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吉林省东北师范大学附属中学2016届高考数学第一轮复习 函数的概念及表示学案 理


函数的概念与表示
一、 知识梳理: (阅读教材必修 1 第 15 页—第 26 页) 1、 函数 (1) 、函数的定义:

(2) 、构成函数的三要素:函数的定义含有三个要素,即定义域 A,值域 C,对应法则 f, 当定义域 A,对应法则 f 相同时,两个函数表示是同一个函数,解决一切函数问题必须认真 确定函数的定义域,函数的定义域包含四种形式: 自然型;限制型;实际型;抽象型; (3)函数的表示方法:解析式法,图象法,列表法 2、 映射 映射的定义: 函数与映射的关系:函数是特殊的映射 3、分段函数 分段函数的理解: 函数在它的定义域中对于自变量 x 的不同取值上的对应关系不同, 则可以 用多个不同的解析式来表示该函数, 这种形式的函数叫分段函数, 分段函数是一个函数而不 是多个函数。 4、函数解析式求法 求函数解析式的题型有: (1)已知函数类型,求函数的解析式:待定系数法; (2)已知 f ( x) 求 f [ g ( x)] 或已知 f [ g ( x)] 求 f ( x) :换元法、配凑法; (3)已知函数图像,求函数解析式; (4) f ( x) 满足某个等式,这个等式除 f ( x) 外还有其他未知量,需构造另个等式:解方程 组法; (5)应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等. 二、题型探究 探究一:求函数的定义域 例 1: 1. 【2014 江西高考理第 2 题】函数 f ( x) ? ln(x 2 ? x) 的定义域为( A. (0,1) B. [0,1] C. (??,0) ? (1,??) )

D. (??,0] ? [1,??)

1

2、若函数 f(x+1)的定义域是[1,2],则函数 f( x )的定义域为________.解析:∵f(x+1)的 定义域是[1,2],∴f(x)的定义域为[2,3],对于函数 f( x )满足 2≤ x ≤3,∴4≤x≤9.∴f( x )的定义域为[4,9].答案:[4,9] 3、函数 y=

2x ? 5 的值域是{y|y≤0 或 y≥4},则此函数的定义域为________.解析:∵y≤0 x?3 2x ? 5 2x ? 5 5 7 5 7 ≤0 或 ≥4.∴ ≤x<3 或 3<x≤ .答案: ≤x<3 或 3<x≤ . x?3 x?3 2 2 2 2

或 y≥4,∴

探究二:求函数的解析式 例 2. (1)已知 f ( x ? ) ? x ?
3

1 x

1 ,求 f ( x) ; x3

2 x (3)已知 f ( x) 是一次函数,且满足 3 f ( x ? 1) ? 2 f ( x ? 1) ? 2 x ? 17 ,求 f ( x) ; 1 (4)已知 f ( x) 满足 2 f ( x) ? f ( ) ? 3 x ,求 f ( x) . x
(2)已知 f ( ? 1) ? lg x ,求 f ( x) ; (5) 、已知是定义在实数 R 上的奇函数,当,,的解析式。

1 1 1 ? ( x ? )3 ? 3( x ? ) , ∴ f ( x) ? x3 ? 3x( x ? 2 或 x ? ?2 ) . 3 x x x 2 2 2 2 ( x ? 1) . (2)令 ? 1 ? t ( t ? 1 ) ,则 x ? ,∴ f (t ) ? lg ,∴ f ( x) ? lg x t ?1 t ?1 x ?1 (3)设 f ( x) ? ax ? b(a ? 0) , 则 3 f ( x ? 1) ? 2 f ( x ? 1) ? 3ax ? 3a ? 3b ? 2ax ? 2a ? 2b ? ax ? b ? 5a ? 2 x ? 17 , ∴ a ? 2 , b ? 7 ,∴ f ( x) ? 2 x ? 7 . 1 1 1 3 (4)2 f ( x) ? f ( ) ? 3 x ①, 把①中的 x 换成 , 得 2 f ( ) ? f ( x) ? ②, x x x x 3 1 ① ? 2 ? ②得 3 f ( x) ? 6 x ? ,∴ f ( x ) ? 2 x ? . x x
解: (1) ∵ f (x ? ) ? x ?
3

1 x

(5)略。 注:第(1)题用配凑法;第(2)题用换元法;第(3)题已知一次函数,可用待定系数法; 第(4)题用方程组法. (5)充分利用函数的奇偶性 三、方法提升 1、判断是否为函数“一看是否为映射,二看 A,B 是否为非空的数集” 2、函数是中学最重要的概念之一,学习函数的概念首先要掌握函数的三要素基本内容与方 法,由给定的函数的解析式求其定义域是这类问题的代表,实际上是求使函数有意义的 x 有取值范围; 3.求函数定义域一般有三类问题: (1)给出函数解析式的:函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合;掌握基本 初等函数(尤其是分式函数、无理函数、对数函数、三角函数)的定义域; (2)实际问题:函数的定义域的求解除要考虑解析式有意义外,还应考虑使实际问题有意 义;

