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空间几何体测试题


高中数学必修②(A 版)水平测试(B 卷)
一、选择题 1.棱长都是 1的三棱锥的表面积为( A. 3 B. 2 3 C. 3 3 ) . D. 4 3 ) .

2.若棱台的上下底面面积分别为 4,16 ,高为 3 ,则该棱台的体积为(

A. 26 B. 28 C. 30 D. 32 3.圆台的一个底面周长是另一个底面周长的

3 倍,母线长为 3 ,圆台的侧面积为 84? ,则 圆台较小底面的半径为( ) . A. 7 B. 6 C. 5 D. 3 4.如果两个球的体积之比为 8 : 27 ,那么两个球的表面积之比为( ) . A. 8 : 27 B. 2: 3 C. 4: 9 D. 2: 9 5.在棱长为 1 的正方体上,分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方形,则截去 8 个三 棱锥后,剩下的几何体的体积是( ) . A.

2 3

B.

7 6

C.

4 5

D.

5 6

6.过圆锥的高的三等分点作平行于底面的截面,它们把圆锥侧面分成的三部分的面积之比 为( ) . A. 1: 2 : 3 B. 1: 3: 5 C. 1: 2 : 4 D. 1: 3: 9 7.一个直径为 32 厘米的圆柱形水桶中放入一个铁球,球全部没入水中后,水面升高 9 厘米 则此球的半径为( )厘米. A. 16 B. 14 C. 12 D. 10 8. 棱台上、 下底面面积之比为 1: 9 , 则棱台的中截面分棱台成两部分的体积之比是 ( ) . A. 1: 7 B. 2 : 7 C. 7 :19 D. 5 :16 9. 有一个几何体的三视图及其尺寸如下 (单位 cm ) 则该几何体的表面积及体积为 , ( ) .
5

A. 24? cm , 12? cm
2 2

2

6

B. 15? cm , 12? cm
2

2

C. 24? cm , 36? cm

2

D. 以上都不正确

10.长方体的一个顶点上三条棱长分别是 3, 4,5 ,且它的 8 个顶点都在同一球面上,则这个 球的表面积是( ) . A. 25? B. 50? C. 125? D.都不对 11.正方体的内切球和外接球的半径之比为( ) . A. 3 :1 B. 3 : 2 C. 2 : 3 D. 3 : 3 ) .

12.若轴截面为正方形的圆柱的侧面积是 S ,则圆柱的体积为( A.

S S 2

B.

S S 2 ?

C.

S S 4
1

D.

S S 4 ?

13.在△ABC 中, AB ? 2, BC ? 1.5, ?ABC ? 1200 ,若使绕直线 BC 旋转一周,则所形成 的几何体的体积是( ) .

A.

9 ? 2

B.

7 ? 2

C.

5 ? 2

D.

3 ? 2

14.平行四边形的两邻边的长为 a 和 b ,当它分别饶边 a 和 b 旋转一周后,所形成的几何体 的体积之比为( ) . A.

a b

B.

b a

C. ( ) 2

a b

D. ( ) 2

b a

15.一个半球的全面积为 Q ,一个圆柱与此半球等底等体积,则这个圆柱的 全面积是( ) . A. Q

5 9

B. Q

7 9

C. Q

8 9

D.

10 Q 9

16.若圆锥的表面积为 a 平方米,且它的侧面展开图是一个半圆,则这个圆锥的底面的直径 是为( ) . A.

2 3? a 3?

B.

3? a 3?

C.

2 ?a 3?

D.

?a 3?
) .

17.半径为 R 的半圆卷成一个圆锥,则它的体积为(

A.

3 ? R3 24

B.

3 ? R3 8

C.

5 ? R3 24

D.

