量 =(cosx+sinx,2sinx) , =(cosx﹣sinx,﹣cosx) ,f(x)= ? , (1)求 f(x)的最小正周期; (2)当 x∈时,求 f(x)的最小值以及取得最小值时 x 的值.

19.在△ABC 中,角 A、B、C 的 对边分别为 a、b、c,且



(1)求 (2)若

的值; ,求 tanA 及 tanC 的值.

20.已知函数 f(x)=x ﹣2ax,g(x)=ax+2(a>0) ,对任意的 x1∈,总存在 x0∈,使 g(x1) =f(x0) ,则实数 a 的取值范围.

2

21.设数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a1=2,a2=8,Sn+1+4Sn﹣1=5Sn(n≥2) ,Tn 是数列{log2an} 的前 n 项和. (1)求数列{an}的通项公式; (2)求 Tn; (3)求满足 的最大正整数 n 的值.

22.定义函数 y=f(x) ,x∈D(D 为定义域)图象上的点到坐标原点的距离为函数的 y=f(x) , x∈D 的模.若模存在最大值,则此最大值称之为函数 y=f(x) ,x∈D 的长距;若模存在最小 值,则此最小值称之为函数 y=f(x) ,x∈D 的短距. (1)分别判断函数 f1(x)= 与 f2(x)= 求出; (2)对于任意 x∈是否存在实数 a,使得函数 f(x)= 请求出 a 的取值范围;不存在,则说明理由? 的短距不小于 2,若存在, 是否存在长距与短距,若存在,请

2014-2015 学年浙江省杭州市余杭区普通高中第二共同体高三(上)期中数学试卷(理科) 参考答案与试题解析

一、选择题: (本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. ) 1.已知集合 A={x|x+3>0},则?RA=( )

A. (﹣∞,﹣3) B. (﹣∞,﹣3] C. (﹣3,+∞) D. . 故选 B. 点评: 考查描述法表示集合,区间表示集合,以及补集的运算.

2.向量 =(﹣1,3) , =(2,﹣1) ,则 ﹣2 等于(



A. (﹣5, 5) B. (5,﹣5) C. (﹣3,1) D. (1,﹣1)

考点: 平面向量的坐标运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 直接利用向量的坐标运算求解即可. 解答: 解:向量 =(﹣1,3) , =(2,﹣1) , 则 ﹣2 =(﹣1,3)﹣2(2,﹣1)=(﹣5,5) . 故选:A. 点评: 本题考查向量的坐标运算,基本知识的考查.

3.若 x0 是方程式 lgx+x=2 的解,则 x0 属于区间(



A. (0,1) B. (1,2) C. (2,3) D. (3,4)

考点: 根的存在性及根的个数判断. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由方程 lgx+x=2,设对应函数 f(x)=lgx+x﹣2,然后根据根的存在性定理进行判断 即可.

解答: 解:∵方程 lgx+x=2, ∴设对应函数 f(x)=lgx+x﹣2,则函数在定义域上单调递增, ∵f(2)=lg2+2﹣2=lg2>0,f(1)=lg1+1﹣2=﹣1<0, ∴f(1)f(2)<0, ∴根据根的存在性定理可知在区间(1,2)内函数存在零点, 即 x0 属于区间(1,2) . 故选:B. 点评: 本题主要考查函数零点的判断,利用根的存在性定理是解决本题的关键,将方程转化 为函数即可.

4. “a>b”是“log2a>log2b”的(



A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 函数的性质及应用;简易逻辑. 分析: a>b 不一定得到 log2a>log2b,a,或 b 为负数时便得不到;而根据对数函数 log2x 的 单调性,由 log2a>log2b 便得到 a>b,所以“a>b”是“log2a>log2b”的必要不充分条件. 解答: 解:a>b 得不到 log2a>log2b,比如 2>﹣1,log2(﹣1)无意义; log2a>log2b,根据对数函数 y=log2x 在定义域上是增函数便得到 a>b; ∴“a>b”是“log2a>log2b”的必要不充分条件. 故选 B. 点评: 考查充分条件、必要条件的概念,以及对数函数的单调性,对数式中的真数大于 0.