2

(3)已知 f ( x) 的定义域求 f [ g ( x)] 的定义域或已知 f [ g ( x)] 的定义域求 f ( x) 的定义域: 4.求函数解析式: (1)待定系数法; (2)换元法、配凑法; (3)函数法; (4)解方程组法; 四、 反思感悟

五、课时作业 函数的解析式与定义域 【说明】 本试卷满分 100 分,考试时间 90 分钟. 一、选择题(每小题 6 分,共 42 分) 1.函数 y= x ? 2x ? 3 +log2(x+2)的定义域为(
2

) B.(-∞,-1]∪[3,+∞) D.(-2,-1]∪[3,+∞)

A.(-∞,-1)∪(3,+∞) C.(-2,-1] 答案:D 解析: ?

?x 2 ? 2 x ? 3 ? 0, ?x ? 2 ? 0,

?x ? ?1, 或 x≥3 ? -2<x≤-1 或 x≥3. ?? ?x ? ?2,
) D.

2. 【2015 高考浙江,理 7】存在函数 f ( x) 满足,对任意 x ? R 都有( A.

f (sin 2 x) ? sin x

B.

f (sin 2 x) ? x2 ? x

C.

f ( x2 ?1) ? x ?1

f ( x2 ? 2x) ? x ? 1
【答案】D. 【考点定位】函数的概念 3.g(x)=1-2x,f[g(x)]= A.1 答案:C

1 1? x2 (x≠0),则 f( )等于( 2 2 x
B.3 C.15

) D.30

1 1 1 解析:令 g(x)= ,则 x= ,∴f( )= 2 4 2
x x+1

1 1 ? ( )2 4 =15. 1 2 ( ) 4

4.设函数 f(x)=lgx,g(x)=4 -2 -3,则函数 f[g(x)]的定义域是( ) A. (-∞,2) B.(2,+∞) C.(log23,+∞) D.(-∞,log23) 答案:C x x+1 x x+1 x x x 解析:f[g(x)]=lg[g(x)]=lg(4 -2 -3),由 4 -2 -3>0,得(2 +1)(2 -3)>0,又 2 +1>0,
3

∴2 >3,即 x>log23,故选 C. 5.今年有一组实验数据如下: t S 1.998 1.501 3.002 2.100 4.001 3.002 7.995 4.503 )

x

把上表反映的数据关系,用一个函数来近似地表达出,其中数据最接近的一个是( A.S=1+2
t-3

B.S=

3 log2t 2

C.S=

1 2 (t -1) 2

D.S=-2t+5.5

答案:B 解析:分别取近似数对(2,1.5),(3,2),(4,3),(8,4.5)代入验证即可选 B. 6.已知函数 y=f(x)的图象如下图,那么 f(x)等于( )

A. x ? 2x ? 1
2

2 B. x ? 2 | x | ?1

C.|x -1|

2

D.x -2|x|+1

2

答案:B 解析:C、D 表示二次函数故首先排除.又∵f(-1)=0,故排除 A,故选 B. 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 8.函数 f(x)= x ? 1 ?

1 的定义域为_______________. 2? x

答案: [-1,2)∪(2,+∞) 解析:∵ ?

? x ? 1 ? 0, ∴x≥-1 且 x≠2. ?2 ? x ? 0.
1 ,g(x) 2

9.已知 f(x+1)的定义域是[-1,1] ,那么函数 f(-x+1)的定义域为___________________. 10.设函数 f(x)=logax(a>0 且 a≠1),函数 g(x)=-x +bx+c 且 f(2+ 2 )-f( 2 +1)=
2

的图象过点 A (4, -5) 及B (-2, -5) , 则 a=_____;函数 f [g(x)] 的定义域为_______________. 答案:2 , -1<x<3 解析:loga(2+ 2 )-loga( 2 +1)=

1 1 ? loga 2 = ,a=2. 2 2

由 g(4)=g(-2)=-5, 知 g(x)+5=-(x-4)(x+2), 故 ?
2

?b ? 2, 2 ∴ f [ g(x) ] =log2(-x +2x+3), 由 ?c ? 3.

-x +2x+3>0,得-1<x<3. 三、解答题(11—13 题每小题 10 分,14 题 13 分,共 43 分) 11.已知函数 f(x+a)=|x-2|-|x+2|,且 f[f(a)]=3,求 a 的值. 解析:令 x=0,f(a)=|-2|-|2|=0.∴f[f(a)]=f(0)=|-a-2|-|-a+2|=3.∴|a+2|-|a-2|=3.
4

当 a>2 时,有 a+2-(a-2)=3 无解;当-2≤a≤2 时,有 a+2+(a-2)=3 ? a= 有-(a+2)+(a-2)=3 无解. ∴a=

3 ;当 a≤-2 时, 2

3 . 2
x?7 的定义域为 R,求 a 的取值范围. ax ? 4ax ? 3
3 2

12.已知函数 f(x)=

解析:当 a=0 时,函数定义域为 R. 2 2 当 a≠0 时,要使 ax +4ax+3≠0 对一切 x∈R 恒成立,其充要条件是Δ <0,即 16a -12a<0,∴ 0<a<

3 3 .因此 a 的取值范围为[0, ). 4 4

13.如下图,用长为 l 的木条围成上部分是半圆下部分是矩形的窗框,中间有 2 根横档,要 使透光效果最好,应如何设计?

