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解析几何问题的解题技巧


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6  

中 等 数 学 

解 析 几 何 问 题 的 解 题 技 巧 
薛 党 鹏 
( 陕 西省西 安 中学 , 7  ̄ 0 0 0 3 )  

( 本讲适合 高中)  

Y l   Y 2 =Y

( Y l +Y 2 ) 一2   .  

解 析几何 的优 点在于数形结合 而又动态  的处 理 问题 , 其解题思 路有很强 的程 序性 , 但  是, 盲 目操 作往 往会 带 来烦 琐 的讨论 或 繁 杂 

将A ( o , b ) 、 B( 一o , 0 ) 分 别代 入 MM. 、  
MMz的方 程 , 得 
( Y l —b ) Y 0 =   l 一2 p a和 Y o Y 2 =2 p a.  

的计算 . 本文通 过对 一些典 型赛题 的分析 , 介  绍 解 析 几何 中一 些 常 见 的解 题 技 巧 .  

下 面说 明直线 M。   恒过一个定 点 .  
联立这两式 , 消去 Y 。 , 得 
( Y l —b ) 2 p a=(  l 一2 p a ) y 2 .  

1 回避方 程( 组) 求解

灵活运用方程 知识 

解 析 几 何 的 繁 杂 运 算 主 要 集 中 在 解 方 

整 理 成 肘。 M:的方 程 的形 式 , 得 
Y l   Y 2 =   ( , , l +Y z ) 一2 p a.  

程、 求交点等方 面 . 如果我们能够 充分挖 掘几  何 曲线 的代数含义 , 紧扣 目标 , 灵 活运用代数  方程 的知识 ( 包 括 消元 思想 、 整 体 思想 、 函数  思想 、 同解 原 理 以 及方 程 的轮 换 对 称 、 韦达 定  
理、 判别式 、 实根 分 布等 ) , 回避这 些 运算 , 往  往 可 以使 问题 得 到 简 便 解 决 .   例 1   已知 抛 物 线 Y  =2   及 定 点  A( 口, 6 ) 、 B( 一口, 0 ) ( 口 6≠0, b   ≠2 p a) . M 是 

故 点Q ( 。 ,   b ) 满 足 M 。 M : 的 方 程 .  
所 以 , 直 线M ? M 2 恒 过 点Q ( 。 ,   b ) .  
说 明: 此解法借 助于轮换对称 , 简 化 了  h i m: 和 肘。 M: 方程 的求解 过程 .   例 2 设一 圆和一 等轴 双曲线交 于 四点 

抛 物线 上 的点 , 设直线 A M、 B M 与 抛物 线 的  另一交 点分 别为  、   . 求证 : 当 M 在抛 物 
线上变 动时 ( 只 要 M。 、   存 在 且 M。 ≠  ) ,  

A . 、 A : 、 A   、 A 4 , 其中 A 。 和A : 是 圆的直 径 的 


对端 点 . 求证 :   ( 1 ) A  和 A 。 是 双曲线 直径 的端 点 ;  

直线 M。 M: 恒 过一个 定点 , 并 求 出这个定 点 
的坐标 .  

( 2 ) 双 曲线在 A   和 A 4 处 的切线 都垂 直 
于 A l A 2 .  

( 1 9 9 8 , 全 国高 中数 学联赛 )  

( 1 9 9 8 , 北京市高二数 学竞赛 )   分析 : 设 双 曲线 和圆 的方 程 分别 为  =  
o和  , ,   +2 D x +2 g y+F= 0 , 交点 坐标 为  (  , Y i ) , f -1 , 2 , 3 , 4 . 这 两 个 方 程 消 去 Y得 
‘+2D x  +   +2 a ge+ o  =0
. 

分 析 : 设肘 ( 、  ,   D   , , 。   / l   ,  / 、   2 y p D :   , y i 。   / l (  
l , 2 ) . 易得 直线 h i m. 的方程为 
Y o Y l =Y ( Y o+Y 1 ) 一2  .  