5 ? R3 8

18.底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面,且侧棱长为 5 ,它的对角线的长分别是 9 和 15 , 则这个棱柱的侧面积是( ) . A. 130 B. 140 C. 150 D. 160 二、填空题 19.圆台的较小底面半径为 1 ,母线长为 2 ,一条母线和底面的一条半径有交点且成 60 , 则圆台的侧面积为____________. 20.若三个球的表面积之比是 1: 2 : 3 ,则它们的体积之比是_____________. 21.已知一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是 2 、 3 、 6 ,这个 长方体的对
0

角线长是______; 若长方体的共顶点的三个侧面面积分别为 3,5,15 , 则它的体积为_____. 22.等体积的球和正方体,它们的表面积的大小关系是 S 球

S正方体 .

23.若长方体的一个顶点上的三条棱的长分别为 3, 4,5 ,从长方体的一条对角线的一个 端点出发,沿表面运动到另一个端点,其最短路程是______________. 24.正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, O 是上底面 ABCD 中心,若正方体的棱长为 a , 则三棱锥 O ? AB1D1 的体积为_____________.

2

高中数学必修②(A 版)水平测试(A 卷)
一、选择题(每小题 5 分,共 30 分) 1.用一个平行于圆锥底面的平面截棱锥,则底面与截面之间的几何体的侧面展开图是( ) (A)三角形 (B) 矩形 (C)扇形 (D) 扇环 2 直径为 4 的球的表面积是( ) (A) 8? (B) 16? (C) 32? (D) 64? 3.如图,一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为 1 的正方形,俯视图是一个圆,那么 这个几何体的体积为( ) (A)

? 4

(B)

5? 4

(C) ?

(D)

3? 2
正视图 侧视图

4.正方体的全面积为 18 cm 2 ,则它的体积是( ) (A) 4cm 3 (B) 8cm 3 (C)

14 3 (D) 3 3cm 3 cm 9 5.如果两个球的体积之比为 8:27,那么两个球的表面积之比为( ) 俯视图 (A)8:27 (B) 2:3 (C)4:9 (D) 2:9 6.一个圆柱的侧面展开图是一个正方形,这个圆柱的表面积与侧面积的比是( ) 1 ? 2? 1 ? 4? 1 ? 2? 1 ? 4? (A) (B) (C) (D) 2? 4? ? 2?
二、填空题(每小题 5 分,共 30 分) 7. 若长 方体三 个面的 面积 分别 是 2cm 2、 2、cm 2 ,则 长方体 体对 角线 A1C 的 长度 为 3cm 6 ___________. 8.一球的表面积与它的体积的数量相等,则球的半径为______. 9.与正方体各面都相切的球,它的体积与正方体体积之比为 . 10. Rt?ABC 中, AB ? 3, BC ? 4 ,将三角形面绕直角边 AB 旋转一周所成的几何体的表面积 为 .

11.如图, AB 是圆柱的一条母线,圆柱的底面半径和母线长都等于 2,一质点从 A 点出发绕 圆柱的侧面到达 B 点,则质点经过的最短距离为 . 12.一个半球的全面积为 Q ,一个圆柱与此半球等底等体积,则这 B 个圆柱的全面积是 ______. 三、解答题(13、14 题各 12 分,15 题 16 分,共 40 分) 13.有一个四棱台形状的油槽,两底面都是正方形,已知它可以 装油 190L ,假如它的两底面边长分别等于 60cm 和 40cm ,求 它的深度为多少 cm ?(注: 1L ? 1000cm 3 ) 11 题图

A

3

14.如图,已知直角梯形 ABCD ,其中 ?A 是直角, AB ? 5, CD ? 2 ,以直线 AD 为轴旋转 一周梯形面形成的几何体的侧面积等于两底面积之和,求 BC 的长.
D
C

A

B

14 题 图 15.如图, 在棱长为 4 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, E、F、G 分别为 AB、BC、BB1 的 点 中点. (1)求三棱锥 G ? BEF 的体积; (2)若以 B 为顶点,求此三棱锥的高.
D1

C1 B1

A1

G

D F
A
E

C

B

15 题 图

16.如图,在四边形 ABCD 中, ?DAB ? 900 , ?ADC ? 1350 , AB ? 5 , CD ? 2 2 ,

AD ? 2 ,求四边形 ABCD 绕 AD 旋转一周所成几何体的表面
积及体积.