解析:设半圆的半径为 x,则窗户的面积 y=

1 l ? 6 x ? ?x ? 2 ? ?(6 ? ) x2+l x, π x +2x· 2 2 2

? x ? 0, l ? 2 l ? 由 ? l ? 6 x ? ?x 解得 0<x< .∴y=-(6+ )x +lx(0<x< ). 6?? 2 6?? ? 0, ? 2 ?
当 x=

l 2l 3l 时 y 有最大值.这时半圆的直径为 ,大矩形的另一边长为 . 12 ? ? 12 ? ? 12 ? ?

14.已知函数 f(x)=lg(x+1),g(x)=2lg(2x+t)(t 为参数). (1)写出函数 f(x)的定义域和值域; (2)当 x∈[0,1]时,求函数 g(x)解析式中参数 t 的取值范围; (3)当 x∈[0,1]时,如果 f(x)≤g(x),求参数 t 的取值范围. 解析: (1)函数 f(x)的定义域为(-1,+∞) ,值域为 R. (2)∵2x+t>0,x∈[0,1],∴t>0. (3)当 0≤x≤1 时, f(x)≤g(x) ? ?

?2 x ? t ? 0, ? x ? 1 ? 2x ? t,
2x,m=

? t≥ x ? 1 -2x(0≤x≤1)t≥( x ? 1 -2x)max.



U=

x ?1 ?

x ?1

,



1



m



2

,x=m -1,

2



5

U=m-2(m -1)=-2m +m+2=-2(m-

2

2

1 2 1 ) + +2. 4 8

∴当 m=1(x=0)时,Umax=1.∴t≥1. 附加题: 1.已知 f ( x2 ) 的定义域为 [?1,1] ,则 f (2x ) 的定义域为 ( ??, 0] . 2. (2013 年高考江西卷(理) )函数 y=ln(1-x)的定义域为 A.(0,1) B.[0,1) C.(0,1] D.[0,1] 【答案】D 3、我国是水资源比较贫乏的国家之一,各地采取价格调控等手段来达到节约用水的目的, 某地用水收费的方法是:水费=基本费+超额费+损耗费.若每月用水量不超过最低限量

a m3 时,只付基本费 8 元和每月每户的定额损耗费 c 元;若用水量超过 a m3 时,除了付同 3 上的基本费和定额损耗费外,超过部分每 m 付 b 元的超额费.已知每户每月的定额损耗费
不超过 5 元. 该市一家庭今年第一季度的用水量和支付费如下表所示: 月份 用水量 (m3 ) 水费(元) 9 19 33 1 9 2 15 3 22 根据上表中的数据,求 a 、 b 、 c .
3

解:设每月用水量为 x m ,支付费用为 y 元,则有

(1) ?8 ? c,0 ? x ? a y?? ?8 ? b( x ? a) ? c, x ? a
于是就有 ?

(2)
3 3 3

由表知第二、第三月份的水费均大于 13 元,故用水量 15 m ,22 m 均大于最低限量 a m ,

?19 ? 8 ? b(15 ? a) ? c ,解之得 b ? 2 ,从而 2a ? c ? 19 ?33 ? 8 ? b(22 ? a) ? c
3

(3)

再考虑一月份的用水量是否超过最低限量 a m ,不妨设 9 ? a ,将 x ? 9 代入(2)式,得 9 ? 8 ? 2(9 ? a) ? c ,即 2a ? c ? 17 ,这与(3)矛盾.∴ 9 ? a . 从而可知一月份的付款方式应选(1)式,因此,就有 8 ? c ? 9 ,得 c ? 1 . 故 a ? 10 , b ? 2 , c ? 1 . 4 . (2013 年普通高等学校招生统一考试大纲版数学 (理) 已知函数 f ? x ? 的定义域为 ? ?1, 0 ? , 则函数 f ? 2 x ? 1? 的定义域为(B) (A) ? ?1,1? (B) ? ?1, ?

? ?

1? 2?

(C) ? -1, 0 ?

(D) ?

?1 ? ,1? ?2 ?


5. 【2014 山东高考理第 3 题】函数 f ( x) ?

1 (log2 x) 2 ? 1

的定义域为(

A. (0, )

1 2

B. (2,??)

C. (0, ) ? (2,?? )

1 2

D. (0, ] ? [2,?? )

1 2

6

7


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