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高中数学选修1-2:2.1.1同步练习


高中数学人教 A 版选修 1-2 同步练习
1.已知{bn}为等比数列,b5=2,且 b1b2b3?b9=29.若{an}为等差数列,a5=2,则{an}的类似 结论为( ) A.a1a2a3?a9=29 B.a1+a2+?+a9=29 C.a1a2?a9=2×9 D.a1+a2+?+a9=2×9 解析:选 D.由等差数列的性质,有 a1+a9=a2+a8=?=2a5.

易知 D 成立. 2.我们把 1,4,9,16,25,?这些数称为正方形数,这是因为这些数目的点可以排成一个 正方形(如图).

由此可推得第 n 个正方形数应为( ) A.n(n-1) B.n(n+1) C.n2 D.(n+1)2 解析:选 C.观察前 5 个正方形数,正好是序号的平方,所以第 n 个正方形数应为 n2. 3.在平面上,若两个正三角形的边长的比为 1∶2,则它们的面积比为 1∶4,类似地,在空 间中,若两个正四面体的棱长的比为 1∶2,则它们的体积比为________. 解析:由平面和空间的知识,可知很多比值在平面中成平方关系,在空间中成立方关系,故 若两个正四面体的棱长的比为 1∶2,则它们的体积比为 1∶8. 答案:1∶8 4.(2011· 高考陕西卷)观察下列等式 1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49 ? 照此规律,第五个等式应为________. 解析:每行最左侧数分别为 1、2、3、?,所以第 n 行最左侧的数应为 n;每行数的个数分 别为 1、3、5、?,所以第 n 行数的个数应为 2n-1.所以第 5 行数依次是 5、6、7、?、13, 其和为 5+6+7+?+13=81. 答案:5+6+7+?+13=81 [A 级 基础达标] 1.鲁班发明锯子的思维过程为:带齿的草叶能割破行人的腿, “锯子”能“锯”开木材,它 们在功能上是类似的.因此,它们在形状上也应该类似, “锯子”应该是齿形的.该过程体 现了( ) A.归纳推理 B.类比推理 C.没有推理 D.以上说法都不对 解析:选 B.推理是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程,上述过程 是推理,由性质类比可知是类比推理. 2.下图为一串白黑相间排列的珠子,按这种规律往下排起来,那么第 36 颗珠子的颜色应该 是( )

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A.白色 B.黑色 C.白色可能性大 D.黑色可能性大 解析:选 A.由图知:三白二黑周而复始相继排列,因 36÷ 5=7 余 1,所以第 36 颗应与第 1 颗珠子的颜色相同,即为白色. 3.把下面在平面内成立的结论类比地推广到空间,结论仍然正确的是( ) A.如果一条直线与两条平行线中的一条相交,则也与另一条相交 B.如果一条直线与两条平行线中的一条垂直,则也与另一条垂直 C.如果两条直线同时与第三条直线相交,则这两条直线相交或平行 D.如果两条直线同时与第三条直线垂直,则这两条直线平行 解析:选 B.推广到空间以后,对于 A,还有可能异面;对于 C,还有可能异面;对于 D,还 有可能异面. S△PA′B′ PA′·PB′ 4.(2012· 湛江高二检测)图(1)所示的图形有面积关系: = ,则图(2)所示的 S△PAB PA·PB VP-A′B′C′ 图形有体积关系: =________. VP-ABC

1 解析:由三棱锥的体积公式 V= Sh 及相似比可知, 3 VP-A′B′C′ PA′·PB′·PC′ = VP-ABC PA·PB·PC PA′·PB′·PC′ 答案: PA·PB·PC 5.某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品,其中第 1 堆只有一层, 就一个球;第 2,3,4,?堆最底层(第一层)分别按图所示方式固定摆放,从第二层开始, 每层的小球自然垒放在下一层之上,?,第 n 堆第 n 层就放一个乒乓球,以 f(n)表示第 n 堆 的乒乓球总数,则 f(3)=________,f(6)=________.