4

参考答案
一、DBADCA 二、7. 14cm 8.3 9.

? 6

10. 36?

11. 2 4? 2 ? 1

12.

10Q 9

提示: 11.将圆柱表面沿 AB 剪开,并展开成矩形,则矩形的对角线长即为最短距离. 三、13.解:由题意有 S 上 ? 40 2 ? 1600cm 2 , S 下 ? 60 2 ? 3600cm 2 , 由

7

3 解得 h ? 75(cm) .

1 1 7600 V ? h(S 上 ? S 上 S 下 ? S 下 ) ? h(1600 ? 1600 ? 3600 ? 3600) ? h 3 3 3 6 0 0 h ?1 9 0 0 0 0





答:油槽的深度为多少 75 cm . 14.解:以直线 AD 为轴旋转一周梯形 ABCD 面形成的几何体是圆台, BC 是圆台的一条母线,设其长度为 l , ∵ S 上 ? S 下 ? S 侧 ,∴ ? ? 2 2 ? ? ? 5 2 ? ?(2 ? 5)l , ∴ 7?l ? 29? , ∴l ?

29 7

1 ? 2 ? 2 ? 2 , BG ? 2 , 2 1 4 ∴三棱锥 G ? BEF 的体积 V ? ? 2 ? 2 ? ; 3 3
15.解: (1)∵ S ?BEF ? (2)若以 B 为顶点,则底面为正三角形 GEF ,其边长为 2 2 ,

3 ? (2 2 ) 2 ? 2 3 , 4 又∵三棱锥 B ? GEF 和三棱锥 G ? BEF 的体积相等, 4 2 3 ∴当以 B 为顶点时,三棱锥的高 h ? 3 ? . 9 2 3
∴ S ?GEF ? 16.解: S表面 ? S圆台底面 ? S圆台侧面 ? S圆锥侧面

? ? ? 52 ? ? ? (2 ? 5) ? 3 2 ? ? ? 2 ? 2 2 ? 25( 2 ? 1)? ,

1 1 ? ? (r12 ? r1r2 ? r2 2 )h ? ? r 2 h 3 3 V ? V圆台 ? V圆锥 148 ? ? 3

5

1.A

因为四个面是全等的正三角形,则 S表面积 ? 4S底面积 ? 4 ?

3 ? 3. 4

2.B 3.A 4.C 5.D 6.B

1 1 V ? ( S ? SS ' ? S ' )h ? ? (4 ? 4 ?16 ? 16) ? 3 ? 28 . 3 3
S侧面积 ? ? (r ? 3r )l ? 84? , r ? 7 .

V1 : V2 ? 8 : 27, r1 : r2 ? 2 : 3, S1 : S2 ? 4 : 9 .

1 1 1 1 1 5 V正方体 ? 8V三棱锥 ? 1 ? 8 ? ? ? ? ? ? . 3 2 2 2 2 6
从此圆锥可以看出三个圆锥, r1 : r2 : r3 ? 1: 2 : 3, l1 : l2 : l3 ? 1: 2 : 3,

S1 : S2 : S3 ? 1: 4 : 9, S1 : ( S2 ? S1 ) : ( S3 ? S2 ) ? 1: 3: 5 .
7.C

4 V ? Sh ? ? r 2 h ? ? R3 , R ? 3 64 ? 27 ? 12 . 3
中截面的面积为 4 个单位,

8.C

V1 (1 ? 2 ? 4)h 7 ? ? . V2 (4 ? 6 ? 9)h 19
2

9.A

此几何体是个圆锥, r ? 3, l ? 5, h ? 4, S表面 ? ? ? 3 ? ? ? 3 ? 5 ? 24?

1 V ? ? ? 32 ? 4 ? 12? . 3
10.B 长方体的对角线是球的直径,

l ? 32 ? 42 ? 52 ? 5 2, 2 R ? 5 2, R ?

