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2016届四川省凉山州高三第三次诊断性测试理数试题 含解析


四川省凉山州 2016 届高三第三次诊断性测试 理数试题
第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的. 1.已知集合 A ? x x ? x ? 2 ? 0 , B ? x ln ?1 ? x ? ? 0 ,则 A ? B ? (
2

?<

br />
?

?

?

)

A. ? ?1, 2 ? 【答案】C 【解析】

B. ? ?1,1?

C. ? ?1, 0 ?

D. ? ?1, 0 ?

2 试题分析:? A ? x x ? x ? 2 ? 0 ? x ?1 ? x ? 2 , B ? x ln ?1 ? x ? ? 0 ? x x ? 0 , A ? B ? ? ?1, 0 ?

?

? ?

?

?

? ?

?

考点:集合的运算 2. i 为虚数单位, z ? A. 5 【答案】A 【解析】 试题分析:由题意 z ?

5i ,则 z ? ( 1 ? 2i
B .5

) C.1 D.2

5i ? ?1 ? 2i ? 5?2 ? i? 5i ? ? ? 2 ? i? z ? 2 ? i ? 5 1 ? 2i ?1 ? 2i ? ? ?1 ? 2i ? 5

考点:复数的模,复数的运算 3.已知 p : “直线 l 的倾斜角 ? ? A.充分不必要条件 【答案】C

?
4

” ;q: “直线 l 的斜率 k ? 1 ” ,则 p 是 q 的( C.充要条件

)

B.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件

考点:充要条件 4.某算法的程序框图如右图所示,如果输出的结果为 26,则判断框内的条件应为( A. k ? 5 B. k ? 4 C. k ? 3
-1-

)

D. k ? 4

【答案】C 【解析】 试题分析:程序在运行过程中,各变量的值变化如下所示:

S
循环前 第1圈 第2圈 4

条件 k 0/1 1 否 否 否 是 3 4 2

第 3 圈 11 第 4 圈 26

可得,当 k ? 4 时, S ? 26 .此时应该结束循环体并输出 S 的值为 26 所以判断框应该填入的条件为: k ? 3 故选 C. 考点:程序框图 5.下列说法中,不正确的是( )

A.已知 a, b, m ? R ,命题: “若 am 2 ? bm 2 ,则 a ? b ”为真命题
2 B.命题: “ ?x0 ? R, x0 “ ?x ? R, x ? x ? 0 ” ? x0 ? 0 ”的否定是:

2

C.命题“ p 或 q ”为真命题,则命题 p 和命题 q 均为真命题 D. “ x ? 3 ”是“ x ? 2 ”的充分不必要条件 【答案】C 【解析】 试题分析:A.正确;B.正确;D,正确;C 不正确,若命题“ p 或 q ”为真命题,则命题 p 和命题 q 由 一个为真命题即可 考点:命题的真假判定 6.《庄子·天下篇》中记述了一个著名命题: “一尺之棰,日取其半,万世不竭. ”反映这个命题本质的式 子是( )
-2-

1 1 1 1 ? 2 ? ??? ? n ? 2 ? n 2 2 2 2 1 1 1 C. ? 2 ? ??? ? n ? 1 2 2 2
A. 1 ? 【答案】D 【解析】

1 1 1 ? 2 ? ??? ? n ? ??? ? 2 2 2 2 1 1 1 D. ? 2 ? ??? ? n ? ??? ? 1 2 2 2
B. 1 ?

1 1 为首项,以 为公比的等比数列, 2 2 1 1 1 1 1 1 1 ? ? 2 ? ??? ? n ? ??? ? 1 ? n ? 1 .故反映这个命题本质的式子是 ? 2 ? ??? ? n ? ??? ? 1 . 2 2 2 2 2 2 2
试题分析:据已知可得每次截取的长度构造一个以 故选 D。 考点:数列递推式 7.某几何体的三视图如图所示,其中俯视图是个半圆,则该几何体的表面积为( A. )

3? 2

B. ? ? 3

C.