5.已知{an}是等比数列,a2=2,a5= ,则 a1a2+a2a3+?+anan+1=( A. 16(1﹣4 ) B. 16(1﹣2 ) C.
﹣n ﹣n

) (1﹣2 )
﹣n

(1﹣4 ) D.

﹣n

考点: 等比数列的前 n 项和. 专题: 计算题.

分析: 首先根据 a2 和 a5 求出公比 q,根据数列{anan+1}每项的特点发现仍是等比数列,且首项 是 a1a2=8,公比为 .进而根据等比数列求和公式可得出答案. 解答: 解:由 ,解得 .

数列{anan+1}仍是等比数列:其首项是 a1a2=8,公比为 ,

所以,

故选:C. 点评: 本题主要考查等比数列通项的性质和求和公式的应用. 应善于从题设条件中发现规律, 充分挖掘有效信息.

6.设表示不大于 x 的最大整数,则对任意实数 x,y,有( A. =﹣ B. =2 C. ≤+ D. ≤﹣



考点: 函数的值. 专题: 压轴题;新定义. 分析: 本题考查的是取整函数问题.在解答时要先充分理解的含义,从而可知针对于选项注 意对新函数的加以分析即可,注意反例的应用. 解答: 解:对 A,设 x=﹣1.8,则=1,﹣=2,所以 A 选项为假. 对 B,设 x=﹣1.4,==﹣3,2=﹣4,所以 B 选项为假. 对 C,设 x=y=1.8,对 A,==3,+=2,所以 C 选项为假. 故 D 选项为真. 故选 D. 点评: 本题考查了取整函数的性质,是一道竞赛的题目,难度不大.

7.函数 f(x)=sin(ω x+φ ) (ω >0,|φ |<

)的最小正周期为π ,若其图象向右平移 ) ) D. y=sin(2x+ )

个单位后关于 y 轴对称,则 y=f(x)对应的解析式为 ( A. y=sin(2x﹣ ) B. y=cos(2x+

) C. y=cos(2x﹣

考点: 由 y=Asin(ω x+φ )的部分图象确定其解析式. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 由周期求得ω ,根据诱导公式以及 y=Asin(ω x+φ )的图象变换规律,可得 y=f(x) 的解析式. 解答: 解:由题意可得 =π ,∴ω =2. 个单位后, ) , )为偶函数,

把函数 f(x)=sin(2x+φ )图象向右平移

所得图象对应的函数解析式为 y=sin=sin(2x+φ ﹣

由于所得函数的图象关于 y 轴对称,故 y=sin(2x+φ ﹣ ∴φ ﹣ =kπ + ,k∈z,即 φ =kπ + ,可得φ = .

再结合,|φ |< 故选:C.

,∴f(x)=sin(2x+

)=cos(2x﹣

) ,

点评: 本题主要考查诱导公式的应用,利用了 y=Asin(ω x+φ )的图象变换规律,属于基础 题.

8.已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且在区间 B. 2]

C.

D. (0,

考点: 奇偶性与单调性的综合. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据偶函数的定义将所给的式子化为:f(|log2a|)≤f(1) ,再利用偶函数的单调性 列出关于 a 的不等式求解. 解答: 解: ∵f (x) 是定义在 R 上的偶函数, ∴ ∴ 即 f(|log2a|)≤f(1) , 又∵在区间及 y∈不等式恒成立,则实数 a 的范围是( ) 可变为 f(log2a)≤f(1) , ,

A.

B. a≥0 C.

D.

考点: 函数恒成立问题. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 先将 a 分离出来,构造了一个关于 的二次函数,只需求出该函数的最小值即可. 解答: 解:因为 x∈,y∈. 所以 .