5 2 , S ? 4? R 2 ? 50? . 2

11.D 正方体的棱长是内切球的直径,正方体的对角线是外接球的直径,设棱长是 a ,

a ? 2r内切球,r内切球 ?

a 3a , 3 ? r外接球,r外接球 ? a 2 r , :r ? : . 1 3 2 2 内切球 外接球

12.D 设圆柱的底面半径为 r ,则圆柱的高 h ? 2r , 而 S ? 2? rh ? 4? r ? r ?
2

S S S S S 2 ?2 ? ,V ? ? r h ? ? ? . 4? 4? 4? 4 ?

13.D

1 3 V ? V大圆锥 ? V小圆锥 ? ? r 2 (1 ? 1.5 ? 1) ? ? . 3 2
2 2

14.B 不妨把平行四边形特定为矩形(特殊化思想) ,则 V1 : V2 ? (? b a) : (? a b) ?

b . a

15.D

S全 ? 2? R 2 ? ? R 2 ? 3? R 2 ? Q, R ?

Q , 3?

6

2 3 2 2 10 10 V ? ? R ? ? R2 ? ,h h? ,R S? ? 2 R ? ? R 2 2 ? R ? 2 R? . Q ? 3 3 3 3 9 16.A 设圆锥的底面的半径为 r ,圆锥的母线为 l ,则由 ? l ? 2? r 得 l ? 2r ,
而 S圆锥表 ? ? r ? ? r ? 2r ? a ,即 3? r ? a, r ?
2

2

a 3? a 2 3? a ? ,即直径为 . 3? 3? 3?

17.A

2? r ? ? R, r ?

R 3R 1 3 ,h ? ,V ? ? r 2 h ? ? R3 . 2 2 3 24
2 2 2 2 2 2

18.D

设底面边长是 a ,底面的两条对角线分别为 l1 , l2 ,而 l1 ? 15 ? 5 , l2 ? 9 ? 5 ,
2 2 2 2 2

2 2 2 而 l1 ? l2 ? 4a , 即 15 ? 5 ? 9 ? 5 ? 4a , a ? 8, S侧面积 ? ch ? 4 ? 8 ? 5 ? 160 .

19. 6?

画出圆台,则 r1 ? 1, r2 ? 2, l ? 2, S圆台侧面 ? ? (r1 ? r2 )l ? 6? .

1: 20. 2 2 : 3 3
21. 6 , 15

r1 : r2 : r3? 1 :

2 :

3 3 ,1 3 2: r r

3

r3: ?

3

3 1 : (3 2 ) :?( 3 )

1 :. 2 : 3 3 2

设 ab ?

2, bc ? 3, ac ? 6, 则 abc ? 6, c ? 3, a ? 2, c ? 1 ,

l ? 3 ? 2 ? 1 ? 6 ,设 ab ? 3, bc ? 5, ac ? 15 则 (abc)2 ? 225,V ? abc ? 15 .
22. ? 设V ?

4 3V ? R3 ? a3 , a ? 3 V , R ? 3 , 3 4?

S正 ? 6a 2 ? 6 3 V 2 ? 3 216V 2 , S球 ? 4? R 2 ? 3 36? V 2 ? 3 216V 2 .
23. 74 从长方体的一条对角线的一个端点出发,沿表面运动到另一个端点,有两种方案

42 ? (3 ? 5) 2 ? 80, 或 52 ? (3 ? 4) 2 ? 74 .
24.

1 3 a 画出正方体,平面 AB1D1 与对角线 AC 的交点是对角线的三等分点, 1 6
3 1 1 3 3 1 3 a,V ? Sh ? ? ? 2a 2 ? ? a ; 3 3 3 4 3 6

三棱锥 O ? AB1D1 的高 h ?

或: 三棱锥 O ? AB1D1 也可以看成三棱锥 A ? OB1D1 , 显然它的高为 AO , 等腰三角形 OB1 D1 为底面.

7


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