5? ? 3 2

D.

3? ? 3 2

【答案】D 【解析】 试题分析:由三视图可知,该几何体为圆锥的一半,那么该几何体的表面积为该圆锥表面积的一半与轴截 面面积的和.又该半圆锥的侧面展开图为扇形,所以侧面积为 ,底面积为

1 ? ?? ? , 由 三 视 图 可 知 , 轴 截 面 为 边 长 为 2 的 正 三 角 形 , 所 以 轴 截 面 面 积 为 2 2

1 ? ? ? 1? 2 ? ? 2

1 3 3? ??2 ? 2 ? ? 3 ,则该几何体的表面积为 ? 3 .选 D 2 2 2
考点:几何体的表面积,三视图 8. 如图,圆 O 与 x 轴的正半轴的交点为 A ,点 C 、 B 在圆 O 上,且点 C 位于第一象限,点 B 的坐标为

? ? 3 ? 12 5 ? 2 ? 的值为( ? sin cos ? ? , ? ? ,设 ?AOC ? ? ,若 BC ? 1 ,则 3 cos 2 2 2 2 ? 13 13 ?
A. ?

)

5 13

B.

5 13

C. ?

12 13

D.

12 13

-3-

【答案】B

考点:两角和与差的正弦,三角函数的定义 9.已知 F1 、 F2 是椭圆和双曲线的公共焦点, P 是它们的一个公共点,且 ?F1 PF2 ? 离心率的倒数之和的最大值为( A. ) C.3 D.2

?
3

,则椭圆和双曲线的

4 3 3

B.

2 3 3

【答案】A 【解析】 试题分析:设椭圆的长半轴为 a ,双曲线的实半轴为 a1 , ? a>a1 ? ,半焦距为 c , 由椭圆和双曲线的定义可知,

PF2 ? r2, | F1 F2 |? 2c, 设 PF1 ? r1, ,椭圆和双曲线的离心率分别为 e1,e2
? ?F1 PF2 ?

?
3

2 2 ,?由余弦定理可得 4c 2 ? (r1) ? (r2) ? 2r1r2 cos

?
3

,①

在椭圆中,①化简为即 4c 2 ? 4a 2 ? 3r1r2, 即

3r1r2 1 = ? 1,② 4c 2 e12 r1r2 1 ③ =- 2 ? 1, 2 4c e2

在双曲线中,①化简为即 4c 2 ? 4a 2 ? r1r2, 即

-4-

联立②③得,

1 1 ? 2 ? 4, e12 e2
2
2

?1 1? 3? 4 ? 1 ?? 1 1 ? ? 1 1 由柯西不等式得 ? 1 ? ? ? 2 ? 2 ? ? ? 1? ? 即( ? ? ? ? ? 4, ? , ? 3 3 e2 ? ? 3 ? ? e1 e2 ? ? ? e1 e2 ? ? e1 ?


3 1 1 16 4 3 ,当且仅当 e1= ,e2= 3 时取等号,故选 A ? ? ? 3 e1 e2 3 3
a?b a?2

考点:椭圆,双曲线的简单性质,余弦定理 10.已知函数 f ? x ? ? x 2 ? ax ? b e x ,当 b ? 1 时,函数 f ? x ? 在 ? ??, ?2 ? , ?1, ?? ? 上均为增函数,则 的取值范围是( A. ? ?2, ? 3 ) B. ? ? , 2 ?

?

?

? ?

2? ?

? 1 ? 3

? ?

C. ? ??, ? 3

? ?

2? ?

D. ? ? , 2 ? 3

? 1 ?

? ?

【答案】A 【解析】

试题分析:

由 f( ? x) ? x2 ? (a ? 2)x ? a ? b e x ,函数 f ? x ? 在 上 均 为 增 函 数 ,

?

?

? ??, ?2 ? , ?1, ?? ?