① 

同理 , 直线 M M: 的方程 为 
Y o Y 2   y ( y 0 +Y 2 ) 一2  ,  

则 施(  =1 , 2 , 3 , 4 ) 是 方 程 ① 的根 .   由韦 达 定 理 知 ,  
l+  2+  3+   4= 一2D .  

直 线 M。 肘: 的 方 程 为 
收稿 日期 : 2 0 0 2 —1 1 —1 2  

因为 A 。 和 A : 是 圆的直 径 的一 对端 点 ,   且 圆心的横坐标是 一D, 所以,  

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2 O O 3年 第 4期 
l+   2= 一2D ,   3+  4= 0.  
+Y 4= a

7  

( 去 + 去 ) …  一 o .  

因此 , 该 曲线族在 直线 Y=2 x上截 得 的  弦长的最大值 

2 =  ̄ / ( 2   + 1 ) (   l —X 2 )   = 8  ̄ , 亏 .  
说明: 此 解 法 是 在 深 刻 理 解 题 目几 何 意  义的基础上 , 将 问题转化 为求 I  : I 的最 值 , 进 

于是 , A   A  的 中点 是 ( 0 , 0 ) .   从而, A ,和 A  是 双 曲线 直 径 的 端 点 .   A  处 双 曲线 的切 线 方 程 为 
, ) , + a   = 2a


而运用 函数 的思想使 问题 获解 .  

其斜 率 J c =一X  3 ?  

2 挖掘几何图形特征 灵活运用曲线知识 
解析几何不仅 仅是运用代数方 法研究几  何, 更 是“ 数” 与“ 形” 的统一 、 代数 与几何 的结  合. 因此 , 充 分挖 掘 图形 的几何 结 论 , 灵 活运  用 曲线本 身 的知识 ( 曲线 的定义 、 性质 以及焦  半径 、 曲线 系等 ) , 也会大大 简化 解题过程 .   例 4 给 定 A(一2 , 2 ) , 已 知 曰 是 椭 圆 

又 
—  

^ 2=  

= 一  

, 如 。 ^ 2=  



且 由  , =一   和韦 达 定 理 知 

,  

再 I再 2再 3  

lX 2   3   4 = a

得 

^ '= 一 l,  


即 过 A3 的 双 曲线 切线 垂 直 于 A。 A : .  

芸 + 盖 = l 上 的 动 点 , F 是 左 焦 点 . 当 I  I  
+芸 I   I 取最小值时, 求点 曰的坐标 .  
( 1 9 9 9 , 全 国高 中数学联 赛 )  

同理 可证 , 过 A  的双 曲线 切 线 亦 垂 直 
于 Al   A 2 .  

说明: 韦 达 定 理 对 研 究 直 线 与 曲线 、 曲线  

与 曲线之 间的位置关 系有 着重要 的作用 .   例 3 给定 曲线 族 
2 ( 2 s i n   一C O 8   +3 )   一( 8 a m '   +C O 8  +1 ) Y =0 ,  

分析: 因为椭圆的离心率 e = {, 所以,  
I   I +了 5   I   I _I   I +l
e 

t   sF t.  

为参 数 . 试 求 该 曲线族 在直线 Y= 2 x上所 
截 得 的弦 长 的 最 大 值 .  

而 
题转化 为 :  

为动点 曰到左 准线 的距离 . 故本 

( 1 9 9 5 , 全 国高中数学联赛 )   分析 : 把 Y= 2 x代 入给定 曲线族方程得 
2 ( 2 s i n   一. c 0 s   +3 )   一( 8 s i n   +C O 8   +1 ) 2 x = 0 .  

在椭圆上 求一点 曰, 使得 它到点 A和左  准 线 的距 离 之 和 最小 .   设椭圆 的半 长轴 、 半短轴 、 半焦距 分别 为 

解得 X l =0  ̄ X 2 -  

.  