令 t= ,结合 x∈,y∈.可知 t∈ 则问题转化为 等号右边的函数取最小值 . 所以 a 故选 C. 点评: 本题体现了化双元为单元的思想,从而将问题转化为函数的最值问题解决. .为所求. 恒成立,显然当 时

10.已知函数 f(x)=|

﹣1|,若关于 x 的方程 f (x)+bf(x)+c=0 恰有 6 个不同的实数 )

2

解,则 b,c 的取值情况不可能的是(

A. ﹣1<b<0,c=0 B. 1+b+c>0,c>0 C. 1+b+c<0,c>0 D. 1+b+c=0,0<c<1

考点: 根的存在性及根的个数判断. 分析: 作出函数 f(x)的图象,根据图象确定 b 的条件即可. 解答: 解:作出函数 f(x)的图象如图: 设 t=f(x) ,则由图象可知,当 t≥1 时,t=f(x)有两个交点, 当 t=0 时,t=f(x)有两个交点, 当 0<t<1 时,t=f(x)有 4 个交点. 则 f (x)+bf(x)+c=0 等价为 t +bt+c=0,
2 2

若关于 x 的方程 f (x)+bf(x)+c=0 有 6 个不同的实数根, 则对应 t +bt+c=0 的两个根 t1,t2 满足①t1=0,0<t2<1, ②t1≥1,0<t2<1, 若①t1=0,0<t2<1,则 c=0,此时 t +bt=0,t=﹣b,满足 0<﹣b<1,即﹣1<b<0.此时为 A. ②当 t1=1 时,0<t2<1,此时 1+b+c=0,t1t2=c,则 0<c<1.此时为 D. 当 t1>1,0<t2<1,此时 t1t2=c>0,t1+t2=﹣b, 不妨设此时 t1=2,t2= , 则 c=t1t2=2× t1+t2=﹣b=2 ∴1+b+c= , ,∴b=﹣ , ,此时 C 满足,但 B 不成立,
2 2

2

∴b,c 的取值情况不可能的是 B. 故选:B.

点评: 本题主要考查函数零点个数的判断,利用换元法将方程转化为一元二次方程,利用数 形结合是解决此类问题的基本方法.综合性较强,难度较大.

二、填空题: (本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分. ) 11.设等比数列{an}的公比 ,前 n 项和为 Sn,则 = 15 .

考点: 等比数列的性质. 专题: 等差数列与等比数列.

分析: 先通过等比数列的求和公式,表示出 S4,得知 a4=a1q ,进而把 a1 和 q 代入 简可得到答案. 解答: 解:对于 ,∴

3

约分化

点评: 本题主要考查了等比数列中通项公式和求和公式的应用.属基础题.

12.在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、C、若( .

b﹣c)cosA=acosC,则 cosA=

考点: 正弦定理的应用;两角和与差的正弦函数. 专题: 计算题. 分析: 先根据正弦定理将边的关系转化为角的正弦值的关系,再运用两角和与差的正弦公式 化简可得到 sinBcosA=sinB,进而可求得 cosA 的值.

解答: 解:由正弦定理,知 由( ( ∴ b﹣c)cosA=acosC 可得 sinB﹣sinC)cosA=sinAcosC, sinBcosA=sinAcosC+sinCcosA

=sin(A+C)=sinB, ∴cosA= .

故答案为: 点评: 本题主要考查正弦定理、两角和与差的正弦公式的应用.考查对三角函数公式的记忆 能力和综合运用能力.

13.已知 z=x﹣2y,其中 x,y 满足不等式组

,则 z 的最小值为 ﹣4 .

考点: 基本不等式. 专题: 不等式的解法及应用.

分析: 由 x,y 满足不等式组 取得最小值. 解答: 解:由 x,y 满足不等式组

,画出可行域.可知:当直线 z=x﹣2y 经过点 B 时,z

,画出可行域.

当直线 z=x﹣2y 经过点 B(0,2)时,z 取得最小值﹣4. 故答案为:﹣4.