? x2 ? (a ? 2)x ? a ? b ? 0









? a?b ?4 ? 2 ? a ? 2 ? ? a ? b ? 0 ??a ? b ? 0 ,? ? ,设 ? z ,则 ? ? 2a ? b ? 3 ? 0 a ? 2 ? ?1 ? ? a ? 2 ? ? a ? b ? 0

?? x ? y ? 0 ? b? (z ? 1)a ? 2 z ,又设 y ? ,则 x, y 满足线性约束条件 ? 2 x ? y ? 3 ? 0 ,画出可行域如 (z ? 1)x ? 2 z, ?y ?1 ?

( ? 1, ? 1) 图所示,由图象可知在点 B 取最大值为 z ?
是 ? ?2, ? ,故答案选 A. 3

2 a?b (11 , ) ,在点 A 取最小值 z ? ?2 .则 的取值范围 3 a?2

? ?

2? ?

-5-

考点:利用导数研究函数的性质,简单的线性规划 第Ⅱ卷(非选择题,共 100 分) 二、填空题(共 5 小题,每题 5 分,共 25 分) 11.若 x ? 3
ln 3 2

, y ? log? 3 ,则 x, y 的大小关系是______.

【答案】 x ? y 【解析】
3 ln 3 试题分析:? ln ? 0,? x ? 3 2 ? 1, 又? ? ? 3 ? 0 ? log? 3 ? 1,? x ? y 2

考点:指数函数、对数函数的性质

?x ? y ? 0 ? 12.已知 P ? x, y ? 为区域 ? x ? y ? 0 内的任意一点,则 z ? 2 x ? y 的取值范围是______. ?x ? 2 ?
【答案】 z ? [0,, 6] 【解析】

试题分析: 由 z ? 2 x ? y 得: y ? 2 x ? z ,

(2, ? 2) 画出可行域如图所示:由题意可求得 A ,

(0, 0) 显然直线过 时, z 最小,最小值是 0, (2, ? 2) 直线过 A 时, z 最大,最大值是 6,
故 z ? [0, 6] . 考点:简单的线性规划
1 3 7 9 13.设函数 f ? x ? ? C10 (用数字作答) x ? 1 C10 x ? 1 ??? C10 x ? 1 C10 x ? 1 ,则 f ? ? 0 ? ? ______.

?

??

? ?

??

?

【答案】 512

-6-

考点:函数求导,二项式定理 14.已知向量 a ? ? m, 4 ? , b ? ? m ? 4,1? ,若 a ? b ? a ? b ,则与 a 方向相同的单位向量的坐标是______. 【答案】 ? ?

? ? ?

5 2 5? , ? 5 5 ? ?

考点:平面向量数量积的运算,单位向量 15.若三角形三边长都是整数且至少有一个内角为 有以下命题: (1)存在直角三角形是“完美三角形” (2)不存在面积是整数的“完美三角形” (3)周长为 12 的“完美三角形”中面积最大为 4 3 ; (4)若两个“完美三角形”有两边对应相等,且它们面积相等,则这两个“完美三角形”全等. 以上真命题有______. (写出所有真命题的序号) . 【答案】 (3) (4) . 【解析】

?
3

,则称该三角形为“完美三角形” .有关“完美三角形”

2 ,因此不存在直角三角形是“完 试题分析: : ( 1) 若 Rt ? ABC 中,C ? 90?,A ? 60? 则三边之比为:1:3:
-7-

美三角形,因此(1)是假命题; (2)由 S ?

1 ? 3 absin ? ab ,若面积是整数,则存在正整数 x ,使得 ab ? 4 x , 由于 a, b 都为整数, 2 3 4

此式不成立,因此不存在面积都是整数的“完美三角形” , (2)是假命题; (3)设 C ?