口 、 b 、 c , 则口 = 5 , b = 4 , c = 3 , e ={, 左准线 
z:   = 一2 5

要使 截得 的弦最长 , 就必须使 : 的绝 对  值最大 . 为 了利用 正 、 余 弦 函数 的有 界性 , 将  上 式 变 为 
( 2 x 2 —8 ) s i n   0一(  2 +1 ) C O S   0=l 一3   2 ,  



.  

作B N上 Z 于点 Ⅳ, A M上 Z 于点 肘 . 由椭 

圆 定 义, 有I 鲋I _  
、 

: 妻I  I , 于 是,  

得  ̄ / ( 2 x 2 — 8 )   + (   2 +1 )   s i n ( 0 +  )  


l一 3  2.  

I   A B  I +  

I   B FI = I   A B  I +   I   B NI  

因为 I   s i I l (  +  ) I ≤l , 所 以,  

≥ I   AⅣ I ≥ I   A M I  

√5 x ; 一3 0 x 2 + 6 5 ≥I   l 一3   2   I .  

为定 值 , 当且 仅 当 曰是 A M 与 椭 圆的交 点 即 

故一 8 ≤   2≤2 .  

曰 ( 一   , 2 ) 时 等 号 成 立 .  

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8  

中 等 数 学 

所以, 当I 脂 I +普I   I 取最小值时, B  
J 

到运算量 . 从 直 线 和 圆 锥 曲线 方 程 的 多 种 形   式中, 结 合 题 设 特 征 以及 所 求 目标 , 选 用 恰 当 

点的坐标为l 一  
、  

二  

, 2 】 .  
,  

说明: 在研究 二次 曲线时 , 切勿忽视 第一  定义和第 二定 义的作 用 . 例 4就是 在深 刻认   识 解 题 目标 的 基 础 之 上 , 灵 活 运 用 椭 圆 的 第  二定 义与平 面几何 结论获解 的 .   例 5 如图 1 , 已  J  知点 P在 圆  +( Y   4 )  =1上 移 动 , 点 


的形式 , 也是 简化 解 析几 何 运算 的一 种 有 效  途径 .  
例 6 在 四边 形 A B C D 中, 对 角线 A C平   分  B A D. 在 C D 上 取 一 点 E, B E与 A C交 于  点 F, 延长 D F交 B C 于 G. 求证 :   G A C=  
EAC.  

( 1 9 9 9 , 全 国高 中数学联 赛 )   分析 : 建 立 坐标 系 的方 式 很 多 , 但 是 以 
A C所 在直线 为  轴 , 点 A 为坐 标 原 点 建 立  平 面 直 角 坐 标 系,   D  其计算量要小 一些 .   c 证明: 建 立 如 图 
~  

2  

Q在 椭 圆  +Y  =1   上移动 . 试求 I — P Q   I 的 

—、  



 

最大值 .   ( 1 9 9 4 , 四 川 省 高 

图 1  

2所 示 的 直 角 坐 标  
系 .设 A ( 0 ,0) ,   C( c , 0 ) , D( d, k d ) ,  

O 

中数学竞赛 )   分析 : 先让 点 Q 在椭 圆 上 固定 , 显 然 当 
P Q通 过 圆 心 0。时 , I   P Q   I 最大 . 因此 , 要 求  I   P Q   I 的最 大 值 , 只要 求 1   0。 Q   I 的最 大 值 .  
设 Q(  , y ) , 则  1   0l   Q   I  :   +( Y一4 )   .   因 Q在 椭 圆 上 , 故百 X -+Y   =1 , 即  =9 ( 1 一Y   ) .   ②  ① 

图 2  

B( b, 一勋 ) , 其中 k  

为直线 . 4 1 9 的斜率 . 再设 F ( f , 0 ) , 则 

了 

=  

。 L   c   , 一 Y    一  
= 一  

-c ) , 一 l a p

( X- - , ’ (   . ?  
?

从而, E 点 坐 标 为 

.   ’ 2 b d一   一6 c , ’  

f  ( ! ±  =   查 ±  
\   2 b d—d f一6 - c  

二 . 1   2   1  

将 式②代 入式①得 ,  
1   0l   Q   I  =9 ( 1 一Y   ) +( y一4 )  


故  
。  一

芬 
k b df f— c)  

.  
‘  

同理 , 将 b 、 d互换 , k变为 一k , 可得 



8 y   一 8 y + 2 5 = 一 8 ( y +  )   + 2 7 .  