点评: 本题考查了线性规划的有关知识,考查了数形结合的思想方法,属于基础题.

14.定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)=

,f(3)=

4 .

考点: 函数的值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由分段函数的性质得 f(3)=f(1)=f(﹣1)=log216=4. 解答: 解:∵定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)= ∴f(3)=f(1)=f(﹣1)=log216=4. 故答案为:4. 点评: 本题考查函数值的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意函数性质的合理运用. ,

15.设 0≤α ≤π ,不等式 8x ﹣(8sinα )x+cos2α ≥0 对 x∈R 恒成立,则α 的取值范围为 ∪ .

2

考点: 函数恒成立问题;一元二次不等式的解法. 专题: 压轴题;不等式的解法及应用. 分析: 由题意可得,△=64sin α ﹣32cos2α ≤0 即 2sin α ﹣(1﹣2sin α )≤0,解不等式 结合 0≤α ≤π 可求α 的取值范围. 解答: 解:由题意可得,△=64sin α ﹣32cos2α ≤0, 得 2sin α ﹣(1﹣2sin α )≤0 ∴sin α ≤ , ﹣ ≤sinα ≤ , ∵0≤α ≤π ∴α ∈∪. 故答案为:∪. 点评: 本题主要考查了一元二次不等式的解法、二次函数的恒成立问题,属于中档题.
2 2 2 2 2 2 2

16.在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A 的坐标为(3,a) ,a∈R,点 P 满足 R,| | =72,则线段 OP 在 x 轴上的投影长度的最大值为 24 .

=

,λ ∈

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 计算题;平面向量及应用. 分析: 由点 A 的坐标为(3,a) ,可得| P,A 三点共线.由| 上的投影长度为| | |cosθ =| =72,可知| | |≥3,由 |= = ,利用向量共线定理可知:O,

,设 OP 与 x 轴夹角为θ ,则 OP 在 x 轴

,即可得出最大值. |≥3,

解答: 解:点 A 的坐标为(3,a) ,则| 又 ∵| = | ,则 O,P,A 三点共线, =72,则| |= ,

设 OP 与 x 轴夹角为θ ,

则 OP 在 x 轴上的投影长度为|

|cosθ =|

|

=

≤24,

即线段 OP 在 x 轴上的投影长度的最大值为 24. 故答案为:24. 点评: 本题考查了向量的投影定义、不等式的性质,考查了推理能力,属于中档题.

17.对于正整数 n,若 n=pq(p≥q,p,q∈N ) ,当 p﹣q 最小时,则称 pq 为 n 的“最佳分解” , 规定 f(n)= .关于 f(n)有下列四个判断:①f(9)=1;②f(12)= ;③f(17)= ④f(2014)=
2 *

*



;⑤若 f(n)=1,则 n=k ,k∈N ;⑥若 f(n)= ,则 n 为质数.其中正

确的序号是 ①③⑤⑥ .

考点: 进行简单的合情推理. 专题: 计算题;推理和证明. 分析: 将各个数的分解因式写出,利用 f(n)的定义求出求出各个 f(n) ,从而判断出各命 题的正误. 解答: 解:对于①,因为 9=1×9; 3×3;9×1,所以 f(9)=1,故①正确; 对于②,因为 12=1×12; 2×6;3×4,所以 f(12)= ,故②正确; 对于③,因为 17=1×17,所以 f(17)= 对于④,f(2014)= ,故不正确; ,故③对

对于⑤,因为 n 是一个完全平方数,所以 n 可以写出两个相同数的乘积,所以 f(n)=1,故 ⑤对 对于⑥因为 n 是一个质数,所以 n=1×n,所以 f(n)= ,故⑥对. 故答案为:①③⑤⑥. 点评: 本题考查通过题中的新定义解题,关键理解新定义.新定义题是常考的题型要重视.