?
3

,则 a ? b ? c ? 12,c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2abcos

?
3

2 ,可得 ( 12 ? a ? b) ? a 2 ? b 2 ? ab ,

化为 ( ab ) 2 ? 16 ab ? 48 ? 0 ,解得 0< ab ? 4 ,即 0<ab ? 16 ,当且仅当 a ? b ? 4 时取等号,

可得周长为 12 的“完美三角”中面积最大为 (4)设 C ? ②若夹角

1 3 ?16 ? ? 4 3 ,是真命题; 2 2

?
3

? C1 ,①若夹角

?
3

的两条边分别相等,满足条件,则此两个三角形全等;

?
3

其中一条边相等,由于面积相等,夹角

?
3

另一条边必然相等,可得:此两个三角形全等.因此

是真命题.以上真命题有(3) (4) . 故答案为: (3) (4) . 考点:命题真假判断,合情推理 【名师点睛】本题考查了解三角形、余弦定理、三角形面积计算公式、基本不等式的性质、新定义、简易 逻辑的判定方法、不等式的解法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 三、解答题(共 6 小题,共 75 分) 16.设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,且 S 4 ? 4 S 2 , 2a1 ? 1 ? a2 . (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)设数列 bn ?

1 ,求 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . an an ?1
n 2n ? 1

【答案】 (1) an ? 2n ? 1 ; (2) Tn ? 【解析】

? 4 ? ? 4 ? 1? d ? 4 ? a1 ? a1 ? d ? ?4a1 ? 试题分析: (1) 设数列 ?an ? 的首项为 a1 , 公差为 d , 则根据题意可得 ? , 2 ? 2a ? d ? a ? d ? 1 1
解之可得 a1 , d ,则数列 ?an ? 的通项公式可求; (2)由(1)可得 bn ?

1? 1 1 ? ? ? ? ,由裂项求和法可求 ?bn ? 的前 n 项和 Tn ? 2n ? 1?? 2n ? 1? 2 ? 2n ? 1 2n ? 1 ? ? 1

-8-

? 4 ? ? 4 ? 1? d ? 4 ? a1 ? a1 ? d ? ?4a1 ? 试题解析: (1) 设数列 ?an ? 的首项为 a1 , 公差为 d , 则根据题意可得 ? , 2 ? 2a ? d ? a ? d ? 1 1
解之可得 a1 ? 1, d ? 2 , 则 an ? 2n ? 1 (2) bn ? 则 Tn ?

1? 1 1 ? , ? ? ? ? 2n ? 1?? 2n ? 1? 2 ? 2n ? 1 2n ? 1 ? ? 1

n 2n ? 1

考点:等差数列的通项公式,裂项求和法 17.一个盒子里装有大小均匀的 6 个小球,其中有红色球 4 个,编号分别为 1, 2,3, 4 ;白色球 2 个,编号分 别为 4,5 .从盒子中任取 3 个小球(假设取到任何一个小球的可能性相同) . (1)求取出的 3 个小球中,含有编号为 4 的小球的概率. (2)在取出的 3 个小球中,小球编号的最大值设为 X ,求随机变量 X 的分布列. 【答案】 (1) P ? A ? ?

4 ; (2)见解析 5

(2) X 可能的取值为 3, 4,5

P ? X ? 3? ?

1 1 ? 3 C6 20
1 2 2 1 C2 C3 ? C2 C3 9 ? 3 C6 20

P ? X ? 4? ?

-9-

P ? X ? 5? ?

1 1 2 C32 ? C2 C3 ? C2 1 ? 3 C6 2

所以随机变量 X 的分布列是

X P

3

4

5

1 20

9 20

1 2

考点:古典概型,离散型随机变量的分布列 18. 如 图 , 已 知 多 面 体 ABCDEF 中 , ABCD 为 菱 形 , ?ABC ? 60? , AE ? 平 面 ABCD ,

AE ? CF , AB ? AE ? 1, AF ? BE .
(1)求证: AF ? 平面 BDE ; (2)求二面角 F ? BE ? D 的余弦值.

【答案】 (1)见解析;(2)所求二面角得余弦值为 【解析】

10 . 5

试题分析: (1)设 AC ? BD ? O 以 O 为空间直角坐标系原点,以 OB 为 x ? 轴,以 OC 为 y 轴,以过 O 点
?