丽 巧 ' L 
所以,   G 4 G=   E A C.  

因为 点 Q在 椭 圆 上 移 动 , 所 以, 一1 ≤Y  

≤1 . 故当 Y =一 去时,  
1   0l   Q   I 一 =3 √ 3 ,I   P Q   I 一 =3 , 6 +1 .  

说明1 此题 将角 相 等转 化 为斜 率 相 等或  互 为相 反数 . 结 合题 设 中各几何 量的关系 , 建  立以 A C所 在 直 线 为  轴 、 A 为 原 点 的 直 角 
坐标 系 , 充分 利用对称性 , 大大减少 计算量 .   例 7 设 0为抛物线 的顶点 , F为焦点 ,   且 P Q 为过 F的 弦 . 已知 I   O F  I _口, I   P 9   I =   b . 求△ o P t ?的 面积 .   ( 1 9 9 1 , 全 国高 中数学联赛 )   分析 1 : 求△ A B C的面积 , 常用的公 式有 
I s=  1  a h


说明 : 涉及到 圆的解 析几何 问题 , 常需要  灵 活 运 用 圆 的有 关性 质 .  

3 建立适当坐标平面 选择正确方程形式 
坐 标 系 的 建 立 是 应 用 解 析 法 的前 提 和基   础. 坐 标 系 的选 择 ( 直角 坐标系 、 极 坐标 系 、 复 

平面 ) 与建立 ( 坐标 系的定 位 ) , 都将直接 影响 

或I s=  1   a b s i nC . 若 用 前 者 求 

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2 O O 3年第 4期 

9  

△ O P Q的 面 积 , 关键是求 点 0到 P Q 的距  离, 这需要建 立直角坐标 系 , 求 出弦  所 在  直线 的方程 , 较 复杂 ; 若用 后 者 , 可 以通 过 建  立极坐标 系来 解决 , 非常简单 .   以 F为极点 , 射线 F O 的 反 向 延 长 线 为  极轴 建立极坐标 系 . 则 抛 物 线 的方 程 为 
2口  

O 。 于是, Y 2 = 一( Y  + Y 3 ) 。 将 此 式 代 入 式 ① 可 得 
2 p   q+Y l Y 3 ( y l +y 3 ) =0 . )  

2 。 已知 : ( 1 ) 半 圆的 直径 A B长 为 2 r ;  

( 2 ) 半 圆 外 的直 线 z 与 戤 的延 长 线 垂 直 , 垂 足 

为 , A   的长为 2 a I   2 a <   r ) ;  
( 3 ) 半 圆上有 相 异 的两 点 J I f和 Ⅳ, 它 们 与 直线 z   的距 离 I   I 、 I ^ r QI 满 足  =   =1 。  

l D   r 

设 P( P P ,  ) , 则 Q( v 口, 兀+  ) . 从而 , 有  I 尸 Q l   I =P P+P 口  
2口  2口  4口 

求证 : I A MI +I A NI =I A BI 。  

( 1 9 8 4, 全 国高 中数学 联赛 )  

( 提示 : 以 A为 极 点 , A B为 极 轴 建 立 极 坐 标 系 。  

+  

i i  

’  

则半 圆 的 方程 为 P=2 r c o s  . 设 M( p M,  1 ) 、 N( p N ,   8   ) , 可 求得 o 0 6   0 。 +嘲 0  =l 。 进而 可证 得 结论 。 )  

即   S l n 口   = 6 。 解 得 s i n   : 2 √ Y   詈 £ ,   .  
故 . s △ 伽 =   1   a b s i n   =口v / 如。   分析 2 : 建 立 直 角 坐标 系 , 使 得 抛 物线 有  标准方 程 Y  =4 a x. 将 直 线  的参数 方 程 
= 

3 。 平 面 上给 定 △ A。 A   A ,和 另一 点 P, 定 义 
+, .