三、解答题: (本大题共 5 小题,共 72 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ) 18.已知向量 =(cosx+sinx,2sinx) , =(cosx﹣sinx,﹣cosx) ,f(x)= ? , (1)求 f(x)的最小正周期;

(2)当 x∈时,求 f(x)的最小值以及取得最小值时 x 的值.

考点: 三角函数中的恒等变换应用;平面向量数量积的运算. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: (1)先求得 f(x)= (2)先求得 2x+ 值﹣ . cos(2x+ ) ,根据周期公式可得 f(x)的最小正周期; =π 即 x= 时,取到 f(x)的最小

∈,由函数的单调性质可得当 2x+

解答: 解:f(x)= ? =(cosx+sinx) (cosx﹣sinx)+2sinx(﹣cosx) =cos x﹣sin x﹣2sinxcosx =cos2x﹣sin2x = cos(2x+ =π ∈ 时, . )
2 2

(1)T=

(2)x∈时,2x+ ∴当 2x+

=π 即 x=

取到 f(x)的最小值﹣

点评: 本题主要考察了三角函数中的恒等变换应用,平面向量数量积的运算,三角函数的图 象与性质,属于基础题.

19.在△ABC 中,角 A、B、C 的 对边分别为 a、b、c,且



(1)求 (2)若

的值; ,求 tanA 及 tanC 的值.

考点: 正弦定理;两角和与差的正弦函数;两角和与差的正切函数. 专题: 计算题. 分析: (1)利用二倍角的余弦函数公式化简 cos2C,变形后求出 sin C 的值,由 C 为三角形 的内角,得到 sinC 大于 0,开方可得出 sinC 的值,利用正弦定理化简得到的关系式,得到
2

2sinB=sinAsinC,再由三角形的内角和定理及诱导公式得到 sinB=sin(A+C) ,代入关系式中, 利用两角和与差的正弦函数公式化简,根据 sinAsinC 不为 0,等式左右两边同时除以 cosAcosC,利用同角三角函数间的基本关系弦化切后,即可得到所求式子的值; (2)由第一问求出的式子表示出 tanA,然后把 tanB 中的 B 换为π ﹣(A+C) ,利用诱导公式 化简后,将表示出的 tanA 代入,得到关于 tanC 的方程,求出方程的解得到 tanC 的值,代入 表示出的 tanA,可得出 tanA 的值. 解答: 解: (1)∵ ,cos2C=1﹣2sin C,
2





∵C 为三角形内角,∴sinC>0, ∴ ∵ ∴sinC= ∵A+B+C=π , ∴sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC, ∴2sinAcosC+2cosAsinC=sinAsinC, ∵sinA?sinC≠0, ∴ (2)∵ ∴ ∵A+B+C=π , ∴ . , ; , , ,∴ ,

,即 2sinB=sinAsinC,


2



整理得 tan C﹣8tanC+16=0, 解得:tanC=4,

将 tanC=4 代入得:

=4.

点评: 此题考查了正弦定理,诱导公式,两角和与差的正弦、正切函数公式,二倍角的余弦 函数公式,以及同角三角函数间的基本关系,熟练掌握定理及公式是解本题的关键.

20.已知函数 f(x)=x ﹣2ax,g(x)=ax+2(a>0) ,对任意的 x1∈,总存在 x0∈,使 g(x1) =f(x0) ,则实数 a 的取值范围.

2

考点: 二次函数的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据已知条件知 g(x)的值域是函数 f(x)的值域的子集,而 a>0,所以 g(x)的 值域可求出为.所以需求 f(x)的值域,f(x)=x ﹣2ax=(x﹣a) ﹣a 是二次函数,对称轴 为 x=a,从而分这样几种情况讨论 a 并求出每种情况下的 f(x)的值域:①0<a< ,② ,③a≥2,对于情况①容易求出 f(x)的值域为,根据 g(x)的值域是 f(x)的
2 2 2