??? ?

????

平行于 AE 的射线为 z 轴建立空间直角坐标系 xOy ,求出相关点的坐标,求得 AF 和 BD 的坐标,可得

??? ?

?

??? ?

??? ?

AF ? BD ,又 AF ? BE 且 BD ? BE ? B ,∴ AF ? 平面 BDE
(2)分别求出平面 BEF 的法向量 m ,平面 BDE 的法向量 AF ? ? 0,1, ? ,又所求二面角为锐角,代入夹

??? ?

? ?

1? 2?

角公式可得所求二面角得余弦值为

10 5

试题解析: (1)设 AC ? BD ? O 以 O 为空间直角坐标系原点,以 OB 为 x ? 轴,以 OC 为 y 轴,以过 O 点
?

??? ?

????

平行于 AE 的射线为 z 轴建立空间直角坐标系 xOy ∵ AB ? AE ? 1 ,且菱形 ABCD 中 ?ABC ? 60?
- 10 -

??? ?

?

∴ A ? 0, ?

? ?

? ? 1 ? ? ? ? 1 ? ? 3 3 1 ? ,0?, B? , 0, 0 , C 0, , 0 , D ? , 0, 0 , E 0, ? ,1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 ? ? 2 ? ? 2 ? ? 2 2 ? ? ? ? ?

∵ AE ? CF 且 AE ? ? 0, 0,1? ,∴设 CF ? ? 0, 0, ? ?? ? ? 0 ? ∴ F ? 0, , ? ? 又∵ AF ? BE

??? ?

??? ?

? ?

1 2

? ?

??? ?

??? ?

∴ AF ? BE ? ?

??? ? ??? ?

1 1 ? 1 1? ? ? ? 0 ,∴ ? ? ,∴ F ? 0, , ? 2 2 ? 2 2?

又∵ AF ? BD ? ? 0,1,

??? ? ??? ?

? ?

1? ? ? ? 3, 0, 0 ? 0 2?

?

?

∴ AF ? BD ,又 AF ? BE 且 BD ? BE ? B ∴ AF ? 平面 BDE

??? ? ??? ? ? 1 3 ? AF ? ?1, 0, h ? , BE ? ? ? ? 2 , 2 ,1? ? ? ?
(2)设 m ? 平面 BEF , m ? ? x, y, z ? ∴ m ? BE ? ? x, y, z ? ? ? ?

??? ?

? ? ?

3 1 ? 3 1 , ? ,1? ?? x? y? z ?0 ? 2 2 ? 2 2

??? ? ? 3 1 1? 3 1 1 m ? BF ? ? x, y, z ? ? ? ? ? 2 ,2,2? ??? 2 x? 2 y? 2 z ?0 ? ?
∴ x ? 3 y, z ? 2 y ,令 y ? 1 ,∴ m ?

?
? ?

3,1, 2
1? 2?

?

由(1)知 AF ? 平面 BDE ,且 AF ? ? 0,1, ?

??? ?

??? ?

设所求二面角为 ? ,则有 cos ? ? 又因为所求二面角为锐角 所以所求二面角得余弦值为

10 5

10 . 5

考点:利用空间向量解决有关问题 19.在 ?ABC 中,设内角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c , sin ?
- 11 -

?? 3 ?? ? ? . ? C ? ? cos ? C ? ? ? 6? 2 ?3 ? ?

(1)求角 C ; (2)若 c ? 2 3 ,点 O 满足 OA ? OB ? OC ,求: CO ? CA ? CB 的取值范围. 【答案】 (1) C ?

??? ?

??? ?

????

??? ? ??? ? ??? ?

?

?

?
3

; (2) ? 6,12?

(2)设 CA, CB 的中点分别为 M , N ∵ O 点满足 OA ? OB ? OC ,∴ O 为 ?ABC 的外心

??? ?

