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全国中学生数学竞赛二试模拟训练题(59)


加试模拟训练题(59)
1.设 A1A2A3A4 为⊙O 内接四边形,H1,H2,H3,H4 依次为 △A2A3A4,△A3A4A1,△A4A1A2,△A1A2A3 的垂心.求证:H1,H2,H3,H4 四点共圆, 并确定出该圆的圆心位置.

A2
H1

A1

O

. H2<

br />A4

A3

2.设 a、b、c 是正实数,并满足 abc=1.证明:

并指明等号在什么条件下成立.

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3. 设有两个完全相同的齿轮 A、B,B 被平放在一个水平面上,A 放在 B 上面并使两者完全重合(从而两者 在水平面上的投影完全重合),然后任意去掉四对重合的齿.如果两齿轮各有 14 个齿,试问:能否将齿轮 A 绕两齿轮的公共轴旋转一个适当的位置,使得两齿轮在水平面上的投影合为一个完整齿轮的投影?如果 两齿轮各原有 13 个齿,又是怎样呢?请证明你的论断.

4.将与 105 互素的所有正整数从小到大排成数列,求出这个数列的第 2010 项。

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加试模拟训练题(59)
1.设 A1A2A3A4 为⊙O 内接四边形,H1,H2,H3,H4 依次为 △A2A3A4,△A3A4A1,△A4A1A2,△A1A2A3 的垂心.求证:H1,H2,H3,H4 四点共圆, 并确定出该圆的圆心位置. (1992,全国高中联赛) A1 分析:连接 A2H1,A1H2,H1H2,记圆半径 A2 为 R.由△A2A3A4 知
A2 H 1 =2R ? A2H1=2Rcos∠A3A2A4; sin ?A2 A3 H 1

H1

由△A1A3A4 得 A1H2=2Rcos∠A3A1A4. A3 A4 但∠A3A2A4=∠A3A1A4,故 A2H1=A1H2. 易证 A2H1∥A1A2,于是,A2H1 ∥ 1H2, A = 故得 H1H2 ∥A2A1.设 H1A1 与 H2A2 的交点为 M,故 H1H2 与 A1A2 关于 M 点成中心对称. = 同理,H2H3 与 A2A3,H3H4 与 A3A4,H4H1 与 A4A1 都关于 M 点成中心对称.故四边形 H1H2H3H4 与四边形 A1A2A3A4 关于 M 点成中心对称,两者是全等四边形,H1,H2,H3, H4 在同一个圆上.后者的圆心设为 Q,Q 与 O 也关于 M 成中心对称.由 O,M 两点,Q 点就不难确定了.
2.设 a、b、c 是正实数,并满足 abc=1.证明:

O

. H2

并指明等号在什么条件下成立. 【题说】第三十七届(1996 年)IMO 预选题. 【证】由 a5+b5-a2b2(a+b)=(a2-b2)(a3-b3)≥0 得 a5+b5≥a2b2(a+b) (1)

(2)

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当且仅当 a=b=c=1 时,以上各式中等号均成立. 3. 设有两个完全相同的齿轮 A、B,B 被平放在一个水平面上,A 放在 B 上面并使两者完全重合(从而两者 在水平面上的投影完全重合),然后任意去掉四对重合的齿.如果两齿轮各有 14 个齿,试问:能否将齿轮 A 绕两齿轮的公共轴旋转一个适当的位置,使得两齿轮在水平面上的投影合为一个完整齿轮的投影?如果 两齿轮各原有 13 个齿,又是怎样呢?请证明你的论断. 【题说】第五届(1990 年)全国冬令营选拔赛题 5. 【解】将每个断齿赋值“0” ,好齿赋值“1” .对 A 齿轮的每个位置,作两轮对应位置齿值的乘积之和,初 始位置除外的 13 个位置总和为 10×9=90<13×7, 故必有一个位置的和≤6. 此时必定任二断齿不相重合. 当齿数为 13 时,将 A、B 重合时各对齿依顺时针记为 0,1,?,12.锯掉 0,1,5,11 四对齿.0,1,5, 11 两两之差恰取遍 1,2,?,12(mod 13).故对 A 的任一位置总有两个断齿重合,始终得不到完整的投 影. 4.将与 105 互素的所有正整数从小到大排成数列,求出这个数列的第 2010 项。 解 1—105 的所有正整数中共有 ? (105) ? ? (3)? (5)? (7) ? 48 个与 105 互素,他们从小到排列为:

a1 ? 1, a2 ? 2, a3 ? 4, a4 ? 8, a5 ? 11,?, a48 ? 104 。对于任一的 an ,由带余除法存在唯一的 q,r 使得 an ? 1 0 5 ? r , q? 0 , 0 r ? 1 0 5 q ?
由( an ,105)=1,可得(r,105)=1,即 r ?{a1 , a2 , ?, a48} 。 反之,对于任意固定非负整数 q, r ?{a1 , a2 , ?, a48 } 有(105q+r,105)=1,于是 105q+r 都 是 数 列 的 项 , 从 而 存 在 正 整 数 n , 使 得 an ? 105q ? r 。 因 此 数 列 {an } 仅 由

1 0 5 ? a (? 1, 2 , q n n ?

,的数由小到大排列而成的。因为 2010=48*41+42,所以有 48)

a2010 ? 105 ? 41 ? a42 , 而由a48 ? 104, 求得a42 ? 91, 所以a2010 ? 4396 。

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