解析:f(3)=1+3+6=10,f(6)=1+3+6+10+15+21=56. 答案:10 56 6.设 n∈N*且 sinx+cosx=-1,求 sinnx+cosnx 的值.(先观察 n=1,2,3,4 时的值,再归 纳猜测 sinnx+cosnx 的值) 解:当 n=1 时,sinx+cosx=-1; 当 n=2 时,有 sin2x+cos2x=1; 当 n=3 时,有 sin3x+cos3x=(sinx+cosx)(sin2x+cos2x-sinxcosx), 而 sinx+cosx=-1, ∴1+2sinxcosx=1,sinxcosx=0. ∴sin3x+cos3x=-1. 当 n=4 时,有 sin4x+cos4x=(sin2x+cos2x)2-2sin2xcos2x=1. 由以上可以猜测,当 n∈N*时,可能有 sinnx+cosnx=(-1)n 成立. [B 级 能力提升] 7.设 f(n)>0(n∈N*)且 f(2)=4,对任意 n1,n2∈N*,有 f(n1+n2)=f(n1)· f(n2)恒成立,则猜想 f(n) 的一个表达式为( ) - A.f(n)=n2 B.f(n)=2n 1
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C.f(n)=2n D.f(n)=22n * 解析: 选 C.对任意 n1,n2∈N ,有 f(n1+n2)=f(n1)· f(n2),符合指数型函数特征,结合 f(2)=4, 可知 f(n)=2n.故选 C. 8.(2012· 苏州高二期中测试)类比平面内正三角形的“三边相等,三内角相等”的性质,可推 知正四面体的下列性质,你认为比较恰当的是( ) ①各棱长相等,同一顶点上的任意两条棱的夹角相等; ②各个面是全等的正三角形,相邻的两个面所成的二面角相等; ③各个面是全等的正三角形,同一顶点上的任意两条棱的夹角相等; ④各棱长相等,相邻的两个面所成的二面角相等. A.①④ B.①② C.①③ D.③④ 解析:选 B.类比推理的原则是:类比前后保持类比规律的一致性,而③④违背了这一原则, 只有①②符合. 9.半径为 r 的圆的面积 S(r)=π r2,周长 C(r)=2π r,若将 r 看作(0,+∞)上的变量,则(π r2)′=2π r,① ①式可以用语言叙述为:圆的面积函数的导数等于圆的周长函数. 对于半径为 R 的球,若将 R 看作(0,+∞)上的变量, 请你写出类似于①的式子:________________,② ②式可以用语言叙述为: ________________________________________________________________________. 4 4 3? 2 解析:半径为 R 的球的体积 V(R)= π R3,表面积 S(R)=4π R2,则? ?3π R ?′=4π R . 3 4 3? 2 答案:? ?3π R ?′=4π R 球的体积函数的导数等于球的表面积函数 10.已知椭圆具有以下性质:若 M、N 是椭圆 C 上关于原点对称的两个点,点 P 是椭圆上任 意一点,若直线 PM、PN 的斜率都存在,并记为 kPM、kPN,那么 kPM 与 kPN 之积是与点 P 的 x2 y2 位置无关的定值.试对双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)写出具有的类似性质,并加以证明. a b x2 y2 解:类似的性质为:若 M、N 是双曲线 2- 2=1 上关于原点对称的两个点,点 P 是双曲线 a b 上任意一点,若直线 PM、PN 的斜率都存在,并记为 kPM、kPN,那么 kPM 与 kPN 之积是与点 P 的位置无关的定值. 证明如下:设点 M、P 的坐标为(m,n)、(x,y),则 N(-m,-n). ∵点 M(m,n)在已知双曲线上, b2 b2 ∴n2= 2m2-b2.同理 y2= 2x2-b2. a a y-n y+n y2-n2 则 kPM·kPN= · = x-m x+m x2-m2 2 2 b2 x -m b2 = 2· 2 = (定值). a x -m2 a2 11.(创新题)有一个雪花曲线序列,如图所示.

其产生规则是:将正三角形 P0 的每一边三等分,而以其居中的那一条线段为一底边向外作 等边三角形,再擦去中间的那条边,便得到第 1 条雪花曲线 P1;再将 P1 的每一边三等分, 并重复上述作法,便得到第 2 条雪花曲线 P2;?;把 Pn-1 的每一边三等分,而以其居中的 那一条线段为一底边向外作等边三角形, 再擦去中间的那条边, 便得到第 n 条雪花曲线 Pn(n =1,2,3,4,?). (1)设 P0 的周长为 L0,即正三角形的周长,求 Pn,即第 n 条雪花曲线的周长 Ln;
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(2)设 P0 的面积为 S0,即正三角形的面积,求 Pn,即第 n 条雪花曲线所围成的面积 Sn. 解:(1)在雪花曲线序列中,前后两条曲线之间的基本关系如图所示. 4 易得一雪花曲线的长为相邻的前一个长的 . 3 设第 n 条雪花曲线的长为 Ln, 4?n 4 * 则 Ln= Ln-1=?=? ?3? L0(n∈N ). 3 (2)对 P0 进行操作, 容易看出 P1 的边数为 3×4; 同样, 对 P1 进行操作, 得到 P2 的边数为 3×42; n 从而不难看出 Pn 的边数为 3×4 ,已知 P0 的面积为 S0,比较 P1 和 P0,容易看出 P1 在 P0 的 S0 S0 S0 每条边上增加了一个小等边三角形, 其面积为 2, 而 P0 有 3 条边, 故 S1=S0+3· 2=S0+ . 3 3 3 1 S0 再比较 P2 与 P1,可知 P2 在 P1 的每条边上增加了一个等边三角形,其面积为 2· 2,而 P1 3 3 S0 S0 4S0 S0 S0 有 3×4 条边,故 S2=S1+3×4× 4=S0+ + 3 ,类似地有:S3=S2+3×42× 6=S0+ + 3 3 3 3 3 2 4S0 4 S0 + 5 ,?, 33 3 n 1? ?4? ? 1 - n-1 2 3 3? ?9? ? 4 S0 S0 4S0 4 S0 4 S0 8 3 4?n? Sn=S0+ + 3 + 5 + 7 +?+ 2n-1 =S0+ S0=? - ·? 3 3 3 3 4 ?5 5 ?9? ?S0. 3 1- 9

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