作 点列 P 。 ,   , ? ? ? , 只, …, 使得  + 。 为  绕 

中心  + 。 顺 时 针旋 转 1 2 0  ̄ 时所达到的位置 ( - 『 =0 , 1 ,   2 , - ' - ) . 若 Pl 嘶 =P o , 求证: △ A l A 2 A 3为 等 边 三 角 
形.  

{   y   = t 口 s + i n   0 。 0 s   代 入 抛 物 线 方 程 , 得  
t 2 s i n 2   一4m c 0 s   一4a  =0
. 

( 第2 6届 I MO)  

( 提示 : 涉及到向量旋转 , 用复数方法. )  
4。 设双 曲线 x y=1的 两 支 为 C。 、   , 正△ P Q R   的3 个 顶 点位 于此 双 曲线 上 .  

有 6= I  

I =  

I =  

。  

( 1 ) 求证 : P、 口 、 矗不能 都在 双 曲线 的同一 支上 ;  
( 2 ) 设 P(一1 , 一1 ) 在  上 , Q、 矗在 c 。 上. 求顶 
点 Q、 矗的坐标 。  

故s i n   = 2 √ 詈 。  
从而 , . s △ 伽 =   1   a b s i n   =口  如.  

( 1 9 9 7 , 全 国高 中数学 联赛 )   ( 提 示: ( 1 ) 抓 住 等 边 三 角 形 的 三 边 中垂 线 都 过  三角 形 的 中心 , 运 用 反 证 法 可 以推 出矛 盾 ; ( 2 ) 注 意  到 点 P与 坐标 原点 连线 的倾 斜 角 为 4 5 0 , 于是 ,   、  

说明: 此题 若 用直 角 坐标 系 和普 通 方程 

求解 , 运算量很 大 , 读 者不妨 比较 一下 。 另外 ,   例3 若用极 坐标求解 , 运算量 也会大大减少 .  

咫 的倾 斜 角都 可 求得 ( 或由 P 、 口 的对 称 性求 解 ) 。  
( 2+   . 2一   ) , ( 2 一   , 2+   ) 。 )  

练 习 题 
1 。 求证 : 若 抛 物线 y 2 =2   的 内接△ A。 A   A ,的  两边 所 在 直 线 A。 A  与 A   A ,都 和 抛 物 线  =2 q y  

5 。 设 A、 雪、 C、 D是一 条 直线 上 依 次 排列 的 4个  不 同的点 , 分别 以 A C、 B D 为直 径 的两 圆相 交 于  和  y, 直线  交 B C于 z。 若 P 为 直线 船 上 异 于 z 的 


相切 , 则第 三边 所在 直线 A 。 A 3 也 和该 抛 物 线相 切 。  

( 提 示 : 设A   的 坐 标 为 【  , y 1 ) , i = 1 , 2 , 3 。 易  
求 得 直线 A l A  和抛 物 线  =2 q y相 切 的充 要 条 件  为2 p   q+Y I y 2 ( y I +Y 2 )=0 。 ①  同 理 , 直线 A 2 A 3   和抛 物线  =2 q y相 切 的 充 要条 件为 2 p   q+Y 2 Y 3 ?  
( y 2 +Y 3 ) =0 。 两式 相 减得 ( Y l —Y 3 ) ( Y l +Y 2+Y 3 ) =  

点。 直线 C P与以 A C为 直 径 的 圆相 交 于 c和 J I f ,  

直线 B P与 以 B D为 直 径 的 圆相 交 于  和 Ⅳ. 试 证:  

A M、 D N 、   三条 直线 共 点 。 ( 第3 6 届 

)  

( 提示 : 以A C所 在 直 线 为  轴 , 船 所 在 直 线 为 
Y轴 建 立 直 角 坐 标 系 。 证 明 当点 P 确 定 时 , A M 与Y  

轴 的交点 . s 和B N与 Y轴 的交 点 . s , 为 同一点 。 )  


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