值域的子集即可得到

,解该不等式即得 a 的取值范围,同样的方法求出情况

②③下的 a 的取值范围,这三种情况求并集即可. 解答: 解:由已知条件可知函数 g(x)的值域是 f(x)值域的子集; ∵a>0,∴g(x)在上的值域为=; 函数 f(x)=x ﹣2ax=(x﹣a) ﹣a 的对称轴是 x=a,又∵a>0; ∴①0<a< 时, ∴此时 f(x)的值域为,则: ,解得 a ,∴ ; ,f(x)max=f(2)=4﹣4a;
2 2 2



时,



∴此时 f(x)的值域为,则: ,该不等式组无解; ③a≥2 时,f(x)在上单调递减;

∴f(x)的值域为=,同②此时的 a 不存在; 综上得 a 的取值范围是 .

点评: 考查子集的概念,根据一次函数的单调性求值域,二次函数的对称轴及二次函数的单 调性,以及二次函数值域的求法.

21.设数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a1=2,a2=8,Sn+1+4Sn﹣1=5Sn(n≥2) ,Tn 是数列{log2an} 的前 n 项和. (1)求数列{an}的通项公式; (2)求 Tn; (3)求满足 的最大正整数 n 的值.

考点: 等差数列与等比数列的综合;数列的求和. 专题: 高考数学专题. 分析: (1)将条件中的和关系式转化为数列的项关系,判断数列的特征,再求解; (2)利用等差数列的前项 n 和公式求解即可; (3)利用约分消项化简左式,判断 n 满足的条件,分析求解即可. 解答: 解: (1)∵当 n≥2 时,Sn+1+4Sn﹣1=5Sn, ∴Sn+1﹣Sn=4(Sn﹣Sn﹣1) .∴an+1=4an. ∵a1=2,a2=8,∴a2=4a1. ∴数列{an}是以 a1=2 为首项,公比为 4 的等比数列. ∴ .
2n﹣1

(2)由(1)得:log2an=log22

=2n﹣1, =n .
2

∴Tn=log2a1+log2a2+?+log2an=1+3+?+(2n﹣1)= (3) =

=

=

=





,解得:



故满足条件的最大正整数 n 的值为 287.

点评: 本题考查了等差数列的前 n 项和公式,数列的项与和之间的关系及数列的综合问题.

22.定义函数 y=f(x) ,x∈D(D 为定义域)图象上的点到坐标原点的距离为函数的 y=f(x) , x∈D 的模.若模存在最大值,则此最大值称之为函数 y=f(x) ,x∈D 的长距;若模存在最小 值,则此最小值称之为函数 y=f(x) ,x∈D 的短距. (1)分别判断函数 f1(x)= 与 f2(x)= 求出; (2)对于任意 x∈是否存在实数 a,使得函数 f(x)= 请求出 a 的取值范围;不存在,则说明理由? 的短距不小于 2,若存在, 是否存在长距与短距,若存在,请

考点: 进行简单的合情推理. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: (1)可以由基本不等式及长距和短距的定义求出; (2)将 a 进行分类讨论通过解不等式求出 a 的范围即可. 解答: 解: (1)设 u(x)= ≥ (当且仅当 x=±1 取得等号) ,f1(x)短距为 ,

长距不存在. 设 v(x)= = ,x∈,

v(x)min=v(1)=1v(x)max=v(﹣5)=5, f2(x)短距为 1,长距为 5. (2)设 h(x)= 函数 f(x)= ,x∈, 的短距不小于 2,即 x +2x|x﹣a|≥4 对于 x∈始终成立:
2

当 a>2 时:a≥ (x+ )对于 x∈始终成立, ∴a≥ , 当 1≤a≤2 时:取 x=a 即可知显然不成立 当 a<1 时:a≤ (3x﹣ )对于 x∈始终成立

∴a≤﹣ 综上所述:存在实数 a∈(﹣∞,﹣ ]∪[ ,+∞) ,使得函数 f(x)= 小于 2. 点评: 本题新定义了长距和短距,属于新定义问题,用到了基本不等式及函数的最值问题, 是一道中档题. 的短距不


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