??? ?

????

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ???? ? ??? ? ???? ??? ? CO ? CA ? CB ? CO ? CA ? CO ? CB ? CM CA ? CN CB

?

?

?

1 2 ? a ? b2 ? 2
2

1? c ? 2 ? cos 2 A ? cos 2 B 2 2 ? ? ? ? sin A ? sin B ? ? 8 ? 2 ? sin C ? 2

4 ? 2 ? 2 cos ? A ? B ? cos ? A ? B ? ? ? 4 ? 2 ? cos ? A ? B ? ? (*)
C?

?
3

? A? B ?

2? 2? ? 2? 2? ? , A? B ? ? 2B ? ? ? , ? 3 3 ? 3 3 ?
3
时,得最大值 12,

由(*) :A? B?

?

则 6 ? 4 2 ? cos ? A ? B ? ? 12 故原式的取值范围是 ? 6,12? 考点:两角差的正弦和余弦,三角恒等变换

?

?

x2 y 2 2 20.已知椭圆 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的离心率为 ,过左焦点 F 的直线与椭圆交于 A, B 两点. a b 2
(1)若线段 AB 的中点为 M ? ?

? 2 1? , ? ,求椭圆的方程; ? 3 3?
- 12 -

(2)过点 A 与椭圆只有一个公共点的直线为 l1 ,过点 F 与 AF 垂直的直线为 l2 ,求证 l1 与 l2 交点在定直线 上. 【答案】 (1)椭圆方程为

x2 (2)见解析 ? y2 ? 1; 2

试题解析: (1)由题意得,焦点为椭圆的左焦点,即 F ? ?c, 0 ? 设弦与椭圆的交点为 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,

代入椭圆方程得

x12 y12 ? ? 1 ????① a 2 b2

2 2 x2 y2 ? ? 1 ????② a 2 b2
2 b 2 y12 ? y2 ①式 ? ②式,得 ? 2 ? 2 ????③ 2 a x1 ? x2

∵点 M 平分弦 AB ,弦经过焦点,

1 x1 ? x2 2 y1 ? y2 1 y2 ? y1 ∴ ?? , ? , ? 3 , 2 3 2 3 x2 ? x1 ? 2 ? c 3

b2 代入③式得, ? 2 ? a

2 1 ? b2 1 3 3 ,即 2 ? , 2? 4 ? 2 a ? ? 6?c ? ? ? ??? ? c? 3? 3 ? 3 ? ?

又∵

c 2 2 1 1 1 , ? , a ? b 2 ? c 2 ,∴ c 2 ? b 2 ? a 2 ,∴ ? 2? a 2 2 2 ? 6?c ? ? 3? ?

- 13 -

x2 即 c ? 1, a ? 2 ,∴椭圆方程为 ? y2 ? 1 2
( 2 )设点 A 坐标为 ? x1 , y1 ? ,由对称性,不妨设 y1 ? 0 ,由

x2 y 2 ? ? 1 得椭圆上半部分的方程为 2b 2 b 2

y ? b 1?

x2 b , y? ? ? 2 2

1 x 1? 2
2

???x? ?

?bx x2 2 1? 2



∴ k切 ?

? x1 2b 1 ? x 2
2 1

?

? x1 , 2 y1
? x1 ? x ? x1 ? ????① 2 y1 x1 ? b ? x ? b ? ????② y1

∴ A 点处的切线方程为 y ? y1 ?

过 F 且垂直于 FA 的直线方程为 y ? ?

由①②两式,消去 y 得 y1 ? ?

x1 ? b x ? x ? b ? ? 1 ? x ? x1 ? ????③ y1 2 y1

其中

x12 y12 ? ? 1 ,代入③式,可得 x ? ?2b ? ? 2a 2b 2 b 2

∴点 P 在定直线 x ? ? 2a 上. 考点:椭圆的标准方程,点差法,直线与圆锥曲线综合问题 21.对于函数 y ? f ? x ? 的定义域为 D ,如果存在区间 ? m, n ? ? D ,同时满足下列条件: ① f ? x ? 在 ? m, n ? 上是单调函数; ②当 f ? x ? 的定义域为 ? m, n ? 时,值域也是 ? m, n ? ,则称区间 ? m, n ? 是函数 f ? x ? 的“ K 区间” .对于函数

? ?a ln x ? x, x ? 0 f ? x? ? ? ? a ? 0? . ? ? ? x ? a, x ? 0
(1)若 a ? 1 ,求函数 f ? x ? 在 ? e,1 ? e ? 处的切线方程; (2)若函数 f ? x ? 存在“ K 区间” ,求 a 的取值范围. 【答案】 (1) y ? ? 【解析】
- 14 -

?1 ? ?3 ? (2) ? ,1? ? ? 2e, e 2 ? ? 1? x ; ? ?e ? ?4 ?

试题分析: (1) 若 a ? 1 ,则 f ? x ? ? ln x ? x ? x ? 0 ? , f ? ? x ? ? 可得答案;

1 ? 1 ,求出切线斜率,代入点斜式方程, x

(2) 结合函数 f ? x ? 存在“ K 区间”的定义,分类讨论满足条件的 a 的取值范围,综合讨论结果,可得 答案. 试题解析: (1) a ? 1 时, f ? x ? ? ln x ? x ? x ? 0 ? , f ? ? x ? ? ∴函数 f ? x ? 在 ? e,1 ? e ? 处的切线方程为 y ? ?1 ? e ? ? ?

1 1 ? 1 ,则 f ? ? e ? ? ? 1 , x e

?1 ? ?1 ? ? 1? ? x ? e ? ,即 y ? ? ? 1? x . ?e ? ?e ?

?a ? 1? x ? 0 ? ? ?x (2) f ? ? x ? ? ? ? a ? 0 ? ,列表如下 ? ?1 ? x ? 0 ? ? ? 2 ?x

x
f ?? x? f ? x?

? ??, 0 ?
?


? 0, a ?
?


a
0 极大值

? a, ?? ?
?


设函数 f ? x ? 存在“ K 区间”是 ? m, n ? (i)当 m ? n ? 0 时,由上表可知 ?

? ? ?m ? a ? n ? ? ?n ? a ? m



两式相减得 ? m ? ? n ? n ? m ,即 ? m ? ? n ? 所以 ? m ? ? n ? 1 ,代入 ?

?

?m ? ?n

??

?m ? ?n ,

?

? ? ?m ? a ? n ? ? ?n ? a ? m

,得 ?

? ?a ? ?n ? ?n ? 1 ? ?a ? ?m ? ?m ? 1



欲使此关于 m, n 的方程组在 m ? n ? 0 时有解,需使 y ? a 与 y ? x ? x ? 1? x ? 0 ? 的图象有两个交点,
2

3 ? 1? ?1 ? y ? x 2 ? x ? 1 在 ?0, ? 是减函数,在 ? , ?? ? 是增函数,且 y 1 ? , y x ?0 ? 1 ,所以此时满足 f ? x ? 存 x? 4 ? 2? ?2 ? 2
在“ H 区间”的 a 的取值范围是 ?

?3 ? ,1? . ?4 ?

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(iii)当 a ? m ? n 时,由上表可知, ?

?a ln m ? m ? m ,两式相减得, a ? ln m ? ln n ? ? 0 ,此式不可能成 ?a ln n ? n ? n

立,所以此时 f ? x ? 不存在“ H 区间” . 综上所述,函数 f ? x ? 存在“ H 区间”的 a 的取值范围是 ? 考点:利用导数研究函数的性质 【名师点睛】本题考查的知识点是曲线在某点处的切线方程,新定义,分类讨论思想,属难题.解题时要 熟练应用分类讨论思想,注意分类标准要正确选择.

?3 ? ,1? ? ? 2e, e 2 ? ?. ?4